专题十三 函数基础知识-【冲刺2027】2026年中考数学真题汇编

**基本信息** 聚焦函数图象分析与实际应用，通过分类讨论、数形结合构建系统性解题方法，衔接函数概念与几何综合的逻辑链条 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数图象与实际问题|5题（如注水/运动面积）|数形结合法、分段分析|从实际情境抽象函数关系，通过图象特征反推物理模型| |分段函数与几何综合|4题（如双动点面积）|分类讨论思想、动态几何建模|结合几何图形性质（矩形/直角三角形）建立分段函数，体现运动过程中的变量关系| |函数概念与应用|6题（如自变量取值/经济数据）|模型思想、数据分析法|从函数定义（自变量范围）到实际应用（GDP/行程问题），形成概念-应用的完整链条|

专题十三 函数基础知识 一．选择题（共8小题） 1．（2026•甘孜州）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随着时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）．这个容器的形状可能是如图中（　　） A． B． C． D． 2．（2026•齐齐哈尔）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，动点P从点B出发沿边BA向终点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿边AC→CB向终点B匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动．若P，Q两点每秒运动的路程相同，点Q运动的路程为x（x＞0），△BPQ的面积为y，则下列图象能反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026•广西）我国“十四五”期间每年的国内生产总值如表所示： 年份x 2021 2022 2023 2024 2025 国内生产总值y/亿元 1173823 1234029 1294272 1348066 1401879 国内生产总值y随年份x的变化而变化．当x＝2025时，y＝（　　） A．1173823 B．1294272 C．1348066 D．1401879 4．（2026•新疆）如图，水平放置的边长为2cm的正方形ABCD，边长为cm的正方形EFGH的顶点F，H在同一水平线上，点F与AD的中点重合，现将正方形EFGH以1cm/s的速度沿AB方向匀速运动，当点H运动到BC上时停止．在这个运动过程中，正方形EFGH与正方形ABCD重叠部分的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数关系图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．（2026•连云港）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝10，DC＝4，AD＝BC＝5．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向终点B运动，同时点Q从点A出发，以同样速度沿边AB向终点B运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t（s），则S关于t的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 6．（2026•自贡）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿D→A→B→C匀速运动，到达点C后停止运动；同时点Q从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿D→C匀速运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动，过点P作PF⊥CD于点F．设运动时间为x秒，PF+DQ＝y，y关于x的函数图象如图2所示，则CD的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 7．（2026•广安）小明家，蛋糕店，姥姥家依次在同一直线上．为庆祝姥姥生日，小明从家去蛋糕店买蛋糕，接着去姥姥家．如图反映了在这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．下列说法错误的是（　　） A．小明家离蛋糕店1.2km B．小明买蛋糕用了10min C．小明从蛋糕店到姥姥家的平均速度为4km/h D．小明从家到蛋糕店的平均速度小于从蛋糕店到姥姥家的平均速度 8．（2026•达州）为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的m﹣V图象，如图，m表示质量，ρ表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（　　） A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍 B．当乙的质量为10g时，体积为10cm3 C．甲物质的密度小于乙物质的密度 D．甲物质的密度等于乙物质的密度 二．填空题（共5小题） 9．（2026•黑龙江）在函数中，自变量x的取值范围是　 　 ． 10．（2026•烟台）如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C→D的方向运动至点D停止，连接AP，Q为AP的中点，连接BQ．设点P的运动路程为x，线段BQ的长为y，图2表示点P从A运动到C的过程中y与x的函数关系．当点P运动到CD中点时，BQ的长度为　 　 ． 11．（2026•成都）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：°）与车速v（单位：km/h）之间的关系式是f．当车速为80km/h时，他的视野为　 　 °． 12．（2026•泸州）函数y自变量x的取值范围是　 　 ． 13．（2026•安徽）图1是轨道示意图，其中A，B，C，D是矩形的四个顶点，E为AC，BD的交点，AB＝AE＝1m．机器人以1m/min的速度在轨道上作匀速运动，且运动方向只能在点A，B，C，D，E处发生改变．机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A． （1）若机器人到点A的距离y（单位：m）关于运动时间x（单位：min）的函数图象如图2所示，则y取最大值时，x＝　 　 ； （2）将机器人在运动过程中经过点B，C，D，E的顺序不同视为运动方式不同，则用时最短的运动方式共有　 　 种． 三．解答题（共2小题） 14．（2026•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝3cm．动点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以1cm/s的速度向终点C运动．在运动过程中，连接DP．设点P的运动时间为t（s）（t＞0），DP扫过的图形面积为S（cm2）． （1）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． （2）当DP扫过的图形面积S（cm2）由矩形ABCD面积的扩大到矩形ABCD面积的时，点P运动了多长时间？ 15．（2026•重庆）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝8cm．点E以每秒1cm的速度沿B→C方向运动，点F在直线AB上运动，且满足S△BEF＝2cm2．点G与点E同时出发，以每秒2cm的速度沿折线D→C→A方向运动．设运动时间为x秒（0＜x＜8），点F与点B的距离为y1，点G与点C的距离为y2． （1）请直接写出y1，y2关于x的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；结合函数图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 参考答案 一．选择题 1．【答案】D 【解析】解：由所给函数图象可知， 因为是匀速地向一个容器内注水，AB段单位时间内高度的变化小于OA段， 所以容器中间部分比底部要大； 因为BC段单位时间内高度的变化大于AB段且大于OA段， 所以容器最上面的部分比中部和底部都要小， 显然只有D选项符合题意． 故选：D． 2．【答案】D 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴，，， 分三种情况讨论： ①当0＜x≤8时，点Q在AC上，点P在AB上，BP＝x，AQ＝x， 过点Q作QD⊥AB于点D， 则， ∴， 此时图象为开口向上的抛物线，当x＝8时，； ②当8＜x≤10时，点Q在BC上，点P在AB上，过点Q作QE⊥AB于点E， BP＝x，BQ＝6﹣（x﹣8）＝14﹣x， ∴QE＝BQ×sinB， ∴， 此时图象为开口向下的抛物线，当x＝8时，y＝19.2； 当x＝10时，； ③当10＜x≤14时，点Q在BC上，点P到达A点停止运动， 此时BP＝AB＝10（即△BPQ 变为△ABQ），BQ＝14﹣x， 以BQ为底，AC为高， ∴， 此时图象为线段，当x＝10时，y＝16； 当x＝14时，y＝0． 综上所述，图象D符合题意， 故选：D． 3．【答案】D 【解析】解：由表格中年份x与国内生产总值y的对应值可知，当x＝2025时，y＝1401879， 故选：D． 4．【答案】B 【解析】解：如图，连接EG、FH交于点O，正方形EFGH的边与正方形ABCD交于点M、N，FH交AD于点K， ∵边长为的正方形EFGH的顶点F，H在同一水平线上，点F与AD的中点重合， ∴，OE＝OF＝OG＝OH＝1cm，EG⊥FH，HF垂直平分AD， ∴AD∥EG， ①当0≤t≤1时，叠部分的面积为S△FMN，此时FK＝tcm， ∵AD∥EG ∵△FMN∽△FGE， ∴， ∴， ∴MN＝2tcm， ∴； ②当1＜t≤2时，叠部分的面积为S正方形EFGH﹣S△HMN，此时HK＝FH﹣FK＝（2﹣t）cm， 同理可得，MN＝2（2﹣t）， ∴， 即当x＝2时，有最大值为2； ③当2＜t≤3时，叠部分的面积为S正方形EFGH﹣S△FMN，此时FK＝（t﹣2）cm， 同理可得，MN＝2（t﹣2）， ∴； ④当3＜t≤4时，叠部分的面积为S△HMN，此时HK＝2﹣（t﹣2）＝（4﹣t）cm， 同理可得，MN＝2（4﹣t）， ∴， 综上可知，当0≤t≤1时，图象为开口向上的抛物线；当1＜t≤2时，图象为开口向下的抛物线，且有最大值为2；当2＜t≤3时，图象为开口向下的抛物线；当3＜t≤4时，图象为开口向上的抛物线， 只有B选项符合题意， 故选：B． 5．【答案】A 【解析】解：如图，过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为F，E， ∴∠DEF＝∠EFC＝90°， ∵AB∥CD，即EF∥CD， ∴∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝∠DEF＝∠EFC＝90°， ∴四边形CDEF是矩形， ∴EF＝CD＝4，∠AED＝∠BFC＝90°，DE＝CF， ∵AD＝BC＝5， ∴△ADE≌△BCF（HL）， ∴， ∵AD＝5， 在Rt△ADE中，， ∴， 过点P作PM⊥AB于点M， 当P在AD上时，即0＜t＜5时，如图所示， ∴， ∴，函数图象为开口向上的抛物线，C，D不符合题意； 当P在CD上时，即5≤t＜9时， ∴PM＝DE＝4， ∴，函数图象为直线的一部分， 当P在CB上且Q未到达B时，即9≤t＜10时， ∴BP＝AD+DC+CB﹣t＝14﹣t， ∴， ∴，函数图象为开口向下的抛物线，故B不符合题意； 当P在CB上且Q到达B后，即10≤t≤14时， ∴，函数图象为直线的一部分，故A符合题意． 故选：A． 6．【答案】C 【解析】解：过A作AH⊥DC于H，如图所示， ∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝90°， ∴∠C＝90°， ∵AH⊥DC， ∴∠AHC＝90°， ∴四边形AHCB为矩形， ∴AH＝BC，AB＝HC， 当P在DA上运动时， ∵PF⊥CD， ∴PF∥AH， ∴△DPF∽△DAH， ∴， 由题设DP＝2x，则DQ＝x， ∴， ∴， 由函数图象可知， 当x＝1时，， ∴， 即， 当P到达A点后，P在AB上运动时，PF恒等于高AH，此时y＝AH+x， 由函数图象可知，当x＝4时，y＝8， ∴AH+4＝8，即AH＝4， ∴AH＝BC＝4， 把AH＝4代入中，得， 解得 AD＝5； ∴在Rt△ADH中，， 当点P开始沿BC运动，此时PF＝4﹣（2x﹣AD﹣AB）＝4﹣2x+5﹣AB＝9﹣2x+AB， ∴y＝PF+DQ＝9﹣2x+AB+x＝9﹣x+AB， 代入x＝7时，y＝9，得9﹣7+AB＝9， ∴AB＝7， ∴CD＝AB+3＝7+3＝10． 故选：C． 7．【答案】D 【解析】解：由图象可知： 小明家离蛋糕店1.2km，故选项A说法正确，不符合题意； 小明买蛋糕用了（16﹣6）＝10（min），故选项B说法正确，不符合题意； 小明从蛋糕店到姥姥家的平均速度为（1.6﹣1.2）4（km/h），故选项C正确，不符合题意； 小明从家到蛋糕店的平均速度为：1.24.5（km/h）， 故小明从家到蛋糕店的平均速度大于从蛋糕店到姥姥家的平均速度，故选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 8．【答案】A 【解析】解：当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍，故A正确，符合题意； 当乙的质量为10g时，体积为20cm3，故B错误，不符合题意； 由图象可知，当甲和乙两种物质的体积相同时，甲的质量大，根据ρ可知甲的密度大于乙的密度，故C、D错误，不符合题意； 故选：A． 二．填空题（共5小题） 9．【答案】x≥2． 【解析】解：根据二次根式的性质得x﹣2≥0， 解得x≥2． 故答案为：x≥2． 10．【答案】． 【解析】GU解：由图2可知，当x＝a时，y取得最小值3，此时点P运动到点B， ∵点P与点B重合，且点Q是AP的中点， ∴， ∴AB＝6； ∵当x＝b时，y＝5，此时点P运动到点C， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵点Q是AC的中点， ∴， ∴AC＝10， ∴在Rt△ABC中，， ∴在矩形ABCD中，AD＝BC＝8，CD＝AB＝6． 延长BQ，CD，相交于点E， ∵点Q是AP的中点， ∴AQ＝PQ， ∵在矩形ABCD中，AB∥CD， ∴∠ABQ＝∠E，∠BAQ＝∠EPQ， ∴△ABQ≌△PEQ（AAS）， ∴BQ＝EQ，PE＝AB＝6． ∵点P是CD的中点， ∴， ∴CE＝CP+PE＝3+6＝9， 在矩形ABCD中，∠C＝90°， ∴在Rt△BCE中，， ∵BQ＝EQ， ∴， 故答案为：． 方法2：过Q点作MN∥AD交AB于M，交PD于N， ∴PNPD＝AM＝1.5，MQMNAD＝4，BM＝4.5， 在Rt△BQM中，BQ． 11．【答案】50． 【解析】解：当v＝80km/h时， f50（°）， 故答案为：50． 12．【答案】x≥5 【解析】解：根据题意得，x﹣5≥0， 解得x≥5． 故答案为：x≥5 13．【答案】（1）； （2）4． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴EC＝BE＝AE＝1m，∠ABC＝90°， 由图象可得，当x＝1时，y＝1， ∴当x＝1时，机器人从点A运动到点B，或点A运动到点E， ∵从x＝1到y取最大值时，y随x的增大而增大， ∴机器人从点B运动到点C，或从点E运动到点C， ∵机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A， ∴若机器人从点E运动到点C，接下来运动到点B或点D都不符合题意， ∴机器人应从点B运动到点C，此时y取最大值， ∵AC＝AE+EC＝2m，AB＝1m，∠ABC＝90°， ∴， ∴y取最大值时，， 故答案为：； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴EC＝ED＝1m，CD＝AB＝1m，， ∵机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A， ∴机器人的运动方式有： ①A→B→C→E→D→A， ∴运动时间为（AB+BC+CE+DE+AD）÷1＝（11+1）÷13（min）； ②A→B→C→D→E→A， ∴运动时间为（AB+BC+CD+DE+EA）÷1＝（11+1+1）÷14（min）； ③A→B→E→C→D→A， ∴运动时间为（AB+BE+EC+CD+DA）÷1＝（1+1+1+1）÷14（min）； ④A→E→B→C→D→A， ∴运动时间为（AE+EB+BC+CD+DA）÷1＝（1+11）÷13（min）； ⑤A→E→D→C→B→A， ∴运动时间为（AE+ED+DC+CB+BA）÷1＝（1+1+11）÷14（min）； ⑥A→D→C→E→B→A， ∴运动时间为（AD+DC+CE+EB+BA）÷1＝（1+1+1+1）÷14（min）； ⑦A→D→E→C→B→A， ∴运动时间为（AD+DE+EC+CB+BA）÷1＝（1+11）÷13（min）； ⑧A→D→C→B→E→A， ∴运动时间为； ∵ ， ∴， ∴为最短用时，共4种， 故答案为：4． 三．解答题 14．【答案】（1）； （2）5s． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝3cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°， 当0＜t≤6时，， 当6＜t≤9时，DP扫过的图形为四边形ADPB，此时BP＝（t﹣6）cm， ∴， ∴； （2）由题意得，， 当时，则，解得t＝3； 当时，则3t﹣9＝15，解得t＝8， 8﹣3＝5（s）， ∴点P运动了5s． 15．【答案】（1）；； （2）1＜x＜2或3.6＜x＜8． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝8cm． ∴∠B＝90°， ∴， ∵点E以每秒1cm的速度沿B→C方向运动，点F在直线AB上运动，且满足，运动时间x秒，∴BE＝xcm，∴，∴，∴； ∵点G沿D→C→A运动，G速度为2cm/s，DC＝AB＝6cm，∴当0＜x≤3时，y2＝6﹣2x， 当3＜x＜8时，y2＝2（x﹣3）＝2x﹣6， 综上，； （2）列表： x 0 1 2 3 4 5 6 8 y1 8 4 2 1 y2 6 5 4 2 0 2 4 6 10 以表中每对x、y1的值和x、y2的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，用顺滑的线依次连接各点，得到y1和y2的图象． 由图象看出当y1＜y2时，1＜x＜2或3.6＜x＜8． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $