专题二十 四边形-【冲刺2027】2026年中考数学真题汇编

**基本信息** 聚焦四边形全体系知识，以题组形式覆盖从平行四边形到特殊四边形的性质判定、图形变换及动态问题，强调逻辑推理与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|选择1-16、填空17-37|多结论判断、性质应用|从一般平行四边形到特殊四边形的概念生成链| |综合应用|解答38-46|动态几何、变换探究|性质判定→推理证明→模型构建的递进逻辑|

专题二十 四边形 一．选择题（共16小题） 1．（2026•新疆）如图，在▱ABCD中，点E在AB上．第一步：以点E为圆心，任意长为半径画弧交AE，DE于点M，N；第二步：以点B为圆心，EM长为半径画弧交AB于点P；第三步：以点P为圆心，MN长为半径画弧交第二步所画的弧于点Q，连接BQ并延长，交DC于点F．则下列结论一定成立的是（　　） A．∠ABF＝∠CBF B．∠ADE＝∠CBF C．DF＝CF D．BE＝BF 2．（2026•河南）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x轴上，对角线OB，AC交于点P，OA＝2，OC＝4．将矩形OABC向左平移，当点P的对应点落在y轴上时，点A的对应点的坐标为（　　） A．（﹣2，2） B．（﹣2，1） C．（0，2） D．（0，1） 3．（2026•黑龙江）如图，在菱形ABCD中，DE垂直平分BC，∠EDF∠ADC，DF，DE分别交对角线AC于G，H两点，下列结论：①连接EF，则△DEF为等边三角形；②过点G作GN⊥AD于点N，则GN＝GF；③AG＝GH＝CHEF；④M为边AB上任意一点，连接MD和ME，若S△BME：S△DEC＝4：5，则有S△DAM：S菱形ABCD＝1：10；⑤逆时针旋转∠FDE，使射线DF与边AB交于点P，射线DE与边BC交于点Q，若CQ，AP＝2，则PQ．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 4．（2026•河北）如图，将一个边长为a的正方形分成6个全等的矩形，若这6个矩形周长之和比原正方形的周长多48，则a的值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 5．（2026•广元）如图，l1，l2经过正五边形的两个顶点，且l1∥l2，若∠1＝80°，则∠2＝（　　） A．48° B．46° C．44° D．42° 6．（2026•湖北）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，若A（﹣1，0），B（0，﹣2），C（3，0），则点D的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（2，2） C．（1，2） D．（2，1） 7．（2026•陕西）如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点E在BC的延长线上．若CE＝2BC，则tan∠AFC的值为（　　） A．2 B． C． D． 8．（2026•山西）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．将线段AD沿射线AB方向平移，点A，D的对应点分别为点E，F，线段EF分别与OA，OD交于点G，H．当点G是OA的中点时，的值为（　　） A． B． C． D． 9．（2026•上海）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点（不与A、B重合），过点E作EM∥BD，交AD于点M，作E、M关于BD的对称点F、G，联结EF、MG交BD于点P、H．下列说法正确的是（　　） ①四边形EFGM周长是定值； ②四边形EPHM周长是定值． A．①、②均正确 B．①正确②错误 C．②正确①错误 D．①②均错误 10．（2026•攀枝花）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M、N分别是BC、BO的中点，∠ABC＝60°，AB＝4，则MN的长为（　　） A． B．1 C． D．2 11．（2026•攀枝花）如图，四边形ABCD中，若AB＝AD，CB＝CD，则称四边形ABCD为筝形．筝形一定具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 12．（2026•眉山）如图，矩形ABCD中，点F在线段BC上，连接AF．AE平分∠BAF交BC于点E，过点E作EM⊥AF，垂足为点N，交AD于点M．若AB＝6，BE＝2，则△AMN的面积为（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 13．（2026•眉山）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝6cm，BD＝8cm，点P为线段BC上的一个动点（不与端点重合），过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BD于点N，连接MN，则MN的最小值为（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 14．（2026•乐山）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件后，不能确定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC 15．（2026•自贡）如图，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝6，∠D＝60°，∠DAB与∠ABC的角平分线分别交CD于点E，F，AE与BF相交于点P，连接CP，则sin∠PCF的值为（　　） A．2 B． C． D． 16．（2026•泸州）▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．下列结论中一定成立的是（　　） A．OA＝OB＝OC＝OD B．AC⊥BD C．AC⊥BD，AC＝BD D．OA＝OC，OB＝OD 二．填空题（共21小题） 17．（2026•南京）正九边形，任意顺次连接某几个顶点恰好构成一个正n边形，求n可以是　 　 （任写一个符合的）． 18．（2026•内蒙古）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AC是它的一条对角线．以点B为圆心，BA长为半径画弧，交AC于点E（异于点A），分别以点A和点E为圆心，大于AE长为半径，在直线AC的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点M，连接BM，与AC交于点N，则BN的长为　 　 ． 19．（2026•齐齐哈尔）菱形ABCD中，点E是边AD的中点，EF⊥BC交直线BC于点F．若DE＝3CF，EF＝4，则菱形ABCD的边长为 　 　 ． 20．（2026•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，请添加一个条件　 　 ，使四边形ABCD是平行四边形． 21．（2026•广西）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE，BE．若AB＝4，，则BE＝ 　 　 ． 22．（2026•宜宾）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E．已知BD＝20cm，则AB的长为　 　 cm． 23．（2026•内江）在边长为6的正方形ABCD中，点P、Q分别为对角线AC、边CD上的动点，且DQAP，则PQ的最小值为 　 　 ． 24．（2026•上海）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，如果BC＝2AD，S△PMN＝1，则梯形ABCD的面积为　 　 ． 25．（2026•天津）如图，在菱形ABCD中，BC＝5，∠B＝60°，连接AC． （Ⅰ）线段AC的长为 　 　 ； （Ⅱ）点E在边AB上，点F在BC的延长线上，EF与AC相交于点G，H为CD的中点．若AE＝CF＝1，则线段GH的长为 　 　 ． 26．（2026•湖南）如图，BD是两个正六边形的公共边，A和C是离B最远的顶点，则∠ABC＝　 　 ． 27．（2026•江西）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是边AD上的动点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F．当△BFC面积最大时，DE的长为　 　 ． 28．（2026•烟台）如图，以原点O为顶点作边长为2的菱形OA1A2A3，点A3在x轴上，且∠A1OA3＝60°，将点A3向右平移2个单位得到点A4，以A4为顶点作与菱形OA1A2A3全等的菱形A4A5A6A7，点A7在x轴上；再将点A7向右平移2个单位得到点A8，以A8为顶点作与菱形OA1A2A3全等的菱形A8A9A10A11，点A11在x轴上；…；按照以上规律作图，则点A126的坐标为　 　 ． 29．（2026•连云港）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠BAD的平分线交CD于点E，则CE＝　 　 ． 30．（2026•凉山州）四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足AO＝CO，请添加一个适当的条件：　 　 ，使四边形ABCD成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 31．（2026•云南）在矩形ABCD中，若AC＝7，则BD＝　 　 ． 32．（2026•自贡）如图，正方形ABCD中，点E为CD的中点，作∠EBF＝45°，交AD于点F．点G，H分别在等腰Rt△DFQ的直角边DQ和斜边FQ上，且GQFH，FG与DH交于点P．连接BP，若AF＝2，则BP的最小值为　 　 ． 33．（2026•连云港）如图，菱形ABCD中，∠BCD＝60°，CD＝6，点P在边CD上，且PC＝2，Q为边BC上的动点，点C关于PQ的对称点为C′．若△C′AD、△C′BD的面积分别记为S△C′AD、S△C′BD，则S△C′AD﹣S△C′BD的最大值为　 　 ． 34．（2026•安徽）如图，点F在正五边形ABCDE的边AB的延长线上，则∠CDE﹣∠CBF＝　 　 °． 35．（2026•泸州）已知矩形的对角线长为6，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为　 　 ． 36．（2026•成都）正八边形的每个内角的度数都为　 　 ． 37．（2026•遂宁）如图，在边长为3cm的正方形ABCD中，以点B为圆心，cm为半径作弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线BK．点E在边AB上，且BE＝2AE，连结EM并延长，交BK于点F，连结DF，交BC于点G，则DG的长为　 　 cm． 三．解答题（共9小题） 38．（2026•内蒙古）综合与探究 问题情境：有一张边长为15的正方形纸片ABCD，将一张腰长为9的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶点A重合放置，记该三角形为△AEF．顶点E，F分别在正方形的AB，AD边上，如图1．现将△AEF绕点A按逆时针方向旋转α角，其中0°＜α＜90°，得到△AE′F′，连接BE′，DF′，如图2． 初步探究：（1）猜想线段BE′与线段DF′的数量关系，并说明理由； 深入探究：（2）在△AEF绕点A按逆时针方向旋转过程中，当AE′与BE′互相垂直时，AE′交EF边于点M，E′F′交AD边于点N，如图3． ①求证：NA•NF′＝ND•NE′； ②求△AEM与△AFM面积的比值． 39．（2026•湖北）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别是边AB，BC，CD的中点．求证：△EBF≌△GCF． 40．（2026•巴中）如图，在▱ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE． （1）求证：四边形AFCE为平行四边形． （2）若EF⊥AC，BC＝AC，∠B＝70°，求∠BAF的度数． 41．（2026•河北）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，正方形DEFG的顶点D，E，F分别在△ABC的三边AB，BC，CA上．当点D从点B出发沿BA向点A移动时，点E，F随之分别在BC，CA上移动（正方形DEFG的大小发生变化），当点F与点C重合时，移动停止． （1）tan∠ABC＝　 　 ． （2）如图1，当∠BED＝45°时，求证：BE＝CE． （3）①如图2，当BD时，求BE的长． ②当BE时，直接写出正方形DEFG的边长． （4）在移动过程中，每当点G移动1个单位长度时，点E均移动d个单位长度，直接写出d的值． 42．（2026•黑龙江）在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为直线AC上一点，连接BE，过E点作EF⊥BE，交AD边所在的直线于点F． （1）如图①，当点E在OC上时，求证：AB+AFAE； （2）如图②，当点E在OA上时；如图③，当点E在CA的延长线上时，请分别写出线段AB，AF，AE之间的数量关系，不需要证明． 43．（2026•广西）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E，使得BE＝AB，连接BD，CE． （1）求证：△ABD≌△BEC； （2）若∠A＝30°，AD⊥DB，BD＝1，求四边形AECD的周长． 44．（2026•新疆）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE＝DF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 45．（2026•扬州）如图，在▱ABCD中，O是CD的中点．分别延长AO，BC交于点E，连接AC，DE． （1）求证：四边形ACED是平行四边形； （2）若BE＝8，∠BAE＝90°，求四边形ACED的周长． 46．（2026•苏州）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形； （2）若∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，求▱BFDE的面积． 参考答案 一．选择题 1．【答案】B 【解析】解：由作图步骤可知，∠ABF＝∠AED， ∵▱ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝180°﹣∠A﹣∠ABF， ∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED， ∵∠ABF＝∠AED， ∴∠ADE＝∠CBF，其余结论均不能证明． 故选：B． 2．【答案】A 【解析】解：过点P作PD⊥OA轴于点D，如图所示： ∵OA＝2，OC＝4， ∴点A的坐标为（0，2），点C的坐标为（4，0）， ∵四边形OABC是矩形，对角线OB，AC交于点P， ∴OA⊥OC，点P是AC的中点， ∵PD⊥OA轴于点D， ∴PD∥OC， ∴PD是△AOC的中位线， ∴PDOC＝2，OD＝ADOA＝1， ∵将矩形OABC向左平移，当点P的对应点落在y轴上， ∴点P向左平移了2个单位长度， ∵点A的坐标为（0，2）， ∴点A向左平移2个单位长度得点对应点的坐标为（﹣2，2）． 故选：A． 3．【答案】C 【解析】解：如图，连接EF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC+∠BCD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°， ∵DE垂直平分BC， ∴DB＝CD，BE＝EC，∠DEC＝90°， ∴DB＝CD＝BC， 即△DBC为等边三角形， ∴∠DBC＝∠BCD＝∠CDB＝60°，∠ABC＝120°，∠ADC＝120°， ∴△ABD也是等边三角形，∠BAD＝60°， ∵， ∴∠EDF＝60°， ∵DE⊥BC，△DBC为等边三角形， ∴DE平分∠CDB，∠CDE＝∠BDE＝30°， ∴∠FDB＝∠EDF﹣∠BDE＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ADF＝∠ADB﹣∠FDB＝60°﹣30°＝30°， ∵∠BAD＝∠BCD＝60°，DA＝CD，∠ADF＝∠CDE＝30°， ∴△ADF≌△CDE（ASA）， ∴DF＝DE， ∵∠EDF＝60°， ∴△DEF为等边三角形， 故①正确，符合题意； 如图，过点G作GN⊥AD于点N， ∵∠BAD＝60°，∠ADF＝30°， ∴∠AFD＝90°， 即GF⊥AB， ∵AC平分∠DAB，GN⊥AD，GF⊥AB， ∴GN＝GF， 故②正确，符合题意； ∵△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD， ∵DF⊥AB， ∴， ∵AB∥CD， ∴△AFG∽△CDG， ∴， ∴， 同理△CEH∽△ADH，， ∴， ∴， 即， ∵点E、F是BC、AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴， ∴AC＝2EF， ∴， 故③正确，符合题意； 如图，M为边AB上任意一点，连接MD和ME，过点M作MH⊥BC交CB延长线于点H， 设菱形边长为a，则， ∴S菱形ABCD＝BC•DE＝a•a，， ∵S△BME：S△DEC＝4：5， ∴， ∴， 解得， ∵∠ABC＝120°， ∴∠MBH＝60°， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 由旋转性质知∠PDQ＝60°， ∵∠ADB＝60°， ∴∠ADP＝∠BDQ， ∵∠ADP＝∠BDQ，DA＝DB，∠DAB＝∠DBQ＝60°， ∴△DAP≌△DBQ（ASA）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点P作PM⊥CB交CB延长线于M， ∵∠ABC＝120°， ∴∠PBM＝60°， ∴，PM＝PB•sin60°， ∴MQ＝BM+BQ， 在Rt△PMQ中，PQ， 故⑤错误，不符合题意． 综上所述，正确的是①②③④． 故选：C． 4．【答案】B 【解析】解：如图所示： 依题意设AE＝x，AH＝DH＝y， ∴AB＝3x，AD＝2y， ∵四边形ABCD是正方形，且边长得a， ∴AB＝AD＝a， ∴3x＝2y＝a， ∴y＝1.5x，a＝3x， ∴正方形ABCD的周长为：4a＝12x，每个小矩形的周长为：2（x+y）＝5x， ∴6个矩形周长之和：6×5x＝30x， 又∵6个矩形周长之和比原正方形ABCD的周长多48， ∴30x﹣12x＝48， 解得：x， ∴a＝3x＝8． 故选：B． 5．【答案】C 【解析】解：如图所示，过点A作l3∥l1． ∵l1∥l2， ∴l1∥l2∥l3． ∴∠1＝∠BAF，∠EAF＝∠3． ∵正五边形ABCDE的各内角相等， ∴∠BAE＝∠AED． ∵正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠BAE＝∠AED＝540°÷5＝108°． ∵∠1＝80°， ∴∠BAF＝80°， ∴∠EAF＝∠BAE﹣∠BAF＝108°﹣80°＝28°， ∴∠3＝28°． ∵∠2+∠AED+∠3＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠AED﹣∠3 ＝180°﹣108°﹣28° ＝72°﹣28° ＝44°． 故选：C． 6．【答案】B 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴对角线AC与BD互相平分，即AC的中点与BD的中点重合． 已知A（﹣1，0），C（3，0）， 设AC的中点为M， 根据中点坐标公式：， 设D（x，y），已知B（0，﹣2），且BD的中点也为M（1，0），再根据中点坐标公式：，， 解得：x＝2，y＝2， ∴点D的坐标是（2，2）． 故选：B． 7．【答案】B 【解析】解：连接AC， 在正方形ABCD和正方形CEFG中，∠ACD∠BCD＝45°，∠GCF∠GCE＝45°， ∴∠ACF＝90°， ∵CE＝2BC， ∴设BC＝a，CE＝2a， ∴ACBCa，CFCE＝2a， ∴tan∠AFC， 故选：B． 8．【答案】A 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB， 由平移的性质得：EF∥AD， ∴GH∥AD， ∵点G是OA的中点， ∴OG＝AG，OA＝2AG， ∵GH∥AD， ∴△OGH∽△OAD， ∴， ∴． 故选：A． 9．【答案】B 【解析】解：设正方形ABCD的边长为a，则a为定值， 由正方形性质得：AB＝a，∠A＝∠EBF＝90°，∠ABD＝45°， 设BE＝x，则AE＝AB﹣BE＝a﹣x， ∵EM∥BD， ∴∠AEM＝∠ABD＝45°， 在△AEM中，∠A＝90°，∠AEM＝45°， ∴△AEM是等腰直角三角形， ∴AM＝AE＝a﹣x， 由勾股定理得：EMAE， ∵点E、M关于BD的对称点为F、G， ∴EF⊥BD，EP＝FPEF，MG⊥BD，MH＝GHMG，EM∥FG， ∴BD是EF的垂直平分线， ∴BF＝BE＝x， ∵EM∥BD， ∴EF⊥EM，EF⊥FG，MG⊥EM，MG⊥FG， ∴四边形EFGM和四边形EPHM都是矩形， ∴PH＝EM＝FG， 在△BEF中，∠EBF＝90°， 由勾股定理得：EFBE， ∴MG＝EF， ∴EP＝MHEF， ∴矩形EFGM周长为：2EM+2EF为定值； 矩形EPHM的周长为：2EM+2EP不是定值， 综上所述：①正确②错误， 故选：B． 10．【答案】B 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝4， ∴CB＝AB＝4，OCAC， 在△ABC中，CB＝AB＝4，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝4， ∴OCAC＝2， ∵点M、N分别是BC、BO的中点， ∴MN是△BOC的中位线， ∴MNOC＝1． 故选：B． 11．【答案】B 【解析】解：∵AB＝AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB＝CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴AC垂直平分线段BD． ∴筝形的AC⊥BD或AC垂直平分线段BD． 故选：B． 12．【答案】B 【解析】解：∵AE平分∠BAF， ∴∠BAE＝∠NAE． ∵EM⊥AF， ∴∠ANE＝90°， 在矩形ABCD中，∠B＝90°， 在△ABE和△ANE中：∠B＝∠ANE＝90°． ∠BAE＝∠NAE． AE＝AE（公共边）， ∴△ABE≌△ANE（AAS）． 根据全等三角形的性质可得：AN＝AB＝6，EN＝BE＝2． 设MN＝x． ∵M，N，E三点共线， ∴ME＝MN+EN＝x+2． 在Rt△AMN中，根据勾股定理：AM2＝AN2+MN2． 代入数值：AM2＝62+x2＝36+x2． ∵AD∥BC， ∴∠AME＝∠CEM（内错角相等）． 在Rt△AMN中，∠MAN+∠AMN＝90°， 在Rt△ANE中，∠NAE+∠AEN＝90°， ∵∠MAN＝∠NAE， ∴∠AMN＝∠AEN． 在△AME中，∠AME＝∠AEM（即∠AEN）， ∴△AME是等腰三角形， 即AM＝ME． 由AM＝ME可得：AM＝x+2． 将AM＝x+2代入步骤2中的勾股定理方程：（x+2）2＝36+x2， 展开方程：x2+4x+4＝36+x2， 移项合并同类项：4x＝32， 解得：x＝8． ∴MN＝8． △AMN是直角三角形，两直角边分别为AN和MN． 面积S△AMN•AN•MN6×8＝24． 故选：B． 13．【答案】B 【解析】解：在菱形ABCD中，已知对角线AC＝6cm，BD＝8cm，交于点O． 根据菱形性质：对角线互相垂直平分→AO＝OC＝3cm，BO＝OD＝4cm； 边长． 点P在BC上运动， 作PM⊥AC，PN⊥BD． 由于AC⊥BD， 四边形PMON为矩形， ∴MN＝OP． 因此，求MN的最小值等价于求点O到线段BC的最短距离， 即当OP⊥BC时取得最小值． 利用△BOC面积的两种表示法： 方法一：， 方法二：， 解得：， 故MN的最小值为． 故选：B． 14．【答案】C 【解析】A项，增加条件AB＝AD， 因为四边形ABCD是平行四边形， 根据“在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形ABCD是菱形． 故A项表述正确． B项，增加条件AC⊥BD， 根据“对角线相互垂直的平行四边形是菱形”可得四边形ABCD是菱形． 故B项表述正确． C项，增加条件AC＝BD， 由“对角线相等的平行四边形是矩形”可得四边形ABCD是矩形， 当矩形ABCD不是正方形时，矩形ABCD就不是菱形． 故C项表述错误． D项，增加条件∠BAC＝∠DAC， 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD， 所以∠ACB＝∠DAC， 所以∠ACB＝∠BAC， 所以AB＝BC． 根据“在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形ABCD是菱形． 故D项表述正确． 故选：C． 15．【答案】D 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，AD＝6，∠D＝60°， ∴DC＝AB＝8，DC∥AB，∠ABC＝∠D＝60°， ∴∠DAB＝180°﹣∠D＝120°， ∵∠DAB与∠ABC的角平分线分别交CD于点E，F，AE与BF相交于点P， ∴∠BAE＝∠DAE∠DAB＝60°，∠ABF＝∠CBF∠ABC＝30°， ∴∠APB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABF＝90°，∠AED＝∠BAE＝60°， ∴APAB＝4， ∵∠D＝∠DAE＝∠AED＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AE＝DE＝AD＝6， ∴PE＝AE﹣AP＝6﹣4＝2，CE＝DC﹣DE＝8﹣6＝2， ∴PE＝CE， ∴∠EPC＝∠PCF， ∵∠AED＝∠EPC+∠PCF＝2∠PCF＝60°， ∴∠PCF＝30°， ∴sin∠PCF＝sin∠30°， 故选：D． 16．【答案】D 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD， 故选项D一定成立，符合题意； 对于选项A， ∵平行四边形的对角线不一定相等， ∴OA＝OB＝OC＝OD不一定成立， 故选项A不符合题意； 对于选项B， ∵平行四边形的对角线不一定垂直， ∴AC⊥BD不一定成立，故选项B不符合题意； 对于选项C， ∵平行四边形的对角线不一定垂直，也不一定相等， ∴AC⊥BD，AC＝BD不一定成立， 故选项C不符合题意． 故选：D． 二．填空题（共21小题） 17．【答案】3或9． 【解析】解：∵正九边形， ∴外接圆对应的圆心角为：， ∵顺次连接正九边形的若干顶点得到的正n边形，顶点必然也落在这个外接圆上， ∴它的相邻顶点对应的圆心角为，该角度必须是40°的正整数倍， 即存在正整数k满足：，整理可得k×n＝9， 9的正整数因数中，满足多边形边数n≥3的取值只有3和9， 故答案为：3或9． 18．【答案】． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4， ∵AB＝2， ∴AC2， 由题意得到BN⊥AC， ∵△ABC的面积AC•BNAB•BC， ∴2BN＝2×4， ∴BN． 故答案为：BN． 19．【答案】或． 【解析】解：∵DE＝3CF， ∴设CF＝a，则DE＝3a，其中a＞0， ∵点E是边AD的中点， ∴AD＝2DE＝6a， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD＝6a，AD∥BC， ∵EF⊥BC交直线BC于点F， ∴EF⊥BC， ∴∠EFC＝∠FED＝90°， 依题意有以下两种情况： ①当点F在BC上时，过点CH⊥AD于点H，如图1所示： ∴∠CHE＝∠CHD＝90°， ∴∠CHE＝∠EFC＝∠FED＝90°， ∴四边形CHEF是矩形， ∴HE＝CF＝a，CH＝EF， ∴DH＝DE﹣HE＝3a﹣a＝2a， 在△CHD中，∠CHD＝90°， 由勾股定理得：CH， 解得：a， ∴CD＝6a， ∴菱形ABCD的边长为； ②当点F在BC的延长线上时，过点CH⊥AD于点H，如图2所示： ∴∠CHD＝90°， 同①得：四边形CHEF是矩形， HE＝CF＝a，CH＝EF， ∴DH＝DE+HE＝3a+a＝4a， 在△CHD中，∠CHD＝90°， 由勾股定理得：CH， 解得：a， ∴CD＝6a， ∴菱形ABCD的边长为， 综上所述：菱形ABCD的边长为或． 故答案为：或． 20．【答案】OB＝OD（答案不唯一）． 【解析】解：添加条件：OB＝OD， ∵在四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 故答案为：OB＝OD（答案不唯一）． 21．【答案】5． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，且AB＝4， ∴AD＝CD＝BC＝AB＝4，∠D＝∠C＝90°， 在△ADE中，∠D＝90°， ∴tan∠DAE， ∴DEAD1， ∴CE＝CD﹣DE＝4﹣1＝3， 在△BCE中，∠C＝90°， 由勾股定理得：BE5． 故答案为：5． 22．【答案】10． 【解析】解：∵AE垂直且平分线段BO， ∴AB＝AO， ∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，BD＝20cm， ∴， ∴AB＝AO＝10cm， 故答案为：10． 23．【答案】． 【解析】解：过点P作PE⊥CD于点E，如图所示： ∵DQAP， ∴设AP，则DQ＝2x， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为6，AC是对角线， ∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，∠ACD＝45°， 在△ADC中，∠D＝90°， 由勾股定理得：AC， ∴点P是正方形对角线AC上的动点， ∴0＜AP＜AC， ∴， ∴0＜x＜6， ∵PE⊥CD于点E，∠ACD＝45°， ∴△PEC是等腰直角三角形， ∴PE＝CE， 由勾股定理得：PCPE， ∵AP+PC＝AC， ∴， ∴PE＝6﹣x， ∴PE＝CE＝6﹣x， ∴DE＝CD﹣CE＝6﹣（6﹣x）＝x， ∴EQ＝DQ﹣DE＝2x﹣x＝x， ∵PE⊥CD于点E， ∴△PEQ是直角三角形， 由勾股定理得：PQ2＝PE2+EQ2＝（6﹣x）2+x2， 整理得：PQ2＝2x2﹣12x+36＝2（x﹣3）2+18， ∵该二次函数的开口向上，对称轴为x＝3，x的取值范围是0＜x＜6， ∴当x＝3时，PQ2的值为最小，最小值为18， ∴PQ的最小值为． 故答案为：． 24．【答案】12． 【解析】解：梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD， P是BC的中点， ∴， ∴四边形ABPD、四边形APCD都是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∵EF是梯形的中位线， ∴EFAD∥BC，E是AB的中点，F是DC的中点， 在△ABP中，E为AB的中点，EM∥BP， ∴M是AP的中点， 在△DCP中，F为DC的中点，FN∥PC， ∴N是DP的中点， ∴MN是△ADP的中位线， ∴MN∥AD，， ∴△PMN∽△PAD， ， ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方∴， 已知S△PMN＝1，代入得：， S△PAD＝4， ∵▱ABPD中，AP为对角线， ∴S△ABP＝S△ADP＝4（平行四边形对角线平分面积）， ∵▱APCD中，DP为对角线， ∴S△DPC＝S△ADP＝4S梯形ABCD＝S△ABP+S△ADP+S△DPC＝4+4+4＝12． 故答案为：12． 25．【答案】（Ⅰ）5； （Ⅱ）． 【解析】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，且BC＝5， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC， 在△ABC中，AB＝BC＝5，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝5， 故答案为：5； （Ⅱ）连接FH，并延长交AD于点M，连接EM，过点E作EK∥BC，交AC于点K，EN⊥AD，交DA的延长线于点N，如图所示： ∴∠N＝90°， 由（Ⅰ）可知：△ABC是等边三角形，AB＝BC＝AC＝AD＝5， ∴∠B＝∠ACB＝60°， ∵EK∥BC，交AC于点K， ∴∠AEK＝∠B＝60°，∠AKE＝∠ACB＝60°， ∴∠AEK＝∠AKE＝60°， ∴△AEK是等边三角形， ∴EK＝AE， ∵AE＝CF＝1， ∴EK＝CF＝1， ∵点F在BC的延长线上，EK∥BC，AD∥BC， ∴EK∥CF，MD∥CF， ∴∠GEK＝∠GFC，∠GKE＝∠GCF， 在△GEK和△GFC中， ， ∴△GEK≌△GFC（ASA）， ∴GE＝GF， 即点G是EF的中点， ∵MD∥CF， ∴∠HMD＝∠HFC，∠D＝∠HCF， ∵点H为CD的中点， ∴HD＝HC， 在△HMD和△HFC中， ， ∴△HMD≌△HFC（AAS）， ∴DM＝CF＝1，HM＝HF， ∴点H是MF的中点，AM＝AD﹣DM＝5﹣1＝4， ∵点N在AD的延长线上，AD∥BC， ∴∠NAE＝∠B＝60°， 在△AEN中，∠N＝90°，AE＝1， ∴sin∠NAE，cos∠NAE， ∴EN＝AE•sin∠NAE＝1×sin60°，AN＝AE•cos∠NAE＝1×cos60°， ∴MN＝AM+AN， 在△MNE中，∠N＝90°， 由勾股定理得：EM， ∴点G是EF的中点，点H是MF的中点， ∴GH是△EFM的中位线， ∴GHEM． 故答案为：． 26．【答案】120°． 【解析】解：∵这两个多边形为正六边形， ∴每一个内角是120°， ∵∠ABD和∠CBD是正六边形的外角，根据多边形的外角和为360°， ∴每一个外角是60°， ∴∠ABD＝∠CBD＝60°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝120°． 故答案为：120°． 27．【答案】1． 【解析】解：如图，设BC的中点为O， ∵CF⊥BE， ∴∠BFC＝90°， ∴点F在以BC为直径的⊙O上运动， ∴当OF⊥BC时，点F到BC的距离最大，此时△BFC面积最大， ∴BF＝FC， ∴∠FBC＝45°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝4， ∴∠ABE＝90°﹣∠FBC＝90°﹣45°＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE＝AB＝3， ∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1． 故答案为：1． 28．【答案】（125，）． 【解析】解：如图，过点A1作A1H⊥x轴于点H， ∵所有菱形都两两全等， ∴从A1开始，每8个点记为1组， ∵126＝8×15+6， ∴A126的位置和第1组中A6的位置相同， ∵∠A1OA3＝60°， ∴∠OA1H＝30°， ∵菱形OA1A2A3的边长为2， ∴OA1＝A1A2＝OA3＝2， ∴OHOA1＝1， ∴A1H， ∴A1（1，）， ∴A2（3，），A3（2，0）， 由平移得，A3A4＝2， ∴OA4＝OA3+A3A4＝4， ∴A4（4，0），A7（6，0）， ∵菱形OA1A2A3与菱形A4A5A6A7全等， 同理可得，A6（5，），A14（13，），A22（21，）， ∴A6+8n（5+8n，）， ∴A6+8×15（5+8×15，）， ∴A126（125，）． 故答案为：（125，）． 29．【答案】1． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，BC＝AD＝2， ∴∠EAB＝∠AED， ∵∠BAE＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠AED， ∴DE＝AD＝2， ∴CE＝CD﹣DE＝3﹣2＝1． 故答案为：1． 30．【答案】DO＝BO（答案不唯一）． 【解析】解：添加一个适当的条件：DO＝BO（答案不唯一），使四边形ABCD成为菱形，理由如下： ∵AO＝CO，DO＝BO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：DO＝BO（答案不唯一）． 31．【答案】7． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AC，BD为矩形的两条对角线， ∴AC＝BD， ∵AC＝7， ∴BD＝7， 故答案为：7． 32．【答案】． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，设边长为a， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°， ∵点E为CD的中点， ∴， ∵AF＝2，AD＝a，且△DFQ是等腰直角三角形， ∴DF＝DQ＝AD﹣AF＝a﹣2，∠DFQ＝∠DQF＝45°， ∵∠EBF＝45°， ∴∠CBE+∠ABF＝∠ABC﹣∠EBF＝90°﹣45°＝45°， 如图所示，将△ABF绕点B顺时针旋转90°得到△CBK，点K在DC的延长线上， ∴△ABF≌△CBK， ∴BF＝BK，AF＝CK，∠ABF＝∠CBK，则∠CBK+∠CBE＝∠ABF+∠CBE＝45°＝∠EBF，且BE＝BE， ∴△EBF≌△EBK（SAS）， ∴EF＝EK＝EC+CK＝EC+AFa+2， 在Rt△DEF 中，EF2＝DF2+DE2， ∴， 整理得，a2﹣6a＝0， 解得，a1＝6，a2＝0（舍去）， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6， ∴DF＝DQ＝6﹣2＝4，DE＝3， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且∠DFH＝∠FQG＝45°， ∴△DFH∽△FQG， ∴∠FDH＝∠QFG， 在△PDF中，∠DPF＝180°﹣（∠PDF+∠PFD）， ∵∠PFD＝∠QFD﹣∠QFG＝45°﹣∠QFG＝45°﹣∠FDH， ∴∠PDF+∠PFD＝∠FDH+45°﹣∠FDH＝45°， ∴∠DPF＝180°﹣45°＝135°， ∴点P在以DF为弦，含135°圆周角的圆弧上运动， 设该圆圆心为O'，半径为R， ∵圆周角∠DO'F＝2×（180°﹣135°）＝90°，DF＝4， ∴△DO'F是等腰直角三角形， ∴， 如图，建立平面直角坐标系，以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴， ∴B（0，0），A（0，6），D（6，6），F（2，6）， ∵DF在直线y＝6上，且P在正方形内部（y＜6）， ∴圆心O'在DF的上方，且O'到DF的距离为， ∵DF的中点坐标为J（4，6）， ∴圆心O'的坐标为（4，8）， 连接BO'，交圆弧于点P， 此时BP取得最小值， ∴， 故答案为：． 33．【答案】6． 【解析】解：由题意得，S△ADC′﹣S△BC′D＝S△ABD﹣S△ABC′， ∵S△ABD面积是定值为，S△ABC′面积随着Q的运动而变化， ∴当PC′⊥DC时，S△ABC′面积最小，最小值为， ∴S△ADC′﹣S△BC′D＝9（96）＝6． 故答案为：6． 34．【答案】36． 【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠CDE108°， ∵正五边形的外角和是360°， ∴∠CBF＝360°÷5＝72°． ∴∠CDE﹣∠CBF＝108°﹣72°＝36°． 故答案为：36． 35．【答案】12． 【解析】解：已知矩形的对角线长为6，如图， ∴AC＝BD＝6， ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点， ∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD是中位线，EF是△ABC的中位线，HG是△ACD的中位线， ∴EH＝GFBD6＝3，EF＝GHAC6＝3， ∴顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为：EH+GF+EF+GH＝3+3+3+3＝12． 故答案为：12． 36．【答案】135°． 【解析】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°， ∵正八边形的内个内角都相等， ∴正八边形每个内角的度数为：1080°÷8＝135°． 故答案为：135°． 37．【答案】． 【解析】解：延长DF，AN交于M，过F作FH⊥AN于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝3cm，∠ABC＝∠C＝90°， 由作图知BMcm，BF平分∠CBN， ∴∠FBP＝45°， ∴△BHF是等腰直角三角形， ∴FH＝BH， ∵BE＝2AE， ∴BE＝2cm， ∵∠ABC＝∠BHF＝90°， ∴BM∥FH， ∴△EBM∽△EHF， ∴， ∴， ∴FH＝1， ∵FH∥BC∥AD， ∴△PFH∽△PDA， ∴， ∴， ∴PH＝2， ∴PB＝PH+BH＝2+1＝3（cm）＝CD， ∵∠C＝∠GBP＝90°，∠CGD＝∠BGF， ∴△DCG≌△PBG（AAS）， ∴CG＝BG（cm）， ∴DG（cm）， 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 38．【答案】（1）BE'＝DF'，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴由旋转可得，AE'＝AF'，∠E'AF'＝90°， ∴∠BAD＝∠E'AF'＝90°， ∴∠BAE'＝∠DAF' ∴△BAE'≌△DAF'（SAS）， ∴BE'＝DF'； （2）①∵AE'⊥BE'， ∴∠AE'B＝90°， 由（1）可得，△BAE'≌△DAF'， ∴∠AE′B＝∠AF′D＝90°， ∵∠E'AF'＝90°， ∴∠E'AF'+∠AF'D＝180°， ∴AE'∥DF'， ∴； ∴NA•NF'＝ND•NE'； ②． 【解析】（1）解：BE'＝DF'，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴由旋转可得，AE'＝AF'，∠E'AF'＝90°， ∴∠BAD＝∠E'AF'＝90°， ∴∠BAE'＝∠DAF' ∴△BAE'≌△DAF'（SAS）， ∴BE'＝DF'； （2）①证明：∵AE'⊥BE'， ∴∠AE'B＝90°， 由（1）可得，△BAE'≌△DAF'， ∴∠AE′B＝∠AF′D＝90°， ∵∠E'AF'＝90°， ∴∠E'AF'+∠AF'D＝180°， ∴AE'∥DF'， ∴； ∴NA•NF'＝ND•NE'； ②解：过点F作FH⊥AF交AE'的延长线于点H， 由题意得，AB＝15，AE'＝AE＝9， ∵∠AE'B＝90°， ∴， ∵正方形ABCD中，∠BAD＝90°， ∴∠NAM＝∠EBE'＝90°﹣∠MAE， ∵∠AFH＝∠BE'A＝90°， ∴△AFH∽△BE'A， ∴， ∴， ∴， ∵∠HFD＝∠BAD＝90°， ∴FH∥AE， ∴△AEM∽△HFM， ∴， ∴， 即△AEM与△AFM面积的比值为． 39．【答案】∵点F是BC的中点， ∴BF＝CF． ∵点E，G分别是边AB，CD的中点， ∴，． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°． ∴BE＝CG． 在△EBF和△GCF中， ∴△EBF≌△GCF（SAS）． 【解析】证明：∵点F是BC的中点， ∴BF＝CF． ∵点E，G分别是边AB，CD的中点， ∴，． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°． ∴BE＝CG． 在△EBF和△GCF中， ∴△EBF≌△GCF（SAS）． 40．【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO， ∵O为AC中点， ∴OA＝OC， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE为平行四边形； （2）30°． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO， ∵O为AC中点， ∴OA＝OC， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE为平行四边形； （2）解：∵BC＝AC，∠B＝70°， ∴∠BAC＝∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝40°， ∵EF⊥AC，O为AC中点， ∴AF＝CF， ∴∠FAC＝∠ACB＝40°， ∴∠BAF＝∠BAC﹣∠FAC＝70°﹣40°＝30°． 41．【答案】（1）； （2）∵四边形DEFG是正方形， ∴ED＝EF，∠DEF＝90°， ∵∠BED＝45°， ∴∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠BED＝45°， ∴∠BED＝∠CEF， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴△BED≌△CEF（AAS）， ∴BE＝CE； （3）；②； （4）． 【解析】（1）解：过点A作AH⊥BC于点H， ∵AB＝AC＝10，BC＝12， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵四边形DEFG是正方形， ∴ED＝EF，∠DEF＝90°， ∵∠BED＝45°， ∴∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠BED＝45°， ∴∠BED＝∠CEF， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴△BED≌△CEF（AAS）， ∴BE＝CE； （3）解：①过点D作DM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则∠BMD＝∠DME＝∠ENF＝∠CNF＝90°， 在Rt△BDM中，， 设DM＝4x，BM＝3x， ∵∠B＝∠C，，则设FN＝4y，CN＝3y， ∵四边形DEFG是正方形， ∴ED＝EF，∠DEF＝90°， ∴∠DEM＝∠EFN＝90°﹣∠FEN， ∴△DME≌△ENF（AAS）， ∴DM＝EN＝4x，ME＝FN＝4y， 在Rt△BDM中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵BC＝3x+4y+4x+3y＝7x+7y＝12， ∴， ∴； ②构造同样辅助线，如上图， ∵BE＝BM+ME＝40， ∴可得方程组， 解得， ∴， ∴； （4）解：先同样构造（3）问辅助线，再过点G作GI⊥MD交MD的延长线于点I， 同理可证明△DIG≌△EMD， ∴IG＝DM＝4x，DI＝ME＝4y， 由（3）可知7x+7y＝12， ∴， ∴， ∴当点D运动时，点G到BC的距离不变，为， 当点D与点B重合时，记作点D'，作出初始位置时的正方形D'E′F′G'，则点G'，I，G，F'在同一直线上， 由题意设G'G＝1， ∵四边形D'E′F′G'是正方形， ∴∠G'＝∠G'D'M＝90°， ∵∠DMB＝90°， ∴四边形G'D'MI是矩形， ∴G'I＝D'M＝3x，， ∴G'G＝G'I+IG＝7x＝1，， 解得， ∴，， ∴， ∴d的值为． 42．【答案】（1）证明：如图①，过点E作EG⊥AC交AB的延长线于点G， ∴∠AEG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，AC，BD是对角线， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°， ∴∠G＝90°﹣∠BAC＝45°， ∴△AGE是等腰直角三角形， ∴AE＝EG， ∴， ∵EF⊥BE， ∴∠FEA+∠AEB＝∠FEB＝90°， ∵∠AEB+∠BEG＝90°， ∴∠FEA＝∠BEG， 又∵∠FAE＝∠G＝45°，AE＝EG，∠FEA＝∠BEG， ∴△AEF≌△GEB（ASA）， ∴AF＝BG， ∴AG＝AB+BG＝AB+AF， ∵， ∴； （2）图②：；图③：． 【解析】（1）证明：如图①，过点E作EG⊥AC交AB的延长线于点G， ∴∠AEG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，AC，BD是对角线， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°， ∴∠G＝90°﹣∠BAC＝45°， ∴△AGE是等腰直角三角形， ∴AE＝EG， ∴， ∵EF⊥BE， ∴∠FEA+∠AEB＝∠FEB＝90°， ∵∠AEB+∠BEG＝90°， ∴∠FEA＝∠BEG， 又∵∠FAE＝∠G＝45°，AE＝EG，∠FEA＝∠BEG， ∴△AEF≌△GEB（ASA）， ∴AF＝BG， ∴AG＝AB+BG＝AB+AF， ∵， ∴； （2）解：图②：；图③：．理由如下： 如图②，过点E作EH⊥AC交AB于点H， ∴∠AEH＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，AC，BD是对角线， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°， ∴∠AHE＝90°﹣45°＝45°， ∴△AHE是等腰直角三角形， ∴AE＝EH， ∴， ∵EF⊥BE， ∴∠FEA+∠FEH＝∠AEH＝90°， ∵∠FEH+∠HEB＝90°， ∴∠FEA＝∠HEB， 又∵∠DAC＝∠AHE＝45°， ∴∠FAE＝∠BHE＝180°﹣45°＝135°， ∵∠FAE＝∠BHE，AE＝EH，∠FEA＝∠HEB， ∴△AEF≌△HEB（ASA）， ∴AF＝BH， ∵AB＝AH+BH， ∴； 如图③，过点E作EK⊥AE交AF于点K， ∵四边形ABCD是正方形，AC，BD是对角线， ∴∠BAC＝∠DAC＝∠EAK＝45°， ∴∠AKE＝90°﹣45°＝45°， ∴△AKE是等腰直角三角形， ∴AE＝EK， ∴， ∵EF⊥BE， ∴∠FEK+∠KEB＝∠FEB＝90°， ∵∠KEB+∠BEA＝90°， ∴∠FEK＝∠BEA， 又∵∠AKE＝∠BAC＝45°， ∴∠FKE＝∠BAE＝135°， ∵∠FEK＝∠BEA，EK＝AE，∠FKE＝∠BAE， ∴△KEF≌△AEB（ASA）， ∴FK＝AB， ∵AF＝AK+FK， ∴． 43．【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DAB＝∠CBE， 在△ABD和△BEC中， ， ∴△ABD≌△BEC（SAS）； （2）7． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DAB＝∠CBE， 在△ABD和△BEC中， ， ∴△ABD≌△BEC（SAS）； （2）解：∵AD⊥DB， ∴∠ADB＝90°， ∵∠A＝30°， ∴AB＝2BD＝2×1＝2， 在Rt△ABD中，AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB＝BE＝2， ∴AE＝4， 由（1）知△ABD≌△BEC， ∴BD＝EC＝1， ∴四边形AECD的周长＝DC+AD+AE+EC＝24+1＝7． 44．【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABE＝∠CDF， 又∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）∵△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∵∠AEB+∠AEF＝∠CFD+∠CFE＝180°， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， 又∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）∵△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD ∵∠AEB+∠AEF＝∠CFD+∠CFE＝180°， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 45．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAO＝∠CEO， ∵O是CD 的中点， ∴DO＝CO， 在△AOD和△EOC中， ， ∴△AOD≌△EOC（AAS） ∴AO＝EO， ∵DO＝CO， AO＝EO， ∴四边形ACED是平行四边形； （2）16． 【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAO＝∠CEO， ∵O是CD 的中点， ∴DO＝CO， 在△AOD和△EOC中， ∴△AOD≌△EOC（AAS） ∴AO＝EO， ∵DO＝CO， AO＝EO， ∴四边形ACED是平行四边形； 解：（2）由（1）得△AOD≌△EOC， ∴AD＝CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∴BC＝CE， ∵BE＝BC+CE＝8， ∴CE＝4， ∴C是BE的中点， ∵∠BAE＝90°， ∴AC是Rt△ABE斜边上的中线， ∴， ∵四边形ACED是平行四边形， ∴AC＝ED＝4， CE＝AD＝4， ∴四边形ACED的周长＝AC+CE+ED+DA＝4+4+4+4＝16， 答：四边形ACED的周长为16． 46．【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵点E，F分别是边AD，BC的中点， ∴DEAD，BFBC， ∴DE＝BF， ∵DE∥BF， ∴四边形BFDE是平行四边形； （2）6． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵点E，F分别是边AD，BC的中点， ∴DEAD，BFBC， ∴DE＝BF， ∵DE∥BF， ∴四边形BFDE是平行四边形； （2）解：过A作AH⊥BC于H， ∴∠AHB＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴AH＝AB•sin60°＝42， ∵BC＝6，F是边BC的中点，∴CFBC＝3， ∴▱BFDE的面积＝CF•AH＝3×26． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $