精品解析：吉林省长春市二道区2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

七年级数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，属于一元一次方程的共有（ ） ①；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式变形中，正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 4. 下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（　　） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 5. 如图是小慧同学用一副七巧板拼成的小房子，其中①②两个最大的三角形板块是全等的等腰直角三角形．要通过一次变换使这两个大三角形完全重合，下列说法正确的是（ ） A. 通过一次平移变换即可实现 B. 通过一次旋转变换即可实现 C. 通过一次轴对称变换即可实现 D. 上述单一变换都无法实现 6. 如图，，点、、、共线，与交于点．若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 若，则________． 10. 若是方程的解，则_______． 11. “与的和小于的倍．”用不等式表示为________． 12. 已知是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为和，那么它的周长是_______． 13. 如图①是停车场的地锁，图②为其示意图，若，则________． 14. 如图，在中，平分交边于点；取边的中点，连接，过点作的边的垂线，垂足为点．给出以下四个结论：①；②；③；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解方程：． 16. 解不等式组： 17. 若一个多边形的内角和是四边形内角和的倍，求这个多边形的边数． 18. 小明解方程组的过程如下： 解：由，得，……………………………第一步 解得，………………………………………………第二步 把代入，得， 解得，………………………………………………第三步 ∴原方程组的解为…………………………第四步 （1）上述解题过程中，小明从第________步开始出现错误； （2）写出此题的正确解答过程． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格．仅使用无刻度直尺，在给定网格中按要求画图，不要求写出画法． （1）在图①中，画出，使由平移得到； （2）在图②中，画出，使与关于直线成轴对称； （3）在图③中，画出，使由绕点顺时针旋转得到． 20. 长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 21. 如图，是的边上一点，，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 请在下列解答过程的空白处填写适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）是的外角（已知）， ∴________________°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 又（已知）， （等量代换）． （2）________°（ ）， （ ）． 又________°（已求）， （ ）， ________°（等量代换）． 22. 在等式中，当时，；当时，． （1）求，的值； （2）当时，求非负整数的值． 23. 综合与实践 长方体纸盒的制作 素材1：如图1，在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料纸板进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板． 素材2：现将52张原材料纸板全部裁剪（每张原材料纸板只能有一种裁法）得到A与B型纸板当长方体纸盒的侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝处忽略不计） 根据上述材料，完成下列任务. 任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； 任务二：根据素材1、素材2，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 24. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动中遇到如下几何问题：如图①，在中，，点、、分别是边、、上的点（点、、均不与的顶点重合），连结和．试探究、、之间的数量关系． 【探究过程】 （1）小明阅读题目后，未直接发现三个角之间的数量关系，于是采用代入数值的方法初步探究： ①当，时，________度； ②当，时，________度； ③据此猜想、、之间的数量关系为________． （2）以下是小明证明猜想的部分过程： 证明：如图②，连结． 是的外角， ． 即． 同理：． 证明过程缺失 请补全缺失的证明过程． 【类比思考】 （3）如图③，在中，，点、分别是边、上的点，点是延长线上一点（点、、均不与的顶点重合），连结、．当，时，度数为________°． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，属于一元一次方程的共有（ ） ①；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：①不是等式，故不是一元一次方程； ②是一元一次方程； ③含有和两个未知数，不是一元一次方程； ④中未知数的最高次数为，不是一元一次方程． 综上所述，只有②是一元一次方程，共1个． 2. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形沿着某直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，中心对称图形绕着某点旋转后能够与原图形完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 选项B、该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 选项C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 选项D、该图形是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 3. 下列等式变形中，正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】B 【解析】 【分析】根据等式性质对各选项的变形逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A 、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项B、∵，等式两边同时减，得，原变形正确，符合题意； 选项C、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项D、∵，等式两边同时乘，得，原变形错误，不符合题意； 4. 下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（　　） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°． 【详解】∵正三角形的内角=180°÷3=60°，360°÷60°=6，即6个正三角形可以铺满地面一个点， ∴正三角形可以铺满地面； ∵正四边形的内角=360°÷4=90°，360°÷90°=4，即4个正四边形可以铺满地面一个点， ∴正四边形可以铺满地面； ∵正五边形的内角=180°－360°÷5=108°，360°÷108°≈3.3， ∴正五边形不能铺满地面； ∵正六边形的内角=180°－360°÷6=120°，360°÷120°=3，即3个正六边形可以铺满地面一个点， ∴正六边形可以铺满地面． 故选C． 【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 5. 如图是小慧同学用一副七巧板拼成的小房子，其中①②两个最大的三角形板块是全等的等腰直角三角形．要通过一次变换使这两个大三角形完全重合，下列说法正确的是（ ） A. 通过一次平移变换即可实现 B. 通过一次旋转变换即可实现 C. 通过一次轴对称变换即可实现 D. 上述单一变换都无法实现 【答案】A 【解析】 【详解】解：通过一次平移变换即可实现这两个大三角形完全重合． 6. 如图，，点、、、共线，与交于点．若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，点、、、共线， ， ， ． 7. 如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正多边形的外角公式求出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∴． 8. 中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，根据“5个大容器和1个小容器的总容量为3斛”和“1个大容器和5个小容器的总容量为2斛”建立方程组． 【详解】解：设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛， ∵5个大容器和1个小容器的总容量为3斛， ∴， ∵1个大容器和5个小容器的总容量为2斛， ∴， 因此可得方程组 ． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式的基本性质，将未知数的系数化为1即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴等式两边同时除以，得． 10. 若是方程的解，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】将代入得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 11. “与的和小于的倍．”用不等式表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，“与的和小于的倍”用不等式表示为． 12. 已知是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为和，那么它的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 能构成三角形， 周长为， 故答案为． 13. 如图①是停车场的地锁，图②为其示意图，若，则________． 【答案】80 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质得到，再由邻补角互补可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，在中，平分交边于点；取边的中点，连接，过点作的边的垂线，垂足为点．给出以下四个结论：①；②；③；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可知①正确；不能说明是的中线，不一定成立，故②错误；根据直角三角形的两个锐角互余，可知，故③正确；根据三角形的中线把三角形分成了两个面积相等的三角形，可知④正确． 【详解】解：平分， ，故①正确； 平分，不能说明是的中线， 不一定成立，故②错误； ， ， ，故③正确； 点是的中点， ， ， 若，则，故④正确； 综上所述，正确结论有①③④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的一般方法步骤，是解题的关键． 先去分母，再去括号，移项，合并同类项，从而得到方程的解． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得． 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 将①和②的解集在数轴上表示为： ∴原不等式组的解集为． 17. 若一个多边形的内角和是四边形内角和的倍，求这个多边形的边数． 【答案】12 【解析】 【分析】设这个多边形边数为，边形的内角和为，据此结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形边数为， 由题意得， 解得． ∴这个多边形的边数为12． 18. 小明解方程组的过程如下： 解：由，得，……………………………第一步 解得，………………………………………………第二步 把代入，得， 解得，………………………………………………第三步 ∴原方程组的解为…………………………第四步 （1）上述解题过程中，小明从第________步开始出现错误； （2）写出此题的正确解答过程． 【答案】（1）一 （2） 【解析】 【分析】（1）根据得，得出答案； （2）根据解方程组的基本步骤求解即可． 【小问1详解】 解：根据得， ∴小明从第一步开始出现错误； 【小问2详解】 解：由，得， 解得， 把代入得， 解得， ∴原方程组的解为． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格．仅使用无刻度直尺，在给定网格中按要求画图，不要求写出画法． （1）在图①中，画出，使由平移得到； （2）在图②中，画出，使与关于直线成轴对称； （3）在图③中，画出，使由绕点顺时针旋转得到． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点C，位置确定平移方式，进而确定，位置，最后顺次连接即可； （2）作出点A，B，C关于直线的对称点，顺次连接即可； （3）将点A，B，C绕点顺时针旋转得到对应点，顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 【答案】小李答对17道题 【解析】 【分析】设小李答对道题，则答错或不答道题，由等量关系列出一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设小李答对道题， 根据题意，得． 解得． 经检验，符合题意， 答：小李答对17道题． 21. 如图，是的边上一点，，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 请在下列解答过程的空白处填写适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）是的外角（已知）， ∴________________°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 又（已知）， （等量代换）． （2）________°（ ）， （ ）． 又________°（已求）， （ ）， ________°（等量代换）． 【答案】；80；；三角形的内角和等于；等式的性质；40；已知；70． 【解析】 【分析】根据三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及三角形内角和为即可解答． 【详解】略． 22. 在等式中，当时，；当时，． （1）求，的值； （2）当时，求非负整数的值． 【答案】（1）， （2）或或或 【解析】 【分析】（1）根据题意建立关于、的方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据（1）所求可得不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ， ． 解得； 又为非负整数， 符合题意的值为或或或． 23. 综合与实践 长方体纸盒的制作 素材1：如图1，在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料纸板进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板． 素材2：现将52张原材料纸板全部裁剪（每张原材料纸板只能有一种裁法）得到A与B型纸板当长方体纸盒的侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝处忽略不计） 根据上述材料，完成下列任务. 任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； 任务二：根据素材1、素材2，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】任务一：3，5；任务二：用40张原材料纸板裁A型纸板，12张原材料纸板裁B型纸板，可以恰好用完，能做30个纸盒 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程组，解方程组即可． （1）根据原材料纸板纸板的尺寸和A、B两种型号纸板的尺寸进行解答即可； （2）设用张原材料纸板裁A型纸板，张原材料纸板裁B型纸板，根据有52张原材料纸板，有盖长方体纸盒有4个侧面，2个底面，列出方程，解方程即可． 【详解】解：任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板3张或裁得B型纸板5张； 故答案为：3，5； 任务二：设用张原材料纸板裁A型纸板，张原材料纸板裁B型纸板， 根据题意，得：， 解得， 能做纸盒的数量为：， 答：用40张原材料纸板裁A型纸板，12张原材料纸板裁B型纸板，可以恰好用完，能做30个纸盒． 24. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动中遇到如下几何问题：如图①，在中，，点、、分别是边、、上的点（点、、均不与的顶点重合），连结和．试探究、、之间的数量关系． 【探究过程】 （1）小明阅读题目后，未直接发现三个角之间的数量关系，于是采用代入数值的方法初步探究： ①当，时，________度； ②当，时，________度； ③据此猜想、、之间的数量关系为________． （2）以下是小明证明猜想的部分过程： 证明：如图②，连结． 是的外角， ． 即． 同理：． 证明过程缺失 请补全缺失的证明过程． 【类比思考】 （3）如图③，在中，，点、分别是边、上的点，点是延长线上一点（点、、均不与的顶点重合），连结、．当，时，度数为________°． 【答案】（1）①30；②10；③； （2）． 即． ， （3）20 【解析】 【分析】（1）连接．根据三角形内角和为180度，推出四边形内角和为360度，根据已知角度可求①②，根据①②结果猜想、、之间的数量关系； （2）连接．利用三角形外角的性质可得，进而得出，同理推出，通过导角可得，结合可得结论； （3）连接．仿照（2）可得，，进而可得，代入角度计算即可． 【小问1详解】 解：①连接． ，的内角和均为， 四边形的内角和为， ，， ，， 又， ； ②，当，时， 同理可得； ③据此猜想、、之间的数量关系为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接． 是的外角， ． 即． 同理：． ． 即． ，，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $