专题十四 一次函数-【冲刺2027】2026年中考数学真题汇编

**基本信息** 聚焦一次函数概念、图像与实际应用，通过分层题型构建"概念理解-图像分析-建模应用"的完整训练体系，渗透数学建模与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念性质|选择1-2、填空6-9|待定系数法、k/b符号判定法|从定义出发，通过解析式与图像性质的互化，建立"数-形"联系| |图像应用|选择3-5、填空10-15|分段函数分析法、几何图形转化法|结合动态情境与几何图形，强化图像信息提取与数学表达| |实际建模|解答16-33|函数关系构建法、最值优化策略|以行程、利润等问题为载体，培养用数学语言描述现实世界的能力|

专题十四 一次函数 1． 选择题（共5小题） 1．（2026•广东）在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x+4的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•陕西）一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则该函数图象经过的点的坐标还可以是（　　） A．（2，3） B．（﹣3，﹣2） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3） 3．（2026•深圳）如图，为某无人机完成送货任务后返回快递站的过程中，无人机与快递站的距离s（单位：km）随时间t（单位：min）变化的函数图象．根据图中信息，无人机在往返途中的速度（km/min）之差为（　　） A．1km/min B．0.8km/min C．0.6km/min D．0.4km/min 4．（2026•新疆）一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm，当挂3kg的物体时，弹簧的长度为（　　） A．18cm B．16cm C．15cm D．14cm 5．（2026•山东）在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了5km健步走项目．两人8：00从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了15min后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程y（km）与时间x（min）之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（　　） A．8：25 B．8：33 C．9：00 D．9：17 二．填空题（共10小题） 6．（2026•内蒙古）对于一次函数y＝（k+1）x﹣k（k是常数，且k≠﹣1），下列结论： ①点（1，1）在此函数图象上； ②当k＝1且y＜0时，； ③当k＜0时，y随x的增大而减小． 其中正确的结论是　 　 ．（填写所有正确结论的序号） 7．（2026•黑龙江）如图，B1是直线l：yx+2与y轴的交点，过点B1作A1B1⊥l交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…，按照这个规律进行下去，则点∁n的纵坐标为　 　 ． 8．（2026•河南）写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的表达式　 　 ． 9．（2026•内江）若关于x的方程2x﹣m＝3（x+1）的解是负数，且一次函数y＝（m﹣2）x﹣4中，函数值y随x的增大而减小，则所有满足条件的整数m的值之和是　 　 ． 10．（2026•天津）将直线y＝﹣x+b（b为常数）向上平移2个单位长度，若平移后的直线经过第二、第一、第四象限，则b的值可以是　 　 （写出一个即可）． 11．（2026•山西）某出版社出版一种科普读物，当印刷数量不超20000册时，投入成本y（元）与印刷数量x（册）之间满足我们学过的一种函数关系，部分数据如表所示．当印刷数量为5000册时，投入成本是　 　 元． 印刷数量x（册） 0 500 1000 1500 … 20000 投入成本y（元） 24000 27000 30000 33000 … 144000 12．（2026•江西）如图，点P在直线y＝﹣x+b（b＞0）上，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB的面积为1（O为坐标原点）．若满足条件的点P有且仅有三个，则点P的横坐标为　 　 ． 13．（2026•扬州）若一次函数y＝（k﹣2）x+3的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是　 　 ． 14．（2026•苏州）点P（﹣2，a）在一次函数y＝2x+1的图象上，则a的值为　 　 ． 15．（2026•成都）在平面直角坐标系xOy中，设A（x1，y1），B（x2，y2），记L（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，例如，若M（1，3），则L（O，M）＝|0﹣1|+|0﹣3|＝4．若点N满足L（O，N）＝1，则所有N点组成的图形面积为　 　 ；已知A是直线y＝kx（k＞0）上一点且位于第一象限，OA＝2，点P在OA上，点Q满足L（P，Q）＝1，当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为，则k＝　 　 ． 三．解答题（共18小题） 16．（2026•南京）已知两直线y1＝kx+1与y2＝﹣2x+b交于（1，2）， （1）计算k和b的值； （2）若y1＞y2，求x的取值范围． 17．（2026•广元）苍溪红心猕猴桃是广元特色农产品，国家地理标志产品．某电商基地分装销售中果和大果两种猕猴桃礼盒，若购进3件中果礼盒和2件大果礼盒需190元，购进2件中果礼盒和4件大果礼盒需260元． （1）求购进中果礼盒，大果礼盒每件的价格； （2）根据市场需求，该电商基地计划购进这两种礼盒共100件进行销售，中果礼盒每件售价50元，大果礼盒每件售价80元，且中果礼盒件数不少于大果礼盒件数的2倍．求怎样进货才能使利润最大，最大利润是多少？ 18．（2026•吉林）一位记者乘坐汽车赴330km外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示． （1）求汽车在高速公路上行驶的速度． （2）求AB所在直线对应的函数解析式． （3）记者出发后多长时间到达采访场地？ 19．（2026•陕西）在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上进行了“人机共跑测试”．测试赛道总长为800m，运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速前行，到达终点后停止．机器人出发1min后运动员才出发，运动员出发1min后追上机器人．如图，l1，l2分别表示运动员、机器人距起点的距离y（m）与时间x（min）之间的关系． （1）求l1对应的函数表达式； （2）求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离． 20．（2026•甘孜州）图1是某景区的一段游览路线示意图．小聪在观景台1联系小明，发现小明在观景台2，于是沿着游览路线追赶小明．图2中，l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系． （1）l2表示　 　 （“小聪”或“小明”）到观景台1的路程与追赶时间之间的关系； （2）分别求出l1，l2的函数解析式； （3）若两人的速度保持不变，小聪能否在到达观景台3前追上小明？请通过计算说明． 21．（2026•绥化）我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作．某快递公司准备购进A，B两种型号的快递智能分拣机械手（以下A型快递智能分拣机械手简称A型机械手，B型快递智能分拣机械手简称B型机械手），已知A型机械手的单价比B型机械手的单价高2万元，用120万元购进A型机械手的数量和用80万元购进B型机械手的数量相等． （1）求A，B两种型号机械手的单价分别是多少万元？ （2）快递公司计划购买A，B两种型号的机械手共30台，且A型的数量不少于B型数量的2倍．如何购买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？ （3）该快递公司使用甲、乙两台不同型号的机械手进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度保持不变．某天甲机械手先开始工作，工作一段时间后，因发生故障停工检修，同时乙机械手开始工作，甲机械手修好后又以原速度继续工作，完成分拣后两台机械手同时停止工作．甲、乙两台机械手分拣快递的数量y（件）与甲机械手工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． ①乙机械手的工作速度为　 　 件/分钟，a＝　 　 ． ②直接写出BC所在直线的函数表达式：　 　 ． ③当乙机械手工作　 　 分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同． 22．（2026•齐齐哈尔）2026年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“蹒跚学步”到“风驰电掣”的迭代升级．某公司对人形机器人甲、乙进行奔跑测试，在一条笔直的测试路上有A，B两地，机器人甲、乙分别从A，B两地同时出发，机器人甲以360米/分的速度沿测试路匀速跑向B地，到达B地后，立即以n米/分的速度原路匀速返回；机器人乙以240米/分的速度沿测试路匀速跑向A地，到达A地后停止运动，机器人乙到达A地一段时间后，机器人甲也到达A地并停止运动．机器人甲、乙之间的距离y（米）与机器人甲行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）A，B两地之间的距离为　 　 米，图中m的值为　 　 ； （2）求线段FG所在直线的函数解析式； （3）机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距600米？（直接写出答案即可） 23．（2026•河北）某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时t（分钟）的模型：t＝t1+t2．其中，t1＝kx（k为常数），x（千米）表示登山路线的长度；t2＝150h，h（千米）表示山顶与起点的海拔高度差．从A出发到山顶M的路线及相关数据如图所示． （说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息和必要的预留时间） （1）①求k，h的值． ②计算路线3的长度． （2）已知山顶M的海拔高度为1000米，B在如图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其海拔高度（单位：米）．若该登山爱好者从B出发到山顶M的路线长度为3千米，根据本题模型，求该登山爱好者登到山顶M的预估用时． 24．（2026•黑龙江）一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发去C地，途经B地，到达C地后，立即按原路原速返回A地；乙车在甲车出发0.1小时后从A地去B地，到达B地停留2小时，立即按原路原速返回，结果比甲车提前0.3小时到达A地，两车均按各自速度匀速行驶．如图是甲车行驶过程中距离B地的路程y（km）与甲车行驶时间x（h）的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）A，C两地之间的距离为　 　 km，乙车的速度为　 　 km/h； （2）求线段EF的函数解析式； （3）请直接写出乙车返回A地前，甲车行驶多少小时，甲乙两车相距10km． 25．（2026•广西）关于x的一次函数yx+k（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点． 【性质初探】 （1）y随x的增大而　 　 （填“增大”或“减小”）； （2）求证：△AOB的面积为1； 【归纳提炼】 我们把形如yx+k（k≠0）的一次函数称为“正向积1”函数． 【深入探究】 （3）图象经过点（2，2）的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理由； （4）已知点P（m，n）不在坐标轴上，若图象过点P的“正向积1”函数有且只有一个． ①求n关于m的函数解析式； ②选取一个符合条件的点P，并验证该点是线段AB的中点． 26．（2026•内江）某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售．甲种衬衣每件进价100元，售价160元；乙种衬衣每件进价80元，售价120元．现计划购进两种衬衣共100件，其中甲种衬衣不少于60件．设购进甲种衬衣x件，两种衬衣全部售完，商场可获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若商场购进这100件衬衣的总费用不超过9300元，求有哪几种进货方案； （3）在（2）的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价a元（0＜a＜30）出售，乙种衬衣售价不变．若最大利润为4650元，求a的值． 27．（2026•河南）今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午8：00从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度v（km/h）与步行全程所用时间t（h）的函数关系如图1所示． （1）求v关于t的函数表达式． （2）如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过2.5h，那么学生步行的平均速度至少为多少？ （3）学生出发0.25h后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程y（km）与学生步行时间t（h）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为1h； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为4km． 其中正确说法的序号是　 　 ． 28．（2026•天津）已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家1km，体育公园离家2km．小杰从家出发，先匀速骑行了10min到体育公园，在体育公园停留了40min，之后匀速骑行了5min到民俗文化馆，在民俗文化馆停留20min后，再匀速骑行了5min回到家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）填表： 小杰离开家的时间/min 6 20 50 65 小杰离家的距离/km 　 　 2 　 　 　 　 （Ⅱ）当50≤x≤80时，请直接写出小杰离家的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅲ）当小杰离开家40min时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了50min直接回到家．在50≤x≤80的时段内，对于同一个x的值，小杰离家的距离为y1，小杰的爷爷离家的距离为y2，当y1＝y2时，求x的值（直接写出结果即可）． 29．（2026•上海）景区有一个观景台，可以通过扶梯前往，8：10：00第一位游客站上扶梯，8：10：51第一位游客到达观景台，之后的游客有序排队入场，此后每位游客到达时间的间隔为0.8秒． （1）设登上观景台的游客数为x，时间为y（从8：10：00开始计算，单位为秒），请填写表格，并列出y关于x的函数解析式（不用写出定义域）． x 1 6 y 　 　 　 　 （2）8：10：00到8：12：00有多少名游客登上观景台？8：12：00到8：14：00有多少名游客登上观景台？ 30．（2026•攀枝花）某中学在劳动实践基地开辟了“青春农场”，将土地划分给各班负责．初二（3）班的同学在责任田里种植了有机蔬菜，经过几个月的精心照料，终于迎来了丰收．同学们决定将采摘的新鲜蔬菜拿到学校附近的周末集市销售．卖菜所得款项按每千克0.8元留作下一季的种植基金，余下的捐给福利院．在集市上销售了部分蔬菜后，剩下的每千克降价0.5元，全部售完．销售额与销量之间的关系如图所示，那么该班级本次共捐给福利院多少元？ 31．（2026•山东）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： （1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； （2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 32．（2026•广安）某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共400吨．据统计，A地收到物资吨数的3倍与B地收到物资吨数的5倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为12元/吨和18元/吨；现C地需物资180吨，D地需物资220吨． （1）分别求出A，B两地各收到多少吨物资； （2）请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 33．（2026•成都）成都，一座雪山下的公园城市．全市超1500个公园已成为市民游憩、娱乐的优质生态空间．图1是成都某公园的游览路线示意图，甲、乙两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点3→景点4→景点5，甲先出发，乙出发时甲正好游览到景点2，于是乙沿着游览路线追赶甲．图2中l1，l2分别表示甲、乙两人离开景点1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系，假设两人均保持现有的速度． （1）直接写出l1，l2的函数表达式； （2）如图1，景点3到景点4有两条道路，甲到达景点3后，沿远路前往景点4，乙到达景点3后，沿近路前往景点4．问乙能比甲先到达景点4吗？请说明理由． 参考答案 一．选择题 1．【答案】A 【解析】解：∵一次函数y＝3x+4中，k＝3＞0，b＝4＞0， ∴该函数图象经过第一、二、三象限， 观察选项可知，只有A选项符合题意，故选：A． 2．【答案】D 【解析】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0）， ∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣2，3）， ∴3＝﹣2k，∴k， ∴正比例函数的解析式为yx． A．当x＝2时，y2＝﹣3，∵﹣3≠3， ∴该函数图象不经过点（2，3），选项A不符合题意； B．当x＝﹣3时，y（﹣3），∵2， ∴该函数图象不经过点（﹣3，﹣2），选项B不符合题意； C．当x＝3时，y3，∵2， ∴该函数图象不经过点（3，﹣2），选项C不符合题意； D．当x＝2时，y2＝﹣3，∵﹣3＝﹣3， ∴该函数图象经过点（2，﹣3），选项D符合题意． 故选：D． 3．【答案】D 【解析】解：由图可得，无人机去程速度为：3÷5＝0.6km/min， 无人机回程速度为：3÷（8﹣5）＝1km/min， ∴根据图中信息，无人机在往返途中的速度之差为1﹣0.6＝0.4km/min， 故选：D． 4．【答案】A 【解析】解：一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm，∴挂3kg物体时，弹簧伸长量为3×2＝6cm， 又∵弹簧原长为12cm，∴挂3kg物体时弹簧总长度为12+6＝18cm． 故选：A． 5．【答案】C 【解析】解：由题意，当0＜x＜25时， 设小英的函数关系式为y＝kx，则25k＝2，∴k． ∴此时yx．∵小英在途中打卡点拍照停留了15min后仍按原速行进， ∴当x≥40时，y（x﹣15）． 设小杰的函数关系式为y＝mx， 又图象过（25，1.5）， ∴25m＝1.5，则m． ∴小杰的函数关系式为yx． 联立方程x（x﹣15）， ∴x＝60． ∴小英在60min后追上小杰，此时的时刻是9：00． 故选：C． 二．填空题 6．【答案】①②． 【解析】解：①当x＝1时，y＝（k+1）×1﹣k＝1，∵1＝1， ∴点（1，1）在此函数图象上，结论①正确； ②当k＝1时，一次函数的解析式为y＝2x﹣1， 当y＜0时，2x﹣1＜0， 解得：x，结论②正确； ③当k+1＜0，即k＜﹣1时，y随x的增大而减小，结论③不正确． 综上所述，正确的结论是①②． 故答案为：①②． 7．【答案】． 【解析】解：∵B1是直线yx+2与y轴的交点， ∴B1（0，2），B0（﹣4，0）， ∴OB1＝2，OB0＝4， ∴B1B02， ∴， ∵四边形A1B1B2C1是正方形， ∴∠A1B1B2＝∠B1A1C1＝90°，B1B2＝A1B1＝C1A1， ∴∠A1B1B0＝180°﹣∠A1B1B2＝90°， ∴， 如图，分别过点C1，C2，C3作x轴的垂线，垂足分别为E，F，H， ∴∠B1OA1＝∠B1A1C1＝∠A1EC1＝90°， ∴∠B0B1O+∠OB0B1＝∠B0B1O+∠A1B1O＝∠OA1B1+∠A1B1O＝∠OA1B1+∠C1A1E＝90°， ∴∠OB0B1＝∠A1B1O＝∠C1A1E， ∴C1E＝A1C1•sin∠C1A1E＝A1C1•sin∠OB0B1＝1， ∴C1的纵坐标为1； ∵四边形A2B2B3C2，A3B3B4C3都是正方形， ∴∠A2B2B3＝∠A2B2B0＝∠A3B3B4＝∠A3B3B0＝90°，A2B2＝B2B3＝A2C2，A3B3＝B3B4＝A3C3， 同理可得：∠C2A2F＝∠C3A3H＝∠OB0B1， ∵， ∴， ∴，， ∴C2的纵坐标为，， ∴， ∴C3的纵坐标为， …； ∴按照这个规律进行下去，则点∁n的纵坐标为． 故答案为：． 8．【答案】y＝x（答案不唯一）． 【解析】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第一、三象限， ∴k＞0， ∴k＝1时，正比例函数的表达式为y＝x． 故答案为：y＝x（答案不唯一）． 9．【答案】﹣2． 【解析】解：2x﹣m＝3（x+1）， 2x﹣m＝3x+3， 2x﹣3x＝3+m， ﹣x＝3+m， x＝﹣3﹣m， ∵关于x的方程2x﹣m＝3（x+1）的解是负数， ∴﹣3﹣m＜0， 解得m＞﹣3①， ∵一次函数y＝（m﹣2）x﹣4中，函数值y随x的增大而减小， ∴m﹣2＜0， ∴m＜2②， 由①②得﹣3＜m＜2， ∴m的整数解为：﹣2，﹣1，0，1， ∴所有满足条件的整数m的值之和是：﹣2﹣1+0+1＝﹣2． 故答案为：﹣2． 10．【答案】1（答案不唯一）． 【解析】解：由题知，将直线y＝﹣x+b向上平移2个单位长度后，所得直线的函数解析式为y＝﹣x+b+2， ∴平移后的直线与y轴的交点坐标为（0，b+2）． 又∵平移后的直线经过第二、第一、第四象限，且k＝﹣1＜0， ∴b+2＞0， ∴b＞﹣2， ∴b的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 11．【答案】54000． 【解析】解：由题意可知，投入成本y（元）与印刷数量x（册）之间满足一次函数关系， 设y＝kx+b（k≠0）， 由题意得：， 解得：， ∴y＝6x+24000， 当x＝5000时，y＝6×5000+24000＝54000， 即当印刷数量为5000册时，投入成本是54000元， 故答案为：54000． 12．【答案】1或1或1． 【解析】解：设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m+b， 根据题意得：|m|•|﹣m+b|＝1， 即m2﹣bm﹣1＝0或m2﹣bm+1＝0， ∵满足条件的点P有且仅有三个， ∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0， ∴b＝2． 将b＝2代入m2﹣bm﹣1＝0得：m2﹣2m﹣1＝0， 解得：m11，m21； 将b＝2代入m2﹣bm+1＝0得：m2﹣2m+1＝0， 解得：m3＝m4＝1． 综上所述，点P的横坐标为1或1或1． 故答案为：1或1或1． 13．【答案】k＞2． 【解析】解：由题意：k﹣2＞0， 解得k＞2， 故答案为：k＞2． 14．【答案】﹣3． 【解析】解：∵点P（﹣2，a）在一次函数y＝2x+1的图象上，∴a＝2×（﹣2）+1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 15．【答案】2，或． 【解析】解：①∵L（O，N）＝1， 设N（m，n）， ∴|m|+|n|＝1， 当N在第一象限时，m+n＝1，即n＝﹣m+1， ∴点N在直线 y＝﹣x+1上， 同理当N在第二象限时，﹣m+n＝1， ∴n＝m+1，即点N在y＝x+1上， 当N在第三象限时，﹣m﹣n＝1，即n＝﹣m﹣1，点N在y＝﹣x﹣1上， 当N在第四象限时，m﹣n＝1，即n＝m﹣1，点N在y＝x﹣1上， ∴所有N点与坐标轴的交点（1，0），（0，1），（﹣1，0），（0，﹣1）， ∴所有N点组成的图形为正方形，其面积为； ②∵已知A是直线y＝kx（k＞0）上一点且位于第一象限，OA＝2，点P在OA上， ∴点A在2为半径的弧上运动， ∵点Q满足L（P，Q）＝1，同①可得点Q组成的图形是对角线为2，且平行于坐标轴的正方形， ∴当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为， 设A（a，b），A是直线y＝kx（k＞0）上一点且位于第一象限， ∴b＝ak，a，b＞0， ∴， 当b＞a时，如图， ∴， ∴， 解得：， ∵a2+b2＝4，a＞0， ∴， ∴， ∴， 当a＞b时，如图， ∴， ∴， 解得：， ∵a2+b2＝4，a＞0， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 三．解答题 16．【答案】（1）k＝1，b＝4； （2）x＞1． 【解析】解：（1）由题知， 因为两直线y1＝kx+1与y2＝﹣2x+b交于（1，2）， 所以k+1＝2，﹣2+b＝2， 解得k＝1，b＝4； （2）由（1）知， 两直线的函数解析式为y1＝x+1与y2＝﹣2x+4， 因为y1＞y2， 所以x+1＞﹣2x+4， 解得x＞1， 所以x的取值范围是x＞1． 17．【答案】（1）中果礼盒每件进价30元，大果礼盒每件进价50元； （2）购进中果礼盒67件、大果礼盒33件时利润最大，最大利润2330元． 【解析】解：（1）设中果礼盒每件x元，大果礼盒每件y元， 依题意列方程组：， 解得， 答：中果礼盒每件进价30元，大果礼盒每件进价50元； （2）单件利润：中果：50﹣30＝20元/件， 大果：80﹣50＝30元/件， 设购进大果礼盒m件，则中果礼盒（100﹣m）件， 由“中果件数不少于大果2倍”列不等式：100﹣m≥2m， 解得m33.33， ∵m为非负整数， ∴m最大取33， 设总利润为W：W＝20（100﹣m）+30m＝2000﹣20m+30m＝10m+2000， ∵k＝10＞0，W随m增大而增大， ∴m＝33时，W取最大值， 此时中果礼盒：100﹣33＝67（件）， 最大利润：W＝10×33+2000＝2330（元）， 答：购进中果礼盒67件、大果礼盒33件时利润最大，最大利润2330元． 18．【答案】（1）90km/h； （2）y＝60x+60； （3）4.5h． 【解析】解：（1）根据题意得：180÷2＝90（km/h）． 答：汽车在高速公路上行驶的速度为90km/h； （2）设AB所在直线对应的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（2，180），（3.5，270）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴AB所在直线对应的函数解析式为y＝60x+60； （3）当y＝330时，60x+60＝330， 解得：x＝4.5． 答：记者出发后4.5h到达采访场地． 19．【答案】（1）l1对应的函数表达式为y＝200x﹣200； （2）机器人距终点的距离为300m． 【解析】解：（1）机器人的速度100（m/min）， ∵机器人出发1min后运动员才出发，运动员出发1min后追上机器人， ∴2×100＝200（m），即机器人和运动员在第2min相遇， 交点坐标为（2，200）， 设l1对应的函数表达式为y＝kx+b， 把（1，0）和（2，200）代入，得， 解得， 故l1对应的函数表达式为y＝200x﹣200； （2）令y＝800，代入l1，得800＝200x﹣200， 解得x＝5， 此时机器人的距离为5×100＝500（m）， 故机器人距终点的距离为800﹣500＝300（m）， 机器人距终点的距离为300m． 20．【答案】（1）小明； （2）直线l1对应的函数表达式为s1＝70t； 直线l2对应的函数表达式为s＝40t+1200； （3）小聪追上小明时，l1与l2的s相等， 即70t＝40t+1200， 解得t＝40， 此时小聪的距离为70×40＝2800＜1200+1800， ∴小聪能在到达观景台3前追上小明． 【解析】解：（1）由函数图象可知，l1表示小聪到观景台1的路程与追赶时间之间的关系； l2表示小明到观景台1的路程与追赶时间之间的关系； 故答案为：小明； （2）直线l1过点（0，0）和（20，1400）， k170， 直线l1对应的函数表达式为s1＝70t； 设直线l2对应的函数表达式为s＝kt+b， 直线l2过点（0，1200）和（20，2000）， 代入得， 解得， 直线l2对应的函数表达式为s＝40t+1200； （3）小聪追上小明时，l1与l2的s相等， 即70t＝40t+1200， 解得t＝40， 此时小聪的距离为70×40＝2800＜1200+1800， ∴小聪能在到达观景台3前追上小明． 21．【答案】（1）A型机械手的单价为6万元，B型机械手的单价为4万元； （2）购买A型机械手20台，B型机械手10台，此时所需费用最少，费用最少为160万元； （3）①：20；60； ②y＝15x﹣450； ③22.5． 【解析】解：（1）设A型机械手的单价为n万元，B型机械手的单价为（n﹣2）万元， 由题意得 ； 解得：n＝6； 经检验：n＝6是原分式方程的解， B型机械手的单价：n﹣2＝6﹣2＝4（万元）， 答：A型机械手的单价为6万元，B型机械手的单价为4万元； （2）设购买A型机械手m台，则购买B型机械手（30﹣m）台，所需费用为w万元， ， 解得：20≤m＜30， 由题意得：w＝6m+4（30﹣m）＝2m+120， ∵2＞0 ∴w随m的增大而增大，且m取正整数， ∴当m＝20时，w最小＝2m+120＝2×20+120＝160（万元）， 此时B型机械手：30﹣m＝30﹣20＝10（台）， 答：购买A型机械手20台，B型机械手10台，此时所需费用最少，费用最少为160万元； （3）①乙机械手的工作速度为20件/分钟， 甲机械手的工作速度为15件/分钟， （2250﹣450）÷15＝120（分钟）， 故a＝180﹣120＝60， 故答案案为：20；60； ②设BC所在直线的函数表达式为yBC＝kx+b， 将点（60，450），（180，2250）代入yBC＝kx+b， 得， 解得， ∴BC所在直线的函数表达式为yBC＝15x﹣450， 故答案为：y＝15x﹣450； ③设乙机械手分拣快递的数量y（件）与甲机械手工作时间x（分钟）之间的函数关系为y＝ax+c， 将点（30，0），（180，3000）代入y＝ax+c， 即， 解得， ∴乙机械手分拣快递的数量y（件）与甲机械手工作时间x（分钟）之间的函数关系为y＝20x﹣600， 结合函数图象可知，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同时为450件， 令y＝450代入y＝20x﹣600， 即450＝20x﹣600， 解得x＝52.5 ∴当乙机械手工作52.5﹣30＝22.5分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同， 故答案为：22.5． 22．【答案】（1）3600，6； （2）y＝600x﹣3600； （3）5分或7分或20分． 【解析】解：（1）根据题意得：A，B两地之间的距离为3600米； 图中m的值为3600÷（360+240）＝6． 故答案为：3600，6； （2）根据题意得：机器人甲到达B地的时间为3600÷360＝10（分钟）， 此时两机器人之间的距离为240×10＝2400（米）， ∴点G的坐标为（10，2400）． 设线段FG所在直线的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将F（6，0），G（10，2400）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴线段FG所在直线的函数解析式为y＝600x﹣3600； （3）机器人乙到达A地的时间为3600÷240＝15（分钟）， ∴点H的坐标为（15，2100）， ∴机器人甲返回A地的速度为240+（2400﹣2100）÷（15﹣10）＝300（米/分）， ∴机器人甲返回A地的时间为15+2100÷300＝22（分钟）． 设线段EF所在直线的函数解析式为y＝ax+c（a≠0）， 将E（0，3600），F（6，0）代入y＝ax+c得：， 解得：， ∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝﹣600x+3600； 同理：线段HK所在直线的函数解析式为y＝﹣300x+6600． 当y＝600时，600＝﹣600x+3600， 解得：x＝5； 当y＝600时，600x﹣3600＝600， 解得：x＝7； 当y＝600时，﹣300x+6600＝600， 解得：x＝20． 答：机器人甲行进的时间为5分或7分或20分时，机器人甲、乙相距600米． 23．【答案】（1）①k＝15，h＝0.8；②5千米； （2）135分钟． 【解析】解：（1）①由题意得，t＝kx+150h， 代入两组数据得，， 解得； ②由①得，t＝15x+150×0.8＝15x+120， 路线3同样从A到M，海拔差仍为h＝0.8km， 将t＝195代t＝15x+120，得15x+120＝195， 解得x＝5即路线3的长度为5千米； （2）由等高线图可知，B点位于400米等高线上，海拔为400m＝0.4km， 山顶M海拔为1000m＝1km， 因此海拔差：h＝1﹣0.4＝0.6km， 将x＝3kmk＝15代入得，t＝15×3+150×0.6＝45+90＝135， 即预估用时为135分钟． 24．【答案】（1）270；100； （2）y＝90x﹣360（4≤x≤6）； （3）或或4h． 【解析】解：（1）根据图象得A，C两地之间的距离为：180+90＝270km； 根据图象得：当甲到达C地时，用时3小时， ∴返回A地时总的时间为6小时， ∵乙车在甲车出发0.1小时后从A地去B地，到达B地停留2小时，立即按原路原速返回，结果比甲车提前0.3小时到达A地， ∴乙车在路上行驶的总时间为：6﹣0.1﹣2﹣0.3＝3.6小时， ∵乙车从A地去B地，然后返回A地， ∴总路程为：180×2＝360千米， ∴乙车的速度为； 故答案为：270；100； （2）由图象可知甲车的速度为：（180+90）÷3＝90km/h， ∴90÷90＝1h，180÷90＝2h， ∴E（4，0），F（6，180）， 设线段EF的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∴， 解得：， ∴y＝90x﹣360（4≤x≤6）； （3）设甲车行驶t小时，甲乙两车相距10km， ∵乙车在甲车出发0.1小时后从A地去B地， ∴甲车提前行驶了90×0.1＝9km＜10km， ∵100km/h＞90km/h， ∴在从A到B的过程中，两车之间的距离一直减小，不可能相距10km， ∴甲车行驶到B地需要的时间为：180÷90＝2h，乙车行驶到B地需要的时间为：180÷100＝1.8h， ∴当乙车停留，甲车到达B地后继续行驶10km，即为两车之间距离为10km， 此时的时间为：； 当甲车到达B地之前时，与乙车之间的距离为10km时， 由（2）得乙车2小时后的时间为：0.1+1.8+2＝3.9小时， 甲车行驶的路程为：180+90+（90﹣10）＝350km， ∴行驶的时间为：，符合题意； 当从B地返回A地的过程中，两车之间距离为10km， 100（t﹣0.1﹣1.8﹣2）＝90（t﹣2﹣1﹣1）+10， 解得：t＝4h（符合题意）， 综上可得：甲车行驶或或4h时，甲乙两车相距10km． 25．【答案】（1）增大； （2）证明：当x＝0时，y＝k， ∴B（0，k）， 当y＝0时，x， ∴A（，0）， ∴△AOB的面积|k|×||＝1； （3）存在，当k＝1时，yx+1； 当k＝﹣2时，y＝2x﹣2； （4）①n； ∴P（1，）， ∴k， 解得k＝﹣1， ∴yx﹣1， ∴A（2，0），B（0，﹣1）， ∴AB的中点为（1，）， ∴该点是线段AB的中点． 【解析】（1）解：∵k2＞0， ∴y随x的增大而增大， 故答案为：增大； （2）证明：当x＝0时，y＝k， ∴B（0，k）， 当y＝0时，x， ∴A（，0）， ∴△AOB的面积|k|×||＝1； （3）存在，理由如下： 将点（2，2）代入yx+k中， ∴k2×2+k＝2， 解得k＝1或k＝﹣2， 当k＝1时，yx+1； 当k＝﹣2时，y＝2x﹣2； （4）解：①将点P（m，n）代入yx+k中， ∴m+k＝n， ∵图象过点P的“正向积1”函数有且只有一个， ∴Δ＝1+2mn＝0（m≠0）， ∴n； ②取m＝1，则n， ∴P（1，）， ∴k， 解得k＝﹣1， ∴yx﹣1， ∴A（2，0），B（0，﹣1）， ∴AB的中点为（1，）， ∴该点是线段AB的中点． 26．【答案】（1）y＝20x+4000； （2）共有6种进货方案， 方案1：购进60件甲种衬衣，40件乙种衬衣； 方案2：购进61件甲种衬衣，39件乙种衬衣； 方案3：购进62件甲种衬衣，38件乙种衬衣； 方案4：购进63件甲种衬衣，37件乙种衬衣； 方案5：购进64件甲种衬衣，36件乙种衬衣； 方案6：购进65件甲种衬衣，35件乙种衬衣； （3）a的值为10． 【解析】解：（1）根据题意得：y＝（160﹣100）x+（120﹣80）（100﹣x）， 即y＝20x+4000， ∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+4000； （2）根据题意得：100x+80（100﹣x）≤9300， 解得：x≤65，又∵x≥60，x为整数， ∴x可以为60，61，62，63，64，65， ∴共有6种进货方案， 方案1：购进60件甲种衬衣，40件乙种衬衣； 方案2：购进61件甲种衬衣，39件乙种衬衣； 方案3：购进62件甲种衬衣，38件乙种衬衣； 方案4：购进63件甲种衬衣，37件乙种衬衣； 方案5：购进64件甲种衬衣，36件乙种衬衣； 方案6：购进65件甲种衬衣，35件乙种衬衣； （3）根据题意得：y＝（160﹣100﹣a）x+（120﹣80）（100﹣x）， 即y＝（20﹣a）x+4000， 当20﹣a＞0，即0＜a＜20时，65（20﹣a）+4000＝4650， 解得：a＝10； 当20﹣a＝0，即a＝20时，4000≠4650，不符合题意，舍去； 当20﹣a＜0，即20＜a＜30时，60（20﹣a）+4000＝4650， 解得：a（不符合题意，舍去）． 答：a的值为10． 27．【答案】（1）v； （2）学生步行的平均速度至少为3.2km/h； （3）②③． 【解析】解：（1）设v， ∵过点（2，4）， ∴k＝2×4＝8， ∴v； （2）当t＝2.5时， v＝3.2， 由反比例函数图象可得：当t≤2.5时，v≥3.2， ∴学生步行的平均速度至少为3.2km/h； （3）李老师在补给点停留的时间为1.25﹣0.75＝0.5（h）， 故①错误； 李老师在学生出发后1.75小时到达长征纪念广场，学生在出发后2小时到达长征纪念广场， ∴李老师比学生先到达长征纪念广场， 故②正确； 由图象可得两个函数图象交点的纵坐标为4，此时学生和李老师相遇，均在补给点， ∴生从学校到补给点所走路程为4km， 故③正确． 故答案为：②③． 28．【答案】（I）1.2；2；1； （II）； （III）52.5或65或77.5． 【解析】解：（I）小杰骑行到体育公园的速度为 2÷10＝0.2（km/min）， ∴当小杰离开家6min时，离家的距离为0.2×6＝1.2（km）； 由图象得，当小杰离开家50min时，离家的距离为2km； 当小杰离开家65min时，离家的距离为1km； 故答案为：1.2；2；1； （II）当50≤x≤55时，小杰离家的距离y与时间x的满足一次函数关系， 设y＝k1x+b1， 代入（50，2）和（55，1）得，， 解得， ∴y＝﹣0.2x+12（50≤x≤55）； 当55＜x＜75时，由图象得，y＝1， ∴y＝1（55＜x＜75）； 当75≤x≤80时，小杰离家的距离y与时间x的满足一次函数关系， 设y＝k2x+b2， 代入（75，1）和（80，0）得，， 解得， ∴y＝﹣0.2x+16（75≤x≤80）； 综上，小杰离家的距离y关于时间x的函数解析式为； （III）当小杰的爷爷回到家时，小杰离开家时间为40+50＝90（min）， 由题意得，y2与x满足一次函数关系， 设y2＝kx+b，代入（40，2）和（90，0）得， ， 解得， ∴y2＝﹣0.04x+3.6（40≤x≤90）； 当50≤x≤55时，y1＝y2， ∴﹣0.2x+12＝﹣0.04x+3.6， 解得x＝52.5； 当55＜x＜75时，y1＝y2， ∴1＝﹣0.04x+3.6， 解得x＝65； 当75≤x≤80时，y1＝y2， ∴﹣0.2x+16＝﹣0.04x+3.6， 解得x＝77.5； 综上，当y1＝y2时，x的值为52.5或65或77.5． 29．【答案】（1）填表如下： x 1 6 y 51 55 y＝0.8x+50.2； （2）8：10：00到8：12：00登上观景台的游客为87人；8：12：00到8：14：00登上观景台的游客为150人． 【解析】解：（1）由题意得，第一个人需要51秒， 又∵此后每位游客到达时间的间隔为0.8秒． ∴第6个人时间为：51+0.8×5＝55（秒）． 填表如下： x 1 6 y 51 55 ∴y关于x的函数解析式为y＝51+0.8（x﹣1），即y＝0.8x+50.2； （2）由题意，当8：10：00到8：12：00时，2分钟＝120秒， ∴结合（1）令0.8x+50.2＝120， ∴x＝87.25，取整数，x＝87． ∴8：10：00到8：12：00登上观景台的游客为87人； 当8：10：00到8：14：00时，4分钟＝240秒， ∴结合（1）令0.8x+50.2＝240， ∴x＝237.25，取整数，x＝237． ∴8：12：00到8：14：00登上观景台的游客为：237﹣87＝150（人）． 30．【答案】该班级本次共捐给福利院322元． 【解析】解：由图中可知，没有降价前100千克有机蔬菜卖了300元，那么售价为：300÷100＝3（元）， 降价0.5元后单价变为3﹣0.5＝2.5，钱变成了450元，说明降价后卖了450﹣300＝150（元），那么降价后卖了150÷2.5＝60（千克）． ∴总质量将变为：100+60＝160（千克），则种植基金＝160×0.8＝128（元）， ∴捐给福利院的金额＝450﹣128＝322（元）． 答：该班级本次共捐给福利院322元． 31．【答案】（1）描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为40元，30元； （2）购买14个描金琉璃瓶，6个内画瓶，费用最小，最少费用为740元． 【解析】解：（1）设描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为x元，y元． 由题意， 解得． 答：描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为40元，30元； （2）设购买描金琉璃瓶x个，购买内画瓶（20﹣x）个．总费用为W元． 则有W＝40x+30（20﹣x）＝10x+600， 由题意x≥2（20﹣x）， 解得x， ∵10＞0， ∴当x＝14时，W最小，最小值＝740． 故当购买14个描金琉璃瓶，6个内画瓶，费用最小，最少费用为740元． 32．【答案】（1）A地收到250吨物资，B地收到150吨物资； （2）从A地运往C地30吨，运往D地220吨，从B地运往C地150吨，运往D地0吨时，总运费最少，最少费用为6650元． 【解析】解：（1）由题意，设A地收到x吨物资，B地收到y吨物资，则， ∴． 答：A地收到250吨物资，B地收到150吨物资； （2）设总费用为W元，从A地运往C地m吨，则运往D地（250﹣m）吨，B地运往C地（180﹣m） 吨，运往D地 （m﹣30）吨， ∴W＝15m+20（250﹣m）+12（180﹣m）+18（m﹣30）＝m+6620， ∵， ∴30≤m≤180． ∵k＝1＞0， ∴W随m的增大而增大． ∴当m＝30，总费用最少，W＝30+6620＝6650（元）， ∴250﹣m＝220，180﹣m＝150，m﹣30＝0． 答：从A地运往C地30吨，运往D地220吨，从B地运往C地150吨，运往D地0吨时，总运费最少，最少费用为6650元． 33．【答案】（1）l2的函数表达式为：s2＝50t，l1的函数表达式为：s1＝30t+800； （2）乙能比甲先到达景点4． 【解析】解：（1）直线l2过点（0，0）和（20，1000）， k250， 直线l1对应的函数表达式为s2＝50t； 设直线l1对应的函数表达式为s＝kt+b， 直线l1过点（0，800）和（20，1400）， 代入得， 解得， 直线l1对应的函数表达式为s1＝30t+800； （2）甲的速度为30m/min， 乙的速度为50m/min， 景点1到景点3的路程为800+600＝1400（m）， 当s＝1400时，对于甲：30t+800＝1400，解得t＝20， 对于乙：50t＝1400，解得t＝28， 甲从景点3到景点4要走的路程为720m，耗时24min， 乙从景点3到景点4要走的路程为650m，耗时13min， 甲到达景点4的总时间为20+24＝44min， 乙到达景点4的总时间为28+13＝41min， ∵41＜44，∴乙能比甲先到达景点4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $