第一章勾股定理单元测试题2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第一章 勾股定理 单元测试题 一、单选题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A．1，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，在中，，，，点O是的中点，连接并延长至点D，使，作交的延长线于点E，则的长为（   ） A．9 B． C．8 D． 3．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（    ） A． B． C． D． 4．如图，电工师傅为长方形房间布埋电线管时，若电线管要从天花板A墙角走到C墙角，电线管的长度至少要（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，是折痕，则的周长为（ ） A．6 B．8 C．12 D．14 6．如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 7．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是小辰用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若，，则正方形的面积为（  ） A． B． C． D． 9．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的格点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 10．如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（    ） A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤ 二、填空题 11．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行 米． 12．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，若于点，则的长为 ． 13．如图，中，是边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 14．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是，，9，，则最大的正方形E的边长是 ． 15．如图，已知中，，，直角的直角顶点P是中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下四个结论：①；②若，则面积最小是2；③；④．上述结论中正确的有 ． 三、解答题 16．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 17．已知∶如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A，点B，点C都在格点(正方形的顶点)上； (1)的面积等于____________个平方单位； (2)画出关于直线l的对称图形； (3)在直线l上找一点P，使的长最短； (4)求的最小值， 18．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 19．在中，，，，、分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，在中，______； (2)如图1，如果点和顶点重合，求的长； (3)如图2，如果点落在直角边的中点上，连接与直线交于点，画出点并求出的长． 20．如图，四边形是某公园的休闲步道．经测量，点B在A的正西方向，，点D在A的正北方向． (1)求四边形步道所围公园的面积； (2)小明和小亮从B到D去玩耍，公园内有一条小路，小明决定走小路从B→E→D，小明的速度为，小亮决定全程走步道从B→C→D，小亮的速度为，已知，则小明和小亮谁先到达D？请说明理由．（精确到十分位，参考数据：，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 勾股定理 单元测试题2025-2026学年北师大版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B C C D D B C 1．D 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是指三个正整数，且满足．根据定义，逐项判断即可． 【详解】解：∵勾股数需为正整数且满足． A：，不是正整数，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； B：、、不是正整数，不是“勾股数”故此选项不符合题意； C：，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； D：，是“勾股数”，故此选项符合题意． 故选D． 2．B 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定等知识﹒先根据勾股定理求出，进而求出，再根据勾股定理求出﹒证明得到，，根据勾股定理即可求出﹒ 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点O是的中点， ∴, ∴﹒ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴在中，﹒ 故选：B 3．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将玻璃杯侧面展开，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将玻璃杯侧面展开如图所示： 由题意可得：，，， ∴， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理，先连接，再根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意，， 则， ∴电线管的长度至少要 故选：B． 5．C 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，利用勾股定理求出，利用翻折的性质可得，推出即可解决问题． 【详解】解：在中，，， ， 由翻折的性质可知：，， ， 的周长． 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题，熟记勾股定理，理清题目中的条件和数量关系是解决本题的关键． 根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：． 故选：D． 8．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据勾股定理求得，进而可得，根据正方形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 依题意， ∴ ∴正方形的面积为， 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图连接， 由勾股定理得，，，， ∴ ∴点是外心． 故选：B． 10．C 【分析】根据正三角形性质，得，；根据旋转的性质，得，，根据等边三角形的性质，可判断②，通过证明，即可判断①；根据勾股定理逆定理，得，结合等边三角形 ，可判断③；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性质，可计算得，从而判断④；绕点A逆时针旋转得到，根据等腰三角形、勾股定理及其逆定理的性质计算，可判断⑤，即可得到答案． 【详解】解：连接，如下图： ∵正 ∴， ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形 ∴，即②错误； ∵， ∴ 和中 ∴ ∴，可以由绕点B逆时针旋转得到，即①正确； ∵， ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴ ∴，即③正确； ∵ ∴ 过点B做，交于点N ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形面积，即④正确； ∵正 ∴绕点A逆时针旋转得到，如下图： ∵，，， ∴为等边三角形 ∴ 过点A做，交于点G，如下图： ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即⑤正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解． 11． 【分析】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用数形结合的思想解答． 根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图所示，    由题意可得，（米），米， ， （米）， 即小鸟至少飞行米， 故答案为：． 12．// 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，利用网格求出的面积，利用勾股定理求出的长，再根据面积法即可求出的长，利用面积法求高是解题的关键． 【详解】解：由网格可得，， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．9.6 【分析】本题考查三线合一，中垂线的性质，垂线段最短，等积法求线段的长，连接，三线合一，推出，进而得到，根据垂线段最短，得到当时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵是边上的中线， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， 又∵E是边上的动点， ∴当时，最小，此时，即， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．先根据勾股定理可得，即可求出，同理可得，接下来求出，则此题可解． 【详解】解：由题可得，如图所示： 由勾股定理可得：， ，B，F都是正方形， ， ， 同理可得， ， 最大正方形E的边长为 故答案为： 15．①②③ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用等腰直角三角形的中点性质证明三角形全等，进而分析各结论的正确性； 先由等腰直角三角形性质得且，证推导①；通过等腰直角三角形面积公式分析②；将四边形面积转化为三角形面积推导③；分析与的数量关系判断④． 【详解】解：∵，，是BC中点， ∴，，， ∵， ∴，即 ①在和中， ∵，，， ∴， ∴，①正确． ②若，则，由得，是等腰直角三角形，，当时最小为， ∴最小，②正确． ③， ∵， ∴，③正确． ④是等腰直角三角形，，，变化时，④错误． 故答案为：①②③． 16． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ，， ， ， ， ， 即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 17．(1)3 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是网格作图——轴对称变换及线段最短问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． （1）用长方形面积减去周围三个三角形的面积即可得的面积； （2）分别作出A，B，C三点关于l的对称点，C，即可得到所求三角形； （3）连接，交直线l于点P，此时的长最短； （4）用勾股定理求出的长，即得的最小值． 【详解】（1）解：． 故答案为：3． （2）解：取点，使，点到l的距离等于点A到l的距离，点到l的距离等于点B到l的距离， 连接，得到， 即为所求作． （3）解：连接交直线l于点P， ∵点，A关于l对称， ∴， ∴，的值最小． （4）解：的最小值，． 18．(1)见解析 (2)76 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （2）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】（1）解：图形的总面积可以表示为，， ∴， 即． （2）解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：76 19．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用勾股定理计算即可得解； （2）由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解； （3）由题意可得，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，设，则，由勾股定理可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：如图：点即为所作， ， ∵点落在直角边的中点上， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，，， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 20．(1) (2)小明先到达D，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握该两个定理的灵活应用． （1）先利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，再利用勾股定理得出长度，最后利用三角形的面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求出线段的长度，然后分别求出两人的时间进行对比即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴； 根据方位得，， 由勾股定理得，， ∴； ∴； （2）解：小明先到达D，理由如下： ， 由勾股定理得， 小明所需时间为； 小亮所需时间为； ∵， ∴小明先到达D． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $