专题 1.2 全等三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学全等三角形核心知识点，系统梳理概念（含定义、对应顶点/边/角）及性质（对应边、对应角相等），通过基础题型（全等图形认识、元素理解）到综合题型（性质求值证明、动点问题）的递进设计，构建完整学习支架。 资料特色在于结合生活实例（如测距离趣闻）培养数学眼光，通过动点问题等综合题型发展推理意识与运算能力，分层题型（例题+变式+同步检测）辅助教师课中递进教学，助力学生课后巩固查漏，提升应用意识与数学思维。

专题 1.2 全等三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】全等三角形的概念 1 【题型 1】全等图形的认识 2 【题型 2】全等三角形相关元素的理解 4 【知识点二】全等三角形性质 6 【题型 3】利用全等三角形性质求值 6 【题型 4】利用全等三角形性质证明 9 【题型 5】利用全等三角形性质求值证明 11 二.综合培优题型精析 14 【题型 6】全等三角形性质与动点问题 14 三.同步检测 20 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 20 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 25 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 28 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】全等三角形的概念 1、定义：一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后得到另一个三角形，这两个三角形可以重合.我们把两个能完全重合的三角形叫作全等三角形. 【要点提示】（1）经平移、翻折、旋转后可完全重合的两个三角形，就是全等三角形；（2）全等的本质是形状、大小完全一致，仅位置不同。 2、全等三角形相关元素及表示方法：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角，图表如下： 图示及表示法 类型 对应元素 对应角 点与点；点与点；点与点； 对应边 与；与；与； 【题型 1】全等图形的认识 【例题1】（25-26七年级下·全国·单元复习）请查阅资料收集一些利用全等三角形测距离的趣闻或故事． 【答案】经典案例为拿破仑测量莱茵河宽度的故事． 【分析】查阅拿破仑测量莱茵河宽度的故事． 解：年，法国的拿破仑率军与德军在莱茵河激战，德军在河北岸 处，如下图所示 , 因不知河宽，法军很难瞄准敌军．聪明的拿破仑站在南岸处调整好自己的帽子，使视线恰好擦过帽舌边沿看到敌军兵营处，然后后退到点，这时他的视点恰好能落在处，于是他命令部下测量他所站的处与点之间的距离，并下令按这个距离炮轰敌兵营，果然炮弹就像长了眼睛一样，都命中了目标． 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合． 解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同． 选项A中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形； 选项B中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形； 选项C中，两个三角形大小不同，不是全等形； 选项D中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）请观察图中的5组图案，其中是全等形的是________（填序号）；    【答案】（5） 【分析】根据全等形的定义：形状、大小相同，能够完全重合的两个图形进行判断即可． 解：（1）形状、大小不相等，不是全等形； （2）大小不同，不是全等形； （3）形状，大小都不相同，不是全等形； （4）形状，大小都不相同，不是全等形； （5）形状，大小都相同，是全等形； 故答案为：（5）． 【点拨】本题考查全等形的识别．熟练掌握形状、大小相同，能够完全重合的两个图形是全等形是解题的关键． 【变式3】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，画在透明纸上的和是全等图形吗？你是怎么判定的？ 【答案】是全等图形，理由见分析 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 利用全等图形的概念可得答案． 解：是全等图形，理由如下： 把两个图形放在一起，把和，和，和重合，发现能够完全重合， 因此和是全等图形． 【题型 2】全等三角形相关元素的理解 【例题2】（25-26七年级下·全国·课堂例题）如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 【答案】见分析 【分析】本题考查全等三角形的有关概念，关键是掌握全等三角形的对应顶点，对应边，对应角的定义．由全等三角形的对应顶点，对应边、对应角的定义，即可得到答案． 解：对应顶点是点C和点C、点B和点D，对应边是和和和，对应角是和和和． 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 【变式2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 【变式3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 【答案】，，，， 【分析】根据全等三角形的定义可直接得出答案． 解：∵， ∴①的对应角为； ②的对应角为； ③的对应角为； ④的对应边为； ⑤的对应边为； 故答案为：，，，，． 【点拨】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键． 【知识点二】全等三角形性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等 图示及表示法 性质 数学语言 全等三角形的对应边相等， 全等三角形的对应角相等. 、、 、、 【题型 3】利用全等三角形性质求值 【例题3】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． （1）用含t的代数式表示的长度：______； （2）若与全等（其中与为对应角），求a的值． 【答案】（1）；（2）或2 【分析】（1）根据题意，可知，线段的和差关系表示出即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 解：（1）解：由题意，， ∴． （2）解：∵，点D为的中点， ∴． 由题意可知，，． 当与全等时，分以下两种情况： 当时，，， ∴，． 解得，． 当时，，， ∴，． 解得，． 综上所述，a的值为或2． 【变式1】（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图，，点、、、在同一直线上，与相交于点，，，则的长度是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据得到，再根据即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】（26-27八年级·全国·暑假作业）已知的三边长度为4、和，的三边长度为，则的周长是____ ． 【答案】18 【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可． 解：根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长如下： 情况1：列方程组，解得， 此时△ABC的三边长为4，，，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由得，与矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由得，边长不能为0，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由得，则，此时，这与矛盾，舍去， 故的周长为． 【变式3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，已知，点在上，与交于点，，，． （1）求的长度； （2）求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查全等三角形的性质； （1），由可得，即可求解； （2）由可得，再由为的外角，可得，即可求解. 解：（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴. （2）解：∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 即. 【题型 4】利用全等三角形性质证明 【例题4】（2026·福建福州·模拟预测）已知：如图，将，沿边翻折得，沿边的垂直平分线翻折得． 求证：． 【答案】证明：∵将，沿边翻折得，沿边的垂直平分线翻折得， 依题意得，， ， ∴． 【分析】根据翻折的性质得出，确定，即可证明． 解：略 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，即可判断． 解：∵，与，与是对应角，与是对应边， ∴，，， 而与不是对应边， ∴与不一定相等． 【变式2】（25-26八年级上·海南·期中）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的是_______（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得到，，，从而得到，最后证明不成立即可． 解：∵， ∴，故①、③符合题意， ∵， ∴， ∴，故④符合题意， ∵， ∴， ∴不一定成立，故②不符合题意， 故答案为：①③④． 【变式3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且，试说明： （1）； （2）满足什么条件时， 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等、对应角相等． （1）利用全等三角形的性质可得，，然后再等量代换即可； （2）利用平行线的判定方法和全等三角形的性质进行推理即可． 解：（1）证明：∵， ∴，， ∵A，D，E三点在同一直线上， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∴ ∴． 【题型 5】利用全等三角形性质求值证明 【例题5】（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图，，，． （1）求的长； （2）若、、在一条直线上，求证：． 【答案】（1）；（2）证明：， ， ， ， ． 【分析】（1）首先根据全等三角形的性质得到，，然后利用线段的和差求解即可； （2）根据全等三角形的性质得到，然后根据题意得到，进而可得到． 解：（1）解：， ，， ； （2）略． 【变式1】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，点D落在边上，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转得，然后根据全等三角形的性质逐项判断即可． 解：由旋转得，，故A正确； ∴，，故C正确； ∴，即，故B正确； ∵和不一定相等 ∴和不一定相等，故D错误． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，点在边上，连接．已知，若，．记，则___________（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积公式，过点作，交于点，由得到，再根据三角形面积公式求出，，即可得出结论，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 解：过点作，交于点，如图： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，已知，且点D在边上． （1）试判断和的位置关系，并说明理由 （2）若，求的长． 【答案】（1），理由见分析；（2）10 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定. （1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 即的长为10． 二.综合培优题型精析 【题型 6】全等三角形性质与动点问题 【例题6】（25-26八年级上·北京·单元复习）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： （1）用含t的式子表示______，______； （2）探究t取何值时，与全等？ 【答案】（1），；（2）当秒或秒或12秒时，与全等 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质，解答的关键是运用分类讨论思想解答； （1）根据题意的运动方式，列代数式即可；             （2）分为，，三种情况分别解答即可 解：（1）当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 综上，，； （2）①如图1，Q在上，点P在上时，作，， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：；                             ②如图2，当点P与点Q重合时， 当， 则， ∴． 解得：；                             ③如图3，当点Q与A重合时， ， ∴， 当， 则， 即， 解得：；                         当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 【变式1】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（        ） A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10 【答案】C 【分析】本题是一道数学动点问题，考查了全等三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时分类讨论是重点也是难点．分两种情况讨论，如图，当点在射线上时，在上，，如图，当点在的反向延长线上时，由全等三角形的性质求出其解即可． 解：∵， ∴ 如图，当点在射线上时，在上，， ∵ ∴， ∴． 如图，当点在的反向延长线上时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或时，， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在四边形中，，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边BC向点C匀速移动，动点M从点B出发沿向点D匀速移动，三点同时出发．当动点M的速度为_____时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为，动点M的速度为，则，（看成一个整体），进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可． 解：设运动的时间为，动点M的速度为， 由题意得，， ∴． ∵， ∴． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 综上所述，动点M的速度为或， 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·北京·单元复习）如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． （1）的度数为 ； （2）当点D沿射线运动时，若，求t的值； （3）当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ． 【答案】（1）；（2）或4；（3）或 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识： （1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题； （2）作于H，于G．由平分，推出，由，可得，解方程即可解决问题． （3）存在．由，可知当时，，列出方程即可解决问题． 解：（1）解：如图1中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2中， ①当E在线段上时，作于H，于G． ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴. ②当点E运动到延长线上，同法可得时，也满足条件， ∴当或时，满足． 故答案为：或； （3）解：∵， ∴当时，， ∴ ∴ ∴时，． 当D在延长线上时，， 综上所述，满足条件的t的值为2或6， 故答案为：或． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（26-27八年级·全国·暑假作业）下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等图形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．根据能够完全重合的两个图形叫做全等图形对各选项分析判断利用排除法求解． 解：A、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； B、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； C、组成图形的两个图形不全等，故本选项符合题意； D、组成图形的四个图形全等，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案． 解：由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等． 故选：． 【点拨】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系． 3．（25-26七年级下·全国·随堂练习）如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 解：∵， ∴的对应角是， 故选：B． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，且，，则的长为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 解：， ， ． 5．（26-27八年级·全国·暑假作业）若如图所示的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应角相等，进行求解即可. 解：∵两个三角形全等，且的两条邻边分别为， ∴. 6．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，，点在上，下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，，，，据此得出选项即可． 解：， ，，，， ，即， 故A、B、C正确，D不正确， 故选：D． 7．（26-27八年级·全国·暑假作业）已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（     ）厘米/秒时，与全等． A．1或 B．1 C．1或3 D．3 【答案】A 【分析】设点运动秒时，与全等，则，，分两种情况：①当，时，②当，时，分别求出和，即可求解． 解：设点运动秒时，则， ， ， ，， ， ． 与全等， 分两种情况讨论： ①当，时，， ， ， 点的运动速度为（厘米秒）； ②当，时，， ，， ， ， 点的运动速度为厘米秒； 综上所述：点的运动速度为或厘米秒时，与全等． 8．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据，得到两组三角形中的边角的关系，得到、为等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可． 解：， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有_____组．    【答案】3/三 【分析】本题考查了全等图形的知识．根据全等的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 解：根据全等的定义可知， 全等图形有：  和  ，  和  ，  和  ， ∴图中有3组全等的图形． 故答案为：3． 10．（26-27八年级·全国·暑假作业）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点拨】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则的对应边是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念判断即可． 解：∵， ∴的对应边是， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·福建宁德·阶段检测）已知图中的两个三角形全等，则_____． 【答案】/50度 【分析】根据全等三角形的性质解题． 解：∵图中的两个三角形全等，是边和边的夹角， ∴． 13．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，已知，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，则________，________°． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，对应角相等，由可得，，再利用三角形内角和定理求出的度数即可求解． 解：因为，且顶点，，分别与顶点，，对应， 所以，， 由图可知， 所以， 在中，根据三角形内角和定理，， 因为，， 所以， 所以， 即． 14．（26-27八年级·全国·暑假作业）若，和分别是对应边和的高，且的面积是6，，则_______________． 【答案】 【分析】根据全等三角形对应边上的高相等，可得，再根据三角形面积公式即可求解． 解：，和分别是对应边和的高， ， ， ． 15．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知，，，则的度数为________． 【答案】/80度 【分析】根据全等三角形的对应角相等，可得，进而即可求解． 解：，， ， ， ． 16．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，，，．点在线段上从点向点运动，点从点出发沿着射线的方向运动．若与全等，则的长为________． 【答案】或 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，已知，则点与点是对应顶点，分两种情况讨论：一是，二是，设，则，根据对应边相等列出方程求解即可． 解：设， 点在线段上，， ， 与全等，且， 分两种情况讨论：①当时， ， ，解得，即； ②当时， ， 解得即， 综上所述，的长为或． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，． （1）写出这两个三角形的对应边和对应角． （2）若，求的度数． 【答案】（1）对应边：与；与；与；对应角：与；与；与；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，写出对应边和对应角即可； （2）根据全等三角形的性质得出，从而求出结果即可． 解：（1）解：∵， ∴两个三角形的对应边为：与；与；与； 两个三角形的对应角为：与；与；与； （2）解：∵，， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·江苏·寒假作业）如图，已知，点、、在同一条直线上． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与平行线的判定，解题的关键是利用全等三角形的对应角相等、对应边相等进行推理计算． （1）利用全等三角形的对应角相等，结合内错角相等判定两直线平行； （2）利用全等三角形的对应边相等，结合线段和的关系求出的长． 解：（1）证明：， ， ； （2）解： ，， ， ， ， ， ． 19．（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图，，，． （1）求的长； （2）若、、在一条直线上，求证：． 【答案】（1）；（2）证明：， ， ， ， ． 【分析】（1）首先根据全等三角形的性质得到，，然后利用线段的和差求解即可； （2）根据全等三角形的性质得到，然后根据题意得到，进而可得到． 解：（1）解：， ，， ； （2）略． 20．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． （1）用含t的代数式表示的长度：______； （2）若与全等（其中与为对应角），求a的值． 【答案】（1）；（2）或2 【分析】（1）根据题意，可知，线段的和差关系表示出即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 解：（1）解：由题意，， ∴． （2）解：∵，点D为的中点， ∴． 由题意可知，，． 当与全等时，分以下两种情况： 当时，，， ∴，． 解得，． 当时，，， ∴，． 解得，． 综上所述，a的值为或2． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.2 全等三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】全等三角形的概念 1 【题型 1】全等图形的认识 2 【题型 2】全等三角形相关元素的理解 2 【知识点二】全等三角形性质 3 【题型 3】利用全等三角形性质求值 4 【题型 4】利用全等三角形性质证明 5 【题型 5】利用全等三角形性质求值证明 6 二.综合培优题型精析 7 【题型 6】全等三角形性质与动点问题 7 三.同步检测 8 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 12 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】全等三角形的概念 1、定义：一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后得到另一个三角形，这两个三角形可以重合.我们把两个能完全重合的三角形叫作全等三角形. 【要点提示】（1）经平移、翻折、旋转后可完全重合的两个三角形，就是全等三角形；（2）全等的本质是形状、大小完全一致，仅位置不同。 2、全等三角形相关元素及表示方法：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角，图表如下： 图示及表示法 类型 对应元素 对应角 点与点；点与点；点与点； 对应边 与；与；与； 【题型 1】全等图形的认识 【例题1】（25-26七年级下·全国·单元复习）请查阅资料收集一些利用全等三角形测距离的趣闻或故事． 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）请观察图中的5组图案，其中是全等形的是________（填序号）；    【变式3】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，画在透明纸上的和是全等图形吗？你是怎么判定的？ 【题型 2】全等三角形相关元素的理解 【例题2】（25-26七年级下·全国·课堂例题）如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【变式2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【变式3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 【知识点二】全等三角形性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等 图示及表示法 性质 数学语言 全等三角形的对应边相等， 全等三角形的对应角相等. 、、 、、 【题型 3】利用全等三角形性质求值 【例题3】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． （1）用含t的代数式表示的长度：______； （2）若与全等（其中与为对应角），求a的值． 【变式1】（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图，，点、、、在同一直线上，与相交于点，，，则的长度是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（26-27八年级·全国·暑假作业）已知的三边长度为4、和，的三边长度为，则的周长是____ ． 【变式3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，已知，点在上，与交于点，，，． （1）求的长度； （2）求的度数． 【题型 4】利用全等三角形性质证明 【例题4】（2026·福建福州·模拟预测）已知：如图，将，沿边翻折得，沿边的垂直平分线翻折得． 求证：． 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·海南·期中）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的是_______（填序号）． 【变式3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且，试说明： （1）； （2）满足什么条件时， 【题型 5】利用全等三角形性质求值证明 【例题5】（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图，，，． （1）求的长； （2）若、、在一条直线上，求证：． 【变式1】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，点D落在边上，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，点在边上，连接．已知，若，．记，则___________（填“”，“”或“”） 【变式3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，已知，且点D在边上． （1）试判断和的位置关系，并说明理由 （2）若，求的长． 二.综合培优题型精析 【题型 6】全等三角形性质与动点问题 【例题6】（25-26八年级上·北京·单元复习）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： （1）用含t的式子表示______，______； （2）探究t取何值时，与全等？ 【变式1】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（        ） A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10 【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在四边形中，，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边BC向点C匀速移动，动点M从点B出发沿向点D匀速移动，三点同时出发．当动点M的速度为_____时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【变式3】（25-26八年级上·北京·单元复习）如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． （1）的度数为 ； （2）当点D沿射线运动时，若，求t的值； （3）当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（26-27八年级·全国·暑假作业）下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级下·全国·随堂练习）如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，且，，则的长为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 5．（26-27八年级·全国·暑假作业）若如图所示的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，，点在上，下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27八年级·全国·暑假作业）已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（     ）厘米/秒时，与全等． A．1或 B．1 C．1或3 D．3 8．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有_____组．    10．（26-27八年级·全国·暑假作业）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则的对应边是________． 12．（24-25七年级下·福建宁德·阶段检测）已知图中的两个三角形全等，则_____． 13．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，已知，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，则________，________°． 14．（26-27八年级·全国·暑假作业）若，和分别是对应边和的高，且的面积是6，，则_______________． 15．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知，，，则的度数为________． 16．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，，，．点在线段上从点向点运动，点从点出发沿着射线的方向运动．若与全等，则的长为________． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，． （1）写出这两个三角形的对应边和对应角． （2）若，求的度数． 18．（25-26八年级上·江苏·寒假作业）如图，已知，点、、在同一条直线上． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 19．（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图，，，． （1）求的长； （2）若、、在一条直线上，求证：． 20．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． （1）用含t的代数式表示的长度：______； （2）若与全等（其中与为对应角），求a的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $