精品解析：湖南湘潭市雨湖区2025-2026学年七年级下学期期末质量监测数学试卷

2026年上学期期末质量监测试卷 七年级数学 （考试时量：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解全国中学生的视力情况 B. 了解某品牌冰淇淋的质量情况 C. 了解某班同学投掷实心球的水平 D. 了解某批次烟花的燃放效果 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两人参加某体育项目训练，为了便于研究，把最近五次的训练成绩绘制成如图所示的折线统计图，下面结论错误的是（ ） A. 甲的第三、四次成绩相同 B. 甲、乙两人第三次成绩相同 C. 甲的第四次成绩比乙的第四次成绩少2分 D. 甲每次的成绩都比乙的低 5. 下列说法正确的有（ ） ①两平行线间的公垂线相等． ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行． ③由，可得． ④的平方根记作： A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 若，，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 7. 如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上存在点P，记的长度为d，则d的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 8. 如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（ ） A. B. C. D. 9. 几何直观如图，从腰长为a的等腰直角三角形纸片中剪掉一个腰长为b的等腰直角三角形，得到一个直角梯形，上述操作能验证的等式是（） A. B. C. D. 10. 如图，已知，，为上的两点，，为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若，有下列结论：①，②；③设，则，④．其中，正确的有（） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算： ________． 12. 若，则_____________． 13. 每年4月23日是“世界读书日”，为了解某校八年级1200名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了400名学生进行调查，在这次调查中，样本容量是______． 14. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是_______________． 15. 月日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图，这是某款机器人跑步瞬间的姿态，图为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为______． 16. 已知关于，的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为____． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 19. 某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4个等级：A（），B（），C（），D（），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了 名学生； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 ； （4）若全校共有3000名学生，请估计每周课外阅读总时间不少于4小时的学生有多少人？ 20. 如图，直线，相交于点B，直线，相交于点E，于点P，连接，，． （1）若，请求出的度数； （2）若，求证：． 21. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点都在格点上．点也在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中作图． （1）平移，使点A移动到点，得到；将绕点C逆时针旋转后得到．画出平移后的和旋转后的． （2）经过一次_____（填写“平移”、“旋转”或“轴对称”）可以与重合． （3）找到格点D，使得、、、D四个点组成的四边形是一个轴对称图形，这样的格点有_____个． 22. 2025年1月正式发布后，以其强大的功能迅速引爆全球科技圈．某医院也引进进行文本集和图片集两种数据的处理．已知每个文本集包含600个字符，每份图片集包含100张图片，处理一个文本集需要3秒，处理一份图片集需要2秒． （1）技术人员发现，DeepSeek处理文本集和图片集共30个，总耗时70秒，求处理的文本集和图片集各多少个？ （2）若需要处理70个数据集，且总字符数不低于总图片数，总耗时不超过152秒，求有哪几种处理方案？ 23. 阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： （1）的“阳光区间”是_______；的“阳光区间”是_______； （2）若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； （3）实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“阳光区间”． 24. 长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，连结，且．灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是1度/秒，灯转动的速度是3度/秒． （1）若两灯同时转动，在灯射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点． ①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求的度数． ②如图2，过作交于点，则在转动过程中，求与的比值，并说明理由． （2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线第一次转到之前，灯转动几秒，两灯的光线互相平行？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期期末质量监测试卷 七年级数学 （考试时量：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，理解平移的性质以及图形平移前后的位置和大小变化的规律是正确判断的关键． 根据平移的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．选项A中的两个图形不可以通过平移得到，因此选项A不符合题意； B．选项B中的两个图形不可以通过平移得到，因此选项B不符合题意； C．选项C中的两个图形可以通过上下、左右平移得到，因此选项C符合题意； D．选项D中的两个图形，改变了图形的大小，而平移不改变图形的大小和形状，因此选项D不符合题意； 故选：C． 2. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解全国中学生的视力情况 B. 了解某品牌冰淇淋的质量情况 C. 了解某班同学投掷实心球的水平 D. 了解某批次烟花的燃放效果 【答案】C 【解析】 【分析】根据调查范围大小，调查是否具有破坏性判断对应调查方式即可，普查适用于范围小，易操作，无破坏性的调查． 【详解】解：A、调查对象为全国中学生，调查范围过大，不适合普查； B、检测冰淇淋质量，调查具有破坏性，不适合普查； C、调查对象为一个班级的学生，范围小，调查易操作，适合普查，符合题意； D、测试烟花燃放效果，调查具有破坏性，会损坏被调查产品，不适合普查． 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方的法则逐一判断即可得到结果． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并， A错误； 选项B：根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得， B错误； 选项C：根据积的乘方法则，得， C错误； 选项D：计算得， D正确． 4. 甲、乙两人参加某体育项目训练，为了便于研究，把最近五次的训练成绩绘制成如图所示的折线统计图，下面结论错误的是（ ） A. 甲的第三、四次成绩相同 B. 甲、乙两人第三次成绩相同 C. 甲的第四次成绩比乙的第四次成绩少2分 D. 甲每次的成绩都比乙的低 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用折线统计图得出甲、乙的成绩进而得出答案． 【详解】解：由图可知， A、甲的第三次成绩与第四次成绩相同，故此选项正确，不符合题意； B、第三次测试，甲、乙两人的成绩相同，故此选项正确，不符合题意； C、第四次测试，甲的成绩比乙的成绩少2分，故此选项正确，不符合题意； D、第三次测试，甲、乙两人的成绩相同，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了折线统计图，正确得出甲乙的成绩是解题关键． 5. 下列说法正确的有（ ） ①两平行线间的公垂线相等． ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行． ③由，可得． ④的平方根记作： A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】用到平行线的性质、不等式的性质、平方根的定义等初中知识点，逐个判定题干中四个说法的正误，统计正确说法的个数即可解答． 【详解】解：公垂线是直线，直线可无限延伸，没有固定长度，不能说相等，两平行线间相等的是公垂线段的长度，因此①错误； 过直线上一点无法作出与已知直线平行的直线，该说法缺少“点在已知直线外”的前提条件，因此②错误； 根据不等式的性质，若，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，可得，再两边同时加，不等号方向不变，可得，因此③正确； 表示的算术平方根，，的平方根应记作，因此④错误； 综上，四个说法中仅有个正确． 6. 若，，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】将所求转化为含已知和的式子，代入数值计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴． 7. 如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上存在点P，记的长度为d，则d的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，熟练运用垂线段最短，能够根据题意进行分类讨论是解此题的关键． 根据垂线段最短进行分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵点A到直线的距离为3， ∴d的最小值为3， ∴d的值不可能是2，故A选项符合题意； 当时，射线上存在满足条件的两个点P，故B，C选项不符合题意； 当时，射线上存在满足条件的一个点P，故D选项不符合题意； 故选：A． 8. 如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得旋转角，再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转，得到， ∴， 又∵， ∴． 9. 几何直观如图，从腰长为a的等腰直角三角形纸片中剪掉一个腰长为b的等腰直角三角形，得到一个直角梯形，上述操作能验证的等式是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算阴影部分面积的两种不同方法建立等式：一种是大三角形面积减去小三角形面积，另一种是利用梯形面积公式计算，从而验证平方差公式． 【详解】解：和均为等腰直角三角形，且腰长分别为， ， ， 又阴影部分为直角梯形，， 上底，下底，高， ， ，即． 10. 如图，已知，，为上的两点，，为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若，有下列结论：①，②；③设，则，④．其中，正确的有（） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】求出，，可判断①正确；求出，可判断②正确；过点作，可求出，从而，然后根据角平分线的定义可判断③错误；由③知，求出，进而可判断④正确． 【详解】解：平分， ， ， ， ，故①正确； ， ， 平分， ， ，故②正确； 如图，过点作， ，， ， ， ， ， ， 平分， ，故③错误； ， ， 平分， ， 由③知， ， ， 点在直线上， ，故④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算： ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 12. 若，则_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和立方根，代数式求值，由平方根和立方根的定义可求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 每年4月23日是“世界读书日”，为了解某校八年级1200名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了400名学生进行调查，在这次调查中，样本容量是______． 【答案】 400 【解析】 【详解】解：在本次调查中，总体是某校八年级名学生对“世界读书日”的知晓情况，抽取的名学生对“世界读书日”的知晓情况是样本，样本容量为样本中个体的数目，即样本容量为． 14. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：当输入是81时，取算术平方根是9，9是有理数； 再把9输入，9的算术平方根是3，3是有理数； 再把3输入，3的算术平方根是，是无理数， 所以输出是． 15. 月日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图，这是某款机器人跑步瞬间的姿态，图为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，垂直定义，由，，则，延长至，过作，则有，所以，，，通过角度和差可得，，又，则，最后通过角度和差即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，延长至，过作， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知关于，的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出方程组的解，根据解为整数得出为，，，，，，根据不等式组有个整数解得出关于的不等式组，然后根据题意得到整数为，，，再求其和即可． 【详解】解：解方程组， 由得，代入得：， 解得， 方程组的解为整数， 是的整数约数，即可取，，， 则为，，，，，， 解不等式组， 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为， 不等式组有且仅有个整数解，其整数解为，，，，， ， 解得， 结合的所有可能取值，符合条件的整数为，，，它们的和为 ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式化简多项式，再将，代入计算即可． 【详解】解： ∵，， ∴原式 ． 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见详解 【解析】 【详解】解： 解①得， ， 解②得， ， ， 则不等式组的解集为， ． 19. 某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4个等级：A（），B（），C（），D（），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了 名学生； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 ； （4）若全校共有3000名学生，请估计每周课外阅读总时间不少于4小时的学生有多少人？ 【答案】（1）50 （2） 补全条形统计图如下： （3）108 （4）1980人 【解析】 【分析】（1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数； （2）先求解C等级人数再补全图形即可； （3）用乘以D等级人数所占的百分比即得答案； （4）用样本中每周课外阅读总时间不少于4小时的学生人数占比去估算全校学生中每周课外阅读总时间不少于4小时的学生人数占比，再用总人数乘以这个百分比即可． 【小问1详解】 解：本次被抽取的学生人数为：（人）； 【小问2详解】 解：“C等级”的人数为：（人）； 补全条形统计图略 【小问3详解】 解：“D等级”所对应扇形的圆心角度数为：； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计每周课外阅读总时间不少于4小时的学生有1980人． 20. 如图，直线，相交于点B，直线，相交于点E，于点P，连接，，． （1）若，请求出的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由得，，故； （2）由得，，故，因为，所以，故． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ∴． 21. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点都在格点上．点也在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中作图． （1）平移，使点A移动到点，得到；将绕点C逆时针旋转后得到．画出平移后的和旋转后的． （2）经过一次_____（填写“平移”、“旋转”或“轴对称”）可以与重合． （3）找到格点D，使得、、、D四个点组成的四边形是一个轴对称图形，这样的格点有_____个． 【答案】（1）见解析 （2）旋转 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据点A和点的位置可得平移方式，根据平移方式可得点的位置，据此作出即可；将绕点C逆时针旋转后得到，则和关于点C对称，据此作图即可； （2）根据（1）所求，结合网格的特点可得答案； （3）根据轴对称图形的定义可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，和即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，绕点O旋转180度可与重合； 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所求，故共有2个格点满足题意． 22. 2025年1月正式发布后，以其强大的功能迅速引爆全球科技圈．某医院也引进进行文本集和图片集两种数据的处理．已知每个文本集包含600个字符，每份图片集包含100张图片，处理一个文本集需要3秒，处理一份图片集需要2秒． （1）技术人员发现，DeepSeek处理文本集和图片集共30个，总耗时70秒，求处理的文本集和图片集各多少个？ （2）若需要处理70个数据集，且总字符数不低于总图片数，总耗时不超过152秒，求有哪几种处理方案？ 【答案】（1）处理的文本集有10个，图片集有20个 （2）一共有3种方案，分别是处理10个文本集，60个图片集；或者处理11个文本集，59个图片集；或者处理12个文本集，58个图片集 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程组或不等式组是解答的关键． （1）设处理文本集个，图片集个，根据题意得列出方程组求解即可； （2）设处理的文本集有个，则图片集有个，根据题意列出不等式组，然后解不等式组得到m的整数解，即可解答． 【小问1详解】 解：设处理文本集个，图片集个， 根据题意得：， 解方程组得： 答：处理的文本集有10个，图片集有20个； 【小问2详解】 解：设处理的文本集有个，则图片集有个， 根据题意得： 解不等式组得： ∵为正整数 ∴或11或12 ∴当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有3种方案，分别是处理10个文本集，60个图片集；或者处理11个文本集，59个图片集；或者处理12个文本集，58个图片集． 23. 阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： （1）的“阳光区间”是_______；的“阳光区间”是_______； （2）若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； （3）实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“阳光区间”． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“阳光区间”的定义求解即可； （2）先根据“阳光区间”的定义分别求出a的范围，再结合为正整数，确定a的值； （3）先根据，，得出，进而得出，可得，再根据“阳光区间”的定义即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的“阳光区间”为， ∵， ∴， ∴的“阳光区间”为； 【小问2详解】 解：∵无理数（为正整数）的“阳光区间”为， ∴， ∴， ∵的“阳光区间”为， ∴， ∴，解得， ∴， 又∵为正整数， ∴或； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 得， ∴， ∴的算术平方根为， ∵， ∴， ∴的“阳光区间”为． 24. 长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，连结，且．灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是1度/秒，灯转动的速度是3度/秒． （1）若两灯同时转动，在灯射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点． ①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求的度数． ②如图2，过作交于点，则在转动过程中，求与的比值，并说明理由． （2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线第一次转到之前，灯转动几秒，两灯的光线互相平行？ 【答案】（1）①；②比值为，详见解析 （2）灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行 【解析】 【分析】（1）①当转动50秒时，有，即有，根据，即可得解；②过点作，得到，，即有，，根据，可得，再根据，可得，即问题得解； （2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，A灯先转动30秒，则AQ转到AP还需要180-30=150（秒）即，①当B射线第一次垂直MN时，用时90÷3=30（秒），此时A射线共计运动30+30=60秒，即，即在灯射线到达之前，先证明，即有：，即可求解；②在灯射线到达之后，回到前，根据①中，同理有：，即有：，即可求解；③在灯射线回到后，第二次到前，由题意得：，即可求解，即问题得解． 【小问1详解】 两灯速度为：灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒． ①当转动50秒时，， ∴， ∴， 故答案为：15°； ②比值为：，理由如下， 如图2，过点作， ∵， ∴， 设两灯转动时间为秒，则，， ∴，， ∴， 即， 又∵， 即， 而， ∴ ． ∴． 即比值为：； 【小问2详解】 两灯速度为：灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒． 设A灯转动秒，两灯的光束互相平行， A灯先转动30秒，则AQ转到AP还需要180-30=150（秒） 即， ①当B射线第一次垂直MN时，用时90÷3=30（秒）， 此时A射线共计运动30+30=60秒，即， 即在灯射线到达之前，如图3所示， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即有：， 解得：（秒）； ②如图4，在灯射线到达之后，回到前， 根据①中，同理有： ∵ 即有：， 解得：． ③如图5，在灯射线回到后，第二次到前， 由题意得： ，解得：（舍去）． 综上所述，灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系，厘清角度之间的关系并注意分类讨论是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $