精品解析：山西运城市临猗县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年第二学期期末学业水平测试 八年级数学试卷 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在中华传统春节文化中，对称、平移、旋转等几何变换常被运用于年画、窗花、logo设计，以体现“圆满”“和谐”“循环”等美好寓意．以下四款中央广播电视总台春节联欢晚会主标识的图案（文字除外），最能体现平移变换的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、该图案（2026年标识）可以看作由一个基本图形（回纹/马头纹）沿右上方向平移得到，符合平移变换的定义，故此选项符合题意； B、该图案（2025年标识）属于旋转变换（中心对称），不能通过平移得到，故此选项不符合题意； C、该图案（2024年标识）属于轴对称变换，不能通过平移得到，故此选项不符合题意； D、该图案（2023年标识）主要由曲线构成，无法通过平移得到，故此选项不符合题意. 2. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC工程人员这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC，BE＝CE， ∴AE⊥BC， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键． 3. 下列各式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，即可得到答案． 【详解】解：A.没有把一个多项式转化为几个整式的积的形式，故A错误，不符合题意； B.是整式的乘法，故B错误，不符合题意； C.是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故C正确，符合题意； D. 是整式的乘法，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，是解题的关键． 4. 请阅读以下关于解答“在中，，求证：”的过程： 证明：假设． 这与“三角形三个内角的和等于”相矛盾． 假设不成立． ． 这种证明方法是（ ） A. 综合法 B. 反证法 C. 枚举法 D. 归纳法 【答案】B 【解析】 【分析】熟记反证法的步骤，即可得出结论； 【详解】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有 5. 学习了不等式的性质后，下面是小红和小星的对话． 根据以上对话，用不等式描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据小星和小红的描述列不等式即可． 【详解】解：根据小星的描述可得， 根据小红的描述可得， 即若，则， 故选：B． 6. 如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若，且，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（ ） A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等 C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别平行 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题关键． 【详解】解：由题意可知，，且， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 故选：A． 7. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点D，根据含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，求出，分割法推出阴影部分的面积即为的面积，即可得出结果. 【详解】解：由旋转的性质可得出，，， 过点作于点D，如图， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，在正五边形中，为边延长线上一点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正多边形的外角和是，求出这个正多边形的每个内角，再根据，得出，最后根据，即可得出答案． 【详解】解：∵正五边形， ，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的外角和内角的度数是常用的一种方法． 9. 习近平总书记强调“搞好城市内绿化，使城市适宜绿化的地方都绿起来”，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标．我省继续推进塞罕坝造林工程，工程队计划种植75000棵树苗，已知“…”．设计划每天植树棵，则可得到方程．根据所列方程，题中“…”表示的缺失的条件应该是（ ） A. 实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划提前五天完成 B. 实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划延期五天完成 C. 实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划提前五天完成 D. 实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划延期五天完成 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查列方程解决实际问题，理解方程的意义是解题的关键．根据所列方程中各部分的含义推断出所欠缺的条件，即可解答． 【详解】解：∵设计划每天植树棵， ∴方程中表示原计划种植的时间（天数），表示实际每天种植棵，即实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，表示实际种植的时间（天数），表示原计划种植的时间比实际种植的时间多5天，即提前5天完成． ∴题中“…”表示的缺失的条件应该是：实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划提前五天完成，故A正确． 故选：A． 10. 如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分．若，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】延长，相交于点G，根据平行四边形的性质可得，，通过证明得出，，进而得出，即可求解． 【详解】解：延长，相交于点G， ∵四边形为平行四边形， ∴，则，， ∴， ∵是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造等腰三角形，掌握平行四边形对边平行且相等，全等三角形对应边相等，以及“三线合一”定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 写出命题“如果，那么”的逆命题：_____． 【答案】如果，那么 【解析】 【分析】本题考查根据原命题写逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可得到逆命题． 【详解】解：原命题的条件是“”，结论是“”，因此逆命题是“如果，那么”． 故答案为：如果，那么． 12. 如图，将沿着点到的方向平移到的位置，此时，，阴影部分面积为40，则平移的距离为______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，，即得，求出，即可求出，即为平移的距离． 【详解】解：∵，沿着点B到C点的方向平移到的位置， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：，即为平移的距离； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质、得出是解题的关键． 13. 对于实数和，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如，设，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解不等式，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，以及解一元一次不等式的方法和步骤． 根据题目所给新定义，进行分类讨论，先求出x的取值范围，再去除y的取值范围即可． 【详解】解：当，即时，， ∴； 当，即，， ∴， 综上：的取值范围为． 故答案为：． 14. 如图，平分是上一点，过点分别作于点交于点．若，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】作交于，由角平分线的性质可得，由平行线的性质可得，由三角形外角的定义可得，由含有角的直角三角形的性质可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：作交于， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、三角形外角的定义、含有角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质、平行线的性质、三角形外角的定义、含有角的直角三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 15. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，延长交于点．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点．由旋转的性质，得，，．所以，．所以．在Rt中，根据勾股定理，求得的长．在和中，求得和的长．再根据求解即可． 【详解】解：如解图，过点作交的延长线于点． 由旋转的性质，得，，． 所以，． 所以． 在中，根据勾股定理，得 ． 在中，， ∴ 在中，， ∴ 由勾股定理得，即， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形，或角的直角三角形得性质及勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）因式分解：； （2）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 任务： ①在上述过程中，第一步依据的数学公式用字母表示为__________； ②第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为__________； ③第__________步出现错误，错误的原因是__________； ④因式分解正确的结果为__________． 【答案】（1）；（2）①，②乘法分配律，③二；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号，④ 【解析】 【分析】（1）先提取公因式b，再根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）①根据平方差公式即可进行解答；②根据乘法分配律即可进行解答；③根据去括号的法则即可进行解答；④根据题意，进行因式分解，即可得出结论． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：① ②乘法分配律 ③二；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号 ④原式 ． 故答案为：；乘法分配；二；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法于步骤，以及完全平方公式、平方差公式、去括号的法则等． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】先算括号内的加法，再将除式的分母因式分解，把除法转化为乘法，约分即可化简原式，最后将代入化简后的式子，进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算的顺序和运算法则，是解题的关键． 18. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在，边上，且．求证四边形是平行四边形 【答案】见详解 【解析】 【分析】证明，进而根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】证明：在平行四边形中， ∴,, 在和中， , ∴， ∴, ∵, ∴, ∴四边形是平行四边形． 19. 为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）． 方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品． 方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折． 设校学生会计划购买个A种奖品，且是5的倍数，选择方案一的总费用为元，选择方案二的总费用为元． （1）请分别写出与之间的函数关系式． （2）校学生会选择哪种方案支付的费用较少？ 【答案】（1）， （2）当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选择方案一支付的费用较少 【解析】 【分析】（1）根据总费用，两种奖品费用之和列出、关于的函数解析式； （2）根据（1）中解析式分三种情况讨论：，，分别求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，． 【小问2详解】 解：由，得． 解得； 由，得． 解得； 由，得． 解得． 答：当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选择方案一支付的费用较少． 【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出函数解析式． 20. 年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． （1）若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元；若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ （2）在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求的值． 【答案】（1）甲型机器人的每台进价为万元，乙型机器人的每台进价为万元 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为、万元，根据题意列出二元一次方程组，并求解即可； （2）根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型机器人每台的进价为万元，乙型机器人每台的进价为万元． 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解且符合题意． 答：的值为． 21. 阅读下列材料，回答问题： 我们把形如 或 的式子叫做完全平方式，利用完全平方式可以进行很多数学变形． 例如：若 求a， b的值． 解：原式可变形为 即 解得． 根据上述材料，解决下列问题： （1）若 求x， y的值； （2）已知 的三边长a，b，c满足 判断 的形状，并说明理由； （3）求代数式 的最小值． 【答案】（1） （2）等边三角形，理由见解析 （3）2 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形为，利用非负数的性质即可求出答案； （2）原式变形为，根据非负数的性质即可求出答案； （3）原式配方得： ，利用非负数的性质即可求出答案． 【小问1详解】 解：原式变形为： 即 ∵平方数非负，． 解得 【小问2详解】 是等边三角形 理由： 两边乘2得： 变形为： ∵平方数非负性， ，即 是等边三角形． 【小问3详解】 原式配方得： ， ∴当时，原式取最小值2 22. 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 年月日星期一 今天，同学们学习了三角形中位线定理的相关内容，知道了“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”．课下，对三角形中位线定理的相关知识进行了复习，并对它相关的命题产生了兴趣．如图1，在中，分别是边上的点，同学们提出了以下三个命题： I.若是边的中点，且，则是边的中点． II.若，且，则分别是边的中点． III.若是边的中点，且，则是边的中点． 任务： （1）从所提出的三个命题中选择一个假命题，并在图2中画出反例．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）从所提出的三个命题中选择一个真命题进行证明． 【答案】（1）假命题为命题I．所画图形见解析 （2）真命题为命题II．证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理解答即可； （2）根据平行四边形的判定和性质进行解答即可得到答案． 【小问1详解】 解：假命题为命题I， 所画图形如解图1， ， 如图，是边的中点，且，但显然不是的中点； 【小问2详解】 解：真命题为命题II， 证明：如解图，过点作交边于点，连接， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 分别是边的中点． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 23. 综合与实践 特例感知： 如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，分别过点作，过点作，交于点，连接与交于点． （1）试判断和的数量关系，并说明理由． （2）猜想论证：将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由． （3）拓展延伸：将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度，当时，请直接写出的值． 【答案】（1） ， 理由：和都是等边三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ； （2） （1）中和的数量关系仍然成立， ， 和都是等边三角形， ， ， ， ，， ， 同（1）可知，， ， ； （3）的值为 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和证明，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）延长，交于点，根据等边三角形的性质和证明，进而利用全等三角形的性质解答即可； （3）利用（2）中的结论解答即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：当时，如图， ， 由（2）可知，， ， ， ， 的值为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末学业水平测试 八年级数学试卷 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在中华传统春节文化中，对称、平移、旋转等几何变换常被运用于年画、窗花、logo设计，以体现“圆满”“和谐”“循环”等美好寓意．以下四款中央广播电视总台春节联欢晚会主标识的图案（文字除外），最能体现平移变换的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC工程人员这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 3. 下列各式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 请阅读以下关于解答“在中，，求证：”的过程： 证明：假设． 这与“三角形三个内角的和等于”相矛盾． 假设不成立． ． 这种证明方法是（ ） A. 综合法 B. 反证法 C. 枚举法 D. 归纳法 5. 学习了不等式的性质后，下面是小红和小星的对话． 根据以上对话，用不等式描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若，且，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（ ） A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等 C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别平行 7. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 8. 如图，在正五边形中，为边延长线上一点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 习近平总书记强调“搞好城市内绿化，使城市适宜绿化的地方都绿起来”，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标．我省继续推进塞罕坝造林工程，工程队计划种植75000棵树苗，已知“…”．设计划每天植树棵，则可得到方程．根据所列方程，题中“…”表示的缺失的条件应该是（ ） A. 实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划提前五天完成 B. 实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划延期五天完成 C. 实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划提前五天完成 D. 实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划延期五天完成 10. 如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分．若，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 写出命题“如果，那么”的逆命题：_____． 12. 如图，将沿着点到的方向平移到的位置，此时，，阴影部分面积为40，则平移的距离为______ 13. 对于实数和，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如，设，则的取值范围为_____． 14. 如图，平分是上一点，过点分别作于点交于点．若，则的长为______． 15. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，延长交于点．若，则的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）因式分解：； （2）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 任务： ①在上述过程中，第一步依据的数学公式用字母表示为__________； ②第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为__________； ③第__________步出现错误，错误的原因是__________； ④因式分解正确的结果为__________． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在，边上，且．求证四边形是平行四边形 19. 为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）． 方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品． 方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折． 设校学生会计划购买个A种奖品，且是5的倍数，选择方案一的总费用为元，选择方案二的总费用为元． （1）请分别写出与之间的函数关系式． （2）校学生会选择哪种方案支付的费用较少？ 20. 年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． （1）若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元；若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ （2）在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求的值． 21. 阅读下列材料，回答问题： 我们把形如 或 的式子叫做完全平方式，利用完全平方式可以进行很多数学变形． 例如：若 求a， b的值． 解：原式可变形为 即 解得． 根据上述材料，解决下列问题： （1）若 求x， y的值； （2）已知 的三边长a，b，c满足 判断 的形状，并说明理由； （3）求代数式 的最小值． 22. 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 年月日星期一 今天，同学们学习了三角形中位线定理的相关内容，知道了“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”．课下，对三角形中位线定理的相关知识进行了复习，并对它相关的命题产生了兴趣．如图1，在中，分别是边上的点，同学们提出了以下三个命题： I.若是边的中点，且，则是边的中点． II.若，且，则分别是边的中点． III.若是边的中点，且，则是边的中点． 任务： （1）从所提出的三个命题中选择一个假命题，并在图2中画出反例．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）从所提出的三个命题中选择一个真命题进行证明． 23. 综合与实践 特例感知： 如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，分别过点作，过点作，交于点，连接与交于点． （1）试判断和的数量关系，并说明理由． （2）猜想论证：将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由． （3）拓展延伸：将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度，当时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $