精品解析：吉林省延吉市第四中学2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

2025—2026学年度第二学期七年级期末 学科：数学 满分120分 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质：平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，平移不改变图形的形状和大小，结合各选项图形特征进行判断即可． 【详解】A．该图形属于旋转对称图形，是由基本图形绕中心旋转得到的，故本选项不符合题意； B．该图形中的三个小图形的形状大小相同、方向一致，可以看作是由一个基本图形通过平移得到的，故本选项符合题意； C．该图形属于轴对称图形，是沿对称轴折叠重合，故本选项不符合题意； D．该图形主要由扇形和线条组成，不具备通过平移一个基本图形得到整体的特征，故本选项不符合题意． 2. 下列图形中，由，能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行），分析各选项中与的位置关系及所涉及的直线即可． 【详解】解：A．∵， ∴，不能得到，不符合题意； B．由不能得到，不符合题意； C．如图， ∵，， ∴， ∴，符合题意； D．由不能得到，不符合题意． 3. 下列调查，最适合全面调查方式的是（　　） A. 检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准 B. 了解某班级学生一分钟跳绳成绩 C. 了解吉林省中学生视力情况 D. 对吉林省女性身高的调查 【答案】B 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据以上逐项分析可知． 【详解】解：A．检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准，适合抽样调查，不符合题意； B．了解某班级学生一分钟跳绳成绩，适合采用全面调查，符合题意； C．了解吉林省中学生视力情况，适合抽样调查，不符合题意； D．对吉林省女性身高的调查，适合抽样调查，不符合题意； 4. 下列说法正确的是（） A. 是49的一个平方根 B. 的立方根是 C. 的算术平方根是4 D. 的立方根是2 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据平方根、算术平方根、立方根的定义，逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：∵，∴是的一个平方根，A选项说法正确； ∵正数的立方根是唯一的正数，且，∴的立方根是，B选项说法错误； ∵，的算术平方根是，∴的算术平方根是，C选项说法错误； ∵，的立方根是，∴的立方根是，D选项说法错误． 5. 某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出代数式，正确列出方程是解题的关键．根据利润关系建立方程：按定价销售时每件利润为；按八折销售8件利润与降价35元销售12件利润相等． 【详解】解：∵按定价销售，每件获利45元， ∴. ∵按定价八折销售，每件利润为，销售8件利润为. ∵定价降低35元销售，每件利润为，销售12件利润为. ∵两者利润相同， ∴. ∴方程组为， 故选：C. 6. 如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照题中的跳动规律，通过前面几个点的坐标，归纳出坐标的变化规律，再由，找准规律计算即可求解． 【详解】解：根据题中规律可得： ； 、、、； 、、、； 、、、； 、、、，其中为正整数； ， 点第2026次跳动至点的坐标满足，为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，要在河的两岸搭建一座桥梁，沿线段搭建的桥梁最短，这一说法的理由是___________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【详解】由图可知，， 则要在河的两岸搭建一座桥，沿线段搭建最短，理由是垂线段最短． 8. 填空：的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 9. 如图，在中，，，，将沿平移个单位长度得到，交于点，若，则四边形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质得出即可得到结论． 【详解】解：∵将沿平移个单位长度得到， ∴， ， ∵， ∴ ∵ ∴. 10. 如图，将一张剪开的长方形纸片沿着所在直线错位拼接，点A，B，C，D在一条直线上，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方形的性质得到对边平行，再利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵长方形纸片的对边平行， ∴， ∴，， ∴． 11. 若关于x的不等式有且只有3个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有3个整数解，确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， 不等式组的解集为 ； 不等式组有且只有3个整数解， 3个整数解为，可得：， 不等式两边同乘得：， 移项得：， 系数化为得：． 三、解答题（其中12-14每题6分，15-17每题7分，18-19每题8分，20-21每题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 13. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】使用加减消元法即可求解． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 14. 解不等式组：，并在数轴上把该不等式组的解集表示出来． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 在数轴上表示如答图． 15. 已知点，根据下列条件求点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点P的横坐标比纵坐标小4； （3）点P到坐标轴的距离相等． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据x轴上的点纵坐标为0求解即可； （2）根据横坐标比纵坐标小4列方程求解即可； （3）根据到坐标轴距离相等的点横纵坐标的绝对值相等．求解即可 【小问1详解】 解：点在x轴上， ， 解得：，则， 点P的坐标为； 【小问2详解】 解：点的横坐标比纵坐标小4， ， 解得：， ，， 点P的坐标为； 【小问3详解】 解：点到坐标轴的距离相等， ， 解得：或， 当时，，， 当时，，， 点P的坐标为或． 16. 文艺展演是延吉市第四中学每年九月份的传统活动．在准备阶段，需要根据节目个数和所计划的节目表演时长（不包含报幕、串场等时间）进行安排．如果每个节目表演4分钟，则所有节目表演完还剩下9分钟；如果每个节目表演5分钟，则所有节目表演完比计划表演时长超出7分钟．求此次文艺展演一共有多少个节目？ 【答案】此次文艺展演一共有16个节目 【解析】 【分析】设此次文艺展演一共有x个节目，抓住计划表演总时长不变这一不变量，根据两种安排方式列出等量关系，即可求解． 【详解】解：设此次文艺展演一共有x个节目，根据题意，得 ，  解得，  答：此次文艺展演一共有16个节目． 17. 如图，，，D、E分别在线段上，分别与交于点M、N，若，求证：．请补写解答过程和括号内相应的依据． 证明：∵（____________）， （已知）． ∴（等量代换）． ∴（______，______）． ∴（______，______）． ∵，（已知）， ∴（____________） ∴____________（内错角相等，两直线平行）． ∴（______，______）． ∴（____________）． 【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；垂直的定义；；两直线平行，内错角相等；等量代换 【解析】 【分析】根据证明思路，运用平行线的判定及性质，垂线的定义解答即可． 【详解】略 18. 如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，． （1）画； （2）如图，是由经过平移得到的．已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标是_____． （3）求面积． 【答案】（1）如图所示． （2） （3）9.5 【解析】 【分析】（1）根据坐标，描出、、三点，依次连接，即可求解； （2）根据题意得，是由先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到的，即可求解； （3）用所在的长方形的面积减去其周围的三个三角形的面积，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得：是由先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到的， ∴点在内的对应点的坐标是． 【小问3详解】 解：． 19. 如图，，，平分，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，再由，得出，由，得的度数，根据平分，得，因为，，则，，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵°， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，利用平行线的性质和角平分线的定义求角度是解题的关键． 20. 吉林省某市体育中考分四个项目，某中学为了给学弟学妹在选择球类项目有更好的参考，根据初三学生测试情况随机抽取部分学生，对抽取的学生就选择球类的满分率进行调查，汇总发现：其中选择足球运球射门的学生有10位，三类球类满分人数总共63人，其中篮球满分30人，排球满分率为，并将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： （1）本次抽样一共抽取了______名学生，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“排球30秒钟对墙垫球”所对应的圆心角为______； （3）已知该校初三年级共有800名学生，根据抽样结果估计该校初三学生这次测试中选择“足球运球射门”满分的学生人数． 【答案】（1）80，补全条形统计图如下： （2） （3）90人 【解析】 【分析】（1）先求出选择排球的总人数，再结合扇形统计图求出调查的总人数，结合条形统计图算得足球满分人数，最后补全条形统计图． （2）运用排球的总人数除以调查的总人数再乘上，即可作答． （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵排球满分24人，满分率， ∴选择排球的总人数为：（人） ， ∵扇形统计图中选择篮球的人数占总抽样人数的， ∴足球和排球的人数和占总人数的， ∵选择足球的人数为10人，选择排球的总人数为30人， ∴抽取的总人数为：（名）， ∵三类球类满分人数总共63人， ∴足球满分人数：（名）； 【小问2详解】 解：由（1）选择排球的总人数为， 依题意，， 即扇形统计图中，“排球30秒钟对墙垫球”所对应的圆心角为； 【小问3详解】 解：依题意，（人） ∴估计该校初三选择足球运球射门满分的学生有90人． 21. 某校科学小组用弹簧等器材，进行了测量物体质量的实验探索． 实验一：如图，在弹簧下方悬挂钩码，发现弹簧会伸长，记录实验数据如下表： 钩码质量（单位：克） 0 200 400 600 800 1000 弹簧长度（单位：厘米） 10 11 12 13 14 15 例如：当弹簧下方所挂钩码的质量为200克时，弹簧长度为11厘米． 实验二：在弹簧下方悬挂不同的实验物块，记录实验数据如下表： 次数 A物块（单位：个） B物块（单位：个） 弹簧长度（单位：厘米） 第一次 4 7 12 第二次 8 9 13 （1）已知每个同类型物块的质量都相同，求出每个A物块和每个B物块的质量分别是多少克； （2）该弹簧的长度伸长到15厘米时就不能继续伸长，实验将不能继续．在某次实验中，弹簧下方悬挂A物块和B物块共计30个时，符合实验要求，其中A物块不多于22个，那么有多少个B物块？（求出所有情况）． 【答案】（1）每个A物块的质量为30克，每个B物块的质量是40克； （2）可以有8个B物块或9个B物块或10个B物块． 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设每个A物块的质量为x克，每个B物块的质量是y克,根据弹簧长度为12厘米和13厘米时的质量分别为克和克列出方程组，解方程组即可； （2）设有m个B物块，则有个A物块，A物块不多于22个，总质量不超过克列出不等式组，解不等式组求出整数解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每个A物块的质量为x克，每个B物块的质量是y克,根据题意得， 解得 答：每个A物块的质量为30克，每个B物块的质量是40克； 【小问2详解】 解：设有m个B物块，则有个A物块， 则， 解得， ∵m是正整数， ∴或或， 即可以有8个B物块或9个B物块或10个B物块． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，其中和满足，连接和． （1）点A的坐标为__________，点的坐标为__________； （2）如图2，点是内一点，连接，动点从点出发，沿方向运动到点，再沿轴正方向运动，连接，当的面积等于面积的时，求点的坐标； （3）如图3，点为轴上一点，连接，将绕着点以每秒的速度顺时针旋转得，在旋转过程中，作的三等分线；同时绕着点以每秒的速度顺时针旋转得，当和轴负半轴重合时，立即以原来速度的两倍逆时针旋转；当第二次和轴重合时，整个旋转过程停止．请直接写出旋转过程中的一边与的一边互相垂直时，旋转时间的值． 【答案】（1） （2）或或 （3）或或或或 【解析】 【分析】（1）根据根号内为非负数，可得，再代入可得，然后解方程组即可求解； （2）先根据题意可得，再分点在上和点在轴两种情况，结合三角形面积公式求解； （3）根据旋转，分未旋转过轴，、时，旋转过轴，、当和轴负半轴重合后逆时针旋转，、五种情况讨论求解． 【小问1详解】 解：， ，则，， ， ， 由解得， ； 【小问2详解】 解：由题可知， 当点在上时，设，， ，解得， ； 当点在轴时，设， 由（1）知，又， 所以直线的解析式为，则在直线上，延长交于原点， 设，则， ，解得， ， ； 综上，或或； 【小问3详解】 解：设与相交于点， ①如图，当未旋转过轴，时， 此时，，为等腰直角三角形， ， 的三等分线为， ， ， ， 解得； ②如图，当时，延长交于点， 此时，， ， 解得； ③如图，当旋转过轴，时， 此时， ， ， ， 解得； ④如图，当和轴负半轴重合后逆时针旋转，且时， 此时， 与轴负半轴重合需要， ， ， 解得； ⑤如图，当和轴负半轴重合后逆时针旋转，且时， 此时，，， ， 解得； 综上，或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期七年级期末 学科：数学 满分120分 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，由，能得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查，最适合全面调查方式的是（　　） A. 检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准 B. 了解某班级学生一分钟跳绳成绩 C. 了解吉林省中学生视力情况 D. 对吉林省女性身高的调查 4. 下列说法正确的是（） A. 是49的一个平方根 B. 的立方根是 C. 的算术平方根是4 D. 的立方根是2 5. 某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，要在河的两岸搭建一座桥梁，沿线段搭建的桥梁最短，这一说法的理由是___________． 8. 填空：的平方根是___________． 9. 如图，在中，，，，将沿平移个单位长度得到，交于点，若，则四边形的面积是________． 10. 如图，将一张剪开的长方形纸片沿着所在直线错位拼接，点A，B，C，D在一条直线上，若，则的度数为______． 11. 若关于x的不等式有且只有3个整数解，则a的取值范围是______． 三、解答题（其中12-14每题6分，15-17每题7分，18-19每题8分，20-21每题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：． 13. 解方程组：． 14. 解不等式组：，并在数轴上把该不等式组的解集表示出来． 15. 已知点，根据下列条件求点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点P的横坐标比纵坐标小4； （3）点P到坐标轴的距离相等． 16. 文艺展演是延吉市第四中学每年九月份的传统活动．在准备阶段，需要根据节目个数和所计划的节目表演时长（不包含报幕、串场等时间）进行安排．如果每个节目表演4分钟，则所有节目表演完还剩下9分钟；如果每个节目表演5分钟，则所有节目表演完比计划表演时长超出7分钟．求此次文艺展演一共有多少个节目？ 17. 如图，，，D、E分别在线段上，分别与交于点M、N，若，求证：．请补写解答过程和括号内相应的依据． 证明：∵（____________）， （已知）． ∴（等量代换）． ∴（______，______）． ∴（______，______）． ∵，（已知）， ∴（____________） ∴____________（内错角相等，两直线平行）． ∴（______，______）． ∴（____________）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，． （1）画； （2）如图，是由经过平移得到的．已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标是_____． （3）求面积． 19. 如图，，，平分，求的度数． 20. 吉林省某市体育中考分四个项目，某中学为了给学弟学妹在选择球类项目有更好的参考，根据初三学生测试情况随机抽取部分学生，对抽取的学生就选择球类的满分率进行调查，汇总发现：其中选择足球运球射门的学生有10位，三类球类满分人数总共63人，其中篮球满分30人，排球满分率为，并将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： （1）本次抽样一共抽取了______名学生，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“排球30秒钟对墙垫球”所对应的圆心角为______； （3）已知该校初三年级共有800名学生，根据抽样结果估计该校初三学生这次测试中选择“足球运球射门”满分的学生人数． 21. 某校科学小组用弹簧等器材，进行了测量物体质量的实验探索． 实验一：如图，在弹簧下方悬挂钩码，发现弹簧会伸长，记录实验数据如下表： 钩码质量（单位：克） 0 200 400 600 800 1000 弹簧长度（单位：厘米） 10 11 12 13 14 15 例如：当弹簧下方所挂钩码的质量为200克时，弹簧长度为11厘米． 实验二：在弹簧下方悬挂不同的实验物块，记录实验数据如下表： 次数 A物块（单位：个） B物块（单位：个） 弹簧长度（单位：厘米） 第一次 4 7 12 第二次 8 9 13 （1）已知每个同类型物块的质量都相同，求出每个A物块和每个B物块的质量分别是多少克； （2）该弹簧的长度伸长到15厘米时就不能继续伸长，实验将不能继续．在某次实验中，弹簧下方悬挂A物块和B物块共计30个时，符合实验要求，其中A物块不多于22个，那么有多少个B物块？（求出所有情况）． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，其中和满足，连接和． （1）点A的坐标为__________，点的坐标为__________； （2）如图2，点是内一点，连接，动点从点出发，沿方向运动到点，再沿轴正方向运动，连接，当的面积等于面积的时，求点的坐标； （3）如图3，点为轴上一点，连接，将绕着点以每秒的速度顺时针旋转得，在旋转过程中，作的三等分线；同时绕着点以每秒的速度顺时针旋转得，当和轴负半轴重合时，立即以原来速度的两倍逆时针旋转；当第二次和轴重合时，整个旋转过程停止．请直接写出旋转过程中的一边与的一边互相垂直时，旋转时间的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $