29.2.2 圆心角（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 这份同步练习以“圆心角”为核心，通过A、B、C组及中考拓展的分层设计，构建从概念辨析到综合应用再到中考衔接的知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|圆心角概念、弦弧关系基础应用|以选择、填空题为主，如概念辨析题（题型01）和简单计算题（题型04），强化基础认知| |B组|弦弧关系综合证明与计算|包含解答题和证明题（题型03），如相交弦证明题，培养推理能力| |C组|圆心角性质创新探究|设置开放题和跨情境题（如挂饰设计题18），发展空间观念与创新意识| |拓展|中考真题适配|选取各地中考模拟题（如2026山西临汾三模），衔接测评需求|

分层作业 29.2.2 圆心角 目 录 A组 巩固过关 题型01圆心角的概念辨析 题型02利用弦、弧、圆心角的关系求解 题型03利用弦、弧、圆心角的关系证明 题型04求弧的度数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 圆心角的概念辨析题型01 1．图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图所示，为的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 利用弦、弧、圆心角的关系求解题型02 4．（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·福建泉州·二模）如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 6．如图，是直径，，．求的大小． 7．（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 利用弦、弧、圆心角的关系证明题型03 8．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，圆中两条弦相交于点E，且．求证：． 10．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，射线交一圆于点，射线交该圆于点，且． (1)求证： (2)利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法）求证：平分 11．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）（1）与是等圆，观察图①中与的共同点，你有什么发现？ （2）如图①，若，那么与有什么关系呢？ （3）如图①，若那么与又有什么关系呢？ （4）如图②所示，你上面的发现仍然成立吗？ 求弧的度数题型04 12．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 14．弦把分成，连接、，过的中点A作，交于B，求的度数． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 16．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．（2026·山西阳泉·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 18．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，由圆盘和挂绳，组成挂饰，，分别与相切于点，．若，则的度数为_____． 19．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 20．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 21．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 22．如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求面积． 23．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）小滨、小江在研究圆心角定理时发现，除了定理中提到的四对量以外，还有其它量，比如三角形的面积、弓形的周长、扇形的面积等．于是，就有了这样的思考：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距、两个三角形的面积、两个弓形的周长、两个扇形的面积中有一对量相等，那么其余的量是否也相等？因而，他们提出了如下猜想：点A，B，C，D均在⊙O上，其中，，均小于． 小滨：若，则和的面积相等． 小江：若和的面积相等，则． 请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 24．如图，已知锐角，按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连，．则下列结论错误的是（     ） A． B．若，则 C． D． 25．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 26．（2026·河北唐山·二模）如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 27．（2026·河北沧州·一模）已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 28．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是_____． 29．（2026·浙江温州·二模）如图，等腰内接于，，点是的中点，连接，．若，，则的半径长为_______． 30．（2026·广东广州·二模）某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了、、三点的位置，．已知点在劣弧上，且 (1)尺规作图：请在上确定点的位置，并连接、； (2)已知，求鲜花种植区域四边形的面积（请用含的式子表达） 31．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 32．（2026·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是小函同学设计的一种“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．请认真阅读材料内容，并完成相应的任务． 过直线外一点作已知直线的平行线已知：如图1，直线及直线外一点． 求作：直线，使得．          作法：如图2，①在直线上取一点，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，交直线于点和点； ②连接，以点为圆心，的长为半径在直线上方画弧交于点； ③作直线，则直线为所求． 证明：如图2，连接， 在中，由作图可知， ∴（依据）， ∴， ∵， …… 任务： (1)材料中的依据是指______________________________________． (2)补全阅读材料中的证明过程． (3)请使用不同于材料中的作法，利用直尺和圆规在图3中作直线，使．（保留作图痕迹，不写作法） 33．（2026·广东汕尾·模拟预测）【教材再现】 工人师傅常用角尺平分一个任意角．如图，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合．过角尺顶点C的射线便是的平分线． 【模型建立】 (1)如图1，从平分做法中抽象出几何图形．，．求证：． 【模型应用】 (2)如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 (3)如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 34．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 35．（2026·山东烟台·中考真题）如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 试卷第2页，共39页 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 29.2.2 圆心角 目 录 A组 巩固过关 题型01圆心角的概念辨析 题型02利用弦、弧、圆心角的关系求解 题型03利用弦、弧、圆心角的关系证明 题型04求弧的度数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 圆心角的概念辨析题型01 1．图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 【详解】解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图所示，为的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的半径相等（等腰三角形的判定）是解题的关键． 先根据圆的半径相等得出等腰三角形，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵、是的半径， ∴， ∴（等腰三角形两底角相等）， ∵在中，， ∴， 故选：． 利用弦、弧、圆心角的关系求解题型02 4．（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 5．（2026·福建泉州·二模）如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先作于，作于，利用“等弦对等弦心距”得出 ，进而判定 平分 并求出 的度数，随后在四边形 中利用内角和算出 ，最后通过证明 实现角度转化，从而求得 的度数． 【详解】如图，作于，作于， 平分 在与中 6．如图，是直径，，．求的大小． 【答案】 【分析】根据等弧所对的圆心角相等可得，再根据平角的定义求解即可． 【详解】解：，， ， 是直径， ． 7．（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 利用弦、弧、圆心角的关系证明题型03 8．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 9．如图，圆中两条弦相交于点E，且．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴． ∵， ∴ ∴． 【分析】根据已知求得，可得，再通过证明即可得． 【详解】略 10．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，射线交一圆于点，射线交该圆于点，且． (1)求证： (2)利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法）求证：平分 【答案】(1)证明：如图，作，于Q，连接，，， ∵， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ． ， ， ，即； (2)解：作图如下： 证明：， ， ， 是的垂直平分线， ， ． 平分． 【分析】（1）作，于Q，连接，，，证，由，得后得证； （2）按照要求作出图形，根据得，由得得证． 【详解】（1）略 （2）略 11．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）（1）与是等圆，观察图①中与的共同点，你有什么发现？ （2）如图①，若，那么与有什么关系呢？ （3）如图①，若那么与又有什么关系呢？ （4）如图②所示，你上面的发现仍然成立吗？ 【答案】（1）都是圆心角；（2）；（3）；（4）不成立，见解析 【分析】本题主要考查了圆心角的定义和弧、弦、圆心角关系， （1）根据圆心角的定义即可得出结论； （2）根据弧、弦、圆心角的关系即可得出结论； （3）根据弧、弦、圆心角的关系即可得出结论； （4）根据，即可得出结论． 【详解】 解：（1）由图可知，与都是圆心角； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴； （4）不成立，理由如下： 由图可知，，但． 求弧的度数题型04 12．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理(直径所对的圆周角为直角，圆周角的度数等于所对弧度数的一半)，关键是利用直径的性质和圆周角与弧的度数关系求解． 【详解】解：如图，连接． ∵是半圆的直径， ∴． ∵， 在中，． ∴的度数为； 故选：C． 13．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理．连接、，如图，根据垂径定理得到，，再证明为等边三角形得到，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到的度数为，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：C． 14．弦把分成，连接、，过的中点A作，交于B，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，垂直平分线的性质，借助辅助线构造等边三角形是解题关键． 连接、、，延长交于点C，利用弦把分成1:3，可计算出，由于，所以，由于点A为的中点，可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可判断为等边三角形，则，根据，可求的度数． 【详解】解：如图，连接、、， ∵弦把分成， ∴， ∵， ∴， ∵点A为的中点， ∴点C为的中点， 即垂直平分， ∴， 而， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 答：的度数为． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）求出的度数，求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）过点C作于点H，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ， ∵， ， ∴， ， ∴的度数为； （2）解：过点C作于点H，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴． 16．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 17．（2026·山西阳泉·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆内接四边形对角互补结合已知角度关系求出的度数，再根据等弧对等弦判定为等腰三角形，最后计算得到的度数． 【详解】∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 18．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，由圆盘和挂绳，组成挂饰，，分别与相切于点，．若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】连接、，根据切线的性质可得，结合，即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ，分别切于点，， ， ， ，即的度数为． 19．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】证明，，求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵点是劣弧中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 20．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 21．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理得，由是的中点即可得，进而得，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）证明：是的直径，于点， ， 是的中点， ， ，即， ； （2） 解：如图，连接， 由（1）可知， 设的半径为，则， ， ， 于点， ， 在中，，即， 解得， 的半径为． 22．如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 【分析】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积计算，熟练掌握圆的弧与圆心角的关系、全等三角形判定定理是解题的关键． （1）通过连接辅助线 ，利用圆的半径相等及弧中点对应的圆心角相等，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而证得线段相等； （2）先确定相关角的度数，结合勾股定理求出三角形的高，再利用三角形的面积公式计算面积． 【详解】（1）证明：连接，如图： 为的中点， ， ，分别为半径，的中点，， ， 在和中， ， ． （2）解：如图：过点作于点， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ． 23．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）小滨、小江在研究圆心角定理时发现，除了定理中提到的四对量以外，还有其它量，比如三角形的面积、弓形的周长、扇形的面积等．于是，就有了这样的思考：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距、两个三角形的面积、两个弓形的周长、两个扇形的面积中有一对量相等，那么其余的量是否也相等？因而，他们提出了如下猜想：点A，B，C，D均在⊙O上，其中，，均小于． 小滨：若，则和的面积相等． 小江：若和的面积相等，则． 请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】 小滨的结论正确． 理由：如图1中， ∵，， ∴， ∴的面积＝的面积； 小江的结论错误． 理由：如图2中， 当A，O，D共线时，的面积＝的面积， 但是不一定等于, 故小江的结论错误． 【分析】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．小滨的结论正确．利用全等三角形的性质证明即可；小江的结论错误．画图举反例说明即可． 【详解】略 24．如图，已知锐角，按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连，．则下列结论错误的是（     ） A． B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题． 【详解】解：A、根据题意得：， ， ，故不符合题意； B、连接， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 根据题意得：， ∴， ，故选项错误，符合题意； C、连接，， ， ， ∴，故不符合题意； D、连接，如图所示： ∵， ∴，选项正确，不符合题意． 25．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 26．（2026·河北唐山·二模）如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D 【分析】根据圆的性质，分析弦长随进度的变化规律，分和两种情况讨论即可判断甲、乙观点的正误 ． 【详解】解：设圆的半径为，线段为圆的一条弦， 当时，进度越大，圆心角越大，弦长越长， 此时若，则，甲的观点在此范围内成立； 当时，进度越大，弦所对的劣弧圆心角越小，弦长越短， 此时若，则，乙的观点在此范围内成立； 例如取，此时，但，甲、乙的观点均不成立； 则甲、乙的结果合在一起也不正确． 27．（2026·河北沧州·一模）已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 【答案】C 【分析】如图1，首先根据易得，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，即为的平分线，故嘉嘉说的对；在图2中，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，由垂径定理可得，易知，即为的平分线，故淇淇说的也对． 【详解】解：如图1， ∵是ABC的外接圆，且， ∴， ∴，即为的平分线，故嘉嘉说的对； 在图2中，连接，如下图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∴，即为的平分线，故淇淇说的也对． 综上所述，嘉嘉和淇淇说的都对． 28．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是_____． 【答案】/90度 【分析】本题考查了勾股定理的应用，判断出圆心的位置是解决本题的关键． 作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，分别表示出的长，可得为等腰直角三角形，进而即可得解． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，如图， 由图可得圆心为点Q， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴弧的度数是， 故答案为：． 29．（2026·浙江温州·二模）如图，等腰内接于，，点是的中点，连接，．若，，则的半径长为_______． 【答案】 【分析】连接，连接并延长交于点，交于点，设，设的半径长为，分别在中，中，中，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：连接，连接并延长交于点，交于点，则：， ∵，点是的中点， ∴，垂直平分， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴设，则，， ∴， 设的半径长为，则， 在中，由勾股定理，得， 解得（舍去）或， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得（负值舍去）； ∴. 30．（2026·广东广州·二模）某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了、、三点的位置，．已知点在劣弧上，且 (1)尺规作图：请在上确定点的位置，并连接、； (2)已知，求鲜花种植区域四边形的面积（请用含的式子表达） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意作，即可求解； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 由（1）可得， ∵ ∴， 在，中， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形的面积 31．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理，菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 32．（2026·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是小函同学设计的一种“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．请认真阅读材料内容，并完成相应的任务． 过直线外一点作已知直线的平行线已知：如图1，直线及直线外一点． 求作：直线，使得．          作法：如图2，①在直线上取一点，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，交直线于点和点； ②连接，以点为圆心，的长为半径在直线上方画弧交于点； ③作直线，则直线为所求． 证明：如图2，连接， 在中，由作图可知， ∴（依据）， ∴， ∵， …… 任务： (1)材料中的依据是指______________________________________． (2)补全阅读材料中的证明过程． (3)请使用不同于材料中的作法，利用直尺和圆规在图3中作直线，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）与为圆的弦，则根据“在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等”可得． （2）根据等边对等角可得，再由三角形内角和可得，由此可得，再由“内错角相等，两直线平行”即可证明平行． （3）如图，在直线上取一点，作射线，以点为圆心，任意线段的长为半径画弧，交直线于点，交于点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，作直线， 则直线即为所求． 【详解】（1）解：依据是：在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等． （2）证明：如图2，连接， 在中，由作图可知， ∴（在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：作图如下： 33．（2026·广东汕尾·模拟预测）【教材再现】 工人师傅常用角尺平分一个任意角．如图，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合．过角尺顶点C的射线便是的平分线． 【模型建立】 (1)如图1，从平分做法中抽象出几何图形．，．求证：． 【模型应用】 (2)如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 (3)如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明，即可求证； （2）选择②为条件，①为结论：在取点，使，连接，证明，可得，，即可解答；选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，即可解答； （3）连接，取的中点F，连接，证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：在和中， ，，， ， ； （2）解：选择②为条件，①为结论： 如图，在取点，使，连接， 平分， ， 在和中， ，，， ， ，， ，， =， =， ∠C=∠， ； 选择①为条件，②为结论： 如图，在取点N，使，连接， 平分， ， 在△和中， ，，， ， ，， ， ， ∠=∠C， =， =， ， ； （3）证明：如图，连接，取的中点F，连接， 平分， ， ，， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 34．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设半径为R， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得． 故选：A． 35．（2026·山东烟台·中考真题）如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； (2)， 证明：如图，连接，过点作于点， ∴ 由（1）可得 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 【分析】（1）根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，则，根据得出，等量代换可得，即可得出； （2）连接，过点作于点，证明得出，进而证明，得出，根据线段的和差关系，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第2页，共39页 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $