专题十 一元二次方程-【冲刺2027】2026年中考数学真题汇编

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心考点，通过20道中考模拟题系统覆盖概念应用、根的判别式、韦达定理及实际应用，构建“概念-性质-应用”递进逻辑，培养数学眼光、思维与语言素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念应用|3题（题3/6/13）|方程解的代入与新定义运算|从方程解的定义到参数求解，体现概念生成| |根的判别式|5题（题2/8/9/10/12）|判别式判断根的情况及参数范围|性质推导（Δ=b²-4ac）到代数推理应用| |韦达定理|6题（题4/7/14/17/18/20）|两根和积的直接与变形应用|定理推导到几何（菱形面积）、代数综合| |实际应用|6题（题1/5/11/15/16/19）|增长率、比赛场次等情境问题|模型意识构建，用数学语言表达现实数量关系|

专题十 一元二次方程 一．选择题（共12小题） 1．（2026•湖北）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（　　） A．n（n﹣1）＝136 B．n（n﹣1）＝136 C．n（n+1）＝136 D．n（n+1）＝136 2．（2026•广元）若关于x的一元二次方程x2+bx+3＝0有两个相等的实数根，则b的值为（　　） A．2 B．±2 C． D．± 3．（2026•吉林）十三世纪的《计算之书》中记载了一个数学问题：将10写成两个数的和，10除以第一个数，所得的商乘第二个数，得20，这两个数分别为多少？若设第一个数为x，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2026•绥化）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根，则x1+x2﹣2x1x2的值为（　　） A．16 B．﹣16 C．20 D．﹣20 5．（2026•黑龙江）深耕黑土地，守护大粮仓．某水稻生产基地2023年平均每公顷产7000kg水稻，到2025年平均每公顷产8470kg水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为（　　） A．7000（1+2x）＝8470 B．7000（1+x）2＝8470 C．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝8470 D．7000×2（1+x）＝8470 6．（2026•河南）已知x＝2是关于x的方程x2﹣mx＝6的一个根，则m的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 7．（2026•宜宾）已知方程x2﹣9x+14＝0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（2026•内江）对于实数a、b，定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如：3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程2☆x＝3的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 9．（2026•遂宁）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 10．（2026•扬州）关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 11．（2026•凉山州）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（　　） A．x（x﹣1）＝72 B．x（x﹣1）＝72 C．x（x+1）＝72 D．x（x+1）＝72 12．（2026•安徽）已知关于x的一元二次方程ax2﹣bx+b﹣a＝0（a≠0）有两个相等的实数根，则（　　） A．﹣2 B． C． D．2 二．填空题（共8小题） 13．（2026•广东）已知方程x2+3x+c＝0的一个根是1，则c＝　 　 ． 14．（2026•巴中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x+t＝0的两个实数根，则的最小值是　 　 ． 15．（2026•甘孜州）若关于x的方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围为　 　 ． 16．（2026•武威）已知m是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式2m2+4m的值是　 　 ． 17．（2026•乐山）已知方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1和x2，则x1x2＝　 　 ． 18．（2026•眉山）若方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根是x1，x2，则x2+x1的值为　 　 ． 19．（2026•山东）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣m）＝0的一个根是10，则另一个根是　 　 ． 20．（2026•凉山州）已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0的两根是x1，x2，则的值为　 　 ． 参考答案 一．选择题 1．【答案】A 【解析】解：根据题意得：n（n﹣1）＝136． 故选：A． 2．【答案】B 【解析】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程x2+bx+3＝0有两个相等的实数根， 则Δ＝b2﹣4×1×3＝0， 解得b． 故选：B． 3．【答案】D 【解析】解：由题意得：（10﹣x）＝20， 故选：D． 4．【答案】A 【解析】解：由题知， 因为x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根， 则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣9， 所以x1+x2﹣2x1x2＝﹣2﹣2×（﹣9）＝﹣2+18＝16． 故选：A． 5．【答案】B 【解析】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x， 则：2025年平均每公顷产量为7000（1+x）•（1+x）＝7000（1+x）2kg， 又∵2025年平均每公顷产量为8470kg， ∴可列方程为7000（1+x）2＝8470． 故选：B． 6．【答案】D 【解析】解：把x＝2代入关于x的方程x2﹣mx＝6中，得22﹣2m＝6， 解得m＝﹣1， 故选：D． 7．【答案】D 【解析】解：∵x2﹣9x+14＝0， ∴（x﹣7）（x﹣2）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣7＝0， 解得x＝2或x＝7， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 故选：D． 8．【答案】A 【解析】解：由题知， 因为2☆x＝3， 所以2x2﹣2x＝3， 整理得，2x2﹣2x﹣3＝0， 则Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣3）＝28＞0， 所以该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 9．【答案】A 【解析】解：在方程x2﹣mx﹣1＝0中， ∵a＝1，b＝﹣m，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4， ∵m2≥0， ∴m2+4＞0， ∴方程x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根， 故答案选：A． 10．【答案】A 【解析】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程为x2+kx﹣1＝0， 则Δ＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4≥4＞0， 所以该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 11．【答案】B 【解析】解：依题意，得x（x﹣1）＝72． 故选：B． 12．【答案】D 【解析】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程ax2﹣bx+b﹣a＝0（a≠0）有两个相等的实数根． 所以（﹣b）2﹣4a（b﹣a）＝0， 整理得，b2﹣4ab+4a2＝0， 则（b﹣2a）2＝0， 所以b＝2a， 所以． 故选：D． 二．填空题 13．【答案】﹣4． 【解析】解：把x＝1代入方程x2+3x+c＝0得：1+3+c＝0， 解得：c＝﹣4， 故答案为：﹣4． 14．【答案】． 【解析】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x+t＝0的两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×t≥0， 解得， 由根与系数的关系得：x1+x2＝1，x1x2＝t， ∴， ∵﹣2＜0， ∴随t的增大而减小， ∴当t取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 故答案为：． 15．【答案】a＜4． 【解析】解：由题知， 因为关于x的方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4a＞0， 解得a＜4． 故答案为：a＜4． 16．【答案】6． 【解析】解：将x＝m代入原方程得：m2+2m﹣3＝0， ∴m2+2m＝3， ∴原式＝2（m2+2m）＝2×3＝6． 故答案为：6． 17．【答案】3． 【解析】解：由题知， 因为方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1和x2， 所以x1x2． 故答案为：3． 18．【答案】﹣12． 【解析】解：由题知， 因为方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根是x1，x2， 则x1+x2＝4，x1x2＝﹣3， 所以3×4＝﹣12． 故答案为：﹣12． 19．【答案】2． 【解析】解：∵（x﹣2）（x﹣m）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣m＝0， ∴x＝2或x＝m， ∴方程另一个根是2． 故答案为：2． 20．【答案】22． 【解析】解：∵一元二次方程x2+4x﹣3＝0的两根是x1，x2， ∴x1+x2＝﹣4，x1•x2＝﹣3， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（﹣4）2﹣2×（﹣3）＝22． 故答案为：22． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $