精品解析：吉林省吉林市第七中学2025-2026学年度八年级下学期期末考试数学

吉林市第七中学校2026春季学期期末质量检测 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 若是最简二次根式，则可能是（ ） A. B. C. D. 2. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，1， C. ，， D. 1，2， 3. 如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（ ） A. 地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B. 地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C. 地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D. 地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 4. 已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，若函数图象上任意两点，均满足，下列四个函数图象中所有正确的函数图象的序号是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④ 6. 如图，延长正方形边至点，使，则为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 化简：________． 8. 某班级进行综合素质评价，以学习态度、课堂表现、作业完成、小组合作四项进行打分，各项权重依次为，小甲四项得分分别为：7分，8分，9分，6分，则小甲的最终得分是________分． 9. 如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是________． 10. (2011江西)将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为x度，平行四边形中较大角为y度，则y与x的关系式是________． 11. 如图，在中，，，，为中线，为平面内一动点，，连接，是中点，连接，则的最大值为________． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 计算： （1） （2）． 13. 已知一次函数 （1）若图象经过，求的值； （2）若图象经过第一、二、四象限，求的取值范围． 14. 小明记录了6天体育锻炼的时间（单位：分钟），其折线统计图如图所示． （1）这组数据的众数是________，中位数是________，第三四分位数是________，离差平方和是________； （2）若小明第7天体育锻炼时间为50分钟，那么平均数________，方差________．（填“变大”、“变小”、“不变”） 15. 如图是的正方形网格，每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出线段的中点； （2）在图②中画出三边分别为，，的三角形； （3）在图③中找到点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，画出所有满足题意的平行四边形． 16. 实验探究： 实验示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上（，，可视作三个点）②滑块可在水平轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 图①物体静止在轨道上，其到滑轮的垂直距离为，． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： （1）求绳子的总长度； （2）图②，若物体升高，滑块向左滑动________． 17. 甲骑自行车，乙骑摩托车，沿相同路线由A地到B地，如图所示，线段，分别表示甲、乙两人骑行路程（单位：）与甲骑行时间（单位：）之间的关系．结合图象回答下列问题： （1）求所在直线的解析式； （2）甲出发________后在距A地________处被乙追上； （3）甲、乙两人相遇后，甲又骑行________两人相距． 18. 已知，如图平行四边形的对角线，相交于点，为的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接． （1）求证：； （2）已知：________（从以下两个条件①，②中选择一个作为已知，只填写序号），判断四边形的形状，并证明你的结论． 19. 【项目背景】近年来，无线蓝牙耳机成为大众常用数码产品，其续航时长是影响用户体验的核心指标．为验证某款耳机的省电模式优化效果，测评机构在统一的标准测试环境下对50台同批次的该款耳机，分别在普通模式和省电模式下进行单次续航时长测试． 【数据收集与整理】收集这50台耳机分别在普通模式、省电模式下的单次续航时长（单位：小时，用表示续航时长），并进行分组如下： 组别 A B C D E 整理1：将普通模式下的续航测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将省电模式下的续航测试成绩绘制成如图②的扇形统计图； 整理2：这50台耳机在普通模式下的续航优良率（测试成绩大于或等于16小时为优良）为； 整理3：耳机在省电模式下的部分续航时长记录如下：（含C组全部数据和D，E组部分数据）14，14，14，14，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，16，16，16，16，17，17，18，… 【数据处理与应用】 （1）任务1：如图①，普通模式测试成绩在D组的有________台，并补全频数分布直方图； （2）任务2：如图②，省电模式下这50台耳机测试成绩的中位数是________，________； （3）任务3：已知省电模式下这50台耳机的平均续航为15.8小时，则普通模式下平均续航时长是________小时；若省电模式的平均续航时长比普通模式高，就认为该省电模式的优化效果卓越，该款耳机的省电模式是否达到“效果卓越”，通过计算说明理由． 20. 如图，在中，，，，，，分别是，，三边的中点，连接，．动点以每秒1个单位的速度从点出发，沿折线运动，动点以每秒2个单位的速度从点出发，沿折线运动，两个点同时运动，一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为秒（），连接，，三角形的面积为． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在给定的平面直角坐标系中画出关于的函数图象． 21. 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． （1）【感知】如图①，若点是边的中点，小明经过探索发现了线段与之间的数量关系，请直接写出这个关系为________； （2）【探究】如图②，当点为边上任意一点时，判断上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，线段的长为________． 22. 如图①，平面直角坐标系中，直线上有一点，点的横坐标为，直线与坐标轴分别交于点，点，直线与直线相交于点，过点作轴的平行线，交直线于点，再过点作轴的平行线，交直线于点，以，为邻边画矩形． （1）①分别用含的式子表示以下各点的坐标：点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________； ②设矩形的周长为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当________时，矩形的面积被轴分成两部分； （3）若已知点，，连接，当线段与三角形的边有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围是________； （4）如图②，已知点坐标为，点在线段上，连接，，当时，点的坐标为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第七中学校2026春季学期期末质量检测 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 若是最简二次根式，则可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次根式有意义需满足．最简二次根式的要求为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数． 【详解】解：选项A中，满足，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，因此是最简二次根式，符合要求． 选项B中，无意义，因此排除B； 选项C中，被开方数含分母，因此不是最简二次根式，排除C； 选项D中，是能开得尽方的因数，，因此不是最简二次根式，排除D． 2. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，1， C. ，， D. 1，2， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，否则不是． 【详解】解：A选项 ∵，∴能组成直角三角形． B选项 ∵，∴能组成直角三角形． C选项 ∵，，，∴不能组成直角三角形． D选项 ∵，∴能组成直角三角形． 3. 如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（ ） A. 地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B. 地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C. 地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D. 地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 【答案】C 【解析】 【分析】箱线图中，箱体的上下四分位数、中间的线是中位数，两端是最大值和最小值，数据越分散，方差越大． 【详解】解：A、A地的最大值接近20，B地的最大值在15左右，所以A地最大值大于B地，正确； B、A地的中位数比B地的中位数低，正确； C、A地的数据分布比B地更分散，所以A地的方差大于B地的方差，该选项说法错误； D、B地的最小值约为5，A地的下四分位数在5以下，说明有以上的数据低于5，即低于B地的最小值，正确； 所以不正确的是C． 4. 已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和、外角和性质，掌握多边形内角和的计算公式（是多边形的边数），多边形的外角和为，正确列式并解方程是解题的关键． 根据多边形的内角和为（是多边形的边数），多边形的外角和为，结合题意列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设多边形的边数为， ∴， 解得，， ∴这个多边形的边数是6， 故选：D ． 5. 如图，若函数图象上任意两点，均满足，下列四个函数图象中所有正确的函数图象的序号是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式判断出函数的增减性，再结合各函数图象的性质进行判断即可． 【详解】解：，  与同号， 即当时，， 当时，， ∴函数图象上随的增大而增大． 由图①可知，随的增大而减小，故不符合题意； 由图②可知，随的增大而增大，故②符合题意； 由图③可知，当时，随的增大而减小，故③不符合题意； 由图④可知，在图象所示范围内，随的增大而增大，故④符合题意； 综上所述，正确的函数图象序号是②④． 6. 如图，延长正方形边至点，使，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，连接，根据题意可得，则，由外角的性质可得：，即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，且， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 化简：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 8. 某班级进行综合素质评价，以学习态度、课堂表现、作业完成、小组合作四项进行打分，各项权重依次为，小甲四项得分分别为：7分，8分，9分，6分，则小甲的最终得分是________分． 【答案】8 【解析】 【详解】解：小甲的最终得分为 （分） 9. 如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】观察函数图象，直线与直线交于点，不等式表示直线的图象在直线的图象下方或重合，据此结合交点横坐标解题即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，直线的图象在直线的图象下方或重合． ∴不等式的解集是． 10. (2011江西)将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为x度，平行四边形中较大角为y度，则y与x的关系式是________． 【答案】 【解析】 【详解】如图，根据菱形的性质得出∠ADC＝180°－x°，又∠CDB＝y°， ∴∠ADC＋∠CDB＋∠ADB＝360° ∴ 11. 如图，在中，，，，为中线，为平面内一动点，，连接，是中点，连接，则的最大值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，先由勾股定理求解，然后由直角三角形斜边中线和三角形中位线定理求出，再由三角形的三边关系求解最大值即可． 【详解】解：连接 ∵，，， ∴ ∵为中线， ∴ ∵是中点， ∴是的中位线， ∴ ∵ ∴当三点共线时，取得最大值为． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用完全平方公式展开计算即可． （2）先算二次根式的乘法和除法，再算减法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 13. 已知一次函数 （1）若图象经过，求的值； （2）若图象经过第一、二、四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，代入即可求出的值； （2）根据一次函数图象经过第一、二、四象限的性质，得到一次项系数和常数项的符号，解不等式组即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：将，代入函数解析式，得    解得：． 【小问2详解】 解：∵的图象经过第一、二、四象限， ∴  ， 解不等式得， 解不等式得  ∴的取值范围是． 14. 小明记录了6天体育锻炼的时间（单位：分钟），其折线统计图如图所示． （1）这组数据的众数是________，中位数是________，第三四分位数是________，离差平方和是________； （2）若小明第7天体育锻炼时间为50分钟，那么平均数________，方差________．（填“变大”、“变小”、“不变”） 【答案】（1），，， （2）不变，变小． 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数、第三四分位数、离差平方和的定义分别进行解答即可； （2）分别计算出变化后的平均数和变化前后的方差，比较后即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得6天体育锻炼的时间（单位：分钟）分别为：， ∵出现次数最多的是， ∴众数为， 中位数是第3个和第4个数据的平均数，即为， 求第三四分位数： 法一：∵共有6个数据，， ∴第三四分位数是第5个数据，即为． 法二：∵共有6个数据， ∴第三四分位数后3个数据的中位数，即为． 平均数为， ∴离差平方和是； 【小问2详解】 解：若小明第7天体育锻炼时间为50分钟，那么平均数为， ∴若小明第7天体育锻炼时间为50分钟，平均数不变， 方差为， 原来的方差为， ∵ ∴若小明第7天体育锻炼时间为50分钟，方差变小． 15. 如图是的正方形网格，每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出线段的中点； （2）在图②中画出三边分别为，，的三角形； （3）在图③中找到点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，画出所有满足题意的平行四边形． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分即可求解； （2）根据勾股定理可求，则即为所求； （3）根据平移的性质，可得一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可作图． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 16. 实验探究： 实验示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上（，，可视作三个点）②滑块可在水平轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 图①物体静止在轨道上，其到滑轮的垂直距离为，． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： （1）求绳子的总长度； （2）图②，若物体升高，滑块向左滑动________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对直角运用勾股定理建立方程求出，即可求解； （2）此时，，，，再对运用勾股定理求解，再由求解． 【小问1详解】 解：由题意知：是直角三角形，其中， ∴ ∴ 解得 绳子总长度为． 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：如图，由题意得，此时，，， ∴ ∴ 答：滑块向左滑动了． 17. 甲骑自行车，乙骑摩托车，沿相同路线由A地到B地，如图所示，线段，分别表示甲、乙两人骑行路程（单位：）与甲骑行时间（单位：）之间的关系．结合图象回答下列问题： （1）求所在直线的解析式； （2）甲出发________后在距A地________处被乙追上； （3）甲、乙两人相遇后，甲又骑行________两人相距． 【答案】（1） （2）4，40 （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式，然后与直线的表达式联立求解即可； （3）根据题意得到方程，求出，再减去即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为 代入点、 则 解得 ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线，代入可得，， 解得 ∴直线 与直线表达式联立可得， 解得， 此时， ∴甲出发后在距A地处被乙追上； 【小问3详解】 解：由题意得， 解得 答：甲、乙两人相遇后，甲又骑行两人相距． 18. 已知，如图平行四边形的对角线，相交于点，为的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接． （1）求证：； （2）已知：________（从以下两个条件①，②中选择一个作为已知，只填写序号），判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 情况一：选择①时， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 情况二：选择②时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质结合证明即可； （2）先证明四边形是平行四边形，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 【项目背景】近年来，无线蓝牙耳机成为大众常用数码产品，其续航时长是影响用户体验的核心指标．为验证某款耳机的省电模式优化效果，测评机构在统一的标准测试环境下对50台同批次的该款耳机，分别在普通模式和省电模式下进行单次续航时长测试． 【数据收集与整理】收集这50台耳机分别在普通模式、省电模式下的单次续航时长（单位：小时，用表示续航时长），并进行分组如下： 组别 A B C D E 整理1：将普通模式下的续航测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将省电模式下的续航测试成绩绘制成如图②的扇形统计图； 整理2：这50台耳机在普通模式下的续航优良率（测试成绩大于或等于16小时为优良）为； 整理3：耳机在省电模式下的部分续航时长记录如下：（含C组全部数据和D，E组部分数据）14，14，14，14，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，16，16，16，16，17，17，18，… 【数据处理与应用】 （1）任务1：如图①，普通模式测试成绩在D组的有________台，并补全频数分布直方图； （2）任务2：如图②，省电模式下这50台耳机测试成绩的中位数是________，________； （3）任务3：已知省电模式下这50台耳机的平均续航为15.8小时，则普通模式下平均续航时长是________小时；若省电模式的平均续航时长比普通模式高，就认为该省电模式的优化效果卓越，该款耳机的省电模式是否达到“效果卓越”，通过计算说明理由． 【答案】（1）6，补全频数分布直方图如图： （2）16；32 （3）；该款耳机的省电模式没有达到“效果卓越”，理由如下： 由于，故该款耳机的省电模式没有达到“效果卓越” 【解析】 【分析】（1）用样本容量乘以占比求出D、E组的数量和，再减去E组的数量即可求出D组的数量，再由总数减去A、B、D、E组的数量，即可求解C组的数量，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义，再结合扇形统计图求解n； （3）先计算组中值，再求加权平均数；计算提升的比例再与比较即可． 【小问1详解】 解：由题意得，（台） 则C组有（台）； 【小问2详解】 解：省电模式下A组有个数据，B组有个数据，C组有14个数据，E组有个数据，则D组有个数据，而中位数是第25、26个数据的平均数，，则第25、26个数据为16，16，故中位数为；，故； 【小问3详解】 解：A组的组中值为； 同理可求B、C、D、E组的组中值为：13、15、17、19， ∴（小时）． 20. 如图，在中，，，，，，分别是，，三边的中点，连接，．动点以每秒1个单位的速度从点出发，沿折线运动，动点以每秒2个单位的速度从点出发，沿折线运动，两个点同时运动，一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为秒（），连接，，三角形的面积为． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在给定的平面直角坐标系中画出关于的函数图象． 【答案】（1）四边形是矩形，理由如下， ∵，，分别是，，三边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质可得，则四边形是平行四边形，结合已知可得，即可证明四边形是矩形； （2）分，，三段，根据三角形的面积公式，列出函数关系式，即可求解； （3）根据函数解析式画出一次函数图象，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形；，，分别是，，三边的中点， 在中，，，， ∴，， 当时，在上，在上， 如图，连接， 依题意，， ∴， ∴， ∴； 当时，点在上， 如图 依题意，， ∴， ∴， ∴； 当时，重合，都运动到点，此时，三角形不存在，不合题意； 当时，如图， 依题意，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 21. 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． （1）【感知】如图①，若点是边的中点，小明经过探索发现了线段与之间的数量关系，请直接写出这个关系为________； （2）【探究】如图②，当点为边上任意一点时，判断上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，线段的长为________． 【答案】（1）； （2）成立，理由如下： 连接，如下图所示： 由（1），同理可得与为等边三角形， ． ， ． ． 在和中， ． ． （3）或． 【解析】 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）过点A作交于点E，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，分当点P在点E的上方和点P在点E的下方两种情况进行讨论，可得出最后的结果． 【小问1详解】 解：连接，如下图所示： ∵四边形为菱形，且， ． 为菱形的角平分线， ． 故与为等边三角形， 即． ∵点P为中点，， 故平分， ． 在和中， ． ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点A作交于点E，连接， 当点P在点E上方时，如下图所示： 由得，E为中点， ， ． 由勾股定理得， ， ． 故． ． 当点P在点E下方时，如下图所示： 同理可得， 故． ． 综上，的长度为或． 22. 如图①，平面直角坐标系中，直线上有一点，点的横坐标为，直线与坐标轴分别交于点，点，直线与直线相交于点，过点作轴的平行线，交直线于点，再过点作轴的平行线，交直线于点，以，为邻边画矩形． （1）①分别用含的式子表示以下各点的坐标：点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________； ②设矩形的周长为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当________时，矩形的面积被轴分成两部分； （3）若已知点，，连接，当线段与三角形的边有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围是________； （4）如图②，已知点坐标为，点在线段上，连接，，当时，点的坐标为________． 【答案】（1）①，，；② （2）或 （3）或． （4） 【解析】 【分析】（1）①利用“点在直线上则坐标满足直线方程”的性质．根据点  横坐标为  ，  横坐标与  相同，  纵坐标与  相同，求解即可 ． ②先计算矩形邻边长度  ，  ，再根据矩形周长公式  ，结合绝对值化简得分段函数，自变量范围由  （即  ）确定． （2） 矩形面积被  轴分割，等价于水平边  被  轴按  分割．分两种情况讨论：  且  时，通过线段比例列方程求解 ． （3）根据线段在直线上，通过数形结合判断线段  与三角形边的位置关系，进而确定  的取值范围． （4）利用角相等（  ），得出，构造等腰直角三角形求出直线解析式，进而求出点  坐标． 【小问1详解】 解：①如图： 点在直线上，当时，，即； 过作轴平行线交于，当时，，即， 过作轴平行线交于，解得，即 ②，， 矩形的周长 ∵，故，∴ ∴． 【小问2详解】 解：设轴将矩形分为左右两部分，交轴于，如图①， ∵矩形的面积被轴分成两部分； ∴或， ∵，， ∴或， 当，在轴两侧，故、异号， ∴若，则， 若，则， 综上所述：或 【小问3详解】 解：设过的直线解析式为，则： ， 解得：， 即线段在直线上， 联立直线和可得， ， 解得 ， 即 当线段与交于时，则，解得：， 当线段与交于时，则，解得：， 综上所述：或． 【小问4详解】 解：如图：构造，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是直线与的交点， 由待定系数法易求直线解析式为：， ∴直线与的交点坐标为， ∴当时，点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $