4.3 用一元一次方程解决实际问题第3课时课件2026-2027学年苏科版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦用一元一次方程解决图形问题，通过圆柱形橡皮泥形变情境导入，引出“形变体不变”的不变量思想，以“三步曲”（识图公式、找不变量、设元列方程）为学习支架，衔接方程解法与图形实际应用。 其亮点在于情境导入激发兴趣，分层例题（基础到拔高）培养数学思维，通过组合图形、动点问题等渗透分类讨论和动态分析，体现数学眼光和模型意识。如橡皮泥导入抽象不变量，方案设计优化培养应用意识，助力学生提升数形结合能力，为教师提供清晰教学路径和分层资源。

苏科版七年级数学上册 | 2026-2027学年 4.3.3用一元一次方程解决实际问题 本课学习重点：通过分析图形中的数量关系，建立方程模型，体会代数与几何之间的紧密联系，掌握数形结合的解题思想 1.7.2013 同学们好，今天我们继续学习第四章第三节的内容。在之前的课程中，我们已经掌握了如何用一元一次方程解决一些简单的实际问题。今天，我们将深入探索一个更有趣的领域——如何利用方程来解开图形中的奥秘。让我们一起走进“用一元一次方程解决与图形相关的实际问题”。 ‹#› 课堂导入：变与不变的智慧 思考情境：同学们，想象一下我们手中有一块圆柱形的橡皮泥，我们可以随意将它捏成一个“瘦高”的新圆柱，也可以把它重新揉捏成一个“矮胖”的新圆柱。在这个动手操作的过程中，大家仔细观察并思考： 01. 发生变化的量 当橡皮泥形状改变时，圆柱的高度、底面半径都会发生明显改变；同时，整个圆柱的外部表面积也会随着形状的拉伸或压缩而改变。 02. 始终不变的量 无论橡皮泥捏成什么样的圆柱，它本身的材料没有增加也没有减少，因此它的体积始终保持不变；同样的，橡皮泥的质量也不会因为形状的改变而发生任何增减。 核心结论：形变体不变—— 形状改变但体积保持恒定，这是我们解决此类几何问题的关键思想！ 1.7.2013 在上课之前，我们先来做一个思想实验。想象一块橡皮泥，无论我们把它捏成什么形状，比如一个高圆柱或者一个矮圆柱，它的某些属性在变，而另一些属性则保持不变。谁能告诉我，哪些变了，哪些没变？ 没错，形状、高度、表面积都变了，但它所占空间的大小，也就是体积，是永恒不变的。这个“形变体不变”的思想，就是我们今天解决问题的关键钥匙。 ‹#› 解决图形问题的“三步曲” 01. 慧眼识图，明确公式 核心要求：仔细审读题目，准确识别涉及的图形类型（如三角形、矩形、圆等），并根据题意画出清晰的示意图，在图中规范标注已知的边长、角度、面积等量，同时圈出需要求解的未知量，梳理出相关图形的基础计算公式备用。 02. 寻找“不变量”，建立桥梁 解题关键步骤！分析图形在变化过程中始终保持恒定的属性，这是连接已知与未知的桥梁。常见的不变量包括：图形拼接或分割时的周长不变、面积不变；几何体形变时的体积不变；以及多个相关量之间的总和不变等，锁定不变量后即可确定等量关系。 03. 设元列方程，求解并检验 设合适的未知数（直接设或间接设），用含未知数的代数式表示与不变量相关的其他量；根据锁定的等量关系列出方程并求解；最后将结果代入原题情境中检验，确保答案符合实际图形的逻辑与数值要求。 1.7.2013 要解决这类图形问题，我们可以遵循一个清晰的“三步曲”策略。 第一步，先仔细审题，识别题目涉及的图形类型，画出图并标好已知和未知的量，做到心中有数。 第二步是最关键的，一定要在复杂的描述中找到那个“不变量”。比如形状变了但体积没变，或者拆开后总面积不变，这就是我们列方程的依据。 第三步，就顺理成章了。设未知数，根据刚才找到的等量关系列出方程，算出答案后别忘了回过去看看，这个答案放在图形里合不合理。 ‹#› 核心公式回顾 01. 长方形 周长计算公式：C = 2 × (长 + 宽) ｜ 面积计算公式：S = 长 × 宽 02. 正方形 周长计算公式：C = 4 × 边长 ｜ 面积计算公式：S = 边长 × 边长 💡 基础规律：矩形类图形的面积均为相邻两边的乘积， 周长则围绕边长之和计算。 03. 圆形 周长计算公式：C = 2πr ｜ 面积计算公式：S = πr²（r 为圆的半径） 04. 圆柱 体积计算公式：V = 底面积 × 高 = πr²h （r 为底面半径，h 为高） 💡 进阶关联：圆柱体积依托圆形面积推导， 是平面圆形向立体空间的延伸，牢记底面积是关键。 1.7.2013 在我们的“三步曲”中，第一步要求我们明确公式。这些基本图形的周长、面积和体积公式是我们解题的基础工具，大家一定要牢记于心。 大家可以看到，屏幕上清晰列出了我们小学阶段必须掌握的四个核心公式：长方形、正方形、圆以及圆柱。这些图形的计算逻辑是层层递进的，从矩形到圆形，再从平面的圆拓展到立体的圆柱。 无论是求周长、面积还是体积，它们的计算公式都是我们后续建立等量关系、解决复杂应用题的根本依据。请大家务必把这四个公式的字母表达式和文字含义都记熟。 ‹#› 典型例题 题目：用一根长为 40cm 的铁丝围成一个长方形，若长方形的长比宽多 6cm，求这个长方形的长和宽分别是多少？ 01. 分析已知 图形为长方形，关键已知条件： 周长固定为 40cm；长 = 宽 + 6cm。 02. 锁定核心 不变量是长方形的周长，依据周长公式列等量关系： 2 ×（长 + 宽）= 周长（40cm） 03. 设元列式 设未知数简化计算： 设宽为 x cm，则长为 (x+6) cm，代入公式即可列方程求解。 解答：设宽为 x cm，则长为 (x+6) cm，列方程：2[x + (x+6)] = 40，解得 x = 7。 因此，长方形的宽为7cm，长为 7+6 =13cm。（检验：2×(13+7)=40，符合题意） 1.7.2013 我们来看一个简单的例子。用一根40厘米的铁丝围长方形，长比宽多6厘米。这里的不变量是什么？对，就是铁丝的长度，也就是长方形的周长。 我们设宽为x，那么长就是x+6。根据周长公式，我们就能列出方程2(x + x + 6) = 40，解出x=7。 所以宽是7厘米，长是13厘米。大家看，解决这类几何应用题的关键，就是先找到像“周长”这样的不变量，再设未知数，最后代入公式列方程，问题就迎刃而解了。 ‹#› 基础例题1 题目：正方形纸片先剪宽5cm长条，再从剩余长方形剪宽6cm长条，若两次剪下的长条面积相等，求原正方形的边长？ 01. 核心分析 解题关键在于抓住“两次剪下的长条面积相等”这一不变量，以此作为等量关系建立方程求解。 02. 规范解答 解：设原正方形边长为 x cm，则第一次剪下的面积为 5x；第二次剪下的长方形长为(x-5)cm，面积为6(x-5)。 根据等量关系列方程：5x = 6(x - 5)，去括号得5x=6x-30，移项解得x = 30。 最终结论：原正方形的边长为30厘米。 1.7.2013 接下来我们来看这个面积问题的基础例题。一个正方形纸片，先剪去宽5厘米的长条，再从剩下的长方形上剪去宽6厘米的长条，两次剪下的面积相等。解题的关键就是抓住“面积相等”这个不变量。 我们设原正方形边长为x厘米，那么第一次剪下的面积是5乘以x。第二次剪的时候，剩下的长方形的长已经不是x了，而是减去5之后的长度，也就是x减5，所以第二次的面积是6乘以(x减5)。 根据两次面积相等这个条件，我们列出方程5x等于6倍的(x减5)。解这个方程，我们可以得到x等于30。所以，这个正方形原来的边长就是30厘米。 ‹#› 典型例题 基础例题2：体积问题 【题目】一个底面直径为10cm，高为15cm的圆柱形水桶装满了水。现将这些水全部倒入底面直径为15cm的新圆柱形空水桶中，请问新水桶中水面的高度为多少厘米？ 【核心分析】解题关键在于抓住“水的体积”是一个不变量，即 原水桶中水的体积 = 新水桶中水的体积。 【求解过程】设新水桶中水的高度为 x cm。根据圆柱体积公式 V=πr²h，可得： π × (10÷2)² × 15 = π × (15÷2)² × x （两边同时约去π） → 25×15 = 56.25×x → x = 375 ÷ 56.25 = 20/3 ≈ 6.67 【最终答案】新水桶中水的高度约为 6.67 厘米（或精确值 20/3 厘米）。 1.7.2013 再来看一个典型的体积问题。大家看这道题，其实原理和我们前面做过的例子是一样的。 题目是说把一个水桶里的水，倒进另一个水桶里。这里最重要的，也是解题的突破口，就是要抓住什么是不变的？没错，就是水的总体积。 我们设新水桶里水的高度为x。根据圆柱体积公式，左边是原来水桶里水的体积，右边是倒入新桶后水的体积，两者相等。 列出方程后，两边都有π，可以先约掉，这样计算更简单。最后算出x等于20/3，大约是6.67厘米。这就告诉我们，在解决这类问题时，一定要先找到那个不变的量。 ‹#› 典型例题 基础例题3：图形规律问题 【题目】用黑白两种颜色的正方形纸片拼成图案，观察发现第1个图有4个白色方块，第2个图有7个白色方块，第3个图有10个白色方块……若某个图案中白色纸片数量为301张，请问这是第几个图案？ 01 / 规律分析 通过观察图案可归纳规律： 第1个图：3×1+1=4；第2个图：3×2+1=7；第3个图：3×3+1=10； 因此推出通用公式：第 n 个图案中白色方块数量为 3n + 1。 02 / 列方程求解 设该图案为第 x 个，根据规律列方程： 3x + 1 = 301 移项计算：3x = 300，解得 x = 100。 【答案】这是第 100 个图案。｜ 核心思路：先从已知项归纳出通用数学表达式， 再将未知项代入表达式建立方程，通过解方程求出未知项。 1.7.2013 除了计算周长、面积和体积，方程还能帮助我们寻找图形规律。看这个例子，白色方块的数量依次是4, 7, 10... 我们发现规律是第n个图有3n+1个白色方块。 现在反过来问，有301个白色方块是第几个图？我们就可以设它是第x个图，列出方程3x+1=301，轻松解出x=100。这个过程展示了如何把直观的图形规律转化为数学语言，并利用方程工具解决逆向求解的问题。 ‹#› 课堂练习 01. 周长问题 一个长方形的周长是60cm，已知该长方形的长是宽的1.5倍。请根据周长公式，列出方程并求解这个长方形的长和宽分别是多少厘米。 02. 面积关联 一个长方形的周长为28cm，且它的长比宽多2cm。先找出长与宽的数量关系，再计算出这个长方形的长、宽以及它的面积各是多少。 03. 等积变形 将一个棱长为6cm的正方体铁块熔铸成一个新的长方体铁块，新铁块长12cm、宽4cm。熔铸前后铁块的体积不变，据此求出长方体铁块的高是多少厘米。 04. 点阵规律 已知点阵：第1个图1点，第2个图4点，第3个图9点。先总结出第n个图的点数公式，再计算拥有100个点的图是第几个。 1.7.2013 好了，理论和例子都讲完了，现在是大家大展身手的时候了。这里有四道练习题，分别涉及周长、面积、等积变形和图形规律。请大家拿出笔和纸，尝试用我们今天学的“三步曲”来解决它们。注意寻找每个问题中的“不变量”。 ‹#› 课堂练习答案 01. 长方形长宽计算 解：设宽为 x cm，则长为 1.5x cm。由周长公式 2(x + 1.5x) = 60，解得 x = 12。因此长为 18cm。 答：这个长方形的长为18cm，宽为12cm。 02. 矩形边长求解 解：设宽为 x cm，则长为 (x+2) cm。根据周长公式 2(x + x+2) = 28，计算得 x = 6，因此长为8cm。 答：该矩形的长为8cm，宽为6cm。 03. 体积熔铸问题 解：熔铸前后体积不变。设长方体高为x cm，则有 6×6×6 = 12×4×x，计算得 216 = 48x，解得 x=4.5。 答：熔铸后的长方体的高是4.5厘米。 04. 点阵规律探索 解：观察发现第n个图的点数规律为 n²。设点数为100时是第x个图，则 x²=100，解得 x=10。 答：第n个图有n²个点；100个点对应的是第10个图。 1.7.2013 我们一起来核对一下课堂练习的答案。第一题是长方形周长问题，关键是利用长宽倍数关系设未知数，最终得到长18cm，宽12cm。第二题同样是周长计算，注意长比宽多2cm的关系，解得长8cm，宽6cm。第三题是体积的等积变形，熔铸前后体积不变，计算后高为4.5cm。最后一题是找规律，点阵的数量是序号的平方，所以100个点就是第10个图。这些题目都是在考察我们如何从题目中找出等量关系，列出方程解决问题。大家都做对了吗？ ‹#› 小灶课 思维的飞跃 —— 挑战更复杂的图形问题 基础题已经难不倒大家了！接下来，我们正式进入专属的“小灶课”环节，共同挑战一系列更有趣、更具思维深度的图形难题。这些题目不再是单一知识点的重复应用，而是需要大家综合运用之前掌握的面积、周长、比例等核心知识。 挑战关键点：想要破解这些难题，不仅需要更细心地观察图形结构，寻找隐藏的等量关系，更需要跳出固定思路，灵活进行条件转化与分类讨论。大家都做好思维升级的准备了吗？让我们一起开始！ 1.7.2013 非常好！看来基础部分大家都掌握得很扎实。现在，让我们进入更刺激的“小灶课”环节。这里的题目会更复杂，更考验大家的思维能力，需要我们综合运用知识，甚至进行分类讨论。准备好迎接挑战，让我们的思维来一次飞跃吧！ ‹#› 拔高练习 课堂练习 拔高题1：组合图形问题 【题目】如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小完全相同的小长方形，图中标注出了部分尺寸。请求出每个小长方形的长和宽各是多少厘米？ 关键思路：通过观察图形的横向与纵向边长，建立关于小长方形长和宽的多个一次方程，再转化为一元一次方程求解。 01. 分析等量关系 从图中可得：① 底部总长：长 + 3×宽 = 16； ② 右侧高度：长 + 宽 = 12。 02. 列方程求解 设小长方形的宽为 x cm，则长为 (12 - x) cm。 代入①式：(12 - x) + 3x = 16 → 2x = 4 → x = 2 03. 最终答案 小长方形的宽为 2 cm，长为 12 - 2 = 10 cm。 答：小长方形的长是10cm，宽是2cm。 1.7.2013 第一题是组合图形问题。这道题看着复杂，但只要仔细观察，就能从图中找到两个关键的等量关系。 大家看左边的图，从底部的总长来看，一个小长方形的长加上三个宽等于16厘米；再看右侧的总高，一个长加一个宽等于12厘米。 我们可以设宽为x厘米，那么长就可以表示为(12减x)厘米。把这个关系代入到底部的式子中，就能列出方程。 解方程后得到x等于2，也就是宽是2厘米，那么长就是10厘米。这就是我们通过图形建立方程的思路。 ‹#› 拔高题 02 【题目】已知线段 AB = 20cm，点 C 在直线 AB 上，且 BC = 8cm，点 M 是线段 AC 的中点，求线段 AM 的长度。 01 关键分析 核心陷阱：题目中强调“点C在直线AB上”，而非“线段AB上”。直线没有端点，可以向两端无限延伸，因此点C的位置存在两种可能性，需分类讨论，避免漏解。 02 两种情况 情况一：点C在线段AB上，此时 AC = AB - BC，计算得AC长度后，由M是中点可得AM。 情况二：点C在线段AB的延长线上，此时 AC = AB + BC，同理根据中点性质求出对应的AM。 总结：涉及“直线”上点的位置问题时，务必全面考虑点在线段上、线段延长线上等多种可能性， 通过画图辅助分析是快速解题的关键技巧。 1.7.2013 这是一道非常经典的几何分类讨论问题，也是大家最容易丢分的题型之一。 请大家注意题目中的关键词——“直线”AB。如果题目说的是“线段”AB，那点C的位置就唯一了。但这里是“直线”，直线是可以无限延伸的，这就意味着点C有两种可能的位置：它既可以夹在A和B之间，也可以跑到B的外面去。 这两种不同的位置，会直接导致AC的计算方式不同：中间时用减法，延长线上时用加法。因为M是中点，所以最终的AM长度也会有两个不同的答案。 解这类题目的口诀就是：“遇直线，想两边；画图形，分情况”。只要画出了图，计算就非常简单了。 ‹#› 解答分析 拔高题2：分类讨论问题（线段计算解答） 01. 情况一：点C在线段AB上 根据线段和差关系可得： AC = AB - BC = 20 - 8 = 12 cm ∵ M为AC中点，∴AM = 12 ÷ 2 = 6 cm 02. 情况二：点C在AB延长线上 根据线段和差关系可得： AC = AB + BC = 20 + 8 = 28 cm ∵ M为AC中点，∴AM = 28 ÷ 2 = 14 cm 【最终结论】综上所述，线段AM的长度有两种情况，分别为6 cm或14 cm （解题关键：需全面考虑点C的位置，避免遗漏延长线的情况）。 1.7.2013 我们来看这道拔高题的具体解答。这是一个典型的分类讨论问题。 首先是情况一，如果点C在线段AB上，那么AC的长度就是AB减去BC，等于12cm。因为M是中点，所以AM就是6cm。 接下来是情况二，如果点C在AB的延长线上，这是最容易漏掉的情况。这时候AC的长度变成了AB加上BC，等于28cm，中点M分出来的AM就是14cm。 所以，这道题有两个答案：6cm或14cm。大家在解决这类几何问题时，一定要画图分析，把所有可能的位置都考虑周全，避免漏解。 ‹#› 拔高题3 动点问题（数轴应用） 已知：数轴上有A、B两点，分别表示数 -6 和 4。动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 t 秒（t > 0）。 01. 基础表达：请用含 t 的代数式，表示动点 P 在数轴上对应的数是多少？ 02. 到达时刻：计算当运动时间 t 为何值时，点 P 恰好运动到达点 B 的位置？ 03. 进阶关系：当 t 为何值时，点 P 到点 A 的距离恰好是点 P 到点 B 距离的 2 倍？（提示：分情况讨论 P 的位置） 1.7.2013 接下来是拔高题3，这是一个非常经典的数轴动点问题，也是初中数学里“数形结合”思想的重要应用。 题目给出的条件很明确：点A是-6，点B是4，动点P从A向右出发，速度是2个单位每秒。我们需要解决三个层层递进的问题。 第一问是基础，考察大家是否会用时间和速度表示路程，从而写出P点的代数表达式。 第二问稍微难一点，是一个到达问题，需要计算路程，然后除以速度得到时间。 第三问是这道题的难点，也是最容易丢分的地方。它涉及到了距离的倍数关系。这里一定要提醒大家注意，在解决这类倍数关系问题时，千万不要想当然地只考虑一种情况，要结合数轴的图形，思考点P可能在点B的左边，也可能在点B的右边，所以大概率需要分情况讨论来求解方程。 ‹#› 动点P运动分析 拔高题3：动点问题（数轴应用） 【题目背景】数轴上动点P从表示数 -6 的位置出发，以 2 个单位/秒的速度沿数轴正方向（向右）匀速运动，设运动时间为 t 秒。试解答以下问题： 💡 核心公式：数轴上动点位置 = 起始位置 + 速度 × 运动时间（向右为正，向左为负） 01. 第一问：表示动点位置 根据核心公式代入：起始位置为 -6，速度为 +2。 解：点 P 表示的数为：-6 + 2t 02. 第二问：求到达B点时间 当 P 到达点 B（表示数 4）时，位置表达式等于 4，列方程求解： 解：-6 + 2t = 4 → 2t = 10 → t = 5 ✅ 最终结论：动点P在数轴上的位置可表示为 -6+2t，经过 5 秒后，点P能够到达数轴上表示4的点B。 解答分析 1.7.2013 这一页我们重点解决动点问题的前两问，这是所有复杂动点问题的基础。 首先看题目，动点P从-6出发向右运动，速度是2。对于第一问，大家要牢记“数轴动点位置公式”：终点位置等于起始位置加上速度乘以时间。代入数字，就能得到点P的位置是 -6 + 2t。 第二问是求时间。题目给出了终点位置是点B，也就是4。我们把这个位置代入第一问的表达式，列出方程 -6 + 2t = 4。解这个简单的一元一次方程，得到t等于5。 这两问虽然简单，但建立了“代数表达式表示位置”和“方程求解时间”的基本逻辑，后续的追及、相遇问题都是在这个基础上演变的。 ‹#› 【题意分析】：动点P的坐标随时间t变化，先计算关键线段长度：PA = |(-6+2t) - (-6)| = 2t；PB = |(-6+2t) - 4| = |2t - 10|。 【方程建立】：根据条件 PA = 2 × PB，代入得等式 2t = 2|2t - 10|，化简为核心方程：t = |2t - 10| 01. 情况一：2t - 10 ≥ 0（t ≥ 5） 去掉绝对值符号后方程为：t = 2t - 10 移项计算得：t = 10，该解满足前提 t ≥ 5，为有效解。 02. 情况二：2t - 10 < 0（t < 5） 去掉绝对值符号后方程为：t = -(2t - 10) 展开计算：t = -2t + 10 → 3t = 10 → t = 10/3，满足前提 t < 5，为有效解。 【最终答案】：经过分类讨论与验证，当时间 t 为10/3 秒或10 秒时，动点P满足 PA = 2PB 的条件。 解答分析 拔高题3：动点问题（数轴应用）第3问 1.7.2013 现在来看最关键的第三问。P到A的距离是2t，P到B的距离是|2t-10|。根据题意PA=2PB，得到方程2t = 2|2t-10|，化简为t = |2t-10|。 解这种含绝对值的方程，必须进行分类讨论。 第一种情况，绝对值内的式子大于等于0，即t≥5时，解得t=10；第二种情况，绝对值内的式子小于0，即t<5时，解得t=10/3。 最后检验，这两个解都符合各自的前提条件，所以最终答案就是这两个时间点。 ‹#› 拔高题4 方案设计：长方形花园栅栏规划 【题目背景】某中学计划修建一个面积固定为 200 平方米的长方形花园，现有两种栅栏围建方案可供选择，栅栏的统一造价为每米 50 元。请通过计算分析最优方案。 01｜方案一：四周全围栅栏 要求：花园四周均使用栅栏进行封闭围合，形成完整的长方形。 核心问题：如何设计长和宽的尺寸，能让所需的栅栏总长度最短？并计算此时的总造价。 02｜方案二：利用墙面围建 要求：利用校园现有的一面笔直围墙作为长方形花园的其中一边，仅对其余三边安装栅栏。 核心问题：如何确定垂直于墙面的边长，使栅栏总长度最短？并计算对应的工程总造价。 最终思考：对比决策分别计算出方案一与方案二达到“栅栏最短”时各自的总费用后，请对比两个总造价的金额大小，判断哪一种围建方案在经济成本上更具优势？并尝试总结此类优化问题的通用数学模型。 1.7.2013 最后我们来看一类非常经典的数学应用问题——方案设计与优化。 题目很贴近生活：要建一个200平米的长方形花园，有两种围栅栏的方式。第一种是常规的四周都围，第二种是借一面墙，只围三边。我们的目标是找到每种方案下最省钱的设计，并比较哪个方案更好。 这里的核心数学思想是利用“均值不等式”求最值。大家需要注意方案二与方案一的区别，因为少围了一边，所以变量的关系会发生变化。 请大家先独立思考，列出两种方案下栅栏长度关于边长的函数表达式，再求最小值，最后对比总造价，看看哪个方案更省钱。 ‹#› 方案一解析 拔高题4：面积固定（200㎡）时，如何设计花园使栅栏总造价最低？ 01 核心原理分析 要使栅栏最短即求长方形最小周长。根据数学规律：“积一定，差小和小”。在面积固定时，长与宽的差值越小，周长（长+宽）×2就越小。当长=宽（即正方形）时，差值为0，此时周长达到最小值。 02 具体计算步骤 设正方形边长为 a，则 a² = 200，解得 a ≈ 14.14 米。 最短周长 L = 4a ≈ 4×14.14 = 56.56 米； 按每米50元计算，总造价 = 56.56 × 50 = 2828 元。 ✅ 最终方案结论 推荐形状：边长约 14.14 米的正方形花园。 关键数据：栅栏总长度仅需约 56.56 米，为同面积下的最小值。 此方案下的栅栏总造价约为：2828 元 （为成本最低方案）。 1.7.2013 接下来我们详细解析方案一。这道题的核心是在面积固定为200平米的条件下，求栅栏的最小周长，从而实现造价最低。 首先要掌握一个重要的数学结论：在面积相等的情况下，正方形的周长是所有四边形中最小的。简单说就是“积一定，差小和小”。 所以我们将花园设计为正方形，计算得出边长约为14.14米。以此计算周长约为56.56米。 最后乘以每米50元的单价，得到方案一的最低总造价约为2828元。这就是最优的设计方案。 ‹#› 拔高题4 方案设计：利用围墙省材料 【题干与分析】方案二要求利用一面墙围建面积为200㎡的花园，求栅栏（另外三边）的最小总长度及最低造价。设垂直于墙的一边长为 x 米，则平行于墙的一边长为 200/x 米，栅栏总长函数为 L = 2x + 200/x。根据极值原理，当 2x = 200/x 时，栅栏总长可取得最小值。 01 / 详细求解过程 步骤1：解方程求边长。令 2x = 200/x，两边同乘x得 2x²=200 → x²=100，解得 x=10（舍去负值）。即垂直于墙的边长为10米，平行于墙的边长为200÷10=20米。 步骤2：计算栅栏长度。最短栅栏总长 L = 2×10 + 20 = 40 米。按每米50元计算，总造价 = 40×50 = 2000元。 02 / 结论与方案对比 方案二最终结论：当花园设计为长20米（平行于墙）、宽10米时，所需栅栏最短，对应的总建设造价为2000元。 方案优劣对比：方案二造价2000元 < 方案一造价2828元，因此方案二更省钱，是最优实施方案。 核心方法总结：在面积固定求周长最短（或利用围墙求边长最短）的问题中，可利用数学极值思想， 让两变量相等时取得最值，再结合实际场景验证计算结果。 1.7.2013 再来看这道拔高题的方案二。这是一个利用一面墙的优化问题。 我们设垂直于墙的边长为x，那么平行于墙的边长就是200除以x。这样，栅栏的总长就是两倍的x加上200/x。通过数学极值计算，当2x等于200/x时，这个总长是最短的。 解这个方程得到x等于10。所以垂直墙的是10米，平行墙的是20米。算下来栅栏总长40米，造价正好2000元。 对比方案一的2828元，方案二不仅用的材料少，而且便宜了800多块钱。所以结论非常明显，方案二是更省钱的选择。这道题主要考察大家如何把实际省钱问题转化为数学的极值计算问题。 ‹#› 拔高挑战 【题目描述】在数轴上，点A表示数 -2，点B表示数 4。点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向左运动。设运动时间为 t 秒。 核心问题：是否存在某一时刻 t，使得线段 PQ 的长度恰好是线段 AB 长度的一半？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由。 01 表示坐标 · 锁定位置 依据“右加左减”原则，结合路程=速度×时间： ✅ 点P位置：-2 + t（从-2出发，向右累加） ✅ 点Q位置：4 - 2t（从4出发，向左递减） 这是将动点动态关系转化为代数表达式的关键。 02 列绝对值方程 · 求解验证 ① 基准计算：AB = |4 - (-2)| = 6，故PQ目标=3； ② 列方程：|(-2+t)-(4-2t)| = |3t-6| = 3； ③ 解得：t=1 或 t=3； ✅ 结论：存在，t=1秒或t=3秒时满足条件。 1.7.2013 这一页是一道备用的拔高挑战题，适合学有余力的同学。 这是一个典型的“双动点相遇”类问题，关键点在于两点同时出发、相向而行。 大家在解题时，可以按照我们之前总结的“三步走”来思考：首先用含时间 t 的式子表示出 P 和 Q 的位置；然后计算出固定线段 AB 的长度；最后根据 PQ = AB/2 列出绝对值方程求解。 ‹#› 备用拔高题2 【题目】某工厂要制作一批容积为 36π 立方米的圆柱形油罐。已知制作油罐侧面的铁皮每平方米成本为20元，制作油罐底面的铁皮每平方米成本为30元。 请问：油罐的底面半径和高各为多少米时，制作一个油罐的总成本最低？ 【核心思路】① 由体积公式 V=πr²h=36π，推导出 h=36/r²；② 构建成本关系：C(r)=底面成本+侧面成本=30×2πr² + 20×2πrh，代入 h 化简为 C(r)=60πr² + 1440π/r；③ 通过数量关系分析出最小值。 【答案与拓展】当底面半径 r=∛12≈2.29米，高 h=36/(∛12)²≈6.87米时，总成本最低。请思考：若侧面与底面铁皮单价相同，成本最低的条件会发生什么变化？这体现了数学在工程经济中的优化价值。 1.7.2013 最后一道备用题，也是一个方案优化问题。这次是制作圆柱形油罐，要求容积固定，求最低成本。这里涉及到侧面和底面不同的单价，需要我们建立一个成本函数，然后找到它的最小值。这道题稍微复杂一些，大家可以课后思考。 ‹#› 小结回顾 本节课我们学到了什么？ 01. 核心思想 牢牢掌握“数形结合”的解题思维，在图形变换与数量计算中精准寻找“不变量”，以此作为解题的关键突破口。 02. 基本方法 灵活运用周长、面积、体积的各类公式，根据题目条件建立起清晰的等量关系，将复杂问题转化为可计算的数学等式。 03. 思维进阶 培养分类讨论的严谨性、动态分析的逻辑性，并尝试对不同解题路径进行方案优化，全面提升数学逻辑思维能力。 04. 数学之美 深刻体会数学知识在解决实际复杂问题中的强大作用，感受数学逻辑带来的条理与简洁，领略数学学科的独特魅力。 1.7.2013 好了，我们今天的“小灶课”也接近尾声了。回顾一下，我们不仅巩固了利用“不变量”解决图形问题的核心思想，还挑战了需要分类讨论、动态分析和方案优化的复杂问题。希望大家能感受到数学在解决实际问题中的强大作用和独特魅力。 ‹#› 循理而行，来日再研 $