精品解析：吉林省长春市长春净月高新技术产业开发区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 　

净月高新区2024-2025学年度下学期期末质量监测试题 八年级数学 满分120分，时间120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的加法运算．根据同分母分式的加法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 2. 科学家在深海发现了一种新型浮游生物，其单个个体的质量仅为0.00000000015千克（约为1.5皮克）．将0.00000000015用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 3. 如图，在平面直角坐标系中，手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了点在第二象限时点的坐标特征，解题的关键是注意四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点在第二象限点的坐标特点可直接解答即可． 【详解】解：∵手的位置是在第二象限， ∴手盖住的点的横坐标小于0，纵坐标也大于0， ∴结合选项这个点是， 故选：D． 4. 学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（ ） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数据，学校选择人数最多的颜色作为校服颜色，对应的统计量是众数． 【详解】根据统计表，喜欢红色校服的学生人数为820，明显多于白色（100人）和蓝色（180人），因此，红色是这组数据中出现次数最多的颜色，即众数； 学校参考众数这一统计量，选择最受欢迎的红色作为校服颜色，其他统计量（平均数、中位数、方差）均不适用于类别数据的比较； 故选：C． 5. 一次函数的图像与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与y轴的交点坐标，掌握一次函数与y轴交点的横坐标为零是解题的关键． 把代入一次函数求得y的值即可解答． 【详解】解：把代入一次函数可得：． 所以一次函数的图像与轴的交点坐标为． 故选B． 6. 如图，数轴上标注了四段，若，则表示的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值与数轴的结合应用，关键在于利用因式分解（平方差公式、提取公因式）化简分式，再代入已知条件计算出具体数值，最后根据数轴上区间的划分确定位置．要确定表示的点落在数轴的哪一段，需先对分式进行化简，再代入计算出具体数值，最后根据数值对应数轴上的区间来选择选项． 【详解】解： ， ， 原式， 观察数轴，段③对应的区间是0到1间，而满足， 表示的点落在段③， 故选：C． 7. 如图，正方形的边长为4，点在边上．设，的面积为，下列图象中表示与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象关键是发现随的变化而变化的趋势． 根据的面积可得答案． 【详解】解：∵的面积， ， 故选：A． 8. 如图，在边长为2的菱形中，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识．连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，则 ； 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 如果分式有意义，那么x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件．要使分式有意义，则分母不为0，据此即可解答． 【详解】要使分式有意义，则，即． 故答案为：． 10. 在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B＝______°． 【答案】60 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等即可求出∠A的度数，再根据平行四边形的邻角互补求出∠B的度数． 【详解】解：在▱ABCD中，∠A＝∠C， ∵∠A＋∠C＝240°， ∴∠A＝∠C＝120° ∴∠B＝180°−∠A＝180°−120°＝60°． 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的对角线相等，邻角互补的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键． 11. 蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点P的对应点为，若点P的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的性质，根据关于y轴对称的点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变解题即可． 【详解】解：点P的坐标为，则点的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握图象法解不等式是解题的关键．观察函数图象即可得出答案． 【详解】解：由图象得，当时，， 不等式的解集为． 故答案为：． 13. 若点和点在反比例函数的图象上，当时，．则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， ∴反比例函数图象在第二，四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，点分别在边上，，连接，作于点，延长至点，使，连接，则下列结论正确的有______． ①； ②； ③； ④； ⑤若，则 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明，得，，然后证明，得，进而可以判断①正确；根据与不一定相等，且与无必然联系，得与不一定全等，判断②错误；证明，得，可以判断③正确；设，则，，得，解得，判断⑤正确，结合⑤得，判断④错误． 【详解】解：在正方形中，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ．故①正确； 在与中，， 但与不一定相等，且与无必然联系， 与不一定全等，故②错误； ， ， ，， ， ， ∴， ，故③正确； ，， ， 由结论①，， 设，则，， ， ， 解得，故⑤正确， 若，， ， ， ，故④错误， 结论正确的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是证明． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先把分式中分子、分母可进行因式分解的进行因式分解，再除法化为乘法，然后约分，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 【问题背景】4月23日是“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架的单价高； 素材二：用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多4个． 【问题解决】 问题：分别求出A，B两种书架的单价． 【答案】A种书架的单价为550元，B种书架的单价为500元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设B种书架的单价为x元，根据A种书架的单价比B种书架的单价高，用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多4个，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A种书架的单价为550元，B种书架的单价为500元． 17. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，且．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由由平行四边形的性质得，，则，再证明，得，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 18. 如图，直线与坐标轴交于两点． （1）求的面积； （2）点为平面内一点，以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合要求的点的坐标． 【答案】（1）12 （2）点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）分别求出、点坐标，再求的面积即可； （2）设，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时，， ， 的面积； 【小问2详解】 解：设， 当为对角线时，，， ； 当为对角线时，，， ； 当为对角线时，，， ； 综上所述：点坐标为或或． 19. 净月高新区某校在七、八年级开展了消防安全知识竞赛（满分100分），从两个年级中随机各抽取10名学生的成绩进行整理分析，得到如下信息： 七、八年级抽取学生消防安全知识竞赛得分统计表 平均数 众数 中位数 七年级 85.4 80 八年级 85.5 86 七、八年级抽取学生消防安全知识竞赛成绩分析图 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）若七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为，则 ；（用“>”“<”或“=”填空）； （3）若七年级增加一名学生成绩后，两个年级的平均数相同，求七年级增加的这名学生的成绩，并直接判断此时七年级学生的中位数 （填写“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】（1） （2）> （3）这名学生的成绩为；不变 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可求出b和c的值； （2）再根据方差意义比较两个年级方差大小即可； （3）先根据平均数的定义求出增加的数，再根据中位数的定义进行分析即可． 【小问1详解】 解：八年级成绩中85分的最多有3个，所以众数， 将七年级样成绩重新排列为：74，80，80，80，86，87，88，89，93，97，所以中位数， 故答案为：85，86.5； 【小问2详解】 解：由统计图可知，七年级的波动比八年级大，故>， 故答案为：>； 【小问3详解】 解：若七年级增加一名学生成绩后，两个年级的平均数相同，则七年级增加的这名学生的成绩为：（分）， 故此时七年级学生的中位数不变． 故答案为：不变． 【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差，明确平均数、中位数、众数、方差所反映数据的特征是解决问题、做出判断的前提． 20. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．平行四边形四个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定网格中按下列要求作图． （1）在图①中，作的中点； （2）在图②中，点为线段上一点，在线段上作点，使； （3）直接写出四边形的面积 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． （1）结合平行四边形的性质，连接，相交于点，则点即为所求． （2）连接，相交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求． （3）由题意得，四边形的面积为平行四边形的面积的一半，进而可得答案． 【小问1详解】 解：如图①，连接，相交于点， 则点即为所求． ∵，，相交于点， ∴，即点O为的中点． 【小问2详解】 解：如图②，连接，相交于点，连接并延长，交于点， 则点即为所求． ∵，，相交于点， ∴， ∴，， ∴ ∴． 【小问3详解】 解：∵经过对角线的交点O， ∴四边形的面积． 故答案为：6． 21. 同学们根据“如何自己动手做一杆秤”的实践活动要求，设计本次活动的方案． 实践活动 如何自己动手做杆秤 实践 数学小组用一根质地均匀长度为的木杆和一些等质量的小物体做实验，在木杆的中心处拴绳作为支点，当支点右边悬挂重物，重物到支点距离时，要使木杆保持水平状态，探究支点左边挂重物的质量与其到支点的距离之间的关系． 如图①，当支点左边挂重物为，支点到木杆左边挂重物的距离为时，木杆处于水平状态．若改变木杆左边所挂重物质量及其到支点的距离，使木杆保持水平，重复以上操作并记录如下： 木杆左边挂重物质量 支点到木杆左边挂重物的距离 木杆右端挂重物质量 支点到木杆右边挂重物的距离 … … 根据实验 解决问题 任务一 （1）若木杆左边挂重物质量为，支点到木杆左边挂重物的距离为．在平面直角坐标系中描出各点； （2）观察（1）中描出各点的分布规律，求与之间的函数关系式． 任务二 （3）在上述条件下，如图②，若在支点左边点处悬挂托盘，调整托盘位置，发现当时木杆水平状态；若将一重物放入托盘内，再次调整托盘位置，当时，此时木杆仍保持水平，直接写出该重物的质量为 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3）1200 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用．求出反比例函数关系式是解题的关键． （1）根据表格用描点法作答即可； （2）由（1）所描点，得出与之间的函数关系式为反比例关系函数关系，然后用待定系数法求解即可； （3）先把代入与之间的函数关系式，求出托盘质量，再把，代入与之间的函数关系式，求出托盘与生物质量和，进而可求解． 【详解】解：（1）在平面直角坐标系中描出各点，如图所示： （2）由（1）所描点，得出与之间的函数关系式为反比例关系函数关系， 故设与之间的函数关系式为， 把，代入，得 ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为． （3）把代入，得 ， 把代入，得 ， ∴该重物的质量为． 22. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材122页的部分内容． 我们知道，一个平行四边形总可以剪开拼成一个矩形． 【问题探究】如图①，四边形中，，小明分别取的中点，作于点，于点，再分别作、关于的中心对称图形、．这样就可以将梯形剪拼为一个矩形．以下是小明证明四边形是矩形的部分过程． 证明：由【问题探究】的作法可知： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， 同理可证四点共线． 证明过程缺失 ∴四边形是矩形， 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】如图②，取四边形四边中点，连接对边中点，将四边形分为I、II、III、IV四个部分，如图操作，作II、IV的中心对称图形，并将III平移，拼成四边形，判断此时四边形的形状是 ． 【问题应用】如图③，取四边形四边中点，连接，过点作于点，过点作于点，若四边形的面积为48，，直接写出的长 ． 【答案】【问题探究】见解析；【问题解决】平行四边形；【问题应用】3 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质； 【问题探究】根据作图得到四点共线，然后根据矩形的判定定理证明即可； 【问题解决】设中点为，，，，连接，，，，，即可根据三角形的中位线定理得到是平行四边形，进而得到，，然后根据旋转和平移得到，，即可得到结论； 【问题应用】连接，，，，，连接交于点，可得是平行四边形，然后证明，即可得到，，然后把四边形绕点G旋转，把四边形绕点E旋转，平移四边形，得到四边形，即可得到是矩形，根据矩形的性质解答即可． 【详解】解：【问题探究】 由【问题探究】的作法可知： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， 同理可证四点共线． 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 【问题解决】如图，设中点为，，，，连接，，，，， 则，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 根据旋转和平移可得点，，N三点共线，，，Q三点共线，，，，， ∴，， ∴是平行四边形； 【问题应用】连接，，，，，连接交于点， 由【问题解决】可得是平行四边形， ∴，， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 类比【问题解决】把四边形绕点G旋转，把四边形绕点E旋转，平移四边形，得到四边形， 则是矩形，且，， ∴， 即， 解得． 23. 如图在中，，是边上的高，且的面积为24．动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、向终点B、D运动，设点P运动的时间为t秒． （1）求的长； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）当四边形是矩形时，求t的值； （4）当以点A、B、C、D、P、Q中的四个点为顶点的四边形是菱形时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）3 （4）或 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的面积公式进行计算即可； （2）由题意，可知：，进而得到，再根据，即可得证； （3）当，即点与点重合时，得到四边形是矩形，利用勾股定理进行求解即可； （4）由题意可知，分情况进行讨论，四边形和四边形可能是菱形，利用菱形性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，是边上的高，且的面积为24， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵在中，动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、向终点B、D运动， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：当，即点与点重合时，平行四边形为矩形，如图： 由（1）知：， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：①∵，， ∴不可能是菱形， 当四边形或 四边形为平行四边形时： 即：， ∵， ∴，即点为的中点， 此时， ∴四边形或 四边形不能为菱形； ∴平行四边形可能为菱形，此时， 由（3）知，， ∴为中点， ∴当时，有可能等于，如图： 由题意和（1）（3），可知：， ∴， ∴， 在中，，即：， 解得：． ②如图所示，当四边形为菱形时，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 假设，则， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴； 综上，或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质．熟练掌握相关判定方法和性质，正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线（是常数）经过点，点在线段上，． （1）求直线的函数表达式； （2）求线段的长度； （3）将线段绕点逆时针旋转后得到，以、为边作正方形． ①直接写出点坐标； ②若为平面上一动点，与正方形面积相等时，直接写出点所在直线的解析式． 【答案】（1） （2）5 （3）①点坐标为；②或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形全等的判定及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题可知，求出，即可求； （3）①过点作轴交于，可得，则，，即可求； ②求出直线的解析式为，直线的解析式为，则点在直线关于直线对称的直线a∶上，或点在直线a∶关于直线的对称直线∶上． 【小问1详解】 解：将点、代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①过点作轴交于， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②， ∴ ∴，， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， ∵ ∴设直线的解析式为， 把代入，得 解得∶， 直线的解析式为， 当时，则， 设直线交y轴于F，则， ∴ 当与正方形面积相等时， 则点P在直线关于直线对称的直线a上，或在直线a关于直线对称的直线 上，如图， ∴ 设直线a交y 轴于G ， 则， ∴， ∴直线a的解析式为， 设直线交y 轴于H ， 则， ∴， ∴ ∴直线的解析式为， ∴点在直线或上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 净月高新区2024-2025学年度下学期期末质量监测试题 八年级数学 满分120分，时间120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 科学家在深海发现了一种新型浮游生物，其单个个体的质量仅为0.00000000015千克（约为1.5皮克）．将0.00000000015用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 4. 学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（ ） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 一次函数的图像与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上标注了四段，若，则表示的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 7. 如图，正方形的边长为4，点在边上．设，的面积为，下列图象中表示与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为2的菱形中，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 如果分式有意义，那么x的取值范围是______． 10. 在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B＝______°． 11. 蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点P的对应点为，若点P的坐标为，则点的坐标为______． 12. 如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集为______． 13. 若点和点在反比例函数的图象上，当时，．则的取值范围是______． 14. 如图，在正方形中，点分别在边上，，连接，作于点，延长至点，使，连接，则下列结论正确的有______． ①； ②； ③； ④； ⑤若，则 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 【问题背景】4月23日是“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架的单价高； 素材二：用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多4个． 【问题解决】 问题：分别求出A，B两种书架的单价． 17. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，且．求证：四边形是矩形． 18. 如图，直线与坐标轴交于两点． （1）求的面积； （2）点为平面内一点，以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合要求的点的坐标． 19. 净月高新区某校在七、八年级开展了消防安全知识竞赛（满分100分），从两个年级中随机各抽取10名学生的成绩进行整理分析，得到如下信息： 七、八年级抽取学生消防安全知识竞赛得分统计表 平均数 众数 中位数 七年级 85.4 80 八年级 85.5 86 七、八年级抽取学生消防安全知识竞赛成绩分析图 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）若七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为，则 ；（用“>”“<”或“=”填空）； （3）若七年级增加一名学生成绩后，两个年级的平均数相同，求七年级增加的这名学生的成绩，并直接判断此时七年级学生的中位数 （填写“变大”、“变小”或“不变”）． 20. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．平行四边形四个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定网格中按下列要求作图． （1）在图①中，作的中点； （2）在图②中，点为线段上一点，在线段上作点，使； （3）直接写出四边形的面积 ． 21. 同学们根据“如何自己动手做一杆秤”的实践活动要求，设计本次活动的方案． 实践活动 如何自己动手做杆秤 实践 数学小组用一根质地均匀长度为的木杆和一些等质量的小物体做实验，在木杆的中心处拴绳作为支点，当支点右边悬挂重物，重物到支点距离时，要使木杆保持水平状态，探究支点左边挂重物的质量与其到支点的距离之间的关系． 如图①，当支点左边挂重物为，支点到木杆左边挂重物的距离为时，木杆处于水平状态．若改变木杆左边所挂重物质量及其到支点的距离，使木杆保持水平，重复以上操作并记录如下： 木杆左边挂重物质量 支点到木杆左边挂重物的距离 木杆右端挂重物质量 支点到木杆右边挂重物的距离 … … 根据实验 解决问题 任务一 （1）若木杆左边挂重物质量为，支点到木杆左边挂重物的距离为．在平面直角坐标系中描出各点； （2）观察（1）中描出各点的分布规律，求与之间的函数关系式． 任务二 （3）在上述条件下，如图②，若在支点左边点处悬挂托盘，调整托盘位置，发现当时木杆水平状态；若将一重物放入托盘内，再次调整托盘位置，当时，此时木杆仍保持水平，直接写出该重物的质量为 ． 22. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材122页的部分内容． 我们知道，一个平行四边形总可以剪开拼成一个矩形． 【问题探究】如图①，四边形中，，小明分别取的中点，作于点，于点，再分别作、关于的中心对称图形、．这样就可以将梯形剪拼为一个矩形．以下是小明证明四边形是矩形的部分过程． 证明：由【问题探究】的作法可知： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， 同理可证四点共线． 证明过程缺失 ∴四边形是矩形， 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】如图②，取四边形四边中点，连接对边中点，将四边形分为I、II、III、IV四个部分，如图操作，作II、IV的中心对称图形，并将III平移，拼成四边形，判断此时四边形的形状是 ． 【问题应用】如图③，取四边形四边中点，连接，过点作于点，过点作于点，若四边形的面积为48，，直接写出的长 ． 23. 如图在中，，是边上的高，且的面积为24．动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、向终点B、D运动，设点P运动的时间为t秒． （1）求的长； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）当四边形是矩形时，求t的值； （4）当以点A、B、C、D、P、Q中的四个点为顶点的四边形是菱形时，直接写出t的值． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线（是常数）经过点，点在线段上，． （1）求直线的函数表达式； （2）求线段的长度； （3）将线段绕点逆时针旋转后得到，以、为边作正方形． ①直接写出点坐标； ②若为平面上一动点，与正方形面积相等时，直接写出点所在直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $