专题04 一次函数与反比例函数（5年汇编）（福建专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦一次函数与反比例函数，汇编福建2022-2026年中考真题及模拟题，突出实际情境应用与几何综合能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|64题|一次函数（胡克定律、采购方案）、反比例函数（k值、几何综合）|结合弹簧弹力、绿植采购等现实情境；与正方形、平行四边形等几何图形综合；反比例函数连续5年必考，强调数形结合|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04一次函数与反比例函数 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 考点01一次函数 1.0.8 2.(1)解：设可购买绿萝x盆，吊兰y盆， x+y=46 依题意得： 9x+6y=390 x=38 解得：y=8, 答：可购买绿萝38盆，吊兰8盆： (2)解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为 46-m)盆， :绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍， .46-m≥2m, 46 解得：m≤ 3, 设购买两种绿植共花费w元， w=6m+9(46-m)=-3m+414 由题意得： k=-3<0 .w随m的增大而减小， .当m=15时，w取最小值，即花费最少， w最小=-3×15+414=369 (元)， 此时购买吊兰15盆，绿萝46-15=31（盆）， 1/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 答：购买吊兰的15盆，绿萝31盆，总花费最少，最少为369元， 考点02反比例函数 1.A 2.A 3.-2 4(2,) 5.-5(答案不唯一) 一年模拟练测园 题号 1 2 3 ⑤ 6 8 9 10 答案 D A y A C B C C C B 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D A D D E O C D C 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 D B 0 D ⊙ A D D C 题号 31 32 答案 B 33.6 34.334 35.90 3626号 3 37.31.5 38.y=3x+10 40.1.1 41.-9 42.1 43.-9 44.-3<t<-1或3<t<5 2/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 45.2 46.②③④ 47.0 48.4 49.-2 50.①④/④① . 【详解】(1)解：由图像可知，当小铝块下降10cm,即当x=10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N, 弹簧测力计B的示数为2.5N; 故答案为：2.8：2.5： (②)解：当6≤x≤10时，设弹簧测力i计4的示数P边关于产的晒数解析式为 拉力=a+b(k≠0) 「6k+b=4 [k=-0.3 将(6,4)和(10,2.8)分别代入F拉力=+b,得10k+b=2.8,解得b=5.8, :当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数拉力关于的函数解析式为 拉力=-0.3x+5.8 (3)解：根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N,当=7时，力=-03×7+5.8=3.7N） 4-3.7=0.3(N) ∴.m=0.3(N) 当6≤x≤10时，设弹筑测力计8的示数关于的函数解折式为勤+A低0)， 6k+b=4 k=-0.375 将(6,4)和(10,2.5)分别代入F拉力=kx+b,得10k+b=2.5,解得b=6.25, “当6≤x≤10时，弹簧测力计B的示数力关于*的函数解析式为 拉力=-0.375x+6.25 ·乙液体中的小铝块所受的浮力也为 0.3(N) 3/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ”此时弹簧测力计9的示数P为4-03=37) 当0.375x+6.25=3.7 =6.8(cm） 时，解得 .n=x-6=0.8(cm) 53.1)F=-0.25h+8 (2)12cm 【详解】(I)解：设F与h之间的函数关系式为F=h+b, 由表中数据可知，当h=0时，F=8.0:当h=2时，F=7.5, 将这两组数值代入，得 b=8 2k+b=7.5 [k=-0.25 解得b=8 .F与h之间的函数关系式为F=0.25h+8； (2)当F=5时， .5=-0.25h+8. 解得h=12, ∴.此时圆柱体下表面浸入水中的深度为l2cm. 54.(1)12000元 (2)86≤x≤95 【详解】(1)解：当x=80时，y=-20×80+2200=600, 600×(80-60)=12000 （元)， ∴.若芒果的售价为80元/箱，合作社每天芒果的销售利润为2000元： (2)解：，每天的销售量不少于300箱， .-20x+22002300, 解得x≤95， ,规定芒果的售价不低于86元/箱， 4/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.芒果的售价x应定在86≤x≤95 55.1)f=-16h+580(h>0) (2)3cm 【详解】(1)解：根据题意可得f与h为一次函数的关系， 设f=h+b(k≠0). [5k+b=500 由题意得， 10k+b=420, [k=-16 解得b=580, .f=-16h+580(h>0) (2)解：在∫=-16h+580中，当f=392时，则392=-16h+580, 解得h=11.75. 当∫=440时，则440=-16h+580, 解得h=8.75, 发出音阶为Sol和La的两个玻璃杯中水位高度差为11.75-8.75=3(cm)」 故发出音阶为Sol和La的两个玻璃杯中水位高度差为3cm. 56.(1) 甲种工具的单价是15元，乙种工具的单价是25元 2) 购买这批劳动工具所需的最低费用是1400元 【详解】(1)解：设甲种工具的单价是x元，则乙种工具的单价是(x+10)元，依题意得 300_500 xx+10,解得x=15: 经检验：x=15是原分式方程的解： 当x=15时，x+10=15+10=25: 5/17 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 答：甲种工具的单价是15元，乙种工具的单价是25元： (2)解：设购买甲种工具m件，则购买乙种工具（⑧0-m)件，所需总费用为w元，依题意得 w=15m+25(80-m)=-10m+2000,m≤3(80-m), 解得m≤60， .-10<0 .w随m的增大而减小， 当m=60时，w取得最小值，最小值为-10×60+2000=1400（元）： 答：购买这批劳动工具所需的最低费用是1400元 57.1) 、I 6证明：直线OM的函数表达式为y= "abx, 1 1 y=- Q的坐标b满足 ab, OM 点在直线 上 (②)证明：连接PR,交OM于点S,如图1，由题意得四边形PORM是矩形， B 图1 .PR-OM SP-PR SM-TOM :.SP=SM, ∴.∠1=∠2 .∠3=∠1+∠2=2∠2 :PR是⊙P的半径，且⊙P的半径是2PO .∴.PR=2PO sp- 6/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .PS=PO .∠4=∠3=2∠2」 PM∥x轴， .2=∠5， ∴∠A0B=∠4+∠5=3∠5，即∠M0B={∠A0B 3W6-3√23V6+3V2 3)0 D36+323V6-3N5 2 22,2 【详解】(1)解：设直线OM的函数表达式为y=x, 由题意得∠POR=∠QRM=∠PQR=90°， 四边形PORM为矩形， uo)ap) ∴直线OM的函数表达式为y= (2)证明：略 (3)解：当点D在OC下方时，以点C为圆心，以20C为半径作弧交函数y=的图象交于点R,分别过 点C和R作x轴、和y轴的平行线交OD分别于点M、O. 7/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=x 9 联立方程y= 解得x=3,x=-3(舍去)， .C(3,3) ..OC=3V2 CR=6V2 由作图可知，∠CQR=∠QCM=∠CQR=90°， 四边形PORM为矩形， 3 R3a 设a, OR=CM-3a-3,CQ=MR-3-3 在Rt△CQR中， cR-cg+0=(a-3+3--62 -子6 :a+-2a+=8, +1=4,a+ ∴.a a =-4(负值舍去) a .a2-4a+1=0 a=2±V5 QR=CM=3a-3>0, a>1, a=2-V5 (舍去) ∴.a=2+V5 a=2+5时， R6+33,6-35) 8/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M(6+3W5,3 .M OD OD y=kx “在直线上，设直线的解析式为 x6+352-5 y=(2-V3)x 联立直线解析式和反比例函数得 9 y=一 OD x 3V6+3√2 2 3V6-3V2, y= 2 D36+3236-3W5 .（2 2 9 同理，当点D在OC上方，以点c为圆心，以20C为半径作弧交函数x的图象交于点R,分别过点C 和R作x轴、和y轴的平行线交OD分别于点M、 0 y=x 9 联立方程y= 解得x=3,x=-3(舍去)， C(3,3) 9/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OC=3V2 CR=62 由作图可知，∠CQR=∠QCM=∠C0R=90°， .四边形PORM为矩形， 3 R3a,- 设（a,则 OR-CM--3 CO=MR=3-34 在Rt△CQR中， cR=og+0-目-到-e-ar=6wa .g2-2a+-2=6 a2 a a 1、 (a+与)2-2(a+)=8 a a 1 1 a+二=4，a+=-2(负值舍去) a a .a2-4a+1=0 ∴a=2V5 .CQ=MR=3-3a>0. ∴.0<a<1, .a=2+V3 (舍去)， a=2-V5时，R6-35,6+3) M3,6+3W5) .∵M OD OD y=kx 在直线上，设直线的解析式为， :k=y-6+35-2+5 10117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=(2+V3)x 联立直线解析式和反比例函数得 9 y= OD x 3V6-3√2 x= 2 J= 3v6+3W2 D36-3236+32 2 2 58.1)y=2.8x+75 56.2≤y≤170.2 (2) 【详解】(1)解：设身高y关于肱骨长度x的函数解析式为'=c+b,由表格可把点 (28,153.4),(30,159) 代入得： [28k+b=153.4 k=2.8 30k+b=159,解得： b=75, ∴身高y关于肱骨长度x的函数解析式为y=2.8x+75, (2)解：由(1)可知：身高y关于肱骨长度x的函数解析式为y=2.8x+75: 当x=29时，y=2.8×29+75=156.2:当x=34时，y=2.8×34+75=170.2: 2.8>0, 身高y随肱骨长度x的增大而增大， .当29≤x≤34时，则156.2≤y≤170.2 59.(1)A食品2包，B食品3包 (2)应选用A食品4包，B食品2包 【详解】(I)解：设选用A食品x包，B食品y包，根据题意，得： 11/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 700x+900y=4100, 10x+15y=65 x=2 解得：y=3, 答：选用A食品2包，B食品3包. (2)解：设选用A食品m包则选用B食品 6-m) 包，根据题意，得： 10m+15(6-m)≥70 解得：m≤4， 设每份午餐的总热量为”KJ, w=700m+900(6-m) ”，则： 即w=-200m+5400. .-200<0, .Ψ随的增大而减小， ∴当m=4时，w取得最小值，此时6-m=6-4=2, .应选用A食品4包，B食品2包. 60.(1)P=0.041+999.9,当温度为200C时合金球的体积为 =1007.9(cm3)） (2)小明的结果更接近最佳表达式，理由 将t=200代入V=0.0397t+999.95, 得V=0.0397×200+999.95=1007.89, .1007.9-1007.89=0.01,1007.89-1006=1.89 0.01<1.89 小明的结果更接近最佳表达式 【详解】(1)解：设体积V与温度1的函数表达式为”=+bk≠0)，将10,100.3)和(60,102.3 和 分别代 入，得 [10k+b=1000.3, 得60k+b=1002.3, 12117 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k=0.04, 解得b=999.9. .体积V与温度t的函数表达式为'=0.041+999.9 当温度为200℃时合金球的体积为 =0.04×200+999.9=1007.9(cm) (2)略 12V3 61.)少 (②)解：平移后点E不在反比例函数的图像上，理由如下： .C3,4W),DC=8,DC∥AB,菱形ABCD沿x轴的正方向平移，点D恰好在反比例函数的图像上， ∴菱形ABCD沿x轴的正方向平移，此时点D和点C重合， 即菱形ABCD沿x轴的正方向平移8个单位，点D恰好在反比例函数的图像上， :菱形ABCD中， ∴点E是AC的中点， A(-9,0).C(3,4v5) 9. 即E(-3,23) 平移后点E的坐标为E3+82),即E5,2) 12W3 V= 25-105125 当x=5时，反比例函数值为 5,而 5 5. ∴.平移后点卫不在反比例函数的图像上 【详解】(1)解：如图：过点C作C91x轴于点Q, 13117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .4(-9,0）B(-1,0) :4B=-1-(9)=80B=1 ,菱形ABCD中，∠ABC=120°， .BC=AB=DC=8,DC∥AB，∠CBQ=180°-120°=60°， ∠BC0=30° 80-8Bc=4, :.CQ=VBC2-BQ=4V500=B0-B0=4-1=3, :c3,43) :点C在反比例函数y=的图像上. ∴.k=3×4V3=125 12W3 y= ∴反比例函数的表达式为x； (2)略 62.见详解 【详解】解：对于直线y=cx+b, 令x=0,则y=b, 则点D的坐标为0,6)， b 今y=0,则k,则点C的坐标为(，0 X=- 14117 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.xc+Xp=k 检设D的中的做标)-会 将y=+b, y=联立，得 y=kx+b a y=- 整理，得kx2+bx-a=0, b 由根与系数的关系可知+x8= k ∴线段AB的中点与线段CD的中点都在直线AB上，且它们的横坐标相等， ∴线段AB的中点与线段CD的中点重合. 如图，设中点为E, .AE=BE,CE=DE ∴AE-CE=BE-DE,即AC=BD 63.1)k=9 (②)证明：由题意得，BD=3cm,OB=3cm,CD⊥x轴 9. 3 x=3+3=6,代入y=得：%=2， :.CD=3 , 15117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE⊥AB,AB‖y轴， 3 yE=yc= 2 3 AB=y-=7=CD 直尺为矩形尺子， .AE∥CD ∴.四边形AEDC是平行四边形. 【详解】(1)解：点A和B对应的刻度分别为5cm和2cm, .AB=5-2=3cm, 又：OB=3cm,AB‖y轴， A(3,3) 把A(3,3)代入y= 得：3= 解得：k=9: (2)略。 64.Q)证明：设反比例函数y（k≠0)，分同一象限〈即，5同号)的情况讨论： kk y- y2= 取自变量x,x,且<2，对应的函数值为x, 2. -k_k-k 11 2-乃= =k.-五 x2x（x2x -x2<0 由<，得 又：，同号〈同-一象限)， .x32>0 x-x2<0 xx2 16117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k.-龙<0 当k>0时，x, 即h%<0片< 结论：在每个象限内，y随x的增大而减小， k.-2>0 当k<0时，x, 即片y>0⅓>片 结论：在每个象限内，y随x的增大而增大. ②)解：片>h ,理由： 4 己知反比例函数少=x,其中k=4>0: 由(1)的结论：当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小 0<x<x2 又 、A,8两点在第一象限（同一象限），：片>乃 17117 专题04 一次函数与反比例函数 5年真题1年模拟 考点分类 福建考情（2022-2026） 命题规律 考点01一次函数 2025 福建卷、 2022 福建卷 常结合生活实际情境命题，分为填空、解答题型；依托弹簧弹力、采购方案等现实素材构建一次函数模型；考查待定系数法求解析式、利用一次函数性质结合不等式求解最值；易错点：读懂文字情境提取等量关系、自变量取值范围约束，方案最值问题需注意整数限制。 考点02 反比例函数 2026 福建卷、 2025 福建卷、 2024 福建卷、 2023 福建卷、 2022 福建卷 每年必考，以选择、填空题为主；核心考点：点是否在反比例图象上、求 k 值、根据象限判断 k 符号、反比例与几何图形（正方形、圆）综合；常结合中心对称性质命题；难度中等，侧重反比例xy=k核心关系式运用，几何综合题注重数形结合。 考点01 一次函数 1．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为_______千克． 2．（2022·福建·中考真题）在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，九年级（1）班负责校园某绿化角的设计．种植与养护同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍已知绿萝每盆元，吊兰每盆元． (1)采购组计划将经费元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？ (2)请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值． 考点02 反比例函数 1．（2026·福建·中考真题）下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 2．（2023·福建·中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）    A． B． C． D．3 3．（2025·福建·中考真题）若反比例函数的图象过点，则常数_______． 4．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为______． 5．（2022·福建·中考真题）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数） 1．（2026·福建泉州·一模）如图是围棋棋盘中的3个棋子，若两个黑子的坐标分别是，，则白子的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建宁德·二模）已知一次函数（）的图象经过点，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·福建福州·三模）下列关于的函数中，当时，函数值随的值增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 4．（2026·福建泉州·模拟预测）、是直线图象上相异的两点，若，则m的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．（2026·福建福州·三模）小明发现某些函数图像上的三点满足如下性质：对于任意非零实数k，存在位于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列函数不具备该性质的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·福建厦门·三模）平面直角坐标系，其中．直线与线段交于点C（不与重合）．点分别在线段上．直线过点D交直线于点F，直线过点E交直线于点G．若对于任意的点D，都存在点E，使得．设点C的横坐标为q，则q的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·福建宁德·二模）已知一次函数的图象经过点，则该函数图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2026·福建泉州·三模）已知一次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（    ） A．可以找到一个实数b，使得 B．无论实数b取什么值，都有 C．可以找到一个实数c，使得 D．无论实数c取什么值，都有 9．（2026·福建泉州·三模）如图，用一根长的铝合金型材做成一个中间有一条横档的“日字形”窗框（缝隙忽略不计），设，，则y与x之间的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 10．（2026·福建厦门·二模）若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化两个单位，其解析式可以是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·福建三明·二模）若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·福建福州·三模）若一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况无法确定 13．（2026·福建福州·三模）一个正比例函数的图像经过点和点．若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（） A． B． C． D． 14．（2026·福建福州·三模）某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（   ） A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当时， C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 15．（2026·福建福州·三模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）    A． B． C． D． 16．（2026·福建厦门·三模）某款小型无人潜水器使用“可变体积气囊”控制沉浮，其工作原理是内部充入固定质量的空气，通过液压活塞压缩或释放气囊体积V（单位：），改变气囊内部空气密度ρ（单位：kg/m³），从而控制沉浮．正常工作状态下，空气密度ρ与体积 V是反比例函数关系，它的图象如图所示，图中点A和点B的坐标是潜水器记录的两个异常数据，下列对这两个异常数据的解释正确的是（     ） A．点A，B均反映潜水器充入过高质量的空气 B．点A，B均反映潜水器充入过低质量的空气 C．点A，B分别反映潜水器充入过高质量的空气和过低质量的空气 D．点A，B分别反映潜水器充入过低质量的空气和过高质量的空气 17．（2026·福建厦门·三模）如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 18．（2026·福建三明·三模）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，点的坐标是，平行四边形的周长是，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 19．（2026·福建福州·三模）如图，在中，两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点逆时针旋转后得到．若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 20．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，平行于x轴，连接，若，则的面积可以是（     ） A． B．4 C． D．5 21．（2026·福建泉州·三模）如图，已知直线与，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，连接，．若和的面积都为，则的值是（     ） A． B． C． D． 22．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A是函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与函数的图象分别交于点B，C，OA与BC交于点D．下列结论中正确的是（     ） A．AB与AC一定相等 B．△AOB与△AOC的面积一定相等 C．OB与OC一定相等 D．△BOC与△ABC的面积一定相等 23．（2026·福建漳州·模拟预测）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根所在的范围是（     ） A． B． C． D． 24．（2026·福建漳州·模拟预测）已知点都在反比例函数 的图象上，则的大小关系（     ） A． B． C． D． 25．（2026·福建漳州·模拟预测）如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．I随R的增大而增大 B．当时， C．I与R的函数表达式是 D．当时，I的取值范围是 26．（2026·福建宁德·一模）物理兴趣小组在实验室开展“加速度与质量关系”的验证实验．在力恒定的条件下，物体的加速度（单位：）与质量（单位：）满足反比例函数．为保证实验安全，质量控制在范围内．若，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 27．（2026·福建泉州·一模）物理实验中，小明分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（安）和它们的电压U（伏），根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器功率（P）最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 28．（2026·福建泉州·一模）如图，点在双曲线上，轴，垂足为，过点作交双曲线于点，连接，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 29．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，已知正比例函数与反比例函数交于A，B两点，C是第三象限反比例函数图象上一点，且点C在点A的左侧，线段交y轴的正半轴于点P，若的面积是12，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 30．（2026·福建龙岩·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，两点在双曲线上，连结并延长交轴于点，且；点在直线，直线．若，则的值为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 31．（2026·福建厦门·模拟预测）现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线交的图象于点，交的图象于点，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形的面积表示的实际意义是（    ） A．经过用电器的电流的差值 B．两款蓄电池的电压的差值 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值 32．（2026·福建莆田·二模）如图，将反比例函数的图象向右平移1个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ） A．该函数图象交y轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，，若，则 33．（2026·福建漳州·模拟预测）阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板（长度足够长）上的运动速度v（）与运动时间t（s）之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，当运动时间为时，运动速度为_______． 运动时间t（s） 1 2 3 …… 运动速度v/（） 11 10 9 …… 34．（2026·福建漳州·模拟预测）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，下表表示一定温度下声音在空气中传播的速度v()与温度部分对应数值： 温度t 0 10 20 声音传播的速度v 331 337 343 研究发现，v是t的一次函数，则当温度t为时，声音传播的速度v为_______． 35．（2026·福建漳州·模拟预测）智能手环的压力传感器原理：当佩戴者手腕施加压力时，传感器的弹性膜发生形变，带动内部可变电阻R阻值变化，进而使电路中电流发生变化，最终转化为可显示的压力值．已知该可变电阻R（单位：欧）与手腕施加的压力F（单位：牛）之间的关系为一次函数，当牛时，欧；当牛时，欧．当可变电阻R为60欧时，对应手腕施加的压力F为______牛． 36．（2026·福建漳州·模拟预测）随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量开始快充时，累计充电时间与汽车仪表盘显示的电量的关系可用二次函数近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程与电量的关系如下表所示． 汽车仪表盘显示的电量 … 汽车仪表盘显示的可行驶里程 … 若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为，此时到目的地的路程还有．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为，则充电时间为________． 37．（2026·福建厦门·一模）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：）随时间x（单位：）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为________分钟． 38．（2026·福建漳州·模拟预测）漳州某中学的生物社团为了探究室内盆栽虎皮兰的生长情况，记录了其叶片数y（片）与生长周数x（周）的关系，得到如下数据： 试验周数x/周 0 1 2 3 4 叶片数y/片 10 13 16 19 22 则y与x之间的函数关系式为_______． 39．（2026·福建福州·模拟预测）已知关于的一次函数，那么这个函数的图象一定经过第________象限． 40．（2026·福建泉州·一模）在“测量小车运动的瞬时速度”物理实验中，小明通过打点计时器记录了小车在恒定拉力作用下运动的速度与时间关系．测得当秒时，小车的速度米秒；当秒时，小车的速度米秒．已知小车速度与时间满足一次函数关系，当秒时，小车的速度___________米秒． 41．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为______． 42．（2026·福建莆田·模拟预测）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______． 43．（2026·福建三明·模拟预测）如图，点，分别在反比例函数（），（）的图象上，点为轴正半轴上一点，若平行四边形的面积是6，则的值为_______． 44．（2026·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，在线段上取一点（不与，重合），点的横坐标为，作轴于，交双曲线于，记．若随的增大而减小，则的取值范围是______． 45．（2026·福建厦门·二模）已知点是一次函数与反比例函数的交点，则代数式的值是_________． 46．（2026·福建三明·二模）如图，、是反比例函数图象上两点，且，过点、分别作轴、轴的平行线，交于点，连接，交于点，若，给出以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． 47．（2026·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是______． 48．（2026·福建福州·模拟预测）用绘图软件绘制双曲线：与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形．视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，与的交点分别是点和，为能看到在和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数________． 49．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，连接，．若，且满足，则k的值为________． 50．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，射线与双曲线和依次交于点A，B，射线与双曲线和依次交于点C，D．对于任意的，给出下列四个结论： ①；②；③；④． 其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号） 51．（2026·福建南平·二模）如图，已知矩形的顶点均在反比例函数的图象上，其中顶点A，B在第一象限（点B在点A右侧），顶点C，D在第三象限（点C在点D右侧），若点A的坐标为，则点B的坐标为______． 52．（2026·福建福州·三模）【知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计的下方，从离桌面的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积及液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图所示．    【解决问题】 (1)当小铝块下降时，弹簧测力计的示数为________，弹簧测力计的示数为________； (2)当时，求弹簧测力计的示数关于的函数解析式； (3)当弹簧测力计悬挂的小铝块下降时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为．求，的值． 53．（2026·福建漳州·模拟预测）某校数学建模兴趣小组在探究“圆柱体浸入液体过程中的力学变化”课题时，设计了一个实验：将一个挂在弹簧测力计下的实心圆柱体金属块，缓慢匀速地浸入盛有足量水的容器中（在金属块接触容器底之前）．实验过程中，记录了圆柱体下表面所处的深度h（单位：cm）与弹簧测力计相应的示数F（单位：N）． 【数据记录】 实验次序 1 2 3 4 5 深度 0 2 4 6 8 示数 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 经观察分析，在金属块完全浸没于水中之前，弹簧测力计的示数F与圆柱体下表面所处的深度h之间满足一次函数关系．请根据上述信息，解决下列问题： (1)求出弹簧测力计示数 F（N）与深度h（cm）之间的函数关系式； (2)当弹簧测力计的示数时，求圆柱体下表面浸入水中的深度． 54．（2026·福建厦门·二模）某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润． (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 55．（2026·福建厦门·三模）【项目背景】 某学习小组在学习声现象时，知道了振动频率越高，音调就越高；振动频率越低，音调也越低．由此他们联想到在敲击装有水的玻璃杯时，杯中水位不同，音调也会不同．于是他们计划探究水位高度与振动频率之间的关系，并依此制作水杯琴． 【实验操作】 该学习小组设计了如下实验：先在圆柱形玻璃杯中加水，加到水位高度为时，敲击玻璃杯口，同时利用声学设备测量其振动频率；继续加水，并测量不同水位高度时的振动频率．为减小误差，同一水位高度下，多次敲击、测量振动频率并计算它们的平均值，获得的数据如表一． 表一 水位高度（） 频率（） 【数据查询】 通过查阅资料得知，七个音阶对应的频率如表二． 表二 音阶 频率（） 根据以上信息，解答下列问题： (1)求一个能近似描述频率与水位高度的关系的函数解析式； (2)用实验中同种型号的玻璃杯制作水杯琴时，请估计发出音阶为和的两个玻璃杯中水位高度差为多少？ 56．（2026·河南周口·模拟预测）某学校为了全面落实劳动教育，决定开设校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种劳动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少10元，且用300元购买甲种工具的数量与用500元购买乙种工具的数量相等． (1)求甲、乙两种工具的单价． (2)若该校计划购买甲、乙两种工具共80件，且甲种工具的数量不超过乙种工具数量的3倍．求购买这批劳动工具所需的最低费用． 57．（2026·福建泉州·模拟预测）项目式学习 在数学综合实践活动中，某小组开展反比例函数与几何角度项目探究学习，阅读下列材料并完成探究问题． 用固定双曲线三等分锐角 阅读材料 古希腊有著名的三等分角难题，仅用圆规和直尺是不可能将任意锐角三等分．数学家帕普斯借助反比例函数构图，给出了一种“三等分锐角”的方法，作图步骤如下： ①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与轴正方向重合； ②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P； ③以P为圆心、以的长为半径作弧，交函数的图象于点R； ④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q； ⑤连接，得到．则． 问题解决 (1)任务1：设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上． (2)任务2：证明： (3)任务3：结合上面项目探究的构图方法、图形特征以及归纳得到的规律进行解答．如图2，若直线与反比例函数交于点C；D为反比例函数第一象限上的点，且，根据材料中提供的构图方法求出D点坐标． 58．（2026·福建厦门·三模）考古学家通过古人肱骨长度推测身高．某次考古发现商王朝南部“长”国的部落男性的身高y（单位：cm）与肱骨长度x（单位：cm）一次函数关系．根据考古数据，部分肱骨长度对应身高数据如表一： 表一 肱骨长度 28 30 32.5 35 36 身高 153.4 159 166 173 175.8 (1)求身高y关于肱骨长度x的函数解析式；（不要求写出自变量取值范围） (2)结合该部落古人骨骼数据，得到该部落成年男性肱骨长度的范围约为之间，试求该部落成年男性身高y的取值范围． 59．（2026·福建漳州·模拟预测）下面两图片分别标注A、B两种食品的营养成分表．已知这两种食品每包质量均为，根据相关信息完成下列问题： (1)要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少包？ (2)结合《中国居民膳食指南（2022）》及国家《学生餐营养指南》标准，初中生午餐的蛋白质摄入量不低于，若午餐选用这两种食品共6包，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 60．（2026·福建泉州·二模）某研究小组为探究一种固态合金球的体积随温度变化的规律，测得不同温度下合金球的体积数据如表（已知该合金的熔点为）： 温度 0 10 20 40 60 体积 1000 (1)小明认为V与t之间近似地符合一次函数关系，他选取其中两组数据和，请帮他求出函数的表达式，并算出温度为时合金球的体积； (2)小华选取其它数据算出温度为时，合金球的体积为．研究小组认为这批数据可能分布在某条直线附近，于是他们利用某（人工智能）平台对全部数据进行分析，得到一次函数的最佳表达式为．小明和小华计算时合金球的体积结果，哪位同学的结果更接近最佳表达式？请说明理由． 61．（2026·福建福州·三模）如图，在菱形中，，，．反比例函数的图像经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)菱形的对角线与相交于点，将菱形沿轴的正方向平移，当点恰好在反比例函数的图像上时，试判断此时点是否也在反比例函数的图像上？请说明理由． 62．（2026·福建福州·模拟预测）小明用代数推理的方法发现了反比例函数（）一个有趣的结论： 如图，直线（）与双曲线（）交于，两点，与，轴分别交于点，，可证明成立．他的思路是将直线和曲线联立，进而求得与的值，由，证得线段的中点与线段的中点重合，即可得到．请按小明的思路完成证明． 63．（2026·福建福州·模拟预测）如图，平行于轴的矩形直尺与双曲线（）交于点和，与轴交于点和，点和对应的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求的值． (2)过点作于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 64．（2026·福建泉州·模拟预测）在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左向右下降．我们可以证明这一性质的正确性． 我们知道，要比较两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则．反之也正确．根据这一事实，可以证明上述结论． 设一次函数，当自变量分别取，且时，对应的函数值分别为．它们的差为．由假设可知，，这样，我们就得到如下结论： （1）当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而增大． （2）当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而减小． 这就是一次函数的增减性． (1)请用上述材料中的方法，证明反比例函数的增减性； (2)已知反比例函数，点、都在该函数的图象上，且，试比较与的大小，并说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数与反比例函数 5年真题1年模拟 考点分类 福建考情（2022-2026） 命题规律 考点01一次函数 2025 福建卷、 2022 福建卷 常结合生活实际情境命题，分为填空、解答题型；依托弹簧弹力、采购方案等现实素材构建一次函数模型；考查待定系数法求解析式、利用一次函数性质结合不等式求解最值；易错点：读懂文字情境提取等量关系、自变量取值范围约束，方案最值问题需注意整数限制。 考点02 反比例函数 2026 福建卷、 2025 福建卷、 2024 福建卷、 2023 福建卷、 2022 福建卷 每年必考，以选择、填空题为主；核心考点：点是否在反比例图象上、求 k 值、根据象限判断 k 符号、反比例与几何图形（正方形、圆）综合；常结合中心对称性质命题；难度中等，侧重反比例xy=k核心关系式运用，几何综合题注重数形结合。 考点01 一次函数 1．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为_______千克． 【答案】0.8 【分析】本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律（其中为弹力，为劲度系数，为弹簧伸长或压缩量 ）及重力与质量的关系是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量． 【详解】解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)． 物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得． 当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)． 设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得． 故答案为： ． 2．（2022·福建·中考真题）在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，九年级（1）班负责校园某绿化角的设计．种植与养护同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍已知绿萝每盆元，吊兰每盆元． (1)采购组计划将经费元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？ (2)请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值． 【答案】(1)可购买绿萝盆，吊兰盆 (2)购买吊兰的盆，绿萝盆，总花费最少，最少为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键， （1）设可购买绿萝盆，吊兰盆，根据题意：计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆，采购组计划将预算经费元全部用于购买绿萝与吊兰，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆，由绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍，得，求得的取值范围，设购买两种绿植共花费元，由题意得：，根据一次函数的增减性即可求得最省钱的方案． 【详解】（1）解：设可购买绿萝盆，吊兰盆， 依题意得：， 解得：， 答：可购买绿萝盆，吊兰盆； （2）解：设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆， 绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍， ， 解得：， 设购买两种绿植共花费元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，取最小值，即花费最少， （元）， 此时购买吊兰盆，绿萝（盆）， 答：购买吊兰的盆，绿萝盆，总花费最少，最少为元． 考点02 反比例函数 1．（2026·福建·中考真题）下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算对应的y值，和点的纵坐标对比即可得出结论． 【详解】解：对于函数 A、当时，， 点在函数的图象上，此选项符合题意； B、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； C、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； D、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意． 2．（2023·福建·中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）    A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，    ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵点在第二象限， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（2025·福建·中考真题）若反比例函数的图象过点，则常数_______． 【答案】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴； 故答案为：． 4．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出，结合，则，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵反比例函数的图象与交于两点，且 ∴ 设，则 ∵ ∴ 则 ∵点在第一象限 ∴ 把代入得 ∴ 经检验：都是原方程的解 ∵ ∴ 故答案为： 5．（2022·福建·中考真题）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数） 【答案】-5（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知k＜0，进而问题可求解． 【详解】解：由反比例函数的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0， ∴实数k的值可以是-5； 故答案为-5（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 1．（2026·福建泉州·一模）如图是围棋棋盘中的3个棋子，若两个黑子的坐标分别是，，则白子的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，的位置，得到平面直角坐标系，再根据白子的位置解答． 【详解】解：如图， ∴白子的坐标为． 2．（2026·福建宁德·二模）已知一次函数（）的图象经过点，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点坐标代入一次函数解析式，结合的条件判断的符号，即可选出符合条件的选项． 【详解】解：∵ 一次函数（）的图象经过点， ∴ 将，代入解析式得 ， 整理得 ， ∵ ， ∴ ， 选项中只有，符合条件，因此选A． 3．（2025·福建福州·三模）下列关于的函数中，当时，函数值随的值增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数、反比例函数和一次函数的图象和性质．根据二次函数，一次函数，反比例函数的图象的性质解答即可． 【详解】解：A、一次函数中一次项系数为， ∴y随x的增大而增大，故本选项符合题意； B、∵二次函数，中二次项系数为， ∴图象开口向上，当时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意； C、∵二次函数中二次项系数为 ∴图象开口向下，当时，y随x的增大而减少，故本选项不符合题意； D、反比例函数中系数为，经过一三象限， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； 故选：A． 4．（2025·福建泉州·模拟预测）、是直线图象上相异的两点，若，则m的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由已知条件可判断出y随x的增大而增大，则，然后解不等式即可． 【详解】解：∵、是直线图象上相异的两点，， ∴y随x的增大而增大， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2025·福建福州·三模）小明发现某些函数图像上的三点满足如下性质：对于任意非零实数k，存在位于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列函数不具备该性质的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象与性质，熟练掌握常见函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意可知，具备该性质的函数需满足，对于任意非零实数k，函数图象经过第二象限或者第四象限，对各选项进行分析即可． 【详解】解：∵对于任意非零实数k，存在位于轴同侧的、、三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号； ∴具备该性质的函数需满足，对于任意非零实数k，函数图象经过第二象限或者第四象限， ∵当时，的图象经过第一、二、三象限， 当时，的图象经过第一、二、四象限， ∴选项A不符合题意； ∵当时，的图象经过第一、二象限， 当时，的图象经过第三、四象限， ∴选项B不符合题意； ∵当时，的图象经过第一、三象限， 当时，的图象经过第二、四象限， ∴选项C符合题意； ∵当时，的图象经过第一、二象限， 当时，的图象经过第三、四象限， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 6．（2025·福建厦门·三模）平面直角坐标系，其中．直线与线段交于点C（不与重合）．点分别在线段上．直线过点D交直线于点F，直线过点E交直线于点G．若对于任意的点D，都存在点E，使得．设点C的横坐标为q，则q的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，坐标与图形面积，相似三角形的判定与性质，先画好图形，根据解析式可得，可得，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：如图， ∵过点D交直线于点F，直线过点E交直线于点G． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平面直角坐标系，其中．点分别在线段上． ∴， 设，则， ∴， 解得：，即， ∵点C的横坐标为q， ∴， 解得：； 故选：B 7．（2025·福建宁德·二模）已知一次函数的图象经过点，则该函数图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象（根据一次函数解析式判断其经过的象限），求一次函数解析式等知识点，熟练掌握、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键． 将点代入，即可求出一次函数解析式，然后根据、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案． 【详解】解：将点代入得， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴该一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴该函数图象不经过第三象限， 故选：C． 8．（2025·福建泉州·三模）已知一次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（    ） A．可以找到一个实数b，使得 B．无论实数b取什么值，都有 C．可以找到一个实数c，使得 D．无论实数c取什么值，都有 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是解题关键，求出即可判断A、B选项，求出即可判断C、D选项． 【详解】解： 一次函数的图象经过， ， ，故选项A、B均错误； 一次函数的图象经过， ， 当时，，故，故选项C正确； 当时，，故，选项D错误； 故选：C． 9．（2025·福建泉州·三模）如图，用一根长的铝合金型材做成一个中间有一条横档的“日字形”窗框（缝隙忽略不计），设，，则y与x之间的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 【答案】C 【分析】本题考查一次函数，矩形的周长，二元一次方程，掌握矩形周长的求法是解题的关键． 根据矩形的周长是长宽之和的2倍，即可列出二元一次方程，即可解答． 【详解】解：由题意，得 ， 即，为一次函数． 故选C． 10．（2025·福建厦门·二模）若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化两个单位，其解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求函数值 ．（1） 当已知函数解析式时， 求函数值就是求代数式的值；（2） 函数值是唯一的， 而对应的自变量可以是多个 ．自变量每变化一个单位， 将代入函数，即可求得变化了多少． 【详解】解：自变量每变化一个单位，即将代入函数得：； 所以，函数值随之变化两个单位， 故选：B． 11．（2025·福建三明·二模）若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件确定的符号后，结合二元一次方程组对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：， ， 又不等式的解集是， ，， 即， 结合一次函数解析式可得， 此时一定在该函数图象上， 选项，将代入解析式可得，结合可解得，与已知矛盾，选项错误； 选项，将代入解析式可得，结合可解得，与已知矛盾，选项错误； 选项，将代入解析式可得，结合可解得，与已知矛盾，选项错误； 选项，将代入解析式可得，结合可解得，符合，选项正确． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是不等式解集与一次函数图象的关系、二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据已知条件确定参数的符号． 12．（2026·福建福州·三模）若一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况无法确定 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系及一元二次方程根的判别式，由图象确定、的符号，计算的值即可判断根的情况． 【详解】解：由一次函数的图象可知，图象经过第一、二、四象限， ∴，， 在方程中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 13．（2026·福建福州·三模）一个正比例函数的图像经过点和点．若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，求正比例函数解析式等知识，首先根据关于原点对称的点坐标关系，求出a和b的值，进而确定点坐标，再代入正比例函数的一般式，求解即可获得答案． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴和点， 设该正比例函数为， 将点代入，可得， 解得， ∴这个正比例函数的表达式为． 故选：D． 14．（2026·福建福州·三模）某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（   ） A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当时， C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 【答案】D 【分析】本题考查了数的混合运算的应用，分级收费问题，需明确分成的级数和每级的收费标准．根据题意计算即可得出答案． 【详解】A．当行驶里程为时，，与原选项相符，正确； B．当时，，即，与原选项相符，正确； C．当时，代入，解得，即实际里程，与原选项相符，正确； D．当行驶里程为时，，与原选项不符，不正确． 故选：D． 15．（2026·福建福州·三模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解． 【详解】解：将点代入得： ∴交点坐标为： 由一次函数与二元一次方程组的关系可得：该方程组的解为 故选：B 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系．掌握相关结论即可． 16．（2026·福建厦门·三模）某款小型无人潜水器使用“可变体积气囊”控制沉浮，其工作原理是内部充入固定质量的空气，通过液压活塞压缩或释放气囊体积V（单位：），改变气囊内部空气密度ρ（单位：kg/m³），从而控制沉浮．正常工作状态下，空气密度ρ与体积 V是反比例函数关系，它的图象如图所示，图中点A和点B的坐标是潜水器记录的两个异常数据，下列对这两个异常数据的解释正确的是（     ） A．点A，B均反映潜水器充入过高质量的空气 B．点A，B均反映潜水器充入过低质量的空气 C．点A，B分别反映潜水器充入过高质量的空气和过低质量的空气 D．点A，B分别反映潜水器充入过低质量的空气和过高质量的空气 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，图象上的点满足 （常数），图象上方的点满足 ，图象下方的点满足 ，结合质量公式 进行判断即可． 【详解】解：正常工作状态下空气的质量为 ，则 ，即 ， 点 在反比例函数图象的上方 ， 点 对应的 的值大于正常工作的质量 ，即充入空气质量过高， 点 在反比例函数图象的下方 ， 点 对应的 的值小于正常工作的质量 ，即充入空气质量过低， 点 ， 分别反映潜水器充入过高质量的空气和过低质量的空气． 17．（2026·福建厦门·三模）如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点坐标求出反比例函数解析式，再根据矩形性质确定点坐标及点的纵坐标，利用中心对称性质求出点的纵坐标，最后代入函数解析式求出横坐标． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即， 四边形是矩形，， ，且平行于轴， 故上点的纵坐标均为， 点在边上， 点的纵坐标为， 点与点关于点成中心对称， 点是线段的中点， 设，则， 解得， 点在反比例函数图象上， ， 解得， 点的坐标为． 18．（2026·福建三明·三模）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，点的坐标是，平行四边形的周长是，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，设，则，，，根据勾股定理建立方程，解方程，求得点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵平行四边形的周长是， ∴， ∴ ∵点的坐标是， 设，则，， ∴ 在中， ∴ 解得： ∴ ∵点在上， ∴ 19．（2026·福建福州·三模）如图，在中，两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点逆时针旋转后得到．若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，根据得到，继而得到点的坐标，根据旋转的性质得到点的坐标，根据中点坐标公式得到点的坐标，继而根据待定系数法得到的值． 【详解】解：∵在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即，解得（舍去负根）， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴点的横坐标，点的纵坐标，即点的坐标为， ∵点是斜边的中点，点，点， ∴，， ∴点的坐标为， 设点在反比例函数的图象上， ∴，即． 20．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，平行于x轴，连接，若，则的面积可以是（     ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】设，，将 的面积表示出来，建立面积与的函数关系，结合的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， 点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵平行轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ，只有符合题意． 21．（2026·福建泉州·三模）如图，已知直线与，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，连接，．若和的面积都为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和的面积都为6，得点为的中点，设，，由中点坐标公式得，代入解析式得出，过点作轴于点，利用，即可求解． 【详解】解：∵和的面积都为， ∴，即点为的中点， 设，， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∴， 如图，过点作轴于点，则，， ∵， ∴． 22．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A是函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与函数的图象分别交于点B，C，OA与BC交于点D．下列结论中正确的是（     ） A．AB与AC一定相等 B．△AOB与△AOC的面积一定相等 C．OB与OC一定相等 D．△BOC与△ABC的面积一定相等 【答案】B 【分析】根据反比例函数中的几何意义与方程思想将点的坐标设出来，利用点与点之间的距离求线段进行求解． 【详解】解：如图所示，延长交轴于点，延长交轴于点， ∵点在反比例函数图像上，点在反比例函数的图像上，且轴，轴， ∴， ∵， ∴； 设点，则点， A，，不确定， ∴之间的关系无法确定，不符合题意； B，，符合题意； C，∵， ∴， ∵不确定， ∴之间的关系无法确定，不符合题意； D，∵， ， ∴不符合题意． 23．（2026·福建漳州·模拟预测）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根所在的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】仿照题干给出的方法，将原方程变形得到两个函数，方程的实数根即为两个函数图象交点的横坐标，通过计算不同x处两个函数的函数值，结合函数增减性即可判断交点所在范围． 【详解】解：∵不满足方程， ∴， 方程两边同除以，得， 因此方程的实数根是函数与图象交点的横坐标， ∵当两个函数图象相交时，交点的纵坐标， ∴当两个函数图象相交时，交点的横坐标， 当时，，，可得， 当时，，，可得， ∵在时，y随x的增大而增大，在时，y随x的增大而减小， ∴两个函数交点的横坐标满足，即方程的实数根所在范围是． 24．（2026·福建漳州·模拟预测）已知点都在反比例函数 的图象上，则的大小关系（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限和增减性，再根据各点横坐标的范围比较纵坐标的大小. 【详解】解：∵ ， ∴； ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小； ∵ 点的横坐标， ∴ 点在第三象限，可得， ∵ 点、的横坐标，， ∴ 点、在第一象限，，， 又∵ ，根据第一象限内函数的增减性，可得； 综上，. 25．（2026·福建漳州·模拟预测）如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．I随R的增大而增大 B．当时， C．I与R的函数表达式是 D．当时，I的取值范围是 【答案】D 【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：由图可知，随的增大而减小， ∴A选项不正确，不符合题意； 设， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴与的函数表达式是， ∴C选项不正确，不符合题意； 把代入，可得 解得， ∴B选项不符合题意； ∵， ∴当时，，当时，， 又∵随的增大而减小， ∴当时，I的取值范围是, ∴D选项正确，符合题意． 26．（2026·福建宁德·一模）物理兴趣小组在实验室开展“加速度与质量关系”的验证实验．在力恒定的条件下，物体的加速度（单位：）与质量（单位：）满足反比例函数．为保证实验安全，质量控制在范围内．若，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：在力恒定的条件下，物体的加速度（单位：）与质量（单位：）满足反比例函数， ∴加速度随质量的增大而减小， 又，， ∴当时，加速度有最大值，最大值为． 27．（2026·福建泉州·一模）物理实验中，小明分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（安）和它们的电压U（伏），根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器功率（P）最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象与性质；根据公式，即，结合反比例函数的性质，图象离原点越远，k值越大，即用电器功率（P）越大． 【详解】解：∵， ∴，即当电功率一定时，其图象是反比例函数的图象， ∵乙、丁两点在曲线上， ∴乙、丁两用电器的功率相等， ∵甲点在曲线上方，丙点在曲线下方， ∴功率最大的是甲． 故选：A． 28．（2026·福建泉州·一模）如图，点在双曲线上，轴，垂足为，过点作交双曲线于点，连接，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先设出点P的坐标，进而得到点B的坐标，再根据直线与平行求出直线的解析式，联立直线与双曲线的方程求出点A的坐标，根据，求得，最后根据求解即可． 【详解】解：设， ∵轴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得， ∵， ∴， 将代入得， ∴点的坐标为， 作轴于点， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 29．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，已知正比例函数与反比例函数交于A，B两点，C是第三象限反比例函数图象上一点，且点C在点A的左侧，线段交y轴的正半轴于点P，若的面积是12，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题、正比例函数与反比例函数的性质、待定系数法求一次函数的表达式及三角形的面积．熟练掌握反比例函数的性质和两个函数的交点是解答本题的关键． 先通过函数解析式求出交点A、B坐标，设点C的坐标，再利用待定系数法求出的解析式，最后再根据的面积得到关于m的方程，即可求得点C的坐标． 【详解】解：由题可得： ， 解得：或， ，， 设，设直线为，则， 解得：，， 直线为， 过A作y轴的平行线交于点Q,则， ， ， 即， 解得：， ． 故答案为： ． 30．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，两点在双曲线上，连结并延长交轴于点，且；点在直线，直线．若，则的值为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【分析】延长交轴于点，则，连结，过点作轴于点，过点作轴于点，则，设，根据，可得，从而得到，再由，可求出，然后根据直线，可得，可解决问题． 【详解】解：延长交轴于点，则，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，则， 设，，则，， 两点在双曲线上， ， ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 直线，， ． ， ∴． 31．（2025·福建厦门·模拟预测）现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线交的图象于点，交的图象于点，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形的面积表示的实际意义是（    ） A．经过用电器的电流的差值 B．两款蓄电池的电压的差值 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，设，对于所在的曲线，；对于所在的曲线，；数形结合得到矩形的面积，即矩形的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值，即可得到答案．熟记反比例函数的几何意义，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，设， 对于所在的曲线，；对于所在的曲线，； 矩形的面积， 即矩形的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值， 故选：B． 32．（2025·福建莆田·二模）如图，将反比例函数的图象向右平移1个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）    A．该函数图象交y轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，，若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数平移后的图象性质，包括对称性质、增减性及与坐标轴的交点． 根据图象结合相关计算逐选项判断即可． 【详解】解：A．当时，，该函数图象交y轴于点，此选项错误； B．该函数图象关于点对称，此选项错误； C．关于直线对称，将反比例函数的图象向右平移1个单位，直线也向右平移1个单位，为直线， 该函数图象关于直线对称，此选项正确； D．该函数图象上任取两点，，若或，则，此选项错误； 故答案为：C． 33．（2026·福建漳州·模拟预测）阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板（长度足够长）上的运动速度v（）与运动时间t（s）之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，当运动时间为时，运动速度为_______． 运动时间t（s） 1 2 3 …… 运动速度v/（） 11 10 9 …… 【答案】6 【分析】求出函数解析式，代入即可求出答案． 【详解】解：由表格可知，当运动时间每增加，则运动速度降低，则速度v（）与运动时间t（s）之间的函数关系式为, 当时，， 即当运动时间为时，运动速度为． 34．（2026·福建漳州·模拟预测）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，下表表示一定温度下声音在空气中传播的速度v()与温度部分对应数值： 温度t 0 10 20 声音传播的速度v 331 337 343 研究发现，v是t的一次函数，则当温度t为时，声音传播的速度v为_______． 【答案】334 【分析】已知是的一次函数，设解析式为，利用表格给出的两组对应值，通过待定系数法求出函数解析式，再将代入解析式计算得到对应的的值． 【详解】解：设与的函数解析式为． 由表格可知，当时，，代入解析式得， 解得； 因此函数解析式为． 将，代入解析式得，解得； 因此与的函数解析式为． 将代入解析式得． 35．（2026·福建漳州·模拟预测）智能手环的压力传感器原理：当佩戴者手腕施加压力时，传感器的弹性膜发生形变，带动内部可变电阻R阻值变化，进而使电路中电流发生变化，最终转化为可显示的压力值．已知该可变电阻R（单位：欧）与手腕施加的压力F（单位：牛）之间的关系为一次函数，当牛时，欧；当牛时，欧．当可变电阻R为60欧时，对应手腕施加的压力F为______牛． 【答案】90 【分析】先根据与是一次函数关系设出函数解析式，利用已知的两组对应值，用待定系数法求出函数解析式，再将代入解析式，计算得到对应的值． 【详解】设与的一次函数解析式为． 将和分别代入解析式， 得： ， 解得：， 因此一次函数解析式为， 将代入解析式得 ， 移项得 ， 计算得 ， 解得． 36．（2026·福建漳州·模拟预测）随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量开始快充时，累计充电时间与汽车仪表盘显示的电量的关系可用二次函数近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程与电量的关系如下表所示． 汽车仪表盘显示的电量 … 汽车仪表盘显示的可行驶里程 … 若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为，此时到目的地的路程还有．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为，则充电时间为________． 【答案】/ 【分析】由表可知，每行驶千米，需要的电量，根据题意可得，电量需充到，根据累计充电时间与汽车仪表盘显示的电量的关系，即可求解． 【详解】解：由表可知，每行驶千米，需要的电量， 根据题意可得，电量需充到， 在中， 当时，， 当时，， ∴充电时间为． 37．（2026·福建厦门·一模）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：）随时间x（单位：）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为________分钟． 【答案】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值等知识，关键是读懂题意，列出函数关系式．用待定系数法分别求直线和曲线的解析式，分别求解当时，对应的x值，即可得该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间． 【详解】解：设直线解析式为：，则， 解得：， ∴温度上升段（）的解析式为：， 当时，即， 解得； 设反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 故温度下降段（段）函数表达式： 当时，即， 解得； 则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为（分钟）， 故答案为：． 38．（2026·福建漳州·模拟预测）漳州某中学的生物社团为了探究室内盆栽虎皮兰的生长情况，记录了其叶片数y（片）与生长周数x（周）的关系，得到如下数据： 试验周数x/周 0 1 2 3 4 叶片数y/片 10 13 16 19 22 则y与x之间的函数关系式为_______． 【答案】 【分析】由表格数据可知，随均匀变化，可判断与为一次函数关系，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 将和代入得：， 解得， 得到关系式． 39．（2026·福建福州·模拟预测）已知关于的一次函数，那么这个函数的图象一定经过第________象限． 【答案】 二 【分析】将已知一次函数解析式变形，可求出函数恒过的定点，根据定点所在象限即可得到结论. 【详解】解：对一次函数解析式变形可得 ， ∴当时，， ∴一次函数的图象恒过定点， ∵点在第二象限， ∴这个函数的图象一定经过第二象限． 40．（2026·福建泉州·一模）在“测量小车运动的瞬时速度”物理实验中，小明通过打点计时器记录了小车在恒定拉力作用下运动的速度与时间关系．测得当秒时，小车的速度米秒；当秒时，小车的速度米秒．已知小车速度与时间满足一次函数关系，当秒时，小车的速度___________米秒． 【答案】 1.1 【分析】根据与满足一次函数关系，设出一次函数解析式，利用待定系数法求出解析式，再将代入计算得到对应的值. 【详解】解：设关于的一次函数解析式为. 将和分别代入解析式，得 ， 解得 ， ∴. 将代入解析式，得. 41．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为______． 【答案】 【分析】先求出，即可得出，代入函数表达式即可求解． 【详解】解：延长交轴于点D，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴轴， ∵点的坐标是， ∴，， ∵平行四边形的面积是4， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是， ∴， ∴， 故答案为：． 42．（2026·福建莆田·模拟预测）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______． 【答案】1 【分析】过点作垂直于轴，过点作垂直于轴，根据点的坐标求出的长度，利用勾股定理求出的长度，再通过解直角三角形求出的长度，最后利用“字模型”求出的距离，根据的几何意义求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂直于轴，垂足为点，过点作垂直于轴，垂足为点， ∴， ∵点， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， 又∵， ∴， 又∵反比例函数图像在第一象限， ∴． 43．（2026·福建三明·模拟预测）如图，点，分别在反比例函数（），（）的图象上，点为轴正半轴上一点，若平行四边形的面积是6，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质求出，根据反比例函数k的几何意义求出，进而求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，延长交x轴于点D，连接， ∵平行四边形的面积是6， ∴．， ∴， ∴． ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 44．（2026·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，在线段上取一点（不与，重合），点的横坐标为，作轴于，交双曲线于，记．若随的增大而减小，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】先根据点A在双曲线上求出a的值，进而得到直线解析式和交点B的横坐标，确定t的初始取值范围，再用t表示d，得到d关于t的二次函数，根据二次函数的增减性求出满足条件的t的范围． 【详解】解：点在双曲线上， ， 解得， 即． ①当时，， 将代入，得 ， 解得， ∴直线 当时， 解得，， 即点的横坐标为， 点在线段上，不与，重合， ． 由题意得，，，且时，，， ， 该二次函数开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而减小，结合得． ②当时，，将代入，得 ， 解得， ∴直线， 当时， 解得，，即点的横坐标为， 点在线段上，不与，重合， ． 由题意得，，， 且时，， ， ， 该二次函数开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而减小， 结合，得 ． 综上，的取值范围是或． 45．（2026·福建厦门·二模）已知点是一次函数与反比例函数的交点，则代数式的值是_________． 【答案】 【分析】根据交点坐标满足两个函数解析式，得到的关系式，将所求代数式通分变形后，整体代入求值即可． 【详解】解： 点是一次函数与反比例函数的交点， 将代入两个函数解析式，得，， 整理得 ，， 对所求代数式变形，得， 将，代入，得． 46．（2026·福建三明·二模）如图，、是反比例函数图象上两点，且，过点、分别作轴、轴的平行线，交于点，连接，交于点，若，给出以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． 【答案】②③④ 【分析】延长交轴于点，由题意得，，由题意可设，，则，，然后证明，则，再根据平行线的性质得到，则，再结合互余关系证明点为的中点，结合已知可得，则为等腰直角三角形，即可求解，再由勾股定理得到，最后根据反证法即可判断不成立． 【详解】解：延长交轴于点，由题意得， 由题意可设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，故④正确， ∵，若，则，则，与矛盾，故不成立，故①错误， ∴正确的有②③④． 47．（2026·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质可得，反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值，据此表示出与，即可计算的值． 【详解】解： 函数的图象经过点和， ， 整理得，， ． 48．（2026·福建福州·模拟预测）用绘图软件绘制双曲线：与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形．视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，与的交点分别是点和，为能看到在和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数________． 【答案】4 【分析】当和时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，分别计算的值，再根据题意分析，即可得到答案． 【详解】解：当时，得 ∴ ∵ ∴是的解 ∴与的交点坐标为： ∵（1）视窗可视范围就由及，且 ∴ 根据题意，得为正整数 ∴ ∴ 同理，当时，得 ∴ ∴ ∴ ∵要能看到在A和之间的一整段图象 ∴ 49．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，连接，．若，且满足，则k的值为________． 【答案】 【分析】过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，根据反比例函数比例系数的几何意义，得，，证明得到，再结合反比例函数图象在第四象限即可求出k的值． 【详解】解：过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，则， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数图象上， ∴根据反比例函数比例系数的几何意义，得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵反比例函数图象在第四象限， ∴． 50．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，射线与双曲线和依次交于点A，B，射线与双曲线和依次交于点C，D．对于任意的，给出下列四个结论： ①；②；③；④． 其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①④/④① 【分析】先通过联立方程求出四个交点A，B，C，D的坐标，再根据相似三角形的性质与判定，两点间距离公式逐一验证四个结论，得到正确结论即可． 【详解】解：由题意可得如图所示： 过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F， ∴， ∴， ∴， 联立，解得：（负根舍去）， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴，故③错误； 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴，，故④正确； ∴，故①正确； 由两点间距离公式， ， ， 因为， 所以，故②错误； 综上所述：正确的有①④． 51．（2026·福建南平·二模）如图，已知矩形的顶点均在反比例函数的图象上，其中顶点A，B在第一象限（点B在点A右侧），顶点C，D在第三象限（点C在点D右侧），若点A的坐标为，则点B的坐标为______． 【答案】 【详解】解：由矩形及反比例函数的轴对称性可得，A，B两点关于直线对称， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为． 52．（2026·福建福州·三模）【知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计的下方，从离桌面的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积及液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图所示．    【解决问题】 (1)当小铝块下降时，弹簧测力计的示数为________，弹簧测力计的示数为________； (2)当时，求弹簧测力计的示数关于的函数解析式； (3)当弹簧测力计悬挂的小铝块下降时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为．求，的值． 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】（1）观察图象即可得出答案． （2）观察图象可知关于的函数为一次函数，利用待定系数法即可得出弹簧测力计的示数关于的函数解析式． （3）根据（2）中得到的函数解析式得到小铝块下降时小铝块受到的浮力，利用待定系数法求出当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式，继而根据弹簧测力计的示数也为得到此时的． 【详解】（1）解：由图像可知，当小铝块下降，即当时，弹簧测力计的示数为，弹簧测力计的示数为； 故答案为：；； （2）解：当时，设弹簧测力计的示数关于的函数解析式为， 将和分别代入，得，解得， ∴当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式为； （3）解：根据图象，圆柱体小铝块所受重力为，当时，， ， ， 当时，设弹簧测力计的示数关于的函数解析式为， 将和分别代入，得，解得， 当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式为， 乙液体中的小铝块所受的浮力也为， 此时弹簧测力计的示数为， 当时，解得， ． 53．（2026·福建漳州·模拟预测）某校数学建模兴趣小组在探究“圆柱体浸入液体过程中的力学变化”课题时，设计了一个实验：将一个挂在弹簧测力计下的实心圆柱体金属块，缓慢匀速地浸入盛有足量水的容器中（在金属块接触容器底之前）．实验过程中，记录了圆柱体下表面所处的深度h（单位：cm）与弹簧测力计相应的示数F（单位：N）． 【数据记录】 实验次序 1 2 3 4 5 深度 0 2 4 6 8 示数 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 经观察分析，在金属块完全浸没于水中之前，弹簧测力计的示数F与圆柱体下表面所处的深度h之间满足一次函数关系．请根据上述信息，解决下列问题： (1)求出弹簧测力计示数 F（N）与深度h（cm）之间的函数关系式； (2)当弹簧测力计的示数时，求圆柱体下表面浸入水中的深度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设F与h之间的函数关系式为，选取两组对应数值代入求出函数解析式； （2）将代入（1）的解析式求出h即可． 【详解】（1）解：设F与h之间的函数关系式为， 由表中数据可知，当时，；当时，， 将这两组数值代入，得 解得 ∴F与h之间的函数关系式为； （2）当时， ∴. 解得， ∴此时圆柱体下表面浸入水中的深度为． 54．（2026·福建厦门·二模）某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润． (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【答案】(1)12000元 (2) 【分析】（1）求出当时，，再根据总利润销售量单件利润，计算即可得出结果； （2）根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，， （元）， ∴若芒果的售价为80元/箱，合作社每天芒果的销售利润为2000元； （2）解：∵每天的销售量不少于300箱， ∴， 解得， ∵规定芒果的售价不低于86元/箱， ∴芒果的售价应定在． 55．（2026·福建厦门·三模）【项目背景】 某学习小组在学习声现象时，知道了振动频率越高，音调就越高；振动频率越低，音调也越低．由此他们联想到在敲击装有水的玻璃杯时，杯中水位不同，音调也会不同．于是他们计划探究水位高度与振动频率之间的关系，并依此制作水杯琴． 【实验操作】 该学习小组设计了如下实验：先在圆柱形玻璃杯中加水，加到水位高度为时，敲击玻璃杯口，同时利用声学设备测量其振动频率；继续加水，并测量不同水位高度时的振动频率．为减小误差，同一水位高度下，多次敲击、测量振动频率并计算它们的平均值，获得的数据如表一． 表一 水位高度（） 频率（） 【数据查询】 通过查阅资料得知，七个音阶对应的频率如表二． 表二 音阶 频率（） 根据以上信息，解答下列问题： (1)求一个能近似描述频率与水位高度的关系的函数解析式； (2)用实验中同种型号的玻璃杯制作水杯琴时，请估计发出音阶为和的两个玻璃杯中水位高度差为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出，音阶对应的水的高度，进而求出水位高度差． 【详解】（1）解：根据题意可得与为一次函数的关系， 设， 由题意得，， 解得， ； （2）解：在中，当时，则， 解得， 当时，则， 解得， 发出音阶为和的两个玻璃杯中水位高度差为． 故发出音阶为和的两个玻璃杯中水位高度差为． 56．（2026·河南周口·模拟预测）某学校为了全面落实劳动教育，决定开设校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种劳动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少10元，且用300元购买甲种工具的数量与用500元购买乙种工具的数量相等． (1)求甲、乙两种工具的单价． (2)若该校计划购买甲、乙两种工具共80件，且甲种工具的数量不超过乙种工具数量的3倍．求购买这批劳动工具所需的最低费用． 【答案】(1) 甲种工具的单价是元，乙种工具的单价是元 (2) 购买这批劳动工具所需的最低费用是元 【分析】 （1）设甲种工具的单价为元，根据题意表示出乙种工具的单价，再根据两种工具购买数量相等列分式方程，求解检验后即可得到结果； （2）设购买甲种工具件，总费用为元，列出总费用关于的一次函数解析式，再根据甲种工具数量的限制条件列不等式求出的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出最低费用. 【详解】（1） 解：设甲种工具的单价是元，则乙种工具的单价是元，依题意得 ，解得； 经检验：是原分式方程的解； 当时，； 答：甲种工具的单价是15元，乙种工具的单价是25元； （2）解：设购买甲种工具件，则购买乙种工具件，所需总费用为元，依题意得 ，， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为（元）； 答：购买这批劳动工具所需的最低费用是1400元. 57．（2026·福建泉州·模拟预测）项目式学习 在数学综合实践活动中，某小组开展反比例函数与几何角度项目探究学习，阅读下列材料并完成探究问题． 用固定双曲线三等分锐角 阅读材料 古希腊有著名的三等分角难题，仅用圆规和直尺是不可能将任意锐角三等分．数学家帕普斯借助反比例函数构图，给出了一种“三等分锐角”的方法，作图步骤如下： ①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与轴正方向重合； ②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P； ③以P为圆心、以的长为半径作弧，交函数的图象于点R； ④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q； ⑤连接，得到．则． 问题解决 (1)任务1：设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上． (2)任务2：证明： (3)任务3：结合上面项目探究的构图方法、图形特征以及归纳得到的规律进行解答．如图2，若直线与反比例函数交于点C；D为反比例函数第一象限上的点，且，根据材料中提供的构图方法求出D点坐标． 【答案】(1) 证明：直线的函数表达式为， 的坐标满足， 点在直线上. (2)证明：连接，交于点，如图，由题意得四边形是矩形， ，，， ， ， ． 是的半径，且的半径是 ， ， ， ． 轴， ， ，即 (3)； 【分析】（1）根据矩形的性质和点的坐标，求出和点坐标，将代入正比例函数即可求出直线的解析式，将点代入即可判断是否满足在直线的解析上． （2）根据矩形的性质求出，利用等腰对等角和外角的性质即可求出和的关系，根据平行线的性质判断和的关系，利用作图的思想判断出和的关系，通过等量转化即可证明． （3）根据题中的作图法以及前两位的所得到的规律，先求出点的坐标，根据矩形的性质设点的坐标参数，几何勾股定理即可求出参数的值，从而求出坐标，即可知道点坐标，联立直线解析式和反比例函数即可求出的坐标． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 由题意得， 四边形为矩形， ，， ，， 把点代入得， 直线的函数表达式为， （2）证明：略 （3）解：当点在下方时，以点为圆心，以为半径作弧交函数的图象交于点，分别过点和作轴、和轴的平行线交分别于点． 联立方程， 解得，（舍去）， ， ， 由作图可知，， 四边形为矩形， 设，则，， 在中， ， ， ，（负值舍去） ． ， ， （舍去） 时，， ， 在直线上，设直线的解析式为， 联立直线解析式和反比例函数得， ， ． 同理，当点在上方，以点为圆心，以为半径作弧交函数的图象交于点，分别过点和作轴、和轴的平行线交分别于点． 联立方程， 解得，（舍去）， ， ， 由作图可知，， 四边形为矩形， 设，则，， 在中， ， ， ，（负值舍去） ． ， ， （舍去）， 时，， ， 在直线上，设直线的解析式为， ， 联立直线解析式和反比例函数得， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，矩形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键在于第三问要分情况讨论，解题的易错点在于开方容易出错． 58．（2026·福建厦门·三模）考古学家通过古人肱骨长度推测身高．某次考古发现商王朝南部“长”国的部落男性的身高y（单位：cm）与肱骨长度x（单位：cm）一次函数关系．根据考古数据，部分肱骨长度对应身高数据如表一： 表一 肱骨长度 28 30 32.5 35 36 身高 153.4 159 166 173 175.8 (1)求身高y关于肱骨长度x的函数解析式；（不要求写出自变量取值范围） (2)结合该部落古人骨骼数据，得到该部落成年男性肱骨长度的范围约为之间，试求该部落成年男性身高y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设身高y关于肱骨长度x的函数解析式为，然后根据待定系数法求解即可； （2）由题意可得当时，；当时，，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设身高y关于肱骨长度x的函数解析式为，由表格可把点代入得： ，解得：， ∴身高y关于肱骨长度x的函数解析式为； （2）解：由（1）可知：身高y关于肱骨长度x的函数解析式为； ∴当时，；当时，； ∵， ∴身高y随肱骨长度x的增大而增大， ∴当时，则． 59．（2026·福建漳州·模拟预测）下面两图片分别标注A、B两种食品的营养成分表．已知这两种食品每包质量均为，根据相关信息完成下列问题： (1)要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少包？ (2)结合《中国居民膳食指南（2022）》及国家《学生餐营养指南》标准，初中生午餐的蛋白质摄入量不低于，若午餐选用这两种食品共6包，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】(1)A食品2包，B食品3包 (2)应选用A食品4包，B食品2包 【分析】（1）设选用A食品x包，B食品y包，根据“要从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A食品m包则选用B食品包，根据蛋白质摄入量不低于求出m的取值范围，再设每份午餐的总热量为，列出函数解析式，根据函数的性质求解． 【详解】（1）解：设选用A食品x包，B食品y包，根据题意，得： ， 解得：， 答：选用A食品2包，B食品3包． （2）解：设选用A食品m包则选用B食品包，根据题意，得： ， 解得：， 设每份午餐的总热量为，则：， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，此时， ∴应选用A食品4包，B食品2包． 60．（2026·福建泉州·二模）某研究小组为探究一种固态合金球的体积随温度变化的规律，测得不同温度下合金球的体积数据如表（已知该合金的熔点为）： 温度 0 10 20 40 60 体积 1000 (1)小明认为V与t之间近似地符合一次函数关系，他选取其中两组数据和，请帮他求出函数的表达式，并算出温度为时合金球的体积； (2)小华选取其它数据算出温度为时，合金球的体积为．研究小组认为这批数据可能分布在某条直线附近，于是他们利用某（人工智能）平台对全部数据进行分析，得到一次函数的最佳表达式为．小明和小华计算时合金球的体积结果，哪位同学的结果更接近最佳表达式？请说明理由． 【答案】(1)；当温度为时合金球的体积为 (2)小明的结果更接近最佳表达式，理由 将代入， 得， ∴， ∵， ∴小明的结果更接近最佳表达式． 【分析】（1）设体积V与温度t的函数表达式为，求出体积V与温度t的函数表达式为，再将计算当温度为时合金球的体积为，即可解答． （2）将代入，求出，再求出，并比较大小，即可解答． 【详解】（1）解：设体积V与温度t的函数表达式为，将和分别代入，得 得 解得 ∴体积V与温度t的函数表达式为． 当温度为时合金球的体积为． （2）略 61．（2026·福建福州·三模）如图，在菱形中，，，．反比例函数的图像经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)菱形的对角线与相交于点，将菱形沿轴的正方向平移，当点恰好在反比例函数的图像上时，试判断此时点是否也在反比例函数的图像上？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：平移后点E不在反比例函数的图像上，理由如下： ∵，，，菱形沿轴的正方向平移，点恰好在反比例函数的图像上， ∴菱形沿轴的正方向平移，此时点D和点C重合， 即菱形沿轴的正方向平移8个单位，点恰好在反比例函数的图像上， ∵菱形中， ∴点E是的中点， ∵，， ∴，即， ∴平移后点的坐标为，即， 当时，反比例函数值为，而． ∴平移后点E不在反比例函数的图像上． 【分析】（1）如图：过点C作轴于点Q，根据两点间的距离公式得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，得到，把点C代入即可解答； （2）先说明菱形沿轴的正方向平移8个单位，点恰好在反比例函数的图像上，然后求出平移后点的坐标为，再判断其是否在反比例函数图像即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点C作轴于点Q， ∵，， ∴， ∵菱形中，， ∴，，， ， ， ，， ∴， ∵点C在反比例函数的图像上． ， ∴反比例函数的表达式为； （2）略 62．（2026·福建福州·模拟预测）小明用代数推理的方法发现了反比例函数（）一个有趣的结论： 如图，直线（）与双曲线（）交于，两点，与，轴分别交于点，，可证明成立．他的思路是将直线和曲线联立，进而求得与的值，由，证得线段的中点与线段的中点重合，即可得到．请按小明的思路完成证明． 【答案】见详解 【分析】首先求出直线与坐标轴的两个交点，进而求得的值，然后将直线和曲线联立，求得的值，进而证明线段的中点与线段的中点重合即可． 【详解】解：对于直线， 令，则，则点D的坐标为， 令，则，则点C的坐标为， ． 线段的中点的横坐标为． 将，联立，得 整理，得， 由根与系数的关系可知， 线段的中点的横坐标为． 线段的中点与线段的中点都在直线上，且它们的横坐标相等， 线段的中点与线段的中点重合． 如图，设中点为E， ， ，即． 63．（2026·福建福州·模拟预测）如图，平行于轴的矩形直尺与双曲线（）交于点和，与轴交于点和，点和对应的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求的值． (2)过点作于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)证明：由题意得，，，轴 ，代入得：， ， ，轴， ， ， 直尺为矩形尺子， ， 四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据题意先求出长，利用轴求出点A的坐标，利用待定系数法求出的值； （2）根据直尺的宽度求出点C的横坐标，利用点C在双曲线上求出点C的坐标，结合垂线和平行线的性质求出，由于直尺为矩形尺子，则，从而得出结论． 【详解】（1）解：点和对应的刻度分别为和， ， 又，轴， ， 把代入得： 解得：； （2）略． 64．（2026·福建泉州·模拟预测）在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左向右下降．我们可以证明这一性质的正确性． 我们知道，要比较两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则．反之也正确．根据这一事实，可以证明上述结论． 设一次函数，当自变量分别取，且时，对应的函数值分别为．它们的差为．由假设可知，，这样，我们就得到如下结论： （1）当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而增大． （2）当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而减小． 这就是一次函数的增减性． (1)请用上述材料中的方法，证明反比例函数的增减性； (2)已知反比例函数，点、都在该函数的图象上，且，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)证明：设反比例函数，分同一象限（即同号）的情况讨论： 取自变量，且，对应的函数值为，． ， 由，得； 又∵同号（同一象限）， ∴， ∴． 当时，， 即，． 结论：在每个象限内，随的增大而减小． 当时，， 即，． 结论：在每个象限内，随的增大而增大． (2)解：，理由： 已知反比例函数，其中． 由（1）的结论：当时，在每个象限内，随的增大而减小． 又， ∴，两点在第一象限（同一象限）， ∴． 【分析】（1）设反比例函数，取自变量，，，同号，且，对应的函数值为，，按照和进行分类讨论，比较，的大小，即可求解； （2）反比例函数，，根据（1）所得结论即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $