专题1.1 三角形中的线段和角（11题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦三角形中的线段和角核心知识点，系统梳理三角形概念、内角和定理、三边关系，以及高线、中线、角平分线的定义与性质。从基本元素到特殊线段，通过对比表格构建知识支架，形成递进学习脉络。 资料特色在于用表格整合三种线段的文字、图形、符号语言，培养几何直观与空间观念。题型分层设计，典例与变式结合提升推理能力，即学即练和综合题助力课中教学与课后巩固，强化应用意识。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.1三角形中的线段和角 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01三角形基本元素角与边的有关定理 2.知识清单 知识点02三角形的高线、角平分线、中线 题型01构成三角形的条件 题型02确定第三边的取值范围 题型03利用三边关系去绝对值化简 题型04画三角形的高 三角形中的线段和角 题型05利用三角形的高线求解 题型06根据三角形的中线求长度 3.题型精讲 题型07根据三角形的中线求面积 题型08重心的概念及有关应用 题型09三角形角平分线的定义 题型0网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 题型1三角形中高线、中线、角平分线综合求解 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解三角形的概念、基本要素及表示方法，掌握三角形内角和定理，能进行角度计 算。 教学目标 2.了解三角形的分类（按角、按边），掌握三角形三边关系，能判断三条线段能否构 成三角形。 3.认识三角形的高线、中线、角平分线，理解其定义与性质，并能进行相关作图。 重点： 1.三角形内角和定理及三边关系的理解与应用。 教学重难点 2.三角形三条重要线段（高线、中线、角平分线）的作图与性质掌握。 教学难点： 1/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 1.三角形高线的作图，特别是钝角三角形三条高的位置关系与识别。 2.综合运用三角形的内角和、三边关系及重要线段性质解决几何问题。 知识清单 知识点01三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于180°， (2)三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边： 【即学即练2】 1.(25-26八年级上广西梧州期末)在△ABC中，∠A=∠B=40°，则∠C= 2.(25-26八年级上江西赣州期中)一个三角形的三边长分别为2,5，x. (1)求x的取值范围： (2)若三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长 3.(25-26八年级上江西赣州期中)已知a,b,C是△ABC的三边， (1)比较大小：a+b-C0,b-a-c0,c-a+b0.(填入“>、<或=”号) (2)化简la+b-c-b-a-c+lc-a+bl. 知识点02三角形的高线、角平分线、中线 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段： 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段： 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点.这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段： 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以 后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表 如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 2/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 从三角形的一个顶点向它的对边所 三角形一个内角的平分线与 三角形中，连接一个顶点和 文字语言 在的直线作垂线，顶点和垂足之间 它的对边相交，这个角的顶 它对边中点的线段 的线段. 点与交点之间的线段 图形语言 B B B D D 过点A作AD⊥BC于点D. 取BC边的中点D,连接 作∠BAC的平分线AD,交 作图语言 AD. BC于点D. 标示图形 B B∠ B 1.AD是△ABC的高， 1.AD是△ABC的中线. 1.AD是△ABC的角平分 2.AD是△ABC中BC边上的高. 2.AD是△ABC中BC边上 线 3.AD⊥BC于点D. 的中线 2.AD平分∠BAC,交BC 符号语言 4.∠ADC=90°，∠ADB=90°. 1 于点D (或∠ADC=∠ADB=90) 3. BD=DC=2 BC 1 4.点D是BC边的中点. 3. ∠1=∠2=2∠BAC. 因为AD是△ABC的高，所以 因为AD是△ABC的中线， 因为AD平分∠BAC,所以 推理语言 AD⊥BC. 1 1 (或∠ADB=∠ADC=90) 所以BD=DC=2BC. ∠1=∠2=2∠BAC. 1. 线段相等.2.面积相 用途举例 1.线段垂直.2.角度相等. 角度相等. 等 1. 与边的垂线不同. 注意事项 与角的平分线不同. 2.不一定在三角形内 三角形的三条高（或它们的延长线） 一个三角形有三条中线，它 一个三角形有三条角平分 重要特征 交于一点 们交于三角形内一点. 线，它们交于三角形内一 点 【即学即练】 1.(2425七年级下·上海青浦阶段练习)下列说法中，正确的是() A.三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B.三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 3/22 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D.在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 2.(25-26八年级下·全国·单元测试)(I)在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE是AC边上的中线. 若∠BAD=40°，则∠BAC= 一；若AC=6Cm,则AE= cm (2)在△ABC中，AB=AC,AD是边BC上的中线，△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30Cm, 则AD= cm 题型精讲 题型01构成三角形的条件 【典例1】(25-26八年级上：湖南郴州期末)下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是() A.1,2,4 B.8,6,4 C.15,5,6 D.1,3,4 【变式1】(25-26八年级下·四川泸州开学考试)下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是() A.Icm,2cm,3cm B.2cm,3cm,4cm C.3cm,4cm,5cm D 5cm,6cm,10cm 【变式2】(25-26八年级上内蒙古赤峰期末)下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角 形的是() A.4cm,4cm,8cm B 8cm,16cm,7cm C.11cm,5cm,5cm D.13cm,10cm,20cm 【变式3】(25-26八年级上江西宜春·期末)以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是() A.4cm,5cm,6cm B.7cm,8cm,16cm C.4cm,4cm,8cm D.3cm,5cm,10cm 题型02确定第三边的取值范围 【典例2】(25-26八年级上山东滨州期末)若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值 范围为 【变式1】(25-26八年级上·安徽合肥·期末)若a,b,c为三角形的三边，且a,b满足la-9+(b-2=0, 4/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三边c为奇数，则c= 【变式2】(25-26八年级上湖南邵阳期末)若三角形的三边分别是3,4，x,且x是整数，则满足条件 的三角形有 个 【变式3】(25-26八年级上安徽准南期末)已知三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x,且x 是三条边中最短的，则第三边x的取值范围为 题型03 利用三边关系去绝对值化简 【典例3】(24-25八年级上云南文山期中)若a,b,C分别为△ABC三边，化简： a-b-c+a+b-c+lc-a+b」 【变式1】(24-25八年级上·安徽滁州期中)已知a,b,c为三角形的三边，则式子a+b-c-|a-b-c卡 () A.2a B.2b C.0 D.2a-2c 【变式2】已知△ABC的三边分别为a、b、c,化简：la+b-d-十a+b+c-c-b-4= 【变式3】(24-25八年级上广东汕头阶段练习)a,b,c为△ABC的三边，化简： a+b+c-a-b-c-a+b-c 题型04画三角形的高 【典例4】(25-26八年级上：安徽安庆期中)下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是() 【变式1】(25-26八年级上北京朝阳期末)下面四个图中，线段AD是△ABC的高线的是() 5/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上江苏宿迁·期末)如图，在△ABC中，边AB上的高是() A.线段AD B.线段BE C.线段CF D.线段BD 【变式3】(25-26八年级上·云南昭通期末)如图，关于△CBA边上的高，下列说法正确的是() A.线段AF是AB边上的高 B.线段DB是AC边上的高 C.线段DB是BC边上的高 D.线段BE是AC边上的高 题型05利用三角形的高线求解 【典例5】(24-25八年级上新疆阿克苏·月考)如图，△ABC中，AB、AC边上的高分别是CE、BD.己 AB=10cm,CE=6cm,AC=5cm. (1)△ABC的面积； (2)BD的长度， 【变式1】(25-26八年级上安徽合肥月考)如图，在△ABC中，AB=AC,P是射线BC上一点，过点P作 PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E,过点B作BF L AC,垂足为F,连接AP, 6/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C 图1 图2 (①)如图1，点P在边BC上，写出线段PD,PE,BF之间的数量关系，并说明理由. (②)如图2，点P在BC的延长线上.当SABc=10,AB=5,PE=2时，求线段PD的长. 【变式2】(24-25七年级下全国课后作业)如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上任意一点，连 接AD.已知DE,DF分别是△ABD,△ACD的高. E E 作图：(1)请在图①上作出 中AC边上的高 B B D F 图① 图② △ABC BG. 探究：(2)通过观察、测量，发现DE,DF,BG之间的数量关系为 填空：(3)为了说明DE,DF,BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为S△MBc= +S△ACD, 所以2AC-BG=)AB-DE+ 2 因为AB=AC, 所以 拓展：(4)当点D在图②的位置时，试判断(2)中DE,DF,BG之间的数量关系是否仍然成立，并说 明理由， 【变式3】(2425七年级下·河南南阳期末)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法. 7/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B D 图1 图2 图3 (I)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,AC=10,BD⊥AC,垂足为点D,则BD的 长是 (2)如图2，在△ABC中，AB=3,BC=6,则△ABC的高AD与CE的比是 (3)如图3，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC>45°，点D,E分别在边BC,AC上，且BE=EC, DM LBE,DN L AC,垂足分别为点M,N.若AB=8,DM=3,求DN的值. 题型06 根据三角形的中线求长度 【典例6】(2026八年级全国·专题练习)在△ABC中，AB=AC,△ABC的中线BD将△ABC的周长分为 12和l5,则△ABC的边BC的长为 【变式1】(25-26八年级上·云南怒江期中)如图，AP是△ABC的中线，A0是△ABP的中线.若BC=8, 则BQ的长为， 0 P 【变式2】(25-26八年级上安徽安庆·期中)如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线， EF LBC于点F.若SABc=30,BC=10,则EF长为 B DE 【变式3】(25-26八年级上·四川广安期末)如图，A为△ABC的中线，AB为△ARC的中线，A为 △AC的中线，，按此规律，AP为△APC的中线， 8/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若AB=12cm,AC=16cm,则△ACR的周长与△ABR的周长相差一cm. (2)若△ABC的面积为64，则△AC的面积为， 题型07根据三角形的中线求面积 【典例7】(25-26八年级上河南商丘·期末)如图，BD是△ABC的中线，E,F分别为BD,CE的中点， 若△AEF的面积为6，则△ABC的面积是一. B 【变式1】(25-26八年级上：陕西西安·期末)如图，AD是△ABC的中线，BE,CE分别是△ABD,△ACD 的中线，若阴影部分的面积为3cm,则△ABC的面积为. cm2. 【变式2】(25-26八年级下山东烟台开学考试)如图，△ABC的面积是12，点D,E,F,G分别是BC, AD,BE,CE的中点，则△AFG的面积是 【变式3】(2026河南周口·一模)如图，△ABC的面积为7，分别倍长（延长一倍）AB、BC、CA得到 △4BC,再分别倍长AB,BC,C4得到△4B,C,…,按此规律，倍长2026次后得到的 9/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △A2026B2026C2026的面积为 B 题型08重心的概念及有关应用 【典例8】(24-25七年级下全国课后作业)如图所示，已知点D是△ABC的重心，连接BD并延长，交 AC于点E,若AE=4,则AC的长度为() A E A.6 B.8 C.10 D.12 【变式1】(25-26八年级上·安徽芜湖期末)如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持 平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是() A.画出三角形薄板的三条高，取其交点 B.画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C.画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D.过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点. 【变式2】(25-26八年级上：湖北随州期末)如图，O是△ABC的重心，A0,B0,C0的延长线分别交 BC,AC,AB于点D,E,F,则下列结论一定成立的是() 10122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B O A.AD平分BC B.BE⊥AC C.CF平分∠ACB D.OD=OE 【变式3】(25-26八年级上广东广州期末)如图，在△ABC中，AD经过△ABC的重心G交BC于点D 若△ABC的面积为16cm2,则阴影部分的面积为() B D C 16 A.8cm B.7cm2 C.6cm D. cm2 题型09三角形角平分线的定义 【典例9】(25-26八年级上江苏盐城期中)如图，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB, 且PD∥AB,PE∥AC,△PDE的周长为10，则BC的长为一： 【变式1】(25-26八年级上重庆九龙坡月考)如图，在△ABC中，D,E分别是边AC,BC上的点，且 AC=3CD,BE=3EC,连接BD、AE交于点F,∠BAF的平分线交BD于点G,且AF:AB=I:2,若 △AGB的面积为16，则△AGD的面积为 G 11/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上浙江杭州：月考)△ABC中，∠BAC=50°，AD是BC边上的高，AE是 ∠BAC的角平分线，若∠DAE=40°，则∠BAD为 度、 【变式3】(25-26八年级上全国课后作业)如图，在锐角△ABC中，BC边上有E,D,F三点， BD=CD,∠BAE=∠DAE,AF LBC,垂足为F. D万 (I)以AD为中线的三角形有；以AE为角平分线的三角形有一；以AF为高的钝角三角形有 (2)若∠BAC=88°，∠B=35°，则∠CAF的度数为一 题型10网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 【典例10】(25-26七年级上江苏泰州期末)如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个 小正方形的顶点为格点，点A、B、C都是格点. (I)仅用直尺过点C画CD,使CD∥AB: (2)仅用直尺画出△ABC的高CH: (3)比较大小：CH CA(填“>”、“=”或“<”)，理由是 【变式1】(25-26七年级下·全国周测)如下图所示，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C在小正 方形的顶点上 B 12122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)画出△ABC中边BC上的高AD,边AC上的中线BE: (2)若△ABE的周长比△BCE的周长长4.5，则AB比BC长 (3)△ABE的面积为 【变式2】(25-26九年级上湖北武汉·月考)只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写 出画法，保留作图痕迹。 图(1) 图(2) (1)在图(I)中画△ABC的角平分线BD,标出点D: (2)在图(2)中，作△ABC的BC边上的高AD 【变式3】(25-26八年级上安徽合肥月考)如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点， △4BC的三个顶点都在格点上，每个小方格的边长为1， (I)仅借助网格和无刻度直尺画出AC边上的中线BD,并标出D的位置； (2)仅借助网格和无刻度直尺画出BC边上的高线AE,并标出E的位置： (3)填空：△ABC的面积是_· 题型11三角形中高线、中线、角平分线综合求解 【典例11】(25-26八年级上全国课后作业)如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线. D (1)若∠ABE=16°，求∠ABD的度数 (2)若△ABC的面积为60，BD=5,则点A到BC边的距离为多少？ 【变式1】(24-25七年级下·江苏泰州期中)如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，点E是AD的中点， 13122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接CE,EF L BC, E FD (1)若∠DEF=20°，∠BAD=37°，求∠B的度数： (2)若△ABC的面积为24，CD=4,求线段EF的长度. 【变式2】(25-26八年级上河南信阳期中)如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与 点A,B重合)，CD与BE交于点O. A D (I)若CD是中线，BC=7,AC=5,则△BCD与△ACD的周长差为. (2)若∠ABC=64°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数， 【变式3】(25-26八年级上湖南湘西·阶段练习)数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任 选一幅，自给条件，自设问题.有三名同学的作品如下： 图1 图2 图3 (1)小香：如图1，已知△4BC的高AD=abcm,面积为(ab+2ab)cm',求BC的长度. (2)小涵：如图2，已知D是BC中点，AB-AC=2cm,C△MBn=16cm,求CAcD. (3)小字：如图3，己知AD平分∠BAC,∠B=40°，∠C=60°，求∠DAC. 14122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(25-26七年级下河南周口·期末)下列各组线段长度，不能够构成三角形三边的是（) A.2,4,5 B.4,6,9 C.5,5,9 D.3,6,9 2.(25-26七年级下江苏准安期末)已知△ABC中，∠B是最大内角，其三边长分别为AB=2,AC=a, BC=5, 那么a的值可能是() A.2 B.4 C.6 D.8 3.(25-26七年级下·重庆南岸期末)如图，∠E=∠F=∠ADC=90°，以下说法不正确的是() A.AD是△ABC的边BC上的高 B.CE是△ACE的边AC上的高 C.AF是△ABF的边BF上的高 D.BF是△ABC的边AC上的高 4.(25-26七年级下河南周口期末)如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，AE是边BC上的高.若 BC=4,△ACD的面积是6，则AE的长为() A.3 B.4 C.6 D.12 5.(25-26七年级下陕西西安阶段检测)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点（不与点B,C重合）， 点E,F是线段AD的三等分点，记△BDF的面积为S,△ACE的面积为S2,若S+S,=4,则△ABC的面 积为() 15122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E S2 S A.6 B.8 C.10 D.12 二、填空题 6.(25-26七年级下江苏苏州期末)在△ABC中，已知AB>AC,则∠B ∠C(填“>”、“< ”或“=”) 7.(25-26七年级下河南周口·期末)已知三角形的两边长为3和7，则第三边x的取值范围是 8.(25-26七年级下四川眉山期末)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,其中a=2,b=3,c的长度 为奇数，则c= 9.(25-26七年级下河南郑州期末)如图，在△ABC中，AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,ED/AC交 BC于点D.若∠BAC=Q,则∠BED= (用含a的式子表示). D 10.(25-26七年级下江苏苏州期末)如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，连接BD,将△ABD沿 BD翻折得到AEBD,此时BE恰好经过点C,若S△cDE:S△Bc=3:7,则BC:CE值等于一 D B E 三、解答题 11.(25-26七年级下河南周口期末)如图，AD是△ABC的边BC上的中线，己知AB=13,AC=10 16122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)边BC的取值范围是 (2)若△ABD的周长为30，求△ACD的周长. 12.(25-26七年级下广东揭阳阶段检测)已知a,b,c是△ABC的三边长，且a,b,c都是整数. (1)若a=2,b=5,且c是奇数，试判断△ABC的形状： (②)化简：la-b-c+b-c-a+lc-a-bl.」 13.(25-26七年级下·上海期中)如图，CD是△ABC的角平分线，E是CD的中点，过点E作EF⊥AB于 点F,连接BE, DE (1)若∠A=36°，∠ABC=66°，求∠DEF的度数； (2)若BD=8,EF=6,求△BCE的面积， 14.(26-27八年级全国暑假作业)【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形. 例如：如图①.在△ABC和△A'B'C'中，AD,A'D分别是BC和B'C'边上的高线，且AD=AD',则 △ABC和△AB'C'是等高三角形. D B' D'C D 6 图① 图② 图③ 【性质探究】 如图①，用SABc,SAC分别表示△ABC和△AB'C'的面积. 则S=)BCAD,Sc=)BCAD 2 .AD=A'D .S.ne S.=BC:B'C' 17122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【性质应用】 (1)如图②，D是△ABC的边BC上的一点.若BD=3,DC=4,则S△BD:S△DC= (2)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,S△Bc=1」 则SABEC= SACDE= (3)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB=1:m,CD:BC=1:n, SABc=a,则SACDE= 能力提升 一、单选题 1.(25-26七年级下河南平顶山期末)下列长度的三条线段，不能够组成三角形的是() A.5,8,2 B.3,4,5 C.6,6,1 D.5,12,13 2.(25-26七年级下河南周口期末)如图，在△ABC中，D,E分别为BC,AD的中点.若△ABC的面积为 36cm2,则△BDE的面积为() A.4.5cm2 B.6cm2 C.9cm2 D.18cm2 3.(25-26八年级下·上海杨浦期末)如图，有一块质地均匀的3×4的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个 三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那 么这一点是() A.点A B.点B C.点C D.点D 4.(25-26七年级下河南驻马店·阶段检测)如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB, 18122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC,CA得到△4BC,再分别倍长边AB,BC,C4得到△4，B,C2…按此规律，倍长2026次后得到的 △A2026B2026C2026的面积为（) B A.72026 B.72025 C.62026 D.62025 5.(25-26八年级下·上海杨浦期中)如图，在△ABC,点F、D、E分别是边AB、BC、AC上的点，且 AD、BE、CF相交于点O,若点O是△ABC的重心，则以下结论：①线段AD、BE、CF是△ABC的三 条角平分线；②△BOD的面积是△AOC面积的一半；③图中与△BOC面积相等的三角形有2个；④ AOD=SAOE:回OFAD、其中一定正确结论有 A.②③ B.①③④ C.②④⑤ D.②③④ 二、填空题 6.(23-24七年级下山西临汾期末)已知一个三角形的两边长分别为3和5，若第三边的长为偶数，则第 三边的长可以为 (写出一个即可). 7.(25-26七年级下·全国课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB=5,AD 是LBAC的平分线，若P,分别是AD和AC上的动点，则PC+P吧的最小值为一 B 8.(25-26七年级下·重庆阶段检测)如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，SBc=64,D为BC边上 19122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 一点，BD:CD=3:5,AD=CD=IO,P为AC上一点，过点P作PM⊥AD于点M,PN⊥BC于点N, 则PM+PN的值为 A D M DN 9.(25-26八年级上四川广安期末)如图，A为△ABC的中线，AB为△ARC的中线，A为△AC的 中线，…，按此规律，AP为△APC的中线. (1)若AB=12cm,AC=16cm,则△ACP的周长与△ABB的周长相差cm. (2)若△ABC的面积为64，则△APC的面积为 10.(25-26七年级下·上海闵行期中)设△ABC的面积为1.如图①，E,D分别是4AC,BC的中点， BE,AD相交于点O,△BOD与△AOE的面积差记为S:如图②，E,D,分别是AC,BC的3等分 点，BE,AD,相交于点O,△BO,D,与△AO,E的面积差记为S2;如图③，E,D分别是AC,BC的4 等分点，BE,AD相交于点O,△B0,D,与△AO,E,的面积差记为S,依此类推，则S6的值为一 A A E B D B D D 图① 图② 图③ 三、解答题 11.(25-26八年级上·安徽合肥期末)已知△ABC的三边长分别为a,b,c. (1)若a,b满足(a-3+b-=0,求整数c的最小值. (②)化简：b+c-a+c-a-b-a-b+c. 12.(25-26九年级下江西九江阶段检测)如图，在正方形网格中，点A,B,C均在格点上，请仅用无 刻度直尺按下列要求完成作图.（保留作图痕迹） 20122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)在图1中作出AB边的高： (2)在图2中作出△ABC的垂心. 13.(25-26七年级下河南郑州阶段检测)如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3cm, BC=4cm,AB=5cm. A B (I)点A到直线BC的距离是垂线段」 的长度，该长度是 cm. (2)画出表示点C到直线AB的距离的线段，并求这个距离 14.(25-26七年级下·江苏泰州阶段检测)好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列2个问题， 请你帮她解决.如图，在△ABC中，点I是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，点D是∠MBC、∠NCB平分 线的交点，BI,DC的延长线交于点E. (1)若∠BAC=50°，求∠B1C: (2)若∠D=3∠E,求∠BAC的度数. 15.(2026七年级下江苏泰州专题练习)如图1，己知△ABC中，∠B>∠C,AD⊥BC于D,AE平分 ∠BAC； 21122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)若∠B=80°，∠C=40°，则∠DAE= 度、 (2)试用含∠B,∠C的关系式表示∠DAE,则∠DAE= (3)在图2中其它条件不变，若把“AD⊥BC于D'改为“F是AE延长线上的任意一点，FD⊥BC于D, 则∠DFE与∠B,∠C有何关系？试说明理由. 16.(25-26八年级上江西上饶期中)综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心.取一块质地均匀的三角形纸板ABC,如果用 根细绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态. A0 【提出问题】探究图1中，D0的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下3个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出 的问题 D 图1 图2 【解决问题】 (I)任务1：如图1，若△ABC的面积为6，则△ABF的面积为 (2)任务2：如图1，若△BOC的面积为m,求△AOB的面积. A0 (3)任务3：如图1，在任务2的条件下，求D0的值. 【拓展应用】 (4)如图2，在△ABC中，点O是△ABC的重心.连接BO,CO并延长分别交AC,AB于点D,E.若 BO⊥CO,BD=6,CE=9,直接利用上面的结论，求四边形AEOD的面积. 22122 专题1.1 三角形中的线段和角 教学目标 1. 理解三角形的概念、基本要素及表示方法，掌握三角形内角和定理，能进行角度计算。 2. 了解三角形的分类（按角、按边），掌握三角形三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 3. 认识三角形的高线、中线、角平分线，理解其定义与性质，并能进行相关作图。 教学重难点 重点： 1. 三角形内角和定理及三边关系的理解与应用。 2. 三角形三条重要线段（高线、中线、角平分线）的作图与性质掌握。 教学难点： 1. 三角形高线的作图，特别是钝角三角形三条高的位置关系与识别。 2. 综合运用三角形的内角和、三边关系及重要线段性质解决几何问题。 知识点01 三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于. (2)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 【即学即练2】 1．（25-26八年级上·广西梧州·期末）在中，，则__________． 【答案】/100度 【详解】解：． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期中）一个三角形的三边长分别为2，5，x． (1)求x的取值范围； (2)若三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2)这个三角形的周长为12 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义． （1）根据三角形三边关系作答即可； （2）根据等腰三角形的定义分情况结合三角形三边关系作答即可． 【详解】（1）解：根据三角形的三边关系，可得， ∴； （2）解：当时，由，所以周长为； 当时，由，故不能构成三角形； 综上所述，这个三角形的周长为12． 3．（25-26八年级上·江西赣州·期中）已知，，是的三边， (1)比较大小：_______0，_______0，_______0．（填入“、或”号） (2)化简． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握绝对值的化简方法是解决本题的关键． （1）由三角形的三边关系即可求解； （2）根据（1）进行化简即可． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系得，，，， 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得， ． 知识点02 三角形的高线、角平分线、中线 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【即学即练】 1．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可． 【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意； D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·单元测试）（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则 ；若，则 ． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则 ． 【答案】 /80度 3 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了角平分线，中线等知识．熟练掌握角平分线，中线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线，中线的定义求解作答即可； （2）由是边上的中线，可得，由题意知，的周长为，的周长为，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 故答案为：，3； （2）解：∵是边上的中线， ∴， 由题意知，的周长为，的周长为， ∴，， 故答案为： ． 题型01 构成三角形的条件 【典例1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，逐一判断即可． 【详解】解：、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，且， ∴能构成三角形，符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，不符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，逐个判断选项即可得到结果． 【详解】解：选项A中，∵ ，不满足两边之和大于第三边， ∴ 不能组成三角形，符合题意； 选项B中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意； 选项C中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意； 选项D中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每组中较短的两边长度相加，和大于最长边即可组成三角形． 【详解】解：A. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，A不符合题意； B. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，B不符合题意； C. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，C不符合题意； D. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒能组成三角形，D符合题意． 【变式3】（25-26八年级上·江西宜春·期末）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，关键是利用三边关系进行判断；根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，验证每组线段中较短两边之和是否大于第三边，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A选项中，，满足三边关系，能构成三角形； B选项中，，不满足三边关系，不能构成三角形； C选项中，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； D选项中，，不满足三边关系，不能构成三角形； 故选：A． 题型02 确定第三边的取值范围 【典例2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，得，即； 故答案为： 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足，第三边c为奇数，则_____ ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了非负数的性质以及三角形三边关系的应用，正确理解三角形的三边关系是解题的关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再利用三角形三边关系求出c的范围，结合c为奇数确定c的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 根据三角形三边关系，有，即， ∵为奇数， ∴． 故答案为：9． 【变式2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若三角形的三边分别是3，4，，且是整数，则满足条件的三角形有___________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的运用，熟练运用三角形三边关系确定第三边的取值范围，是做题的关键．根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解的取值范围，再取整数值即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得： ，即； ，即； ，即（恒成立）， 所以的取值范围为， 由于是整数，因此可取 2，3，4，5，6，共5个值， 即满足条件的三角形有5个． 故答案为：5． 【变式3】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）已知三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x，且x是三条边中最短的，则第三边x的取值范围为________； 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边”进行解答即可得．解题的关键是熟记三角形的三边关系．根据，解答． 【详解】解：∵三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x， ∴， 解得， ∵x最小， ∴， ∴， 故答案为：． 题型03 利用三边关系去绝对值化简 【典例3】（24-25八年级上·云南文山·期中）若，，分别为三边，化简：． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、整式的加减运算、化简绝对值 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值以及整式的加减；根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可. 【详解】解：因为三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 所以， ， ， ∴ . 【变式1】（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知a，b，c为三角形的三边，则式子（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到，，再根据绝对值的性质进行化简计算． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得到，， ． 故选：D． 【变式2】已知的三边分别为a、b、c，化简： ． 【答案】 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系，判断式子的符号，再化简绝对值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴原式 ． 故答案为： 【变式3】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）a，b，c为的三边，化简：． 【答案】． 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，以及绝对值的意义．由三角形的三边关系以及绝对值的意义进行化简，即可得到答案． 【详解】解：∵a，b，c为的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 题型04 画三角形的高 【典例4】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·北京朝阳·期末）下面四个图中，线段是的高线的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】三角形高的定义：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，选项A中线段是的高线． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高． 根据图示，线段的所对顶点为，结合高的画法“从三角形的一个顶点到它的对边所在直线作一条垂线段，”即可求解． 【详解】解：线段的所对顶点为， ∴线段是边上的高， 故选：C ． 【变式3】（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，关于边上的高，下列说法正确的是（   ） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的高的定义对各选项分析判断求解． 【详解】解：于点， ∴是边上的高，故A不符合题意； ∵于点E， ∴线段是边上的高，故 D符合题意； 线段不是任何边上的高，故B，C不符合题意； 故选：D． 题型05 利用三角形的高线求解 【典例5】（24-25八年级上·新疆阿克苏·月考）如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：的面积为：； （2）解：， ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D为BC边上任意一点，连接AD．已知DE，DF分别是，的高． 作图：（1）请在图①上作出中AC边上的高BG． 探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG之间的数量关系为________________________． 填空：（3）为了说明DE，DF，BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为， 所以． 因为， 所以________________________． 拓展：（4）当点D在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）  ，；（4）不成立．理由见解析 【分析】（1）过点作交于点，即可作答； （2）通过观察、测量，即可得到，，之间的数量关系； （3）将分成和，根据三角形的面积公式结合即可得到，，之间的数量关系； （4）将分成和，根据三角形的面积公式结合即可得到，，之间的数量关系． 【详解】解：（1）如图①，即为所求． （2） （3）因为， 所以． 因为， 所以． 故答案为：， ，． （4）不成立．理由如下： 如图②，过点作于点． ， ． ， ， ． 【变式3】（24-25七年级下·河南南阳·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 题型06 根据三角形的中线求长度 【典例6】（2026八年级·全国·专题练习）在中，，的中线将的周长分为和，则的边的长为_____． 【答案】7或11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和中线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据中线的定义得到，设，则，需分类讨论周长被分成的两部分，并利用三角形三边关系验证． 【详解】解：设，则． 中线将周长分为两部分：和． 若，， 解得，， 此时，，满足三边关系； 若，， 解得，， 此时，，满足三边关系． 故答案为：或． 【变式1】（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，是的中线，是的中线．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，由是的中线可得是的中点，得；由是的中线得． 【详解】解：∵是的中线， ∴是的中点， ∴， ∵, ∴； 又是的中线， ∴． 故答案为：2． 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， 于点 ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 【变式3】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【答案】 4 2 【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键． （1）根据三角形的中线性质，可得，再根据三角形的周长公式解答即可； （2）根据三角形的中线性质，可得的面积为32，的面积为16，以此类推，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵，， ∴的周长与的周长的差为； 故答案为：4 （2）为的中线， ， 同理， ， ， ∴． 故答案为：2． 题型07 根据三角形的中线求面积 【典例7】（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，是的中线，，分别为，的中点，若的面积为6，则的面积是_____． 【答案】24 【分析】本题主要考查了三角形的中线的应用， 先求出，进而求出，再根据三角形中线的定义得，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴ ， ∴． ∵点D是的中点， ∴ ． ∵点E是的中点， ∴ ， ∴． 故答案为：24． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，是的中线，，分别是的中线，若阴影部分的面积为，则的面积为__________． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵，分别是的中线， ∴，， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·开学考试）如图，的面积是12，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是________． 【答案】 【分析】依据是等底等高的三角形的面积相等即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ， ∵是的中点， ， 是的中点， ， 同理可得：，， ∴． 【变式3】（2026·河南周口·一模）如图，的面积为，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到，，按此规律，倍长次后得到的的面积为______． 【答案】 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的倍，依此规律可得结论． 【详解】解：如图，连接，，， 根据等底等高的三角形面积相等可得：，，，，，，都相等， ∴， 同理可得， 以此类推：， ∵， ∴， ∴的面积为． 题型08 重心的概念及有关应用 【典例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形重心和三角形的中线的定义，关键是掌握“三角形的重心是三条中线的交点，重心在三角形的中线上”这一核心知识点．由重心的性质可知是边上的中线，即为的中点，因此的长度为的2倍，代入的数值即可计算出结果． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点，， ∴； 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条高，取其交点 B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键． 根据题意得：支撑点应是三角形的重心，据此即可解答． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴支撑点是三角形三边中线的交点． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形重心的概念，由题意可得、、均为的中线，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握三角形重心的概念是解此题的关键． 【详解】解：∵O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F， ∴、、均为的中线， ∴平分，故A选项结论成立，符合题意； 故不一定垂直，不一定平分，不一定等于，故B、C、D选项结论不成立，不符合题意； 故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积和三角形的重心，解题的关键是掌握在高相等的情况下，面积比等于底之比． 延长交于，设，则根据重心的概念可得是中线，通过面积转换可得，，，，最后在中，求解x即可． 【详解】解：延长交于，如图， 设． ∵是的重心， ∴是中线， ∴D是中点，则和等底同高， ∴． ∴． ∵是中点， ∴ ． ∵， ∴ ， 又∵是中点，和等底同高， ∴ ∴ 解得， 在中， 解得， ∴ ， ∴． 故选A． 题型09 三角形角平分线的定义 【典例9】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． 根据角平分线定义及平行线性质得，，再根据“等角对等边”得，，进而得，然后根据的周长为10得，由此即可得出BC的长． 【详解】解：、CP分别平分、， ，， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为10， ， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·重庆九龙坡·月考）如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键． 连接，根据角平分线的性质，可得点G到和的距离相等，则可得的面积，再根据，得到，进而求得的面积，根据求得和的面积，再根据即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得的面积， 【详解】解：由题意得是的平分线，且， 设点G到的距离为，到的距离为，则， ∵，， 又∵且， ∴， ∴的面积为：， 连接，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为__________度． 【答案】或/15或65 【分析】本题考查了三角形高、角平分线，正确的画出图形，是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解． 先由角平分线得到，再分两种情况讨论，画出图形，根据角的和差计算求解． 【详解】解：当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在锐角中，边上有E，D，F三点，，，垂足为F． （1）以为中线的三角形有______；以为角平分线的三角形有______；以为高的钝角三角形有______． （2）若，则的度数为______． 【答案】 /度 【分析】本题考查的是三角形的中线、高、角平分线以及三角形的内角和定理，正确认识三角形的中线、高、角平分线是解题的关键． （1）根据三角形的中线、高、角平分线的概念解答即可； （2）根据三角形的内角和定理和垂直的定义进行计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴以为中线的三角形是； ∵ ∴以为角平分线的三角形是； ∵， ∴以为高的钝角三角形有、、， （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；；；． 题型10 网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 【典例10】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点、、都是格点． (1)仅用直尺过点画，使； (2)仅用直尺画出的高； (3)比较大小：_____（填“>”、“=”或“<”），理由是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查相交线与平行线： （1）将直线沿着平移，当点到达点时，直线即为所求； （2）根据和，可求得； （3）根据“垂线段最短”，即可求得答案． 【详解】（1）如图所示，直线即为所求． （2）如图所示，线段即为所求． 如图所示，可知． 因为， 所以． 所以． 所以． （3）根据图形可知，，理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）如下图所示，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高，边上的中线； (2)若的周长比的周长长4.5，则比长____________； (3)的面积为____________． 【答案】(1)见解析 (2)4.5 (3)4 【分析】本题考查了三角形的高与中线的定义，三角形周长差的转化，三角形面积的计算，掌握中线将三角形分成面积相等的两部分，周长差可通过消去相等线段转化为边长差是解题的关键． （1）根据三角形高的定义，从点向边作垂线得到，根据中线定义找到的中点，连接得到中线； （2）利用中线的性质，，结合周长差的表达式，消去公共边和相等线段，得到与的差； （3）先计算的面积，再利用中线将三角形分成面积相等的两部分，得到的面积． 【详解】（1）解：如图所示，线段、线段即为所求． （2）解：∵是的中线， ∴． ∵的周长比的周长长， ∴， ． （3）解：∵，是的中线， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图（1）中画的角平分线，标出点D； (2)在图（2）中，作的边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高，角平分线的判定定理，熟知角平分线的判定定理和三角形的高的定义是解题的关键． （1）取格点T，连接交于点D，则线段即为所求；根据网格的特点可得点T到直线的距离与点T到直线的距离相等，即点T在的角平分线上； （2）取格点D，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，每个小方格的边长为1． (1)仅借助网格和无刻度直尺画出边上的中线，并标出的位置； (2)仅借助网格和无刻度直尺画出边上的高线，并标出的位置； (3)填空：的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的中线和高、全等三角形的性质和判定、无刻度直尺作图、网格中三角形面积的求法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形的中线的定义解题即可； （2）通过构造全等三角形解题； （3）通过割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，由网格知点是线段的中点， ∴线段即为所求； （2）解：如图所示，连接交于点， 在和中， ∴≌， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段即为所求； （3）解：． 题型11 三角形中高线、中线、角平分线综合求解 【典例11】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，AD为的中线，BE为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为60，，则点A到BC边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由角平分线的定义即可求解；（2）由是中线，可得的值，根据已知条件利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）解：为的角平分线，， ． （2）解：为的中线，， ． 设点到边的距离为，则， ， 故点到边的距离为12． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 【答案】(1)73° (2)3 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的关键． （1）先求出的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）解：是的中线， ， 点是的中点， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余： （1）根据三角形中线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴与的周长差为； （2）解：∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·湖南湘西·阶段练习）数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下： (1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度． (2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求． (3)小宇：如图3，已知平分，，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握与三角形“三线”相关的结论是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据、、、即可求解； （3）根据三角形的内角和定理求出即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 一、单选题 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下列各组线段长度，不能够构成三角形三边的是（   ） A．2，4，5 B．4，6，9 C．5，5，9 D．3，6，9 【答案】D 【分析】判定三条线段能否构成三角形，只需验证较短两条线段的长度和是否大于最长线段的长度，若大于则能构成，反之不能构成． 【详解】解：∵选项A中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项B中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项C中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项D中，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形． 2．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知中，是最大内角，其三边长分别为，，， 那么a的值可能是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用三角形大角对大边的性质和三角形三边关系，求出边长a的取值范围，再结合选项得到答案． 【详解】解：∵在中，是最大内角，对的边为， ∴根据大角对大边，可得是最长边， 又∵，，， ∴， 三角形任意两边之和大于第三边， ， 的取值范围为，选项中只有C选项6符合该范围． 3．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【答案】B 【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是的边上的高，不是边上的高，故该选项说法错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意． 4．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，的面积是6，则的长为（） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质求出的面积，再利用三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】点，是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积． 【详解】解：∵点，是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 二、填空题 6．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）在中，已知，则________（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系，根据大边对大角的性质，确定已知边对应的角，即可比较角的大小． 【详解】解：在中，对，对，， ，即． 7．（25-26七年级下·河南周口·期末）已知三角形的两边长为3和7，则第三边x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解第三边的取值范围． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得， ∴． 8．（25-26七年级下·四川眉山·期末）已知的三边长分别为，，，其中，，的长度为奇数，则____________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合为奇数即可求出的值． 【详解】解：根据三角形三边关系得 即. 又因为的长度为奇数， 所以． 9．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，最后利用求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 10．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，点是边上一点，连接，将沿翻折得到，此时恰好经过点，若，则值等于______． 【答案】 【分析】由翻折的性质可知，且，以此为突破口，建立和的面积关系．设 ， ． 因为是和的公共部分，所以，且 ，由此得到等量关系，并化简可得．因为和同高，所以二者面积比等于底与的比，结合前面得到的面积比例即可求解． 【详解】解：由翻折可知 ， ， 设 ，则 ， 设 ． 因为，且 ， 又， 所以， 解得 ，即 ． 同高三角形面积比等于底之比，和 同顶点，底边在同一直线上，二者高相同， 因此面积比等于底边长之比： ． 三、解答题 11．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是__________； (2)若的周长为30，求的周长． 【答案】(1) (2)27 【分析】（1）直接根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据的周长求出的长，进而得到的长，再根据三角形的周长公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵中，，， ∴，即； （2）解：∵的周长为30，， ∴， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∴， ∴的周长. 12．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c是奇数，试判断的形状； (2)化简：． 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【分析】(1) 根据三角形三边关系确定的取值范围为，结合为奇数得，从而，判定为等腰三角形． (2) 利用三角形两边之和大于第三边判定三个绝对值内的代数式均为负数，去绝对值后合并同类项化简得． 【详解】（1）解：∵a，b，c是的三边长 且，， ∴，即， ∵c是奇数， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：∵a，b，c是的三边长 ∴，，， ∴， ∴原式 ． 13．（25-26七年级下·上海·期中）如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义求出，进而求出，利用垂直的定义进行计算即可解答； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴ ， ∵是的中点， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴． 14．（26-27八年级·全国·暑假作业）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 和等高三角形的性质可求得； （3）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 ，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ， ， ∴； （2）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴； （3）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴． 一、单选题 1．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）下列长度的三条线段，不能够组成三角形的是（     ） A．5，8，2 B．3，4，5 C．6，6，1 D．5，12，13 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，依次判定各选项即可 【详解】解：A、∵ ，不满足三角形三边关系， ∴ 长度为，，的三条线段不能组成三角形，本选项符合题意； B、∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，本选项不符合题意； C、∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，本选项不符合题意； D、∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，本选项不符合题意 2．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，分别为的中点．若的面积为，则的面积为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形求解即可． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴是的中线，是的中线， ∴， ． 3．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 4．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，已知的面积为1，分别倍长（延长一倍）边，，得到，再分别倍长边，，得到…按此规律，倍长次后得到的的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等底同高的三角形面积相等的性质，找出每次倍长后三角形面积的递推规律，进而求出倍长次后三角形的面积． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得，，，， ， ， ， 同理可得，，， ，即倍长次后，面积变为原来的倍， 倍长次后，面积变为原来的倍， 倍长次后，面积变为原来的倍． 5．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【答案】D 【分析】由重心是三条中线的交点，可知线段，，是的三条中线，可判断①错误，继而得出，，进一步推出，然后逐个分析即可． 【详解】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 二、填空题 6．（23-24七年级下·山西临汾·期末）已知一个三角形的两边长分别为3和5，若第三边的长为偶数，则第三边的长可以为_____________（写出一个即可）． 【答案】 （或，写出任意一个即可） 【分析】根据三角形三边关系，确定第三边的取值范围，再结合第三边长为偶数的条件，即可得到符合要求的第三边长. 【详解】解：设三角形第三边长为， 根据三角形三边关系可得 ， 解得 ， 第三边的长为偶数， 或. 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】按照动点最值问题的做法，作点关于的对称点，由对称性得，结合三角形三边关系及点到直线距离垂线段最短得出，由等面积法求出即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点，如图所示： 是的角平分线，与关于对称， ∴点在上，则， ，， ， ， 即的最小值为． 8．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，已知中，，，为边上一点，，，为上一点，过点作于点，于点，则的值为_____________． 【答案】 【分析】根据，可知，再根据即可求解． 【详解】解：已知中， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【答案】 4 2 【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键． （1）根据三角形的中线性质，可得，再根据三角形的周长公式解答即可； （2）根据三角形的中线性质，可得的面积为32，的面积为16，以此类推，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵，， ∴的周长与的周长的差为； 故答案为：4 （2）为的中线， ， 同理， ， ， ∴． 故答案为：2． 10．（25-26七年级下·上海闵行·期中）设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为依此类推，则的值为_____． 【答案】 【分析】由题意可得，再根据点，的位置，表示出相应的三角形的面积，从而可得出相应的规律，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵，分别是，的中点， ，， ． 同理可得：． 则，，……， ． ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系： （1）根据题意可得，，求得，，根据三角形三边关系，可得； （2）根据三角形三边关系，可得，，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，． ，． 根据三角形三边关系，可得，即． 为整数， 的最小值为3． （2）解：根据三角形三边关系，可得，，， ． 12．（25-26九年级下·江西九江·阶段检测）如图，在正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出边的高； (2)在图2中作出的垂心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用网格的特征，取格点，连接并延长交于点即可； （2）同理（1）作出边的垂线，交边的垂线于点，点即为垂心． 【详解】（1）解：如图所示，为所作； （2）解：如图所示，点为所作； 13．（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，，． (1)点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． (2)画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 【答案】(1)，3 (2)图见解析， 【分析】（1）根据点到直线的距离即可解答； （2）作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离，再利用等积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点到直线的距离是垂线段的长度，该长度是； （2）解：如图，作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离， ∵， ∴． 14．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列个问题，请你帮她解决．如图，在中，点是、的平分线的交点，点是、平分线的交点，，的延长线交于点． (1)若，求； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线和三角形内角和，推导出． （2）先证，然后根据求出，再根据三角形的外角性质得到关系式，求解． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ． （2）解：平分，平分， ，， ， ，即， ， ，解得， 设，， ∴，， 解得． 15．（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）如图1，已知中，于平分； (1)若，则________度． (2)试用含的关系式表示，则________． (3)在图2中其它条件不变，若把“于D”改为“F是延长线上的任意一点，于D”，则与有何关系？试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）依据三角形内角和定理可求得的度数，根据是角平分线，可得，再求得，故； （2）根据（1）中方法即可解答； （3）同理可求出，即可解答． 【详解】（1）解：在中，是的平分线，且， ； 在中，， ， ； （2）解：在中，是的平分线， ； 在中，， ； （3）解：，理由如下： 在中，是的平分线， ， ， ． 16．（25-26八年级上·江西上饶·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下3个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 (1)任务1：如图1，若的面积为6，则的面积为______． (2)任务2：如图1，若的面积为，求的面积． (3)任务3：如图1，在任务2的条件下，求的值． 【拓展应用】 (4)如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心计算即可． 【详解】（1）解：点为的重心， 点是边的中点， 的面积为6， ； （2）解：点为的重心， 分别是边上的中点， ， ， ； （3）解：点为的重心， 是边上的中点， ， 由（2）知， ， ； （4）解：由（3）得， ， ， ， ，， 点是的重心， 点是边的中点， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $