1.2 从立体图形到平面图形（讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦立体图形与平面图形的转化，系统梳理正方体11种展开图（分四类及口诀）、其他几何体展开图特征、截面形状规律及三视图画法，构建从基础认知到综合应用的学习支架。 资料通过口诀记忆（如“一线不过四，田凹应弃之”）、分步方法（如三视图还原几何体）及生活实例题（如礼盒展开、大鼓视图），培养空间观念与几何直观，课中辅助教师高效教学，课后助力学生强化练习、查漏补缺。

第一章 丰富的图形世界 1.2 从立体图形到平面图形 课标要点 1. 通过展开与折叠、切截等操作，体会立体图形与平面图形的相互转化，发展空间观念。 2. 能辨认从正面、左面、上面观察立体图形得到的形状图，掌握三视图的基本画法。 3. 了解正方体、棱柱、圆柱、圆锥的展开图特征，能根据展开图判断和制作简单立体图形。 学习重难点 重点 1. 掌握常见立体图形（如正方体）的展开与折叠，会画简单几何体的三视图。 2. 理解立体图形与平面图形之间的对应关系（如展开图中面与棱的对应）。 难点 1. 判断一个展开图能否围成立方体，以及根据三视图逆向还原原几何体的形状。 2. 准确想象并画出复杂组合体（如多层小正方体）从不同方向看到的形状图。 知识点 正方体的平面展开图（重点） 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种. 正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知. 特别提醒 正方体展开图共11种，可归纳为“一四一”“二三一”“二二二”“三三”型。注意“田”“凹”“L”形不能围成正方体。展开图中相对面间隔一个或呈Z形两端，相邻面不相对。 随学随练 1．（2026·福建泉州·模拟预测）母亲节时，小丽想做一个正方体礼盒装礼品送给妈妈，则下列图形中，小丽可以选择的是（     ） A．B． C． D． 2．（25-26七年级上·广东惠州·期末）下列平面图形中，经过折叠不能围成正方体的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江西上饶·模拟预测）如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 知识点 其他立体图形的展开图 常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图 ①圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。 ②圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面） ③棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面） 特别提醒 圆柱展开得两个圆和一个矩形（侧面）；圆锥展开得一个圆和一个扇形；棱柱侧面是长方形，两个底面为多边形。注意扇形与圆的半径关系，勿漏画底面。 随学随练 1．（2026·河南平顶山·三模）如图是一个几何体的展开图，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东河源·二模）把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，则这个几何体是（     ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 3．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图是某种几何体表面的展开图． (1)该几何体是：________（填写几何体名称）： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积． 知识点 截一个几何体 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等． 特别提醒 截面形状与切割方向和几何体有关。正方体截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形，不能截出七边形。圆柱截面可为圆、椭圆、长方形，圆锥为三角形、圆或椭圆，注意边界情况。 随学随练 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）用一个平面去截如图所示的正方体，得到的截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．圆 C．正方形 D．矩形 2．（2026·陕西西安·三模）如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A．B． C． D． 3．（2026·陕西渭南·二模）科技创新赋能强国建设，中国正以创新姿态领跑时代．已知某机器人的零部件呈圆柱形，如图，则该零部件的截面形状不可能是（    ） A． B． C． D． 知识点 从三个方向看物体的形状（重点） 一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．（如下图） 特别提醒 从前面看、从左面看、从上面看。长对正、高平齐、宽相等。注意看不见的棱画虚线，勿漏或画错。组合体注意遮挡关系，画俯视图时上表面形状需准确。 随学随练 1．（25-26八年级下·重庆·期末）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西安康·模拟预测）陕北春节秧歌是国家级非物质文化遗产，秧歌的大鼓能用明快的节奏、豪放的舞姿、宏大的场面抒发他们内心的激情，这种不加修饰、粗犷不羁的情感又以一种更强烈的气息感染着观众．如图，大鼓从正面看到的图为（　　）　　 A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体． (1)请画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； (2)如果这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以添加 块小正方体 拓展 含图案的正方体的展开图 1. 找“对面”，定相对位置 展开图中，同行或同列隔一个的两个面即为对面。先确定三组对面，图案相对位置不变，可排除对面错误的选项。 2. 选“基准面”，旋转邻面 固定一个面作为底面，将其相邻面依次绕公共棱旋转90°折回，判断图案方向是否正确（注意翻转会导致图案镜像）。 3. 巧用“L型”和“Z型”判断 展开图中呈“L型”或“Z型”的面，折叠后一定相邻。利用此特征快速锁定正确展开图，排除不相邻的错误选项。 活学活用 1．一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是（    ） A． B． C． D． 2．一个正方体的侧面展开图如图所示，用它围成的正方体只可能是（   ） A． B． C． D． 拓展 根据从不同方向看到的图形确定立方块的个数 1. 主视图定列高，俯视图定位置 主视图显示每列最高层数，俯视图显示底层方块分布。将层数标注在俯视图对应位置上，确定哪些位置有方块。 2. 左视图验证，调整层数 左视图显示每行最高层数。用左视图数据校正俯视图标注，若某位置标注超过左视图对应行限制，则需减少。 3. 最少与最多，灵活取值 固定位置必须有方块（俯视图标注≥1），其余方块可上下叠加。最少个数取满足视图的最小值，最多个数取层数上限之和。 活学活用 1．注重想象能力一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，从前面看和从上面看到的平面图形如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有 个． 2．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体，从正面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最少有 个． 拓展 根据从不同方向看到的形状图确定几何体的可能情况 1. 俯视图打底，标注层数 俯视图确定底层方块位置，用主视图数据在每列标注最低层数，左视图数据用于校验行方向的层数限制。 2. 层数可变，产生多解 某位置若不在主视图或左视图的对应列/行上，层数可在1和上限间变化，每变一次产生一种新几何体，需列举所有可能组合。 3. 分类枚举，不重不漏 按俯视图中有方块的位置逐点讨论层数取值范围，用乘法原理计算总数，或用树状图列出所有可能，逐一画出草图验证是否吻合。 活学活用 1．用若干个完全相同的小立方块搭一个几何体，使几何体从正面、上面看到的形状图如图所示．从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数． (1)，，表示的数字分别是________，________，________； (2)这个几何体最少是由几个小立方块搭成的？最多呢？ (3)当，时，画出从左面看这个几何体得到的形状图． 2．用小立方块搭一个几何体，使从正面和上面看到的形状图如图所示，上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数． (1)求a的值和b的最大值； (2)这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 题型 正方体几种展开图的识别 解题贴士 记口诀“一线不过四，田凹应弃之”。找“目”“Z”字形相对面。11种展开图分4类（1-4-1、2-3-1、2-2-2、3-3），熟练排除即可。 ▌例1（2026·陕西西安·三模）下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A．B． C． D． ▌对点练1-1（2026·河南周口·一模）将下面的图形折叠后，能折成正方体的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，剪去图中标注的一个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则剪去的是小正方形（    ） A．① B．② C．③ D．④ ▌对点练1-3（2026·河北保定·模拟预测）将如图1所示的正方体按如图2所示的方式展开，则在展开图中表示棱的线段可以是（    ） A． B． C． D． 题型 正方体相对两面上的字 解题贴士 找相邻面和公共边，排除相邻即得相对。展开图中，“目”字形两端、“Z”字形两端相对。立体图中，看三个相邻面，剩下相对。 ▌例2（25-26七年级下·四川泸州·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“州”字一面的相对面上的字是（     ） A．中 B．国 C．酒 D．城 ▌对点练2-1（2026·河北邯郸·模拟预测）“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对的面上的字为（     ） A．有 B．志 C．者 D．事 ▌对点练2-2（26-27七年级·全国·暑假作业）将“弘扬五四精神”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体的表面上，与“弘”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．扬 B．四 C．精 D．神 ▌对点练2-3（2026·河南驻马店·三模）唐代诗人王维的《田园乐七首·其六》，格律工整、意境空灵，是六绝的巅峰范本．如图，先将其中的一句“柳绿更带朝烟”书写在正方体的展开图上，再将它折叠成正方体，与“绿”字所在的面相对的面上的字是（     ） A．“更” B．“带” C．“朝” D．“烟” 题型 常见几何体展开图的认识 解题贴士 柱体展开有矩形（侧面），锥体展开是扇形。底面形状决定多边形。记牢圆柱、圆锥、棱柱、棱锥展开图特征，对比区分，避免混淆。 ▌例3（2026·江苏常州·二模）某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． ▌对点练3-1（2026·四川成都·中考真题）下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练3-2（2026·河南南阳·三模）如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（     ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．四棱锥 D．三棱锥 ▌对点练3-3（2026·陕西榆林·三模）在一次“我是小小秩序员”设计活动中，希希同学设计了一个圆柱形的路障柱，它的表面展开图可能是（     ） A．B． C． D． 题型 由展开图计算几何体的面积或体积 解题贴士 先据展开图还原立体图形，找准底面形状、半径、高。展开图尺寸即原立体尺寸，再套用柱、锥面积或体积公式计算。 ▌例4（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． ▌对点练4-1（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）如图是一个几何体的展开图． (1)该几何体是__________． (2)的对面是__________． (3)依据图中数据求该几何体的体积与表面积． ▌对点练4-2（25-26七年级上·甘肃平凉·期末）如图，这是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：标有字母的面向外），请根据要求回答问题： (1)如果面B在长方体的上面，那么下面是面______． (2)如果从上面看是面E，从前面看是面C，那么从右面看是面______． (3)如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ ▌对点练4-3（25-26七年级上·四川眉山·期末）(项目学习·探究包装盒的制作)根据材料，完成任务． 项目主题 设计经济适用的包装盒       项目背景 为了减少包装盒产生的垃圾，红红和她的数学兴趣小组想通过实验，设计出一款经济适用的包装盒，现有一个长，宽的长方形硬纸板．(纸板厚度忽略不计) 素材1 常规的设计方案如图1，在纸板上截去图中阴影部分，盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折叠成一个有盖的长方体包装盒． 素材2 从实用和减少包装材料的角度考虑；是否有增加包装盒容积或节省纸板材料的方法？红红提出可以设计成如图2，在纸板中截去图中阴影部分，然后沿虚线折叠成一个有盖的圆柱体包装盒． 任务1 计算长方体包装盒的容积？ 任务2 计算圆柱体包装盒的容积，判断红红的方案是否使包装盒的容积变大？(取3) 任务3 计算两种方案纸板的使用面积，判断红红的方案是否节省材料？(取3) 题型 判断立体图形的截面形状 解题贴士 明确截面是“切一刀”得到的平面图形。过不同位置、不同方向切，形状不同。多想象切面与棱、面的交线，常见截面有三角形、四边形、圆等。 ▌例5（24-25七年级上·宁夏银川·期中）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是_______． ▌对点练5-1（25-26六年级上·山东东营·期末）用一个平面去截一个正方体，得到的截面的形状可能是：____________．（填序号） ①三角形；②梯形；③圆；④五边形；⑤六边形；⑥七边形． ▌对点练5-2（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，往一个密封的正方体容器内持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水面形状会呈现不同的多边形，但水面形状可能出现的多边形是______．（写出一个即可） ▌对点练5-3（25-26七年级上·江西吉安·期中）用一个平面去截以下几何体：①长方体；②正方体；③圆柱；④圆锥．截面可能是三角形的是_____（填序号）． 题型 从不同方向看简单几何体的形状 解题贴士 正面、左面、上面，三视图要分清。画图时“长对正、高平齐、宽相等”。数清每列小正方体个数，注意遮挡关系，逐层画。 ▌例6（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）在下面的几何图形中再添1个，从左面观察不可能看到（     ） A． B． C． D． ▌对点练6-1（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图所示的立体图形的从前面看的平面图形是（     ） A． B． C． D． ▌对点练6-2（2026·山东泰安·三模）如图所示的几何体从正面看到的平面图形是（     ） A． B． C． D． ▌对点练6-3（2026·四川自贡·中考真题）下面几何体中，分别从正面、左面、上面观察到的图形都相同的是（     ） A． B． C． D． 题型 画出从不同方向看几何体的平面图形 解题贴士 先定视图方向，正左上看清每列高度。用方格纸画图，注意遮挡部分不画，轮廓线用实线，虚线表示看不见的棱。 ▌例7（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体，请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图． ▌对点练7-1（25-26七年级上·山东菏泽·期末）如图，是由7个大小相同的小立方体块搭建的几何体．请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． ▌对点练7-2（25-26七年级上·河南平顶山·期末）如图是由棱长都为的5块小正方体组成的简单几何体． 从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，请在方格中分别画出你所看到的几何体的形状图； ▌对点练7-3（25-26七年级上·山东枣庄·期末）如图，是用5个大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你在方格内画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小正方体． 题型 由从不同方向看到形状图求解 解题贴士 三视图定形状，正左看列高，上看定层数。标数字法还原几何体，求最多（每层添满）、最少（底层留柱）。 ▌例8如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ ▌对点练8-1如下图所示的是从正面和上面看一个几何体所看到的图形（单位：）．求该几何体的体积． ▌对点练8-2如图是一个几何体的从三个方向看到的形状图． (1)写出这个几何体的名称：________； (2)根据图中数据（单位：），求它的表面积和体积．（结果保留） ▌对点练8-3如图，是某几何体从三个方向分别看到的图形． (1)说出这个几何体的名称； (2)若图①的长为，宽为；图②的宽为；图③直角三角形的斜边长为，试求这个几何体的所有棱长的和是多少？它的侧面积多大？ 题型 根据从上面看到的图形确定几何体的形状 解题贴士 从上面看定“地基”，每个数字代表该位置小正方体层数。结合从正面看、从左面看的层高信息，逐个位置验证，还原立体图形。 ▌例9一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． ▌对点练9-1如图，是一个小正方体所搭几何体从上面看得到的平面图形，正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数． (1)请你画出它从正面和从左面看得到的平面图形． (2)若每个小正方体的棱长为1，求搭建几何体的体积， ▌对点练9-2一个几何体由n个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．      (1)________； (2)请在右面的网格中画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． ▌对点练9-3一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成．从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图； (2)能不能在某些位置增加小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变？如果能，请画出两种不同位置摆放的从上面看的形状图，并在图上小正方形中标出该位置的小立方块的个数；如果不能，请说明理由； (3)能不能减少某些位置的小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变？最少可以用几个小立方块？ 基础通关 1．下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A．B． C． D． 2．陕北春节秧歌是国家级非物质文化遗产，秧歌的大鼓能用明快的节奏、豪放的舞姿、宏大的场面抒发他们内心的激情，这种不加修饰、粗犷不羁的情感又以一种更强烈的气息感染着观众．如图，大鼓从正面看到的图为（　　）　　 A． B． C． D． 3．如图是阳阳设计的抽奖盒子，他在部分面上进行了装饰．下列图形中可以作为抽奖盒的展开图的是（    ） A． B． C． D． 4．用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 5．用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是_______． 6．如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的字是________． 7．由两个长方体组合而成的一个立体图形，从两个不同的方向看得到的形状图如图所示，根据图中所标尺寸（单位：）可知这两个长方体的体积之和是___________． 8．一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图所示的是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小正方体最少需要________个，最多需要________个． 9．从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 10．如图是某种几何体表面的展开图． (1)该几何体是：________（填写几何体名称）： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积． 11．西安某文化创意公司为推广古都文化，计划推出一款“长安印象”系列文创茶叶罐、该茶叶罐的设计灵感来源于西安大雁塔的唐代莲花纹样和城市徽章．设计者给出了茶叶罐的从不同方向看的视图，如图所示（单位：mm）． (1)图中的立体图形的名称是：_____． (2)请你按照视图求这个茶叶罐的表面积．（结果保留） 12．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 素养提升 一、单选题 1．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，是由五个相同的正方体组成的几何体，从上面看的形状图是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南平顶山·三模）把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江·模拟预测）在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（     ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 二、填空题 4．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）用平面截一个几何体，得到的截面是一个三角形，这个几何体可能是__________写出一个即可． 5．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）一个立体图形由若干个大小相同的小正方体搭成，如图是从它的前面、上面看到的平面图形，则搭成这个几何体的小正方体最少需要_____个． 6．（25-26六年级上·山东烟台·期末）如图（1），在边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个如图（2）所示的无盖的长方体．设剪去的小正方形的边长为，则这样折成的无盖长方体的容积是_____． 三、解答题 7．（25-26七年级上·广东梅州·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 8．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________； （2）若图2中几何体的底面边长都是，侧棱长是，则它的侧面积是_________； （3）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 9．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）【动手操作】 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． （1）按照图2的方式裁剪，若原长方形卡纸长为，求出原卡纸宽的长度？ （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 ． 【拓展延伸】 (3) 若有盖长方体的长、宽、高分别为将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为 ． 10．（25-26七年级上·广东茂名·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 ；（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的体积为 ； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为 ； (3)若一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长是多少？请你画出外围周长最大时的一个表面展开图并标上相应的数据． 迁移创新 1．如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)将该几何体补全成为一个正方体至少需要添加_______个小立方块；补后的大正方体中包含_______个正方体； (3)若每个小立方块的棱长为3，则该几何体的表面积是_______；该几何体的体积是底面积为，高为3的圆锥体体积的_______倍； (4)不改变从左面看到的形状图最多可添加_______个小立方块：既不改变从左面看到的形状图，又不改变从正面看到的形状图最多可添加_______个小立方块． 2．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是_____． A．    B．    C．    D． (2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形．则下列图形中可能是该长方体表面展开图的有_____（填序号）． (3)下列、分别是题（2）中长方体的一种表面展开图，已知求得图的外围周长为52，请你求出图的外围周长； (4)第（2）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并在图中用数字标注出外围各线段的长度，并求出它的外围周长． 3．问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 丰富的图形世界 1.2 从立体图形到平面图形 课标要点 1. 通过展开与折叠、切截等操作，体会立体图形与平面图形的相互转化，发展空间观念。 2. 能辨认从正面、左面、上面观察立体图形得到的形状图，掌握三视图的基本画法。 3. 了解正方体、棱柱、圆柱、圆锥的展开图特征，能根据展开图判断和制作简单立体图形。 学习重难点 重点 1. 掌握常见立体图形（如正方体）的展开与折叠，会画简单几何体的三视图。 2. 理解立体图形与平面图形之间的对应关系（如展开图中面与棱的对应）。 难点 1. 判断一个展开图能否围成立方体，以及根据三视图逆向还原原几何体的形状。 2. 准确想象并画出复杂组合体（如多层小正方体）从不同方向看到的形状图。 知识点 正方体的平面展开图（重点） 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种. 正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知. 特别提醒 正方体展开图共11种，可归纳为“一四一”“二三一”“二二二”“三三”型。注意“田”“凹”“L”形不能围成正方体。展开图中相对面间隔一个或呈Z形两端，相邻面不相对。 随学随练 1．（2026·福建泉州·模拟预测）母亲节时，小丽想做一个正方体礼盒装礼品送给妈妈，则下列图形中，小丽可以选择的是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体展开图，不能出现“田字格”，“凹字格”，“7字型”． 【详解】解：A.折叠后有面会重叠，不符合题意； B.可折成正方体，符合题意； C.属于“7字型”，不符合题意； D.属于“凹字格”，不符合题意． 2．（25-26七年级上·广东惠州·期末）下列平面图形中，经过折叠不能围成正方体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，理解正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用“口诀”：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知．根据正方体展开图的常见形式作答即可． 【详解】解：由展开图可知：A、C、D能围成正方体，故不符合题意； B、围成几何体时，有两个面重合，不能围成正方体，故符合题意． 故选：B． 3．（2026·江西上饶·模拟预测）如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的常见类型，补充形成满足要求的展开图即可． 【详解】解：根据正方体展开图的常见类型：“”型，“”型， ∴可补全为正方体表面展开图的方格有如下种情况， 故选：． 知识点 其他立体图形的展开图 常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图 ①圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。 ②圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面） ③棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面） 特别提醒 圆柱展开得两个圆和一个矩形（侧面）；圆锥展开得一个圆和一个扇形；棱柱侧面是长方形，两个底面为多边形。注意扇形与圆的半径关系，勿漏画底面。 随学随练 1．（2026·河南平顶山·三模）如图是一个几何体的展开图，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察题干展开图的构成，确定图形包含一个长方形和两个等大的圆形，逐一对照选项中的几何体，筛选出符合上述展开图特征的选项即可． 【详解】解：观察题干展开图的构成，确定图形包含一个长方形和两个等大的圆形， 选项A是圆锥：圆锥展开图是1个扇形+1个圆，不符合题意； 选项B是三棱柱：三棱柱展开图是3个长方形+2个三角形，不符合题意； 选项C是圆柱：和展开图特征匹配，符合； 选项D是四棱柱（长方体/正方体）：展开图由6个四边形组成，不符合题意． 2．（2026·广东河源·二模）把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，则这个几何体是（     ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【答案】D 【分析】展开图中有两个相同的三角形，是几何体的底面；三个长方形，连接在三角形的边上，是侧面；据此分析判断几何体的形状即可． 【详解】解：根据展开图，可知该几何体有两个平行的三角形面，且侧面是三个长方形，所以这个几何体是三棱柱． 3．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图是某种几何体表面的展开图． (1)该几何体是：________（填写几何体名称）： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积． 【答案】(1)长方体 (2)该几何体的体积为，表面积为 【分析】本题主要考查了长方体展开图识别以及长方体体积和表面积的计算． （1）通过展开图的特征，即可判定该几何体是长方体； （2）根据长方体的体积公式和表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：通过展开图的特征，可知该几何体是长方体； （2）长方体的长为：， 体积为； 表面积为；   因此，该几何体的体积为，表面积为． 知识点 截一个几何体 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等． 特别提醒 截面形状与切割方向和几何体有关。正方体截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形，不能截出七边形。圆柱截面可为圆、椭圆、长方形，圆锥为三角形、圆或椭圆，注意边界情况。 随学随练 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）用一个平面去截如图所示的正方体，得到的截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．圆 C．正方形 D．矩形 【答案】B 【详解】解：用一个平面去截的正方体，可以得到三角形，正方形，矩形， ∴截面形状不可能是圆 ． 2．（2026·陕西西安·三模）如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三棱柱的特征，其表面全部由平面多边形组成，用平面去截该几何体，截面边界只能是线段，不可能出现曲线，据此判断即可． 【详解】 该几何体是三棱柱，其表面由个平面围成， 用一个平面去截该几何体，截面与各个面的交线均为线段， 截面形状只能是多边形（如三角形、四边形等），不可能是圆， 选项A、C、D均为多边形，选项B为圆， 截面形状不可能是B． 3．（2026·陕西渭南·二模）科技创新赋能强国建设，中国正以创新姿态领跑时代．已知某机器人的零部件呈圆柱形，如图，则该零部件的截面形状不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用平面截取圆柱体，不同截取方式得到不同截面，求解即可； 【详解】解：当垂直于圆柱底面沿轴线方向截取，圆柱直径与高相等时可得正方形截面， 故A是可能的； 平行于圆柱底面截取，可得到圆形截面，故B是可能的； 当垂直于圆柱底面沿轴线方向截取，直径与高不相等时可得长方形截面，故C是可能的，无论怎么用平面截取圆柱，都不可能得到三角形截面，因此截面不可能是三角形； 知识点 从三个方向看物体的形状（重点） 一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．（如下图） 特别提醒 从前面看、从左面看、从上面看。长对正、高平齐、宽相等。注意看不见的棱画虚线，勿漏或画错。组合体注意遮挡关系，画俯视图时上表面形状需准确。 随学随练 1．（25-26八年级下·重庆·期末）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从正面看到的图形分为上下两层，共三列，下面一层的每一列都有一个小正方形，上面一层最右边那列有一个小正方形，据此可得答案． 【详解】解；从正面看到的视图如下所示： 2．（2026·陕西安康·模拟预测）陕北春节秧歌是国家级非物质文化遗产，秧歌的大鼓能用明快的节奏、豪放的舞姿、宏大的场面抒发他们内心的激情，这种不加修饰、粗犷不羁的情感又以一种更强烈的气息感染着观众．如图，大鼓从正面看到的图为（　　）　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察实物图可知，大鼓上下底面是平的，侧面是向外凸出的曲面，且鼓身较扁，据此判断即可． 【详解】解：∵大鼓的上下底面是平面， ∴从正面看，上下边缘是水平线段． ∵大鼓的侧面是向外凸出的曲面， ∴从正面看，左右边缘是向外凸出的曲线． 又∵大鼓整体较扁， ∴大鼓从正面看到的图应为上下边平行且相等，左右边向外凸出的扁形图形． 观察选项，只有B选项符合． 3．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体． (1)请画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； (2)如果这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以添加 块小正方体 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-从不同方向看几何体，解题的关键是熟练掌握基本知识以及运用空间想象能力． （1）由题意直接画出图形即可； （2）由题意根据从左面和上面看到的图形进行分析解答即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从正面和上面看到的形状图都不变，最多可以在右前方第二层再添加1个正方体． 故答案为：1． 拓展 含图案的正方体的展开图 1. 找“对面”，定相对位置 展开图中，同行或同列隔一个的两个面即为对面。先确定三组对面，图案相对位置不变，可排除对面错误的选项。 2. 选“基准面”，旋转邻面 固定一个面作为底面，将其相邻面依次绕公共棱旋转90°折回，判断图案方向是否正确（注意翻转会导致图案镜像）。 3. 巧用“L型”和“Z型”判断 展开图中呈“L型”或“Z型”的面，折叠后一定相邻。利用此特征快速锁定正确展开图，排除不相邻的错误选项。 活学活用 1．一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含图案的正方体的展开图．根据正方体展开图的特征依次分析即可，也可动手操作． 【详解】 解：观察一个正方体的平面展开图，结合正方体的表面图形的圆图形，和×图形，空白面，三角形图形的分布情况，得原正方体可能是， 故选：A． 2．一个正方体的侧面展开图如图所示，用它围成的正方体只可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据正方体的侧面展开图判断正方体． 根据正方体的侧面展开图的特征判断即可． 【详解】解：由图可知，正方体中圆相邻的四个面中，应为三个相邻的竖线面及一个空白面，且三条竖线均垂直于圆所在的面的边，A正确，B、C错误； 由图可知，正方体中三个竖线面中的竖线应指向统一方向，D错误； 故选：A． 拓展 根据从不同方向看到的图形确定立方块的个数 1. 主视图定列高，俯视图定位置 主视图显示每列最高层数，俯视图显示底层方块分布。将层数标注在俯视图对应位置上，确定哪些位置有方块。 2. 左视图验证，调整层数 左视图显示每行最高层数。用左视图数据校正俯视图标注，若某位置标注超过左视图对应行限制，则需减少。 3. 最少与最多，灵活取值 固定位置必须有方块（俯视图标注≥1），其余方块可上下叠加。最少个数取满足视图的最小值，最多个数取层数上限之和。 活学活用 1．注重想象能力一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，从前面看和从上面看到的平面图形如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有 个． 【答案】11 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同方向看几何体，利用俯视图标数法，标出小正方块最多的情况即可． 【详解】解：利用俯视图标数法，标出小正方块最多的情况如下： （个）； 故答案为：11． 2．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体，从正面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最少有 个． 【答案】9 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据主视图、左视图的形状，画出需要小正方体个数最少时的俯视图，并标注所摆放的小正方体的个数即可，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键． 【详解】解：需要小正方体个数最少时，从上面看的图形如图所示，其中数字表示该位置所摆放小正方体的个数， 因此需要的小正方体的个数最少为（个）， 故答案为：9． 拓展 根据从不同方向看到的形状图确定几何体的可能情况 1. 俯视图打底，标注层数 俯视图确定底层方块位置，用主视图数据在每列标注最低层数，左视图数据用于校验行方向的层数限制。 2. 层数可变，产生多解 某位置若不在主视图或左视图的对应列/行上，层数可在1和上限间变化，每变一次产生一种新几何体，需列举所有可能组合。 3. 分类枚举，不重不漏 按俯视图中有方块的位置逐点讨论层数取值范围，用乘法原理计算总数，或用树状图列出所有可能，逐一画出草图验证是否吻合。 活学活用 1．用若干个完全相同的小立方块搭一个几何体，使几何体从正面、上面看到的形状图如图所示．从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数． (1)，，表示的数字分别是________，________，________； (2)这个几何体最少是由几个小立方块搭成的？最多呢？ (3)当，时，画出从左面看这个几何体得到的形状图． 【答案】(1)，， (2)， (3)见解析 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，，明确从不同方向看得到的形状图与原图的关系及画图方法是解题的关键． （1）由从正面看得到的图形可知，第二列小立方体的个数均为，第列小正方体的个数为，那么，，； （2）所用的小立方块个数最少，则，，三处位置有一处放置个，其余两处各放置个，所用的小立方块个数最多，则，，三处位置都放置2个； （3）由从左面看得到的形状图有列，每列小正方形数目分别为，，，画图即可； 【详解】（1）解：；； （2）解：若所用的小立方块个数最少，则，，三处位置有一处放置个，其余两处各放置个， 故这个几何体最少由个小立方块搭成． 若所用的小立方块个数最多，则，，三处位置都放置2个， 故该几何体最多由个小立方块搭成． （3）从左面看到的形状图，如图所示． 2．用小立方块搭一个几何体，使从正面和上面看到的形状图如图所示，上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数． (1)求a的值和b的最大值； (2)这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 【答案】(1)，b的最大值为2 (2)最少是11个，最多是16个 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握从不同方向看得到的形状图的画法是解题的关键； （1）根据题目中从正面和上面看到的形状图，即可判断求解； （2）根据题目中从正面和上面看到的形状图，进行分析即可求解． 【详解】（1）根据从正面看到的形状图可知，，b的最大值为2； （2）根据从正面和上面看到的形状图可知， 当搭这个几何体所用的小立方块最少时， 三个数之和为个； 两个数之和为个； 个； 故小立方块最少为个． 当搭这个几何体所用的小立方块最多时， 三个数之和为个； 两个数之和为个； 个； 故小立方块最多为个． 题型 正方体几种展开图的识别 解题贴士 记口诀“一线不过四，田凹应弃之”。找“目”“Z”字形相对面。11种展开图分4类（1-4-1、2-3-1、2-2-2、3-3），熟练排除即可。 ▌例1（2026·陕西西安·三模）下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的种特征进行判断，主要类型包括“”型、“”型、“”型、“”型，出现“田”字格或“凹”字型的不是正方体展开图，据此判断即可求解． 【详解】解：∵ 正方体展开图共有种，选项属于“”型，能折叠成正方体；选项中，中间个正方形连成一行，另外个正方形在同一侧，折叠后有两个面重合，不能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体， ∴ 不是正方体展开图的是选项． ▌对点练1-1（2026·河南周口·一模）将下面的图形折叠后，能折成正方体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A.该图形不能折成正方体； B. 该图形能折成正方体； C. 该图形不能折成正方体； D. 该图形不能折成正方体． ▌对点练1-2（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，剪去图中标注的一个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则剪去的是小正方形（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，逐项分析，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】解：A． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形①后，得到的图形经过折叠不能够围成一个正方体，该项错误； B． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形②后，得到的图形经过折叠不能够围成一个正方体，该项错误； C． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形③后，得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，该项正确； D． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形④后，得到的图形经过折叠不能够围成一个正方体，该项错误． ▌对点练1-3（2026·河北保定·模拟预测）将如图1所示的正方体按如图2所示的方式展开，则在展开图中表示棱的线段可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定棱在正方体中为含三角形面的顶面水平棱，将展开图折叠，验证各线段位置，确定与棱重合的线段． 【详解】解：将展开图折叠还原，棱为含三角形面的顶面水平棱，折叠后与棱重合，其余线段均不重合． 故选：A． 题型 正方体相对两面上的字 解题贴士 找相邻面和公共边，排除相邻即得相对。展开图中，“目”字形两端、“Z”字形两端相对。立体图中，看三个相邻面，剩下相对。 ▌例2（25-26七年级下·四川泸州·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“州”字一面的相对面上的字是（     ） A．中 B．国 C．酒 D．城 【答案】D 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知， “州”与“城”是对面． ▌对点练2-1（2026·河北邯郸·模拟预测）“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对的面上的字为（     ） A．有 B．志 C．者 D．事 【答案】B 【分析】利用正方体展开图的特点，相对的面之间一定相隔一个正方形，或者通过“Z”字形两端判断相对面． 【详解】解：“者”与“竟”相对，“有”与“事”相对，“志”与“成”相对． ▌对点练2-2（26-27七年级·全国·暑假作业）将“弘扬五四精神”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体的表面上，与“弘”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．扬 B．四 C．精 D．神 【答案】C 【分析】根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答． 【详解】解：由题意得，与“弘”字所在面相对面上的汉字是“精”． ▌对点练2-3（2026·河南驻马店·三模）唐代诗人王维的《田园乐七首·其六》，格律工整、意境空灵，是六绝的巅峰范本．如图，先将其中的一句“柳绿更带朝烟”书写在正方体的展开图上，再将它折叠成正方体，与“绿”字所在的面相对的面上的字是（     ） A．“更” B．“带” C．“朝” D．“烟” 【答案】D 【分析】正方体的平面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，利用这一特点即可判断． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形． ∴ 在中间一行中，“柳”与“带”相隔一个“更”，故“柳”与“带”是相对面； “更”与“朝”相隔一个“带”，故“更”与“朝”是相对面． ∴ 剩余的“绿”与“烟”是相对面． 题型 常见几何体展开图的认识 解题贴士 柱体展开有矩形（侧面），锥体展开是扇形。底面形状决定多边形。记牢圆柱、圆锥、棱柱、棱锥展开图特征，对比区分，避免混淆。 ▌例3（2026·江苏常州·二模）某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体展开图可得答案． 【详解】解：根据几何体表面的展开图有2个面，一个圆是底面，一个曲面是侧面，可知该几何体是圆锥，所以D符合题意． ▌对点练3-1（2026·四川成都·中考真题）下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、图形经过折叠可以围成一个棱柱，符合题意； B、底面图形的边数与侧面的个数不一致，不能围成棱柱，不符合题意； C、两个底面图形不一致，不能围成棱柱，不符合题意； D、两个底面都在同一侧，不能围成棱柱，不符合题意． ▌对点练3-2（2026·河南南阳·三模）如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（     ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．四棱锥 D．三棱锥 【答案】A 【详解】选项，三棱柱展开侧面是长方形，底面是三角形，符合题意 选项，四棱柱展开侧面是长方形，底面也是长方形，不符合题意 选项，四棱锥展开侧面是三角形，底面是长方形，不符合题意 选项，三棱锥展开侧面是三角形，底面也是三角形，不符合题意 ▌对点练3-3（2026·陕西榆林·三模）在一次“我是小小秩序员”设计活动中，希希同学设计了一个圆柱形的路障柱，它的表面展开图可能是（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的侧面展开图是长方形，两个底面是圆，结合各选项图形特征进行判断即可． 【详解】解： A选项，由一个长方形和两个圆组成，符合圆柱展开图的特征，故A符合题意； B选项，由四个三角形组成，是三棱锥的展开图，故B不符合题意； C选项，由一个扇形和一个圆组成，是圆锥的展开图，故C不符合题意； D选项，由三个长方形和两个三角形组成，是三棱柱的展开图，故D不符合题意． 题型 由展开图计算几何体的面积或体积 解题贴士 先据展开图还原立体图形，找准底面形状、半径、高。展开图尺寸即原立体尺寸，再套用柱、锥面积或体积公式计算。 ▌例4（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 【答案】(1)12，7 (2)长方体的表面积为，长方体的体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （2）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的表面积公式和体积公式求解即可． 【详解】（1）解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开， ∴若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （2）解：∵该长方体的宽和高为：， ∴该长方体的长为， 表面积为， 体积为． 答：长方体的表面积为，长方体的体积为． ▌对点练4-1（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）如图是一个几何体的展开图． (1)该几何体是__________． (2)的对面是__________． (3)依据图中数据求该几何体的体积与表面积． 【答案】(1)长方体 (2)F (3)体积为6立方米；表面积为22平方米 【分析】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟知长方体的表面展开图． （1）由展开图得这个几何体为长方体； （2）根据相对的面没有公共边和没有公共顶点，判断相对的面； （3）根据长方体的表面积=长×宽长×高宽×高，长方体的体积=长×宽×高，计算即可． 【详解】（1）解：由展开图得这个几何体为长方体． 故答案为：长方体． （2）解：A的对面是F． 故答案为：F． （3）解：表面积：（平方米）， 体积：（立方米）． 答：该几何体的表面积是22平方米，体积是6立方米． ▌对点练4-2（25-26七年级上·甘肃平凉·期末）如图，这是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：标有字母的面向外），请根据要求回答问题： (1)如果面B在长方体的上面，那么下面是面______． (2)如果从上面看是面E，从前面看是面C，那么从右面看是面______． (3)如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 【答案】(1)D (2)D (3) 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征，即“相间、Z形是对面”进行判断即可； （2）根据各个面之间的相邻、相对关系进行判断即可； （3）根据长方体表面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：由长方体表面展开图的“相间、Z形是对面”可知，“B”与“D”是对面，如果面B在长方体的上面，那么下面是D， 故答案为：D； （2）解：从上面看是面E，从前面看是C，那么右面是D； 故答案为：D； （3）解：由题意得，长方体的长为宽为，高为，所以这个长方体的表面积是， 答：这个长方体的表面积为． ▌对点练4-3（25-26七年级上·四川眉山·期末）(项目学习·探究包装盒的制作)根据材料，完成任务． 项目主题 设计经济适用的包装盒       项目背景 为了减少包装盒产生的垃圾，红红和她的数学兴趣小组想通过实验，设计出一款经济适用的包装盒，现有一个长，宽的长方形硬纸板．(纸板厚度忽略不计) 素材1 常规的设计方案如图1，在纸板上截去图中阴影部分，盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折叠成一个有盖的长方体包装盒． 素材2 从实用和减少包装材料的角度考虑；是否有增加包装盒容积或节省纸板材料的方法？红红提出可以设计成如图2，在纸板中截去图中阴影部分，然后沿虚线折叠成一个有盖的圆柱体包装盒． 任务1 计算长方体包装盒的容积？ 任务2 计算圆柱体包装盒的容积，判断红红的方案是否使包装盒的容积变大？(取3) 任务3 计算两种方案纸板的使用面积，判断红红的方案是否节省材料？(取3) 【答案】任务1：长方体包装盒的容积为；任务2：容积变大；任务3：红红的方案节省材料 【分析】本题考查了长方体的体积，圆柱的体积． 任务1：根据长方体的体积公式求解； 任务2：先求出圆柱的底面圆的半径，再根据圆柱的体积公式求解； 任务3：计算纸板材料阴影部分的面积，比较大小，即可求解． 【详解】解：任务1，长方体包装盒的容积为， 任务2，容积变大； 理由：设半径为， ∴， ∴， ∴直径为， ∴高为， ∴圆柱形包装盒的容积为：， ∵， ∴容积变大． 任务3，图1中的阴影部分面积为， 则包装盒的表面积为：， 图2中的阴影部分面积为， 包装盒的表面积为：， ， ∴红红的方案节省材料． 题型 判断立体图形的截面形状 解题贴士 明确截面是“切一刀”得到的平面图形。过不同位置、不同方向切，形状不同。多想象切面与棱、面的交线，常见截面有三角形、四边形、圆等。 ▌例5（24-25七年级上·宁夏银川·期中）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是_______． 【答案】③ 【分析】圆柱、圆锥、球体含有曲面，截面可能是圆；正方体由平面围成，截面只能是多边形． 【详解】解：①圆柱，用平行于底面的平面去截，截面是圆； ②圆锥，用平行于底面的平面去截，截面是圆； ③正方体，用平面去截，截面只能是多边形，不可能是圆； ④球，用任意平面去截，截面都是圆． 综上所述，截面不可能是圆的几何体是③． ▌对点练5-1（25-26六年级上·山东东营·期末）用一个平面去截一个正方体，得到的截面的形状可能是：____________．（填序号） ①三角形；②梯形；③圆；④五边形；⑤六边形；⑥七边形． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了正方体的截面．正方体有六个面，平面截正方体最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，截面可能为三角形、四边形（包括梯形）、五边形、六边形，不能是圆或七边形． 【详解】解：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．截面可能为三角形、四边形（梯形，长方形，正方形）、五边形、六边形．即①②④⑤. 故答案为：①②④⑤． ▌对点练5-2（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，往一个密封的正方体容器内持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水面形状会呈现不同的多边形，但水面形状可能出现的多边形是______．（写出一个即可） 【答案】五边形（答案不唯一） 【分析】本题考查了截一个几何体，掌握正方体的截面形状是解题的关键． 正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得到六边形，最少与三个面相交得到三角形，进而可得出所有可能的情况． 【详解】解：正方体有六个面，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得到六边形，最少与三个面相交得到三角形，所得水平面形状可能是三角形、四边形、五边形和六边形， 故答案为：五边形． ▌对点练5-3（25-26七年级上·江西吉安·期中）用一个平面去截以下几何体：①长方体；②正方体；③圆柱；④圆锥．截面可能是三角形的是_____（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查截一个几何体，截面形状取决于几何体和截取方式．长方体、正方体和圆锥均可被平面截出三角形，而圆柱不能，进行判断即可． 【详解】解：对于长方体，当平面截取一个角时，截面为三角形；对于正方体，类似截取可得三角形截面；对于圆锥，当平面通过顶点且与底面相交时，截面为三角形；对于圆柱，截面只能是圆、椭圆或长方形等，不可能是三角形． 故答案为：①②④． 题型 从不同方向看简单几何体的形状 解题贴士 正面、左面、上面，三视图要分清。画图时“长对正、高平齐、宽相等”。数清每列小正方体个数，注意遮挡关系，逐层画。 ▌例6（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）在下面的几何图形中再添1个，从左面观察不可能看到（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出从左面看到没有添加小正方体的图形，再添加小正方体逐一判断即可． 【详解】解：从左面看到没有添加小正方体得到的图形为： ， 添1个小正方体后不可能看到： ． ▌对点练6-1（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图所示的立体图形的从前面看的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从前面看到的图形解答即可． 【详解】解：从前面看，是上面小下面大的两个长方形，上面长方形中间有一条竖直的线段， ∴四个选项中，只有A选项符合题意． ▌对点练6-2（2026·山东泰安·三模）如图所示的几何体从正面看到的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从正面看所得到的图形是主视图，根据图中正方体摆放的位置判定即可． 【详解】解：从正面看共有三列，左边列有两个正方形，中间列有一个正方形，右边列有一个正方形， 即为： ． ▌对点练6-3（2026·四川自贡·中考真题）下面几何体中，分别从正面、左面、上面观察到的图形都相同的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据主视图，左视图，俯视图的定义找出从正面，左面，上面看到的几何体的形状图都一样的几何体即可． 【详解】对于选项A（正方体）：从正面、左面、上面看都是正方形，图形都相同，符合题意； 对于选项B（三棱柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是三角形，图形不同，不符合题意； 对于选项C（圆锥）：从正面和左面看是三角形，从上面看是圆（含圆心），图形不同，不符合题意； 对于选项D（圆柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是圆，图形不同，不符合题意． 题型 画出从不同方向看几何体的平面图形 解题贴士 先定视图方向，正左上看清每列高度。用方格纸画图，注意遮挡部分不画，轮廓线用实线，虚线表示看不见的棱。 ▌例7（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体，请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图． 【答案】图见解析 【分析】本题考查从不同方向看几何体，分别画出从前往后，从左往右，从上到下看到的图形即可． 【详解】解：由题意，画图如下： ▌对点练7-1（25-26七年级上·山东菏泽·期末）如图，是由7个大小相同的小立方体块搭建的几何体．请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从不同方向看到的形状画图即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示： ▌对点练7-2（25-26七年级上·河南平顶山·期末）如图是由棱长都为的5块小正方体组成的简单几何体． 从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，请在方格中分别画出你所看到的几何体的形状图； 【答案】见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从正面、左面、上面看到的平面图形画图即可，正确识图是解题的关键． 【详解】解：画图如下： ▌对点练7-3（25-26七年级上·山东枣庄·期末）如图，是用5个大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你在方格内画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小正方体． 【答案】(1) 解：如图所示即为所求； ； (2)2 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，掌握从不同方向看几何体作图的方法是解题的关键，易错点是还原几何体时考虑不全导致错误． （1）根据从不同方向看几何体得到的形状图，在网格中画图即可； （2）在从上面看的图形中画出可添加的位置和数量，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：保持从上面看和从左面看到的形状图不变， 如图， 最多可以再添加2块小正方体． 故答案为：2． 题型 由从不同方向看到形状图求解 解题贴士 三视图定形状，正左看列高，上看定层数。标数字法还原几何体，求最多（每层添满）、最少（底层留柱）。 ▌例8如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 【答案】(1)三棱柱 (2)这个几何体中所有棱长的和是51，表面积是120． 【知识点】从不同方向看几何体、由展开图计算几何体的表面积 【分析】此题考查判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键． （1）只有棱柱从左面看和从正面看才能出现长方形，根据从上面看是三角形，可得到此几何体为三棱柱； （2）3条长的高，加上两个三角形的周长就是几何体的所有棱长和；三个长为，宽分别为、、的长方形的面积与两个直角三角形的面积和就是表面积． 【详解】（1）解：这个几何体是三棱柱． 故答案为：三棱柱； （2）解：这个几何体的所有棱长的和． 表面积． ▌对点练8-1如下图所示的是从正面和上面看一个几何体所看到的图形（单位：）．求该几何体的体积． 【答案】 【知识点】从不同方向看几何体、 圆柱的体积 【分析】利用圆柱的体积公式直接计算即可． 本题考查了由三视图判断几何体，圆柱体积的计算，解题的关键是熟知圆柱的体积的计算方法，难度不大，属于基础题． 【详解】解： ， 答：该几何体的体积为． ▌对点练8-2如图是一个几何体的从三个方向看到的形状图． (1)写出这个几何体的名称：________； (2)根据图中数据（单位：），求它的表面积和体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)体积为，表面积为 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，求圆柱的体积和表面积： （1）根据从正面看和从左面看都是长方形，从上面看是一个圆，结合圆柱的特点可知该几何体是圆柱； （2）该圆柱的底面圆直径为，高为，据此根据圆柱体积和表面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：该几何体从正面看和从左面看都是长方形，从上面看是一个圆，则该几何体是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：由题意得，该圆柱的底面圆直径为，高为， ∴该圆柱的体积为，表面积为． ▌对点练8-3如图，是某几何体从三个方向分别看到的图形． (1)说出这个几何体的名称； (2)若图①的长为，宽为；图②的宽为；图③直角三角形的斜边长为，试求这个几何体的所有棱长的和是多少？它的侧面积多大？ 【答案】(1)三棱柱 (2)棱长和为，侧面积为 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的形状以及几何体的展开图等知识，正确得出物体的形状是解题的关键． （1）直接利用三视图可得出几何体的形状； （2）利用已知各棱长分别得出所有棱长的和以及它的侧面积． 【详解】（1）解：这个几何体为三棱柱； （2）棱长和为， 侧面积为． 题型 根据从上面看到的图形确定几何体的形状 解题贴士 从上面看定“地基”，每个数字代表该位置小正方体层数。结合从正面看、从左面看的层高信息，逐个位置验证，还原立体图形。 ▌例9一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，理解题意找到几何体的特征是解题的关键．根据题意可得，从正面看有4列，每列小正方数形数目分别为2，3，2，4；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1，据此即可画出图形． 【详解】解：如图所示，从正面和左面看到的这个几何体的形状图即为所求： ▌对点练9-1如图，是一个小正方体所搭几何体从上面看得到的平面图形，正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数． (1)请你画出它从正面和从左面看得到的平面图形． (2)若每个小正方体的棱长为1，求搭建几何体的体积， 【答案】(1)见解析 (2)12 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． （1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，3．据此可画出图形； （2）根据小正方体的个数可得体积． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由题意得，搭建几何体的体积为． ▌对点练9-2一个几何体由n个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．      (1)________； (2)请在右面的网格中画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】(1)8 (2)见解析 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了几何体的从不同方向看，熟练掌握几何体的画法是解题的关键． （1）根据从上面看到的小正方体的个数求解即可； （2）根据从正面看，从左面看的画图要求，画图解答即可． 【详解】（1）解：根据从上面看到的小正方体的个数可知， （个）， 故答案为：8． （2）解：解：根据图中所示的小正方体的个数可得： ▌对点练9-3一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成．从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图； (2)能不能在某些位置增加小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变？如果能，请画出两种不同位置摆放的从上面看的形状图，并在图上小正方形中标出该位置的小立方块的个数；如果不能，请说明理由； (3)能不能减少某些位置的小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变？最少可以用几个小立方块？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)能，4个 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体： （1）从正面看和从左面看的图形相同，都分为上下两层，共三列，从左边起，第一列下面一层有一个小正方形，第二列上下两层各有一个小正方形，第三列下面一层有一个小正方形，据此可得答案； （2）在从上面看到的图形中， 在的正方形中，任意一个位置添加一个小正方形都符合题意； （3）在从上面看到的图形中，把与有两个小立方块相邻的立方块去掉即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，最少的情形如下： ∴能减少某些位置的小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变，最少可以用4个立方块． 基础通关 1．下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的种特征进行判断，主要类型包括“”型、“”型、“”型、“”型，出现“田”字格或“凹”字型的不是正方体展开图，据此判断即可求解． 【详解】解：∵ 正方体展开图共有种，选项属于“”型，能折叠成正方体；选项中，中间个正方形连成一行，另外个正方形在同一侧，折叠后有两个面重合，不能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体， ∴ 不是正方体展开图的是选项． 2．陕北春节秧歌是国家级非物质文化遗产，秧歌的大鼓能用明快的节奏、豪放的舞姿、宏大的场面抒发他们内心的激情，这种不加修饰、粗犷不羁的情感又以一种更强烈的气息感染着观众．如图，大鼓从正面看到的图为（　　）　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察实物图可知，大鼓上下底面是平的，侧面是向外凸出的曲面，且鼓身较扁，据此判断即可． 【详解】解：∵大鼓的上下底面是平面， ∴从正面看，上下边缘是水平线段． ∵大鼓的侧面是向外凸出的曲面， ∴从正面看，左右边缘是向外凸出的曲线． 又∵大鼓整体较扁， ∴大鼓从正面看到的图应为上下边平行且相等，左右边向外凸出的扁形图形． 观察选项，只有B选项符合． 3．如图是阳阳设计的抽奖盒子，他在部分面上进行了装饰．下列图形中可以作为抽奖盒的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三个图案的小正方形为相邻面即可进行判断． 本题考查了正方体相邻两个面上的图案，掌握正方体的展开图是解题关键． 【详解】解：由图可知，能围成几何体的只有A选项，B、C、D各由两个带图案的小正方形为相对面，不符合题意． 故选：A． 4．用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 【答案】B 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖之和的容积最大， 故选：． 5．用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是_______． 【答案】③ 【分析】圆柱、圆锥、球体含有曲面，截面可能是圆；正方体由平面围成，截面只能是多边形． 【详解】解：①圆柱，用平行于底面的平面去截，截面是圆； ②圆锥，用平行于底面的平面去截，截面是圆； ③正方体，用平面去截，截面只能是多边形，不可能是圆； ④球，用任意平面去截，截面都是圆． 综上所述，截面不可能是圆的几何体是③． 6．如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的字是________． 【答案】 们 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的特征可知，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形， 所以“中”与“们”是对面． 7．由两个长方体组合而成的一个立体图形，从两个不同的方向看得到的形状图如图所示，根据图中所标尺寸（单位：）可知这两个长方体的体积之和是___________． 【答案】 【分析】题目主要考查根据从不同方向看几何体还原立体图形，根据图形得出长方体的棱长是解题关键． 首先根据三视图得到两个长方体的长，宽，高，然后利用体积公式计算即可． 【详解】解：根据题意得：下面的长方体体积为：． 上面的长方体体积为：． 两个长方体的体积之和：， 故答案为：． 8．一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图所示的是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小正方体最少需要________个，最多需要________个． 【答案】 【分析】本题考查了由从不同方向看几何体，由从不同方向看几何体想象几何体的形状，得到几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．根据从正面看，结合从上面看可得最多需要的小正方体的数量，再在此基础上结合从正面看，减少小正方体的数量可得答案． 【详解】解：如图， ∴搭成这个几何体的小正方体最多需要个， 结合从正面看在从上面看的视图中：第二列减少个，第三列减少个，如图， ∴搭成这个几何体的小正方体最少需要（个）． 故答案为：， 9．从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了从不同方向看物体．根据从三个不同方向看到的小正方形相对位置画图即可． 【详解】解：如图， ． 10．如图是某种几何体表面的展开图． (1)该几何体是：________（填写几何体名称）： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积． 【答案】(1)长方体 (2)该几何体的体积为，表面积为 【分析】本题主要考查了长方体展开图识别以及长方体体积和表面积的计算． （1）通过展开图的特征，即可判定该几何体是长方体； （2）根据长方体的体积公式和表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：通过展开图的特征，可知该几何体是长方体； （2）长方体的长为：， 体积为； 表面积为；   因此，该几何体的体积为，表面积为． 11．西安某文化创意公司为推广古都文化，计划推出一款“长安印象”系列文创茶叶罐、该茶叶罐的设计灵感来源于西安大雁塔的唐代莲花纹样和城市徽章．设计者给出了茶叶罐的从不同方向看的视图，如图所示（单位：mm）． (1)图中的立体图形的名称是：_____． (2)请你按照视图求这个茶叶罐的表面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题主要考查了由三个方向看几何体，计算圆柱的表面积，正确还原几何体是解题关键． （1）根据从左面看和从正面看是长方形，则该几何体是柱体，再由从上面看为圆可知该几何体是圆柱； （2）根据圆柱表面积计算公式求出圆柱的表面积即可得到答案． 【详解】（1）解：由已知条件判断，图中的立体图形的名称是：圆柱； 故答案为：圆柱． （2）， ， 制作一个茶叶罐所需铁皮的表面积为． 12．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 【答案】(1)画图见解析 (2)3 【分析】本题考查作图−−从不同方向看几何体． （1）分别根据从正面和从左面所看到的这个几何体的形状，依次画出图形即可． （2）根据保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，在从上面看到的图中写出可以添加的小立方块的数字即可． 【详解】（1）解：从正面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示； （2）解：保持这个几何体从上面，正面和左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加3个小立方块（见从上面看到的图中的数字） 素养提升 一、单选题 1．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，是由五个相同的正方体组成的几何体，从上面看的形状图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：由图可知，从上面看的形状图是． 2．（2026·河南平顶山·三模）把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正方体的展开图，先确定展开图中各个面的相对关系，首先判断带叶子图案、圆形图案、两个阴影三角形的面的相对面的图案即可． 【详解】解：根据展开图可知，阴影三角形所在的两个面为相邻面，且有公共边，“”和“”所在的两个面为相对的面，据此可排除A，B，D．所以只有符合题意，正确． 3．（2026·黑龙江·模拟预测）在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（     ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 【答案】B 【分析】根据该几何体从三个方向看到的形状图中所提供的信息进行分析解答即可． 【详解】解：根据从上面看可知，该物体的最下面一层有7个正方体小货箱，由从正面看和从左面看的图可得：该物体第二层有2个正方体小货箱，第三层有1个正方体小货箱， ∴组成该物体的正方体小货箱有：（个）． 二、填空题 4．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）用平面截一个几何体，得到的截面是一个三角形，这个几何体可能是__________写出一个即可． 【答案】正方体（答案不唯一） 【分析】本题考查截一个几何体的知识，需结合常见几何体的结构特征，分析可截出三角形截面的几何体． 【详解】解：当用平面经过正方体的三个相邻面时，所得的截面为三角形，除此之外，圆锥、三棱柱等几何体也能被平面截得三角形截面， 故答案为：正方体（答案不唯一）． 5．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）一个立体图形由若干个大小相同的小正方体搭成，如图是从它的前面、上面看到的平面图形，则搭成这个几何体的小正方体最少需要_____个． 【答案】9 【分析】本题考查从不同方向看几何体，解题的关键是具有一定的空间想象力．根据从正面看，结合从上面看的图形，在从上面看到的图上写出最少时小正方体的个数，可得结论． 【详解】解：由题意可知，最少的情形为： 或或或或或 所以搭成这个几何体的小正方形最少需要：（个）． 故答案为：9． 6．（25-26六年级上·山东烟台·期末）如图（1），在边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个如图（2）所示的无盖的长方体．设剪去的小正方形的边长为，则这样折成的无盖长方体的容积是_____． 【答案】400 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体，由于正方形的边长为，同时在正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，剪去的小正方形的边长为，由此得到长方体的长、宽、高，最后利用长方体的容积公式即可求解． 【详解】解：依题意得：长方体的容积为：； 故答案为：400． 三、解答题 7．（25-26七年级上·广东梅州·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 【答案】(1)画图见解析 (2)3 【分析】本题考查作图−−从不同方向看几何体． （1）分别根据从正面和从左面所看到的这个几何体的形状，依次画出图形即可． （2）根据保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，在从上面看到的图中写出可以添加的小立方块的数字即可． 【详解】（1）解：从正面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示； （2）解：保持这个几何体从上面，正面和左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加3个小立方块（见从上面看到的图中的数字） 8．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________； （2）若图2中几何体的底面边长都是，侧棱长是，则它的侧面积是_________； （3）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】（1）圆柱；三棱柱；圆锥；（2）（3）见解析 【分析】（1）根据几何体的展开图特征即可得出答案； （2）根据三棱柱的侧面积计算公式求得即可得出答案； （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，据此可画出图形． 【详解】解：（1）由立体图形的展开图可知，图1是圆柱，图2是三棱柱，图3是圆锥， 故答案为：圆柱；三棱柱；圆锥； （2）三棱柱的侧面展开图是长方形，其长为，宽为， 所以面积为； （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，如图： ． 9．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）【动手操作】 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． （1）按照图2的方式裁剪，若原长方形卡纸长为，求出原卡纸宽的长度？ （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 ． 【拓展延伸】 (3) 若有盖长方体的长、宽、高分别为将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为 ． 【答案】（1）该长方形卡纸宽是15cm；（2）C；（3） 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠， （1）根据折叠和正方形的性质得，即可得出，则此题可解； （2）根据四个字的位置特点可得对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，进而得出答案； （3）根据长方体的棱最短的剪的越少，展开图的外围周长越大解答即可． 【详解】解：（1）如图所示，根据折叠的性质得，且， ∴． ∵四边形是正方形，且， ∴． ∵， ∴， 即； （2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，且对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，结合选项可知，只有C符合题意； 故答案为：C； （3）如图所示，周长为， 所以长方体表面展开图的最大外围周长为92． 故答案为：92． 10．（25-26七年级上·广东茂名·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 ；（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的体积为 ； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为 ； (3)若一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长是多少？请你画出外围周长最大时的一个表面展开图并标上相应的数据． 【答案】(1)② (2)①2000，②1000 (3)70cm，作图见解析 【分析】本题考查了正方体的表面展开图、长方体的体积计算及长方体表面展开图的外周长计算． （1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”进行判断即可； （2）①根据正方体的表面展开图得出所折叠成长方体的长、宽、高，再根据体积的计算方法进行计算即可； ②根据折叠的方法求出所折叠成长方体的长、宽、高，再根据体积的计算方法进行计算即可； （3）画出它的表面展开图，尽可能沿着棱长为的棱剪开，棱长为的棱不剪开． 【详解】（1）解：根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可知，②不是无盖正方体的表面展开图， 故答案为：②． （2）解：①按照图1的方式折叠可得到底是边长为的正方形，高为的长方体，即底面边长为，高为， ∴体积为， 故答案为：2000； ②按照图2的方式折叠可得到底面长为，宽为，高为的长方体， ∴体积为， 故答案为：1000． （3）解：将一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该展开图的最大外围周长如图所示： ∴最大周长为， 即这个展开图的最大周长为． 迁移创新 1．如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)将该几何体补全成为一个正方体至少需要添加_______个小立方块；补后的大正方体中包含_______个正方体； (3)若每个小立方块的棱长为3，则该几何体的表面积是_______；该几何体的体积是底面积为，高为3的圆锥体体积的_______倍； (4)不改变从左面看到的形状图最多可添加_______个小立方块：既不改变从左面看到的形状图，又不改变从正面看到的形状图最多可添加_______个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)20； (3)252； (4)无数；2 【分析】此题考查从不同方向看几何体，圆锥的体积； （1）根据正面，左面，上面所看到的图形形状直接画图即可； （2）正方体的个数减去原有个数即可求解； （3）从正面、左面、上面看到的图形面积之和的2倍，即为几何体的表面积，再计算该几何体的体积与圆锥的体积，即可求解． （4）根据从左面看到的图形不变求解即可． 【详解】（1）解：从正面、左面、上面看到的几何体的形状图如图， （2）， 补全成一个正方体至少需要添加20个小立方块，补后的大正方体中包含27个正方体； 故答案为：20；27； （3）该几何体的表面积是， 该几何体的体积是， 底面积为，高为3的圆锥体体积为：， ， 该几何体的体积是底面积为27，高为3的圆锥体体积的倍； 故答案为：252；； （4）可以在L型四个方块右边在不改变左面看到的形状的时候最多可添加无数个小立方块． 既不改变从左面看到的形状图，又不改变从正面看到的形状图最多可添加个小立方块； 故答案为：无数；． 2．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是_____． A．    B．    C．    D． (2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形．则下列图形中可能是该长方体表面展开图的有_____（填序号）． (3)下列、分别是题（2）中长方体的一种表面展开图，已知求得图的外围周长为52，请你求出图的外围周长； (4)第（2）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并在图中用数字标注出外围各线段的长度，并求出它的外围周长． 【答案】(1)B (2)①②③ (3)58 (4)见解析，70 【分析】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型． （1）根据正方体的平面展开图求解即可； （2）根据长方体的平面展开图求解即可； （3）根据长方体的长、宽、高分别为4，3，6结合图形求解即可； （4）要使外围周长最大，那么边长为6的边要尽可能在外围，边长为3的边尽可能不在外围，据此作图求解即可． 【详解】（1） 解：根据正方体的表面展开图可得，是正方体的表面展开图的是   ， 故选：B； （2）解：根据长方体的表面展开图可得， 可能是该长方体表面展开图的有①②③， 故答案为：①②③； （3）解：∵长方体的长、宽、高分别为4，3，6， ∴图B的外围周长； （4）解：如图所示，即为所求；此时外围周长为． 3．问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 【答案】(1)④ (2)①平方厘米；②． 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠、长方体的底面积与容积计算，熟练掌握长方体展开图的特征及长方体容积公式是解题的关键． （1）根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号． （2）①先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算底面积．②分别根据甲、乙、丙三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，④不能折成长方体， 故答案为：④； （2）解：①正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为厘米， 底面边长厘米， 底面积平方厘米； ②甲方案：底面四边形是正方形，且， 底面边长厘米，高厘米， 立方厘米； 乙方案：∵底面四边形是正方形，且厘米， ∴底面边长厘米，高厘米， ∴立方厘米； 丙方案：，且， ， 解得厘米，厘米， 高厘米， 立方厘米， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $