专题十九 三角形-【冲刺2027】2026年中考数学真题汇编

**基本信息** 聚焦三角形核心素养，以题载法构建从性质到综合应用的逻辑体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|选择1-7、填空27-29|等边/等腰三角形性质、三角形稳定性|从边/角关系到特殊三角形判定| |全等与相似|选择16、解答35-39|SAS/AAS/SSS全等判定、相似比应用|判定定理→性质应用→多图形综合| |几何计算|选择5、9、14，填空22-24|勾股定理、中位线定理、三角函数|已知条件→模型构建→量化计算| |动态与综合|选择3、13、19，解答43|动点轨迹分析、旋转性质、分类讨论|静态图形→动态变换→多知识点融合|

专题十九 三角形 一．选择题（共19小题） 1．（2026•湖南）如图，在四边形ABCD中，连接BD．若∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD，则下列说法正确的是（　　） A．BC＝2AD B．∠ADC＝135° C．AD∥BC D．BD平分∠ABC 2．（2026•乐山）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连结DE、EF、DF．若S△DEF＝1，则S△ABC＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2026•攀枝花）如图，正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的一点，过D作AB边的垂线，交AB于G，用x表示线段AG的长度．显然，Rt△GBD的面积y是x的函数，则该函数的大致图象为（　　） A． B． C． D． 4．（2026•天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线DG，与边BC相交于点H．则∠CDH的大小为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 5．（2026•河南）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则A′B′的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 6．（2026•陕西）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝6．BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 7．（2026•巴中）要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026•深圳）在数学实践课上，老师将一副四巧板中的四块图形按如图1所示摆放，再将这些图形重新拼接成如图2所示的图形．已知拼接后点A，B为图2中图形的顶点，则AB的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 9．（2026•黑龙江）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D为BC上一点，且AC＝AD，E，F分别是CD，AB的中点，连接EF，若AC＝2，则EF的长为（　　） A． B． C．1 D．0.5 10．（2026•宜宾）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，点E、F分别是BC上的点，连接AE、DF交于点G．若BF＝EF＝2，CE＝1，AB＝4，CD＝6，则BG的长是（　　） A． B． C． D． 11．（2026•苏州）如图，△ABC中，∠A＝55°，∠ACB＝65°，延长BC至D，过C作CE∥AB，则∠DCE的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 12．（2026•湖南）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形ABC的斜边AB经过原点O，连接OC．已知OA＝OC，若点A的坐标为（1，0），则点B的坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，﹣1） C．（0，1） D． 13．（2026•武威）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，动点M从点O出发，沿OC→CD匀速运动至点D时停止．设点M的运动路程为x，AM的长度为y，y与x的函数图象如图2所示，在点M的运动过程中，当AM⊥CD时，AM的长度是（　　） A． B．6 C． D． 14．（2026•云南）在Rt△ABC中，∠C＝90°．若BC，tanB，则AB＝（　　） A． B． C． D． 15．（2026•南充）如图，等边三角形ABC的顶点B，C分别在直线a，b上，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β大小为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 16．（2026•成都）如图，已知△ABC≌△FDE，∠A＝40°，∠E＝62°，则∠EDF的度数为（　　） A．40° B．62° C．78° D．102° 17．（2026•达州）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2x﹣5≤0的正整数解．则等腰三角形的周长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．4或5 18．（2026•安徽）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠AEF＝90°，∠AFE＝60°，∠ABC＝45°，AE⊥BC，边BC分别与AE，AF相交于点M，N．若BC＝12，则MN＝（　　） A． B． C． D． 19．（2026•安徽）如图，点C，E分别为等腰直角△ABC与等腰直角△DBE的直角顶点，且点C在边DE上．AF⊥DE，垂足为F．边AB的中点为M，线段MC，AC分别交BD于点N，H，连接AD，AN．若AD＝DC，则下列结论错误的是（　　） A．DF＝CE B．CMDN C．CH＝CN D．ANCD 二．填空题（共15小题） 20．（2026•广东）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝2，连接BD，∠BDC＝110°，∠ABD＝20°，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EF，FG，EG，则EG＝ 　 　 ． 21．（2026•齐齐哈尔）数学活动课上，同学们把底角为30°的等腰三角形称为“友好三角形”，并利用“友好三角形”进行规律探究．如图，在平面直角坐标系中，点A1在经过原点的直线l上，OA1＝1，点B1在x轴正半轴上，△A1OB1是以OB1为底边的“友好三角形”，以A1B1为底边向右作“友好三角形A1B1C1”；过点C1作A1B1的平行线，分别交直线l和x轴正半轴于点A2，B2，以A2B2为底边向右作“友好三角形A2B2C2”；过点C2作A2B2的平行线，分别交直线l和x轴正半轴于点A3，B3，以A3B3为底边向右作“友好三角形A3B3C3”…按此规律，点C2026的纵坐标为　 　 ． 22．（2026•河北）某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中AB∥CD，BD⊥DE于点D，AC⊥DE于点E，若∠BAC＝60°，AB＝4m，则CE＝　 　 m． 23．（2026•深圳）如图，在菱形ABCD中，点E为边BC的中点，连接AE，DE．若AE＝4，且DE2＝AB•BE，则菱形ABCD的边长为　 　 ． 24．（2026•新疆）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点B在墙面上滑动，另一顶点C在地面上滑动，O，A，B，C在同一平面内，若AB＝3，BC＝4，则木块顶点A到墙角O的距离的最大值为　 　 ． 25．（2026•河南）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，CD是角平分线．点E为边BC上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．若AE＝2，则BF的长为　 　 ． 26．（2026•山西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝10．点E是AB边上的一点，且AE＝3，连接DE，过点E作DE的垂线，交BC的延长线于点F，交CD边于点G．若CF＝CG＝5，则线段BF的长为　 　 ． 27．（2026•上海）等腰三角形ABC中，∠A≠∠B，∠A＝80°，∠B＝　 　 ． 28．（2026•攀枝花）在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝2，BC＝6，∠B＝30°，则△ABD的面积为　 　 ． 29．（2026•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，点D为斜边AC的中点，则BD＝　 　 ． 30．（2026•扬州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE的延长线上．若△ADE的面积是3，则△BCF的面积是　 　 ． 31．（2026•凉山州）如图，点P是∠AOB的平分线上一点，过点P作PC∥OB交OA于点C，若OC＝2，∠POB＝15°，则点P到OB的距离PD的长是　 　 ． 32．（2026•南充）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为　 　 cm． 33．（2026•广安）已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为　 　 ． 34．（2026•达州）如图，AB∥DE，BE＝FC．请你添加一个条件　 　 ，使得△ABC≌△DEF． 三．解答题（共9小题） 35．（2026•陕西）如图，△ABC为等边三角形，点D在AC的延长线上，CE∥AB，CE＝AD．求证：△ABD≌△CBE． 36．（2026•新疆）（1）解方程：． （2）被誉为“东方数学瑰宝”的赵爽弦图，是我国古代证明勾股定理的经典方法之一．如图，已知正方形ABCD的面积为100，正方形EFGH的面积为4，求BF的长． 37．（2026•内江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F是DC的中点，连接AF并延长交BC的延长线于点E． （1）求证：△ADF≌△ECF； （2）若CE＝BC，请判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 38．（2026•福建）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥BC，CE⊥BC，BD＝CE．求证：AD＝AE． 39．（2026•乐山）如图，已知AC＝AD，∠CAB＝∠DAB．求证：BC＝BD． 40．（2026•山东）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点． （1）求证：△EDF≌△ECF； （2）判断四边形AEFG的形状，并说明理由． 41．（2026•云南）如图，AB＝DC，AE＝DE，点E是线段BC的中点．求证：△ABE≌△DCE． 42．（2026•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连结BF． （1）求证：△DEC≌△AEF； （2）判断四边形ADBF的形状并说明理由． 43．（2026•成都）在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究． 如图，△ABC≌△EAD，AB＝AC＝nBC（n＞1），点D在AC边上，延长ED交AB于点F． 【初步感知】 （1）求证：AF2＝FD•FE； 【深入探究】 （2）如图1，当n＝2，AD＝1时，求BF的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，将△EAD绕点E按逆时针方向旋转一定角度（小于90°）得到△EA′D′，若F，A′，D′三点共线，且点A的对应点A′满足A′A⊥A′B，求n的值． 参考答案 一．选择题（共19小题） 1．【答案】B 【解析】解：∵BC＝2BD≠2AD，故A选项错误． ∵∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD， ∴BC＝2BD，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴∠ADC＝90°+45°＝135°，故B选项正确； ∵∠CBD≠∠ADB， ∴AD与BC不平行，故C选项错误； ∵∠CBD≠∠ABD， ∴BD不平分∠ABC，故D选项错误； 故选：B． 2．【答案】B 【解析】解：∵点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点， ∴DE、EF、DF是△ABC的中位线， ∴DEAC，EFAB，DFBC， ∴， ∴△DEF∽△CAB， ∴， ∵S△DEF＝1， ∴S△ABC＝4． 故选：B． 3．【答案】B 【解析】解：∵△ABC为正三角形，边长为4， ∴∠B＝60°，AB＝BC＝4， ∵AG＝x， ∴BG＝AB﹣AG＝4﹣x， ∵DG⊥AB， ∴∠DGB＝90°， 在Rt△GBD中，， ∴， ∵D是BC边上的一点， ∴0≤BD≤4， 在Rt△GBD中，， ∴0≤2（4﹣x）≤4， 解得2≤x≤4， ∴该函数图象是抛物线的一部分，且x的取值范围是2≤x≤4， 当x＝2时，， 当x＝4时，y＝0， 对比选项，只有B选项符合． 故选：B． 4．【答案】B 【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠ABC＝∠C40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD∠ABC＝20°， ∵∠BDC是△ABD的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝120°， 由作图可得：HD⊥BF， ∴∠BDH＝90°， ∴∠CDH＝∠BDC﹣∠BDH＝30°， 故选：B． 5．【答案】C 【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB， ∴A'B'＝AB＝10， 故选：C． 6．【答案】C 【解析】解：∵∠A＝90°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝90°﹣∠B＝30°， ∴BC＝2AB＝12， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC＝6， ∵DE是BC的垂直平分线，∠ACB＝30°， ∴DCDE＝6， ∴DE＝2， 故选：C． 7．【答案】C 【解析】解：过六边形的一个顶点作对角线，有6﹣3＝3条对角线， 所以至少要钉上3根木条． 故选：C． 8．【答案】B 【解析】解：等腰直角三角形①斜边为， 由以及边平行，得到存在一个平行四边形， 则直角梯形下底长与等腰直角三角形①斜边相等， ， 故选：B． 9．【答案】B 【解析】解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝2，连接AE， ∴∠C＝90°﹣30°＝60°，BC＝2AC＝4， 由勾股定理得：， ∵∠C＝60°，AC＝AD， ∴△ACD是等边三角形， ∵E是CD的中点， ∴AE⊥CD，即∠AEB＝90°， 在Rt△AEB中，F是AB的中点， ∴． 故选：B． 10．【答案】D 【解析】解：过点G作GH⊥BC于点H， ∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴AB∥GH∥CD， ∴△FGH∽△FDC，△EGH∽△EAB， ∵BF＝EF＝2，CE＝1， ∴FC＝EF+CE＝3，BE＝BF+EF＝4， 设GH＝h， ∵△EGH∽△EAB， ∴，即， ∴EH＝h， ∵△FGH∽△FDC， ∴，即， ∴， ∵EF＝EH+FH＝2， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， 在Rt△BGH中，． 故选：D． 11．【答案】C 【解析】解：∵△ABC中，∠A＝55°，∠ACB＝65°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°， ∵延长BC至D，过C作CE∥AB， ∴∠DCE＝∠B＝60°， 故选：C． 12．【答案】A 【解析】解：∵点A的坐标为（1，0）， ∴OA＝1， 由题意可知，∠ACB＝90°， ∴∠OCA+∠OCB＝90°，∠OAC+∠OBC＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴OC＝OB， ∴OC＝OA＝1， ∴点B的坐标为（﹣1，0）， 故选：A． 13．【答案】D 【解析】解：由图2可知，当x＝0时，y＝3，对应点M在O点，此时AM＝AO＝3． ∵菱形对角线互相平分， ∴AC＝2AO＝6． 点M运动总路程为9，即OC+CD＝9，而OC＝AO＝3， ∴CD＝6，即菱形边长为6． 在Rt△COD中，OC＝3，CD＝6， 由勾股定理：， 当AM⊥CD时，利用菱形面积公式：菱形面积AC×BD＝CD×AM， ∵BD＝2OD＝6， ∴6×66AM， ∴AM＝3． 故选：D． 14．【答案】C 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 则tanB， ∵BC，tanB， ∴AC， ∴AB， 故选：C． 15．【答案】B 【解析】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴∠BDC＝∠A+∠α＝60°+40°＝100°， ∵a∥b， ∴∠β＝∠BDC＝100°． 故选：B． 16．【答案】C 【解析】解：∵△ABC≌△FDE，∠A＝40°，∴∠F＝∠A＝40°， 在△FDE中，∠E＝62°，∠F＝40°， ∴∠EDF＝180°﹣（∠E+∠F）＝180°﹣（62°+40°）＝78°． 故答案为：C． 17．【答案】C 【解析】解：解不等式2x﹣5≤0，得：x≤2.5， ∴不等式2x﹣5≤0的正整数解为1，2， 依题意得：该等腰三角形的两边为1，2， 又∵1+1＝2不满足三角形两边之和大于第三边， ∴1不能是等腰三角形的腰，只能是底边， ∴该等腰三角形的腰长为2，底边长为1， 此时该等腰三角形的三边长为：2，2，1， ∴等腰三角形的周长为：2+2+1＝5． 故选：C． 18．【答案】A 【解析】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵AE⊥BC于点M，BC＝12， ∴AM＝BM＝CMBC＝6，∠AMN＝90°， 在△AEF中，∠AEF＝90°，∠AFE＝60°， ∴∠EAF＝30°， ∴∠MAN＝∠EAF＝30°， 在△AMN中，∠AMN＝90°，∠MAN＝30°， ∴AN＝2MN， 由勾股定理得：AMMN， ∴MN＝6， ∴MN． 故选：A． 19．【答案】B 【解析】解：对于选项A， 连接MD交AC于点Q，作△ABC的外接圆，如图所示： ∵△ABC是等腰直角三角形，点C为直角顶点， ∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，AC＝BC， ∴AB是△ABC外接圆的直径， ∵点M是AB的中点， ∴点M是△ABC外接圆的圆心，记作△ABC的外接圆为⊙M， ∵△DBE是等腰直角三角形，点E为直角顶点， ∴∠E＝90°，∠EDB＝∠EBB＝45°， ∴∠CAB＝∠EDB＝45°， ∴点D在⊙M上， ∴∠ADB＝90°， ∴∠FEA＝180°﹣（∠EDB+∠ADB）＝180°﹣（45°+90°）＝45°， ∵AF⊥DE，垂足为F， ∴∠F＝90°， ∴△FAD是等腰直角三角形， ∴DF＝AF， 在△BCE中，∠E＝90°， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， 又∵∠FCA+∠ECB＝180°﹣∠ACB＝90°， ∴∠FCA＝∠EBC， 在△AFC和△CBE中， ， ∴△AFC≌△CBE（AAS）， ∴AF＝CE， ∴DF＝CE， 故选项A正确，不符合题意； 对于选项B， ∵AD＝DC， ∴， ∴∠1＝∠2∠CBA＝22.5°， 由垂径定理得：MD⊥AC， ∴∠MQC＝∠AQD＝90°， 在△ABC中，AC＝BC，点M是AB的中点， ∴CM⊥AB，CM＝AM＝BMAB， ∴△AMC是等腰直角三角形， ∴∠MCA＝45°， 又∵MD⊥AC， ∴MQ＝AQ＝CQAC，∠CMB＝∠CMA＝90°， 在△MQC中，由勾股定理得：CMMQAQ， ∵CM⊥AB，AM＝BM， ∵CM是AB边的垂直平分线， ∴AN＝BN， ∴∠3＝∠2＝22.5°， ∴∠CAN＝∠CAB﹣∠2＝22.5°， 又∴∠CAD＝∠1＝22.5°， ∴∠DAN＝∠CAN+∠CAD＝45°， 在△ADN中，∠ADB＝90°，∠DAN＝45°， ∴△ADN是等腰直角三角形， ∴AD＝DN， 在△AQD中，∠AQD＝90°， ∴AQ＜AD， ∴CMAD， 故选项B错误，符合题意； 对于选项C， 在△BMN中，∠CMB＝90°，∠1＝22.5°， ∴∠MNB＝90°﹣∠1＝67.5°， ∴∠CNH＝∠MNB＝67.5°， 在△AHN中，∠CHN＝180°﹣（∠MCA+∠CNH）＝180°﹣（45°+67.5°）＝67.5°， ∴∠CNH＝∠CHN＝67.5°， ∴CH＝CN， 故选项C正确，不符题意； 对于选项D， ∵CM⊥AB，AM＝BM， ∵CM是AB边的垂直平分线， ∴AN＝BN， ∴∠3＝∠2＝22.5°， ∴∠CAN＝∠CAB﹣∠2＝22.5°， 又∴∠CAD＝∠1＝22.5°， ∴∠DAN＝∠CAN+∠CAD＝45°， 在△ADN中，∠ADB＝90°，∠DAN＝45°， ∴△ADN是等腰直角三角形， ∴AD＝ND， 由勾股定理得：ANAD， ∵AD＝CD， ∴ANCD， 故选项D正确，不符合题意， 综上所述：选项B错误，符合题意． 故选：B． 二．填空题（共15小题） 20．【答案】． 【解析】解：如图，延长BA，CD交于点H， ∵AD≠BC， ∴AB⊥CD，AB＝CD， ∴∠HBC+∠HCB＝90°， ∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点， ∴EGAB＝1，GFCD＝1，EF∥AB，GF∥DC， ∴∠BFG＝∠G，∠EFD＝∠HBD，EF＝GF． ∴∠EFG＝∠EFD+∠GFD＝∠ABD+∠DBC+∠BFG＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠HBC+∠HCB＝90°． ∴△EFG是等腰直角三角形， ∴EG， 故答案为：． 21．【答案】． 【解析】解：如图过点A1作A1D⊥x轴于点D， ∵∠A1OD＝30°，OA1＝1， ∴，，， ∴， ∴， ∵∠C1A1B1＝30°＝∠A1B1O， ∴A1C1∥x轴，则C1的纵坐标为， ∴∠A2A1C1＝∠A1OB1＝30°， 同理可得：，， ∴， ∴A2的纵坐标为， 同理可得A2C2∥x轴，则C2的纵坐标为， ∵∠A1OD＝30°， ∴， ∴，则，， ∴， ∴A3的纵坐标为， …， ∴An的纵坐标为， 又∵An∁n∥x轴，则∁n的纵坐标为， ∴点C2026的纵坐标为， 故答案为：． 22．【答案】2． 【解析】解：∵BD⊥DE，AC⊥DE， ∴BD∥AC， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴CD＝AB＝4m， ∵AB∥CD， ∴∠DCE＝∠BAC＝60°， 在Rt△CDE中，∠CED＝90°，∠DCE＝60°， ∴， 故答案为：2． 23．【答案】． 【解析】解：四边形ABCD是菱形，设边长为a， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝a，AB∥CD， ∵点E为边BC的中点， ∴BE＝CEBC， ∵DE2＝AB•BE， ∴DE2＝a•， 如图，过点A作AH⊥BC交CB的延长线于点H，过点D作DF⊥BC于点F， ∴∠AHB＝∠DFC＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠ABH＝∠DCF， 在△ABH和△DCF中， ， ∴△ABH≌△DCF（AAS）， ∴BH＝CF，AH＝DF， 设BH＝CF＝x， 在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH2＝AB2﹣BH2＝a2﹣x2， 在Rt△AHE中，HE＝HB+BE＝x， 由勾股定理得：AE2＝AH2+HE2， ∵AE＝4， ∴， 在Rt△DFE中，， 由勾股定理得：DE2＝DF2+EF2， ∵， ∴， ∴， 将②代入①得16， 解得（负值舍去）． 故答案为：． 24．【答案】． 【解析】解：取BC中点D，连接OD，AD，OA， ∵BC＝4， ∴， 由题意得∠ABC＝∠BOC＝90°， ∴， ∵AB＝3， ∴， ∵OA≤AD+OD， ∴OA的最大值为， 即木块顶点A到墙角O的距离的最大值为， 故答案为：． 25．【答案】或． 【解析】解：过点A作AI⊥BC于点I， ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴BI＝Cl＝3，， 当点E在I左侧时，记作点E1， ∴， ∴BE1＝BI﹣IE1＝3﹣2＝1，CE1＝CI+IE1＝3+2＝5＝CA， ∵CD平分∠ACB， ∴AF1＝E1F1， 过点F1作F1M⊥BC于点M，则F1M∥AI， ∴△E1F1M∽ΔE1AI， ∴， ∴F1M＝2，E1M＝1， ∴BM＝1+1＝2， ∴； 当点E在I右侧时，记作点E2，则同理IE2＝2， ∴CE2＝IC﹣IE2＝3﹣2＝1， 过点A作AO∥BC交CD延长线于点O，则∠1＝∠3，△AOF2∽ΔE2CF2， ∵CD平分∠ACB， ∴∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴AO＝AC＝5， ∵△AOF2∽ΔE2CF2， ∴， 同理可得，ΔE2F2N∽ΔE2AI， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上：BF的长为或， 故答案为：或． 26．【答案】14． 【解析】解：过点E作EH∥BF，交CD于点H． ∴∠HEG＝∠F， ∵CF＝CG， ∴∠CGF＝∠F， ∴∠HEG＝∠CGF， ∵∠CGF＝∠HGE， ∴∠HEG＝∠HGE， ∴EH＝HG． ∵DE⊥EF， ∴∠DEG＝90°， ∴∠DEH+∠HEG＝90°，∠EDG+∠DGE＝90°， ∵∠HEG＝∠DGE， ∴∠DEH＝∠EDG， ∴EH＝DH， ∴DH＝HG． 过点G作GM⊥AB于点M，作GN⊥BF于点N，则∠AMG＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠AMG＝∠B， ∴MG∥BC， ∵AD∥BC，EH∥BC， ∴AD∥EH∥MG∥BC， ∴， ∴EM＝AE＝3， ∴MB＝AB﹣AE﹣EM＝10﹣3﹣3＝4． ∵∠B＝90°，GM⊥AB，GN⊥BC， ∴四边形BMGN是矩形， ∴GN＝BM＝4， ∴在Rt△GNC中，， ∴NF＝NC+CF＝3+5＝8． ∴在Rt△GNF中，， ∵在Rt△EBF中，BE＝EM+MB＝3+4＝7， ∴， 故答案为：14． 27．【答案】50°或20°． 【解析】解：当∠A是顶角时，∠B， 当∠A是底角时，∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°， 综上所述，∠B的度数是50°或20°， 故答案为：50°或20°． 28．【答案】． 【解析】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠B＝30°， ∴AE1， ∵AD是BC边上的中线，BC＝6， ∴BD3， ∴△ABD的面积， 故答案为：． 29．【答案】5． 【解析】解：由勾股定理得，， ∵∠ABC＝90°， D是AC的中点， ∴． 30．【答案】6． 【解析】解：∵D是AB的中点， ∴△ABE的面积＝△ADE面积的2倍＝3×2＝6， ∵E是AC的中点， ∴△BCE的面积＝△ABE的面积＝6， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴△BCF的面积＝△BCE的面积＝6． 故答案为：6． 31．【答案】1． 【解析】解：如图，过点P作PE⊥OA于点E，则∠PEC＝90°， ∵PC∥OB， ∴∠CPO＝∠POB＝15°， ∵点P是∠AOB的平分线上一点， ∴∠COP＝∠POB＝15°， ∴∠COP＝∠CPO， ∴PC＝OC＝2，∠PCE＝∠COP+∠CPO＝30°， ∴PEPC＝1， ∵PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PD＝PE＝1， 故答案为：1． 32．【答案】100． 【解析】解：如图，将长方体的前面和右面展开， ∴PQ（cm）； 如图，将长方体的前面和上面展开， ∴PQ（cm）； 如图，将长方体的下面和右面展开， ∴PQ（cm）； ∵25＜29， ∴5， ∴100＜20， ∴蚂蚁爬行的最短距离为100cm， 故答案为：100． 33．【答案】9． 【解析】解：设第三边为a， 根据三角形的三边关系，得：3﹣2＜a＜2+3， 即1＜a＜5， ∵a为整数， ∴a的最大整数值为4， 则三角形的最大周长为2+3+4＝9． 故答案为：9． 34．【答案】AB＝DE（答案不唯一）． 【解析】解：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝FC， ∴BE+EC＝FC+EC， ∴BC＝EF， ①当添加AB＝DE时， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； ②当添加∠A＝∠D时， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）； ③当添加∠ACB＝∠F时， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， 故答案为：AB＝DE（答案不唯一）． 三．解答题（共9小题） 35．【答案】∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠ECB＝∠ABC＝60°， ∴∠A＝∠ECB， 在△ABD与△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）． 【解析】证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠ECB＝∠ABC＝60°， ∴∠A＝∠ECB， 在△ABD与△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）． 36．【答案】（1）x＝9； （2）6． 【解析】解：（1）， 3（x+3）＝2×2x， 3x+9＝4x， x＝9， 经检验，当x＝9时，2x（x+3）≠0， ∴分式方程的解为x＝9； （2）∵正方形ABCD的面积为100，正方形EFGH的面积为4， ∴EF＝FG＝2，AB＝10， 设BF＝x，则AF＝BG＝x+2， 在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2， ∴（x+2）2+x2＝102， 解得：x＝6或x＝﹣8（舍）， 即BF的长为6． 37．【答案】（1）∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠CEF， ∵点F是CD的中点， ∴DF＝CF， 又∵∠DFA＝∠CFE， ∴△ADF≌△ECF（AAS）； （2）由（1）可知，△ADF≌△ECF， ∴AD＝CE， ∵CE＝BC， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【解析】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠CEF， ∵点F是CD的中点， ∴DF＝CF， 又∵∠DFA＝∠CFE， ∴△ADF≌△ECF（AAS）； （2）解：由（1）可知，△ADF≌△ECF， ∴AD＝CE， ∵CE＝BC， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 38．【答案】∵BD⊥BC，CE⊥BC， ∴∠CBD＝∠BCE＝90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°． ∴∠ABD＝∠ACE＝150°． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ∴AD＝AE． 【解析】证明：∵BD⊥BC，CE⊥BC， ∴∠CBD＝∠BCE＝90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°． ∴∠ABD＝∠ACE＝150°． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ∴AD＝AE． 39．【答案】在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（SAS）， ∴BC＝BD． 【解析】证明：在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（SAS）， ∴BC＝BD． 40．【答案】（1）∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点， ∴ED＝EC＝AE，EF∥AB， ∴∠A＝∠EDA，∠CEF＝A，∠FED＝∠EDA， ∴∠FED＝∠CEF， ∵EF＝EF， ∴△EDF≌△ECF（SAS）； （2）四边形AEFG是平行四边形， 理由如下： ∵点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点， ∴EF∥AB，EFAB， ∵AGAB， ∴EF＝AG， ∴四边形AEFG是平行四边形． 【解析】证明：（1）∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点， ∴ED＝EC＝AE，EF∥AB， ∴∠A＝∠EDA，∠CEF＝A，∠FED＝∠EDA， ∴∠FED＝∠CEF， ∵EF＝EF， ∴△EDF≌△ECF（SAS）； （2）四边形AEFG是平行四边形， 理由如下： ∵点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点， ∴EF∥AB，EFAB， ∵AG， ∴EF＝AG， ∴四边形AEFG是平行四边形． 41．【答案】证明：∵点E是线段BC的中点， ∴BE＝CE， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SSS）． 【解析】证明：∵点E是线段BC的中点， ∴BE＝CE， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SSS）． 42．【答案】（1）∵点E是线段AD的中点， ∴DE＝AE， ∵点D在BC上，AF∥BC交CE的延长线于点F， ∴∠DCE＝∠AFE， 在△DEC和△AEF中， ， ∴△DEC≌△AEF（AAS）． （2）四边形ADBF是矩形， 理由：连接DF， 由（1）得△DEC≌△AEF， ∴CE＝FE， ∵DE＝AE， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∴AF＝CD，DF＝AC， ∵在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴BD＝CD，DF＝AB， ∵AF∥CD，且AF＝CD， ∴AF∥BD，且AF＝BD， ∴四边形ADBF是平行四边形， ∵四边形ADBF是平行四边形，且DF＝AB， ∴四边形ADBF是矩形． 【解析】（1）证明：∵点E是线段AD的中点， ∴DE＝AE， ∵点D在BC上，AF∥BC交CE的延长线于点F， ∴∠DCE＝∠AFE， 在△DEC和△AEF中， ， ∴△DEC≌△AEF（AAS）． （2）解：四边形ADBF是矩形， 理由：连接DF， 由（1）得△DEC≌△AEF， ∴CE＝FE， ∵DE＝AE， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∴AF＝CD，DF＝AC， ∵在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴BD＝CD，DF＝AB， ∵AF∥CD，且AF＝CD， ∴AF∥BD，且AF＝BD， ∴四边形ADBF是平行四边形， ∵四边形ADBF是平行四边形，且DF＝AB， ∴四边形ADBF是矩形． 43．【答案】（1）∵△ABC≌△EAD， ∴∠BAC＝∠E，即∠FAD＝∠E， 又∵∠AFD＝∠EFA， ∴△AFD∽△EFA， ∴， ∴AF2＝FD•FE； （2）； （3）． 【解析】（1）证明：∵△ABC≌△EAD， ∴∠BAC＝∠E，即∠FAD＝∠E， 又∵∠AFD＝∠EFA， ∴△AFD∽△EFA， ∴， ∴AF2＝FD•FE； （2）解：∵△ABC≌△EAD， ∴BC＝AD＝1，AB＝AE，AC＝DE， ∵AB＝AC＝nBC，n＝2， ∴AB＝AC＝AE＝DE＝2， 由（1）得，△AFD∽△EFA， ∴， ∴FE＝2AF，， ∴， 解得， ∴， 即BF的长为； （3）解：如图， 设BC＝AD＝1， 由（2）中的结论可得AB＝AC＝AE＝DE＝n， 由旋转的性质得，AE＝A'E，∠EA'D'＝∠EAD， ∵∠EAA'＝∠EA'A， 设∠EA'D'＝∠EAD＝α， ∵F，A'，D'三点共线， ∴∠EA'F+∠EA'D'＝180°， ∴∠EA'F＝180°﹣α， ∵AE＝DE， ∴∠AED＝180°﹣2α， ∵△ABC≌△EAD， ∴∠BAC＝∠AED＝180°﹣2α， ∴∠EAF＝∠BAC+∠EAD＝180°﹣2α+α＝180°﹣α， ∴∠EAF＝∠EA'F， ∴∠EAF﹣∠EAA'＝∠EA'F﹣∠EA'A，即∠FAA'＝∠FA'A， ∴AF＝A'F， ∵A'A⊥A'B， ∴∠AA'B＝90° ∴∠FA'A+∠FBA'＝90°，∠FA'A+∠FA'B＝90°， ∴∠FBA'＝∠FA'B， ∴BF＝A'F， ∴， 由（1）得，△AFD∽△EFA， ∴， ∴，FDAF， ∴DE＝FE﹣FDn， 解得n（负值已舍去）， ∴n的值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $