3.5 确定圆的条件-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

数学 九年级下册（北师大版） CD=BD+3.AD2+CD=AC,∴.(2BD)2+32-(BD+3)只.解得 OC⊥BD..·EB=DE.·OA=OB,.OE是△ABD的中位 BD=2或BD=0(舍去)..∴AD=2BD=4.在Rt△ADB中， 线，0E=4D-1.设半圆的半径为，则CE-1.在 AB=VAD+BD=V4+2=2V5,BC=2+3=5. ∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB,∴.△ADE△ABC. Rt△OEB中，BE=OB-OE=T2-1.在Rt△CEB中，BE= AD-DE 4=DE.:.DE-2V5. BC-CE=12-(r-1)2,即2-1=12-(r-1)2.解得r1=3, AB BCV5 5 T=-2(舍去)，故AB=2=6. 14.（1)证明：：四边形ABCD是正方形， 5确定圆的条件 ∠BAD=∠ADC=90°..·.∠CDF+∠ADF=90°..AF⊥DE, 1.D2.C3.C4.C5.A .∠AFD=90°...∠DAF+∠ADF=90°..∠DAF=∠CDF..· 6.画图略提示：任意画线段AB,以AB为直径 四边形GFCD是⊙O的内接四边形，.∠FCD+∠DGF= 作半圆O,过点0作AB的垂线，交半圆O于点C, 180°.∠FGA+∠DGF=180°，∴.∠FGA=∠FCD. 连接AC,BC,则△ABC即为所求.理由：AB是直 △AFG∽△DFC.(2)解： 径，.∠ACB=90°.又OC1AB,OA=OB,AC=BC. 如图，连接CG,·∠EAD= △ABC是等腰直角三角形. ∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF, 7.画图略提示：图1、图2都是作AB的垂直平 AED4AMDR,器8= 分线，交直线m于点O,以O为圆心，以OA为半径 作⊙0，则⊙0即为所求作的圆；在图3中，直线m 即EA-AE△AFG∽△DFC, 是AB的垂直平分线，∴.直线m上的任意一点O到A, DA DF B的距离都相等，∴满足条件的⊙0有无数个. 4C-45.46=A.四 第14题答图 DCDF·“DC-DA 8.解：B,E,C三点在以D为圆心、DB长为半 径的圆上.理由：AD为直径，.∠ABD=∠ACD=90° 边形ABCD是正方形，∴.DA=DC.·.AG=EA=1,DG= .BD=CD,.BD =CD..ABD -BD =ACD-DC AB= DA-AG=4-1=3.∴.CG=VDG2+DC2=5..·∠CDG=90°， CG是⊙0的直径.⊙0的半径为 AC,AB=AC.又AD=AD,∴.△ABD≌△ACD. ∠BAD=∠CAD.又∠CAD=∠CBD,∴∠BAD=∠CBD 15.66°16.6V317.B BE平分∠ABC,·∠CBE=∠ABE.又∠DBE= 18.(1)解： ∠CBD+∠CBE,∠DEB=∠BAD+∠ABE,∴.∠DBE= CD为直径， ∠DEB.∴DB=DE.∴DB=DE=DC.B,E,C三点在以D ∠CAD=90°.. 为圆心、DB长为半径的圆上. ∠ADC=∠AFE= 9.解：(1)在弧上任取三点构造三角形，作其中 60°，.∠ACD= 两边的垂直平分线，交点就是圆心O.画图略.(2) 90°-60°=30°..∴. 过点O作OC⊥AB于点D,交弧AB于点C,连接OB, ∠ABD=∠ACD= :BD=LAB=1xI6-8(cm).由题意可知CD=4cm.设 2 2 30°.(2)证明： 第18题答图 半径为xcm,则OD=(x-4)cm.在Rt△BOD中，由勾 ①如图，延长AB至点M,·四边形ABCD是圆内接四 股定理得0D+BD=0B.∴.(x-4)2+8=x2.x=10.答：这 边形，∴，∠ADC+∠ABC=180°.：∠CBM+∠ABC=180°， 个圆形截面的半径为10cm. ∴.∠CBM=∠ADC.又：∠AFE=∠ADC,.∠AFE= ∠CBM..EF∥BC.②如图，过点D作DG∥BC交⊙O 10.(1)证明：如图，连接DF,EF,∠BAC= 90°，.FC是⊙0的直径.∴.OA=0D,0F=OC.∴.四边形 于点G,连接AG,CG.DG∥BC,EF∥DG,∠GDC= AFDC为平行四边形.： ∠BCD,BD=CC.BD=CG,∠AEF=∠GDE.四边形 ∠BAC=90°，.四边形 ACGD是圆内接四边形，.∠ACG+∠ADG=180°.： AFDC为矩形..AF∥CD. ∠ADG+∠GDE=180°，∠GDE=∠ACG.∴.∠AEF= M 即MF∥CD.F是AE的中 ∠ACG..∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC,∴.∠AFE= ∠AGC.又AE=AC,∴.△AEF≌△ACG(AAS)..EF= 点，∴AF=EF..∠ADF= CG..EF=BD. ∠EDF.OF=OD,.∠ADF 19.(1)证明：.∠AOC= =∠OFD..∴.∠OFD=∠EDF 第10题答图 2∠ABC,∠DAB+2∠ABC= .FC∥DM..·.四边形CFMD 180°，.∠DAB+∠A0C=180°， 为平行四边形.(2)解：：四边形AFDC为矩形，四 .OC∥AD.(2)解：如图 边形CDMF为平行四边形，AF=EF,.CD=AF=FM= 连接BD,交OC于点E, ERCD-号AB.CD-号2CD-BMCD-2BMBM/ 5 AB是半圆O的直径， 第19题答图 ∠ADB=90°.·.OC∥AD,·.∠BEO=∠ADB=90°， 即 CD,.∠B=∠DCE,∠BME=∠CDE..△BEM∽△CED. 参考答案与提示 器-子Ec-2BE设BNa,则cD-2a,Bn 品胎即品解得DF号 3a,EF=2a.在Rt△BEF中，BE=VBFP-EF=V5a EC=2V5a.在Rt△CEF中，FC=VEF+EC=2V6a. 在Rt△FAC中，sinLACF-AE=2n=V6 FC 2V6a 6 11.(1)证明：FA=FE,∠FAE=∠AEF B ∠FAE与∠BCE都是BF所对的圆周角，∴.∠FAE= ∠BCE.∠AEF=∠CEB,∴∠CEB=∠BCE.CE平分 第11题答图 第12题答图 ∠ACD,∴.∠ACE=∠DCE.AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°，∴.∠CEB+∠DCE=LBCE+∠ACE=∠ACB= 12.(1)证明：如图，连接0C,CF是⊙0的切 90°..∠CDE=90°..CD⊥AB.(2)解：由(1)知， 线，L0CF=90°..∠0CA+∠ACF=90°.0E=0C, ∠BEC=∠BCE,BE=BC.AF=EF,FM⊥AB,MA= ∠E=∠OCE.AE是⊙0的直径，∠ACE=90°. ME=2,AE=4..0A=0B=AE-OE=3..BC=BE=0B-0E= ∠OCA+∠0CE=90°，.∠ACF=∠OCE=∠E.:∠B= 2.在△ABC中，AB=6,BC=2,∠ACB=90°，.AC= ∠E,∴∠ACF=∠B.(2)解：∠ACF=∠B,∠F= VAB-BC=V62-2-4V2. 6直线和圆的位置关系（第1课时） ∠R,△ACn△CBRg#-瓷F2.Cn L16cm2.号3Ycm4105或15 4年-子BF-80=4B8-26,AC-3.aD1 2 5.D6.B7.D BC,∴.∠ADB=∠ACE=90°.∠B=∠E,∴.△ABD 8.解：连接OA, A △1EC.一是-AC,印AEAD=ABAC-6=18 OB.PA,PB分别切 13.(1)证明：如图1，作DF⊥BC于点F,连接 ⊙0于点A,B, 0心 DB,AP是⊙0的切线，∴.∠PAC=90°，即∠P+ ∠PA0=∠PB0=90°.又 ∠ACP=90°.AC是⊙0的直径，.∠ADC=90°，即 ,∠A0B=2∠ACB=130°， B LPCA+LDAC=90°.∴.∠P=∠DAC=∠DBC.∠APC= ∴.∠P=360°-180°-130°= 第8题答图 ∠BCP,∴.∠DBC=∠DCB.∴.DB=DC.DF⊥BC,∴.DF 50°. 是BC的垂直平分线.DF经过点O.OD=OC,· 9.解：(1)相等.理由：CD是⊙0的切线， ∠ODC=LOCD.∠BDC=2∠ODC,∴.∠BAC=∠BDC= ∠0CD=90°.：∠ACD=120°，∴.∠AC0=30°.0A= 2∠ODC=2∠ACD,即∠BAC=2∠ACD.(2)解：如 0C,.∠C40=30°，.∠CD0=180°-120°-30°=30°. 图2，：由(1)知，DF经过点O,DF是BC的垂直平 ∠CA0=∠CD0.∴.CA=CD.(2)设C0为x,∠CD0 -30°，∠0C0-90.BD=10.x=7x+10,=l0. 分线，C=BC-=3.在△DBC和△CFD中，∠ECD= ∠FDC,∠CED=∠DFC,DC=DC,∴.△DEC≌△CFD 半径为10. (AAS).∴DE=FC=3.∠ADC=90°，DE⊥AC, 10.解：(1)0A=0C,∴∠A=∠AC0.∴∠C0D= ∠ADC=∠AED=∠DEC=90°.∴.∠DAE=∠EDC. ∠A+∠AC0=2∠A.∠D=2∠A,∴.∠D=∠C0D.PD 切⊙0于点C,∴.∠0CD=90°.∴.∠D=∠C0D=45°.(2) △MDEn△CE.:DE-4E-EcEc-2e号4C- .·∠D=∠COD.CD=2,∴.OC=OB=CD=2.在Rt△OCD中， AE+EC=2+9=3.⊙0的半径为3 由勾股定理得22422-(2+BD)2,解得BD=2V2-2. 221 1L.(1)证明：如图，取BF的中点M,连接OM, OF,BF-2BE,BM=MTF-BE.COB =BOE. D :∠A=∠B0r,∠C0B=∠A,(2)解：如图，连 接BF,CD为⊙0的切线，AB⊥CD..∠OBC= ∠ABD=90°.LCOB=LA,∴△OBC△ABD.OB AB 品.博名斋解得BD-8在R△1D巾，AD 图1 图2 VAB+BD=V6+8=10.AB是⊙0的直径，.： 第13题答图 ∠AFB=90°.∠BDF=∠ADB,.Rt△DBF∽Rt△DAB.圆第三章 确定圆的条件 自主导学Q典例精析 例题如图，在△ABC中，ADLBC,垂足为D. (1)作△ABC的外接圆O,作直径AE(尺规作图)， (2)若AB=8,AC=6,AD=5,求△ABC的外接圆直径AE的长 【分析】(1)由于三角形的外心是三边中垂线的交点，可作△ABC B D 任意两边的垂直平分线，它们的交点即为外接圆的圆心O,确定了圆 例题图 心即可画出⊙O及直径AE.(2)由圆周角定理，得∠C=∠E,∠ABE=∠ADC=90°，由此可得 △ADC∽△ABE,根据所得比例线段即可求得直径AE的长， 【解答】(1)如图所示.(2)由作图可知AE为⊙0的直径， ∴.∠ABE=90°.AD⊥BC,.∠ADC=90°.∴.∠ABE=∠ADC..∠E=∠C, A=8MB=8,AC=6,AD=5,6=三 ·△ABE∽△ADC..AC=AD AE=9.6 【点拨】此题考查对三角形的外接圆与外心的概念理解，以及不在 例题答图 同一条直线上三点作圆的方法，而这种作图方法为我们今后求解三角形外接圆的半径（或直 径)提供了作辅助线的基本方法，即过圆心作一条弦的垂线段，并连接半径构成等腰三角形 和直角三角形 基础巩固)达标闯关 1.下列条件只能确定一个圆的是() A.过已知一点A B.过已知两点A,B C.过已知三点A,B,C D.过不在同一直线上的三点A,B,C 2.三角形的外接圆的圆心是() A.三个内角的三条角平分线的交点 B.三边中线的交点 C.三边垂直平分线的交点 D.三边的高所在直线的交点 3.若一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上情况都有可能 4.某三角形三边分别为25cm,24cm,7cm,则此三角形的外接圆的半径长为()》 A.25 cm B.24 cm C.12.5cm D.12 cm 75 口数学 九年级下册（北师大版） 5.如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中点E在△ABC的 外部，下列叙述正确的是() A.O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 B.O是△AEB的外心，O是△AED的外心 C.O不是△AEB的外心，O是△AED的外心 第5题图 D.O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心 6.请你利用圆周角的性质作一个等腰直角三角形ABC,使AC=BC,并说明理由.（不写 作法，保留作图痕迹)》 7.作一个圆，使它经过已知点A,B,并且圆心在已知直线m上.（图3中，直线m垂直 平分线段AB) 4●一 图1 图2 第7题图 能力提升坤综合拓展 8.如图，AD为△ABC外接圆的直径，BD=CD,∠ABC的平分线交AD于点E.请判断 B,E,C三点是否在以D为圆心、DB长为半径的圆上，并说明理由. D 第8题图 0 圆 第三章 9.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面 的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面. (1)请你补全这个输水管道的圆形截面. (2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4cm,求这 个圆形截面的半径， 第9题图 10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点E在BC边上，过A,C,E三点的⊙O交AB边 于另一点F,且F是AE的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于点M. (1)求证：四边形CFMD为平行四边形. 2)当CD=号AB时，求加乙AC的值 第10题图 中考链接⊙真题演练 -卡每多 11.(2024·安徽)如图，⊙0是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分 线交AB于点E,交⊙O于另一点F,FA=FE (1)求证：CD⊥AB. (2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长. 第11题图 ⑦ 口数学 九年级下册（北师大版） 直线和圆的位置关系（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题1如图，∠0=30°，C为0B上一点，且0C=6,以点C 为圆心，半径为3的圆与OA有怎样的位置关系？请说明理由. 【分析】可根据圆心C到直线OA的距离与半径3的数量关系进 C 0 一B 行判断. 例题1图 【解答】直线OA与⊙C相切.理由如下：如图，过点C作CDL D. A0于点D.∠0=30°，0C=6,DC=3..以点C为圆心、半径为3 的圆与OA相切. 【点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系.如果设圆的半径 例题1答图 为r,圆心到直线l的距离为d,那么直线l和圆的位置关系有三种：当d<r时，直线l和圆 相交；当d=r时，直线l和圆相切；当dr时，直线1和圆相离， 例题2如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C,与AB 的延长线交于点D,DE⊥AD且与AC的延长线交于点E. (1)求证：DC=DE. 0 (2)若am∠CAB=,AB=3,求BD的长. 例题2图 【分析】(1)利用切线的性质，结合余角的性质得出∠DCE=∠E,进而得出DC=DE. (2)设BD=x,则AD=AB+BD=3+x,OD=OB+BD=1.5+x,利用正切值和勾股定理建立方 程，求出BD的长 【解答】(1)证明：如图，连接OCCD是⊙0的切线，.∠OCD= 90°.∠ACO+∠DCE=90°.又.EDLAD,∠EDA=90°..∠EAD+∠E= 90°..OC=OA,.∠AC0=∠EAD..∠DCE=∠E..DC=DE. (2)解：设BD=x,则AD=AB+BD=3+,0D=0B+BD=子+.在 例题2答图 Rt△EAD中，，tan∠CAB= 号，DC=ED=2AD=?(3+x).在Rt△0CD中，0C+CD=D03,则 3户+}(3+)-(3+尺解得=3（含去）.1，即BD-1. 【点拨】此题主要考查切线的性质与三角函数值等相关知识的综合运用，连接过切点 的半径并应用切线的性质，得到直角三角形是解题的关键.解题策略是构造直角三角形 或相似三角形，利用勾股定理、直角三角形边角关系或线段的比例关系，建立方程模型 转化为代数问题解决. 78