第一章 勾股定理 单元测试--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册勾股定理单元卷，90分钟100分，以赵爽弦图、折叠问题等为载体，覆盖定理应用与实际情境，适配单元复习，发展几何直观与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数判定、直角三角形构成、折叠问题|基础巩固，如第3题树折断问题培养应用意识| |填空题|5/20|赵爽弦图面积、圆柱表面最短路径、直角三角形性质|文化传承与空间想象，如第12题蚂蚁爬行发展空间观念| |解答题|5/50|四边形面积计算、勾股定理证明、实际应用|综合创新，如第19题拼图证明体现推理意识，第20题结合历史素材培养数学眼光|

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第一章 勾股定理 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）八年级上册第一章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．6，8，10 D．1，2， 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，找出不满足条件的选项即可． 【详解】解：对选项A：，不满足三角形两边之和大于第三边的定理，所以三条线段不能构成三角形，故也不能构成直角三角形，符合题意； 对选项B：，能构成直角三角形，不符合题意； 对选项C：，能构成直角三角形，不符合题意； 对选项D：，能构成直角三角形，不符合题意． 2．下列各组数中，不是勾股数的一组是（    ） A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，17 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义，满足两较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数是勾股数，逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：A、，是勾股数，不符合要求； B、，，，不满足条件，不是勾股数，符合要求； C、，是勾股数，不符合要求； D、，是勾股数，不符合要求． 3．如图，一棵大树在一次强台风中离地面4米处折断倒下，倒下后树的顶端位于离树根3米处的点B处，则这种大树原来的高度为（   ） A．5米 B．8米 C．7米 D．9米 【答案】D 【分析】根据题意构建直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的高度即可得出大树原来的高度． 【详解】解：设大树折断处为点，树根为点，树顶落地点为点， 大树离地面米处折断， 米， 树的顶端位于离树根米处的点处， 米， 在中，，由勾股定理得：（米）， 大树原来的高度为：（米）． 4．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．12 C．24 D．36 【答案】C 【分析】连接，形成两个三角形，分别利用勾股定理和逆定理求得为直角三角形，再利用四边形面积等于两个直角三角形的面积差即可得． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ，，， ， ， ． 5．一直角三角形的两条边长为3和5，则第三条边长是（     ） A．4 B． C． D．4或 【答案】D 【分析】题目未说明已知边长中哪条边是斜边，需分两种情况，利用勾股定理计算第三边长，再判断选项． 【详解】解：∵该三角形为直角三角形，已知两边长为3和5，未明确斜边， ∴分两种情况计算第三边长； 当5为斜边长，3为直角边长时，第三边长为 ； 当3和5均为直角边长时，第三边长即斜边长为； ∴第三条边是或 6．在中，有两条边的长分别为1，3，则斜边的长为（    ） A．3或 B．4或3 C． D．4 【答案】A 【分析】理解题意，需要分两种情况讨论，即3为直角边或3为斜边，再结合勾股定理计算斜边长度即可． 【详解】解：当3为直角边，1为另一条直角边时， ∴斜边， 当3为斜边，1为直角边时，斜边长就是3， 综上：斜边的长为或． 7．如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，．则的周长为（     ） A． B．18 C．24 D．30 【答案】D 【分析】首先利用勾股定理得，再根据可得答案． 【详解】解∶在中，，，， 由勾股定理得，， 分别以点A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点， ， 的周长为． 8．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据折叠的性质可知，设，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵折叠使点与点重合， ∴， 设，则， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 9．如图，在一个长方形草坪上，放着一个长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是________米， A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出木块展开后的平面图，对角线即为所求最短路径，用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将木块展开，则对角线即为所求最短路径， 由题意可知，（米），米，， 在中，（米）， 所以从点爬过木块到达处需要走的最短路程是17米． 10．如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由正方形的性质得到，由中点的性质得到，，则，由折叠可得，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点为中点， ∴， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为_______． 【答案】54 【分析】根据勾股定理结合完全平方公式，求出的值即可. 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 12．如图，蚂蚁在所示的圆柱表面爬行，从点A爬到点B．若圆柱的高与底面周长均为，则蚂蚁爬行的最短路程为______cm． 【答案】 【分析】将立体侧面展为平面，依据两点之间线段最短，构造直角三角形，再利用勾股定理求出线段长度即可． 【详解】解：∵求圆柱表面蚂蚁爬行最短路程，需把圆柱侧面沿母线展开成长方形． ∵ 底面周长为， ∴ 展开后两点水平相距长为底面周长的一半，即为． ∵ 圆柱高为， ∴ 两点连线与两条线段构成直角三角形，两直角边长分别为、． 由勾股定理可得 ． 13．如图，在中，，于，，，则为___． 【答案】6 【分析】根据勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）． 14．如图，在中，，，，点是的中点，，垂足为，连接，则线段的长度为_______． 【答案】 【分析】先在 中利用勾股定理求出，利用等面积法求出，再利用勾股定理求得，如图：过点 E 作 交 于点 F，利用等面积法可求得，进而求得，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即 ，解得：， ∴， 如图：过点 E 作 交 于点 F， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________________ ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，过点作，根据轴对称的性质可知，根据三角形三边关系可知，根据垂线段最短可知的最小值是垂线段的最小值，利用三角形的面积公式求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，过点作， ∵是的平分线， ∴点在上， 则有， ， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， 垂线段最短， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 的最小值是． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．如图，四边形，，，，．    (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，，再由等腰直角三角形的性质确定，即可求解； （2）结合（1）中结论，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接，   ， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴ （2）四边形的面积为：． 17．如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条长为的钢缆．求钢缆的固定点到电线杆底部点的距离． 【答案】 【分析】从题意可知，根据勾股定理可求出解． 【详解】解：∵电线杆离地面处向地面拉一条长的钢缆，钢缆、电线杆与地面正好构成直角三角形， ∴钢缆的固定点到电线杆底部点的距离：． 18．如图，在四边形中，，，，．连接，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】在直角中，利用勾股定理计算出，再根据可判定，因此． 【详解】证明：在中，由勾股定理得， ∴， ∵ ∴ ∴是以为斜边的直角三角形，， ∴， ∴． 19．如图，两个全等的直角三角形与一个小直角梯形恰好拼成一个大直角梯形，请你利用此图证明勾股定理． 【答案】证明：如图． 由两个全等的直角三角形，得． ， ， ， ， ． 【分析】先说明，由图形可知，然后运用三角形的面积公式化简整理即可证明结论． 【详解】证明：略． 20．回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （4）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第一章 勾股定理 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）八年级上册第一章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．6，8，10 D．1，2， 2．下列各组数中，不是勾股数的一组是（    ） A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，17 3．如图，一棵大树在一次强台风中离地面4米处折断倒下，倒下后树的顶端位于离树根3米处的点B处，则这种大树原来的高度为（   ） A．5米 B．8米 C．7米 D．9米 4．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．12 C．24 D．36 5．一直角三角形的两条边长为3和5，则第三条边长是（     ） A．4 B． C． D．4或 6．在中，有两条边的长分别为1，3，则斜边的长为（    ） A．3或 B．4或3 C． D．4 7．如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，．则的周长为（     ） A． B．18 C．24 D．30 8．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．5 B． C． D． 9．如图，在一个长方形草坪上，放着一个长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是________米， A． B． C． D． 10．如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为_______． 12．如图，蚂蚁在所示的圆柱表面爬行，从点A爬到点B．若圆柱的高与底面周长均为，则蚂蚁爬行的最短路程为______cm． 13．如图，在中，，于，，，则为___． 14．如图，在中，，，，点是的中点，，垂足为，连接，则线段的长度为_______． 15．如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________________ ． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．如图，四边形，，，，．    (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 17．如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条长为的钢缆．求钢缆的固定点到电线杆底部点的距离． 18．如图，在四边形中，，，，．连接，若，求证：． 19．如图，两个全等的直角三角形与一个小直角梯形恰好拼成一个大直角梯形，请你利用此图证明勾股定理． 20．回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $