精品解析：吉林省吉林市吉林松花江中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

名校调研系列卷·八年下期末测试数学（人教版） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，为了测量一个池塘的宽，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段、的中点D，E，若小明测得的长是20米，则池塘宽的长度为（ ） A. 25米 B. 30米 C. 35米 D. 40米 3. 小明和小聪最近5次数学测验的平均成绩相同，方差分别是： 则成绩较为稳定的是（ ） A. 小聪 B. 小明 C. 一样稳定 D. 无法比较 4. 将一次函数向上平移2个单位长度得到的新函数关系式为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，点B的坐标是 ，则的长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 计算：___________． 8. 将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为___________． 9. 已知关于x的函数是正比例函数，则 ___________． 10. 已知15，17，22，x的平均数为18，则___________． 11. 若关于 x 的一元二次方程 没有实数根，则 m 的取值范围是___________． 12. 已知点，都在函数（b为常数）的图象上，若则___________（填“>”或“<”）． 13. 如图，点E是菱形的对角线上一点，连接，若，，则的度数为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点 B 的坐标为，直线恰好把正方形的面积分成相等的两部分，则 ___________． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程：． 16. 已知：如图，正比例函数的图像经过点A， （1）请你求出该正比例函数的解析式； （2）若这个函数的图像还经过点，请你求出m的值． 17. 如图，已知：，，求的面积 18. 如图，已知矩形中，和的平分线交于边上一点．点为矩形外一点，四边形为平行四边形．求证：四边形是正方形． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点，用无刻度的直尺分别按下列要求画图． （1）在图①中，画一个菱形，且邻边不垂直； （2）在图 ②中，画一个平行四边形，使，且面积为6． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 21. 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 22. 如图，在中，点B，E分别在AC，DF上，分别交于点M，N． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，连接，若平分，求的长． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 2024年4月26日，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组入驻“天宫”．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格；9分及9分以上为优秀），绘制了如下统计图表： 七年级学生成绩统计图 八年级学生成绩统计图 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 m 7.55 中位数 8 b 众数 a 7 根据上述信息，解答下列问题： （1）求学生成绩统计表中a和b的值； （2）求七年级学生成绩的平均数m； （3）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中，哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？并说明理由． 24. 如图①，在正方形中，点E，F分别是边上的点，且，连接，过点E作，且使，连接． （1）请判断：与的数量关系是______，位置关系是______； （2）如图②，若点E，F分别是边延长线上的点，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； （3）如图③，若点E，F分别是边延长线上的点，其他条件不变，若，，则______． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 在一条笔直公路上依次有A、B、C三地，用车从A地出发沿这条公路以m千米/时的速度匀速向C地行驶，中途到达B'地并在B地停留1小时后按原速行驶至C地；同时乙车从 C地出发也沿这条公路以n千米/时的速度匀速向A地行驶，到达A地后，立即按原路以n千米/时的速度匀速返回到C地．甲、乙两车距A地的距离y（单位：千米）与甲车出发时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： （1） ，、两地间的距离为 千米；． （2）求线段对应的函数解析式（写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出乙车返回到C地之前，两车出发多长时间时距A地的距离相等． 26. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、在坐标轴上，，将沿折叠，使点落在对角线上的点处． （1）求点的坐标； （2）动点从点出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点停止，设运动时间为，的面积为，求出与的关系式，并写出的取值范围； （3）在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在；请直接写出点坐标，若不存在请说明原因． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校调研系列卷·八年下期末测试数学（人教版） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，为了测量一个池塘的宽，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段、的中点D，E，若小明测得的长是20米，则池塘宽的长度为（ ） A. 25米 B. 30米 C. 35米 D. 40米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵、的中点分别为D、E， ∴是的中位线， ∴（米）， 故选：D． 3. 小明和小聪最近5次数学测验的平均成绩相同，方差分别是： 则成绩较为稳定的是（ ） A. 小聪 B. 小明 C. 一样稳定 D. 无法比较 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是方差的意义，根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立解答，掌握方差的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴成绩较为稳定的是小明， 故选：B． 4. 将一次函数向上平移2个单位长度得到的新函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据直线向上平移个单位所得直线解析式为求解． 【详解】解：一次函数向上平移2个单位长度得到的新函数关系式为， 故选B． 5. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质可得，据此即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，在矩形中，点B的坐标是 ，则的长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，利用两点距离公式求出，再根据矩形对角线相等即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点B的坐标是 ， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，直接利用平方差公式进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题意正确得出一般式，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是2， 化成的一般形式为， 一次项系数为， 故答案为：． 9. 已知关于x的函数是正比例函数，则 ___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如（其中a是常数且）的函数叫做正比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：3． 10. 已知15，17，22，x的平均数为18，则___________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平均数求未知数据，根据平均数的计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：18． 11. 若关于 x 的一元二次方程 没有实数根，则 m 的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程 没有实数根， ∴， ∴， 故答案为：。 12. 已知点，都在函数（b为常数）的图象上，若则___________（填“>”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，先根据函数解析式可得y随x增大而减小，再由可得。 【详解】解：∵在中，， ∴y随x增大而减小， ∵点，都在函数（b为常数）的图象上，， ∴， 故答案为：。 13. 如图，点E是菱形的对角线上一点，连接，若，，则的度数为______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握菱形的四边相等是解题的关键．由等腰三角形的性质可求，由菱形的性质可得，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故答案为：45． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点 B 的坐标为，直线恰好把正方形的面积分成相等的两部分，则 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，根据题意可知正方形的中心的坐标为，再由正方形的性质可得直线一定经过点，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，点 B 的坐标为， ∴正方形的中心的坐标为， ∵直线恰好把正方形的面积分成相等的两部分， ∴直线一定经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键；先求出，再直接开平方求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 16. 已知：如图，正比例函数的图像经过点A， （1）请你求出该正比例函数的解析式； （2）若这个函数的图像还经过点，请你求出m的值． 【答案】（1） （2）−1 【解析】 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，熟知正比例函数图象上的点的坐标一定满足其函数解析式是解题的关键． （1）把代入中求出k的值即可得到答案； （2）把点B坐标代入（1）所求函数解析式中求出m的值即可． 【小问1详解】 解：把代入中得：， ∴， ∴正比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入中得，解得． 17. 如图，已知：，，求的面积 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出的长，勾股定理的逆定理，得到，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 18. 如图，已知矩形中，和的平分线交于边上一点．点为矩形外一点，四边形为平行四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，平分与， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是正方形． 【解析】 【分析】首先根据矩形的性质以及角平分线的定义证明为等腰三角形，易得，根据三角形内角和定理可得，即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了角平分线、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质以及正方形的判定等知识，理解并掌握正方形的判定方法是解题关键． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点，用无刻度的直尺分别按下列要求画图． （1）在图①中，画一个菱形，且邻边不垂直； （2）在图 ②中，画一个平行四边形，使，且面积为6． 【答案】（1） 解：如图所示： （2） 解：平行四边形如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了无刻度作图，掌握菱形和平行四边形的性质是解题关键． （1）根据菱形性质得到和互相平分，，则四边形是菱形； （2）令成为正方形的一条对角线，且到的距离2即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式． （1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围． （2）是方程的一个实数根，则，则，代入，求得的值． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根 ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵是方程的一个实数根，则，则， 则，即， 解得：（舍去）或． 故的值为． 21. 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象直接得出不等式的解集，是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【小问1详解】 解：将点代入， 得，解得， ∴， 将点代入， 得，解得， ∴， ∴这两个函数的解析式分别为和； 【小问2详解】 解：在中，令，得， ∴． 在中，令，得， ∴． ∴； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，． ∴不等式的解集为：． 22. 如图，在中，点B，E分别在AC，DF上，分别交于点M，N． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，连接，若平分，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）的长为6． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由平行线四边形的性质可以得出，，再利用线段和差证明，即可得出结论；（2）由（1）得：，，再由平分，得到，再得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的长为6． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 2024年4月26日，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组入驻“天宫”．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格；9分及9分以上为优秀），绘制了如下统计图表： 七年级学生成绩统计图 八年级学生成绩统计图 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 m 7.55 中位数 8 b 众数 a 7 根据上述信息，解答下列问题： （1）求学生成绩统计表中a和b的值； （2）求七年级学生成绩的平均数m； （3）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中，哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？并说明理由． 【答案】（1）8，7.5 （2）7.55 （3） 七年级掌握更好，理由如下： 七年级和八年级的平均数相同，七年级的中位数和众数都比八年级的大， 故七年级掌握更好． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数和中位数的计算方法进行求解即可； （2）利用加权平均数的计算方法，进行求解即可； （3）利用中位数和众数进行判断即可． 【小问1详解】 解：七年级中8分的人数所占的比重最大， ∴； 八年级的成绩排序后，第10个和第11个数据为7和8； ∴； 故答案为：8，7.5； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 略 24. 如图①，在正方形中，点E，F分别是边上的点，且，连接，过点E作，且使，连接． （1）请判断：与的数量关系是______，位置关系是______； （2）如图②，若点E，F分别是边延长线上的点，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； （3）如图③，若点E，F分别是边延长线上的点，其他条件不变，若，，则______． 【答案】（1），； （2）（）中结论仍然成立，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（）首先证明，得到，，由得到，再根据余角性质可得到，进而得到，推导出四边形是平行四边形，即可求证； （）首先证明，得到，，由得到，由得到，即，又由，得到，证明到四边形是平行四边形即可，即可求证； （3）先证明，，得到，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：（）中结论仍然成立． 理由：∵正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，； 【小问3详解】 ∵正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 在一条笔直公路上依次有A、B、C三地，用车从A地出发沿这条公路以m千米/时的速度匀速向C地行驶，中途到达B'地并在B地停留1小时后按原速行驶至C地；同时乙车从 C地出发也沿这条公路以n千米/时的速度匀速向A地行驶，到达A地后，立即按原路以n千米/时的速度匀速返回到C地．甲、乙两车距A地的距离y（单位：千米）与甲车出发时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： （1） ，、两地间的距离为 千米；． （2）求线段对应的函数解析式（写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出乙车返回到C地之前，两车出发多长时间时距A地的距离相等． 【答案】（1）40；120 （2） （3）小时或小时 【解析】 【分析】（1）由图象可知，地与地相距120千米，地与地相距320千米，乙车从地到地花费4个小时，从而求出甲、乙的速度； （2）求出点，的坐标，用待定系数法求解析式； （3）先求出乙车距地的距离与时间的函数解析式，再分两车相遇，这种情况列方程求解即可． 本题主要考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式． 【小问1详解】 解：由图象可知，地与地相距120千米，地与地相距320千米， 乙车从地到地花费4个小时，即， 故甲车速度为（千米小时）， 乙车速度为（千米小时）， 即，，，两地间的距离为120千米， 故答案为：40， 120； 【小问2详解】 解：由题意可知，、两地之间的距离为200千米，甲车速度为40千米小时， 甲车从地到地所用时间为（小时）， 故点坐标，， 设线段对应的函数解析式为， 把，坐标代入得：， 解得， 线段对应的函数解析式为； 【小问3详解】 解：当时，甲车距地的距离与时间的函数解析式为， 当时，乙车距地的距离与时间的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， ； 当时，乙车距地的距离与时间的函数解析式为， 乙车匀速行驶， ， 把，代入得：， 解得， ； ∵乙车返回到C地之前，两车距A地的距离相等，即两车相遇时， 或， 解得或； 综上所述，当两车出发小时或7小时，距A地的距离相等． 26. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、在坐标轴上，，将沿折叠，使点落在对角线上的点处． （1）求点的坐标； （2）动点从点出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点停止，设运动时间为，的面积为，求出与的关系式，并写出的取值范围； （3）在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在；请直接写出点坐标，若不存在请说明原因． 【答案】（1） （2） （3）存在，，， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理、平行四边形的性质，面积的计算等： （1）由翻折可知，，,设, 在 ，根据，构建方程求出x即可解决问题； （2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可解决问题； （3）点有二种情况：当为边时，当为对角线时，分别求解即可； 其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏． 【小问1详解】 解：的坐标， 则：，， 在中，根据勾股定理得：， 将沿折叠，使点落在对角线上的点处， ，， ， 设,则, 在中，由勾股定理得：, 即, 解得, ． 【小问2详解】 过点作于点， 根据三角形面积可得，， ∴， 故点的横坐标为， 即：， 正比例函数经过， ， ， ， ， ①当点在段时，即：， 如图：过点作于点， ， ， ， ②当点在段时，如下图，过点作于点， ， ，， ， 综上所述：． 【小问3详解】 由（2）知，点， 当时，则点， 而点,设点， ①当为边时， 点向右平移个单位得到点，同样点向右平移个单位得到点， 即且， 解得或， 故点的坐标为或； ②当为对角线时， 由中点公式得且， 解得， 综上点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $