精品解析：北京市中国农业大学附属中学2025-2026学年第二学期高一数学期末试题

2025-2026学年第二学期高一数学期末试卷 本试卷满分为100分，考试时间为90分钟. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】因为复数，则，则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限. 2. 已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（ ）. A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的坐标，再由()∥，，列方程可求得结果 【详解】因为向量，， 所以， 因为()∥，， 所以，解得， 故选：B 3. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A选项，，定义域为R，最小正周期为， 又，故为奇函数，A正确； B选项，，定义域为R， 则，故为偶函数，B错误； C选项，的最小正周期为，C错误； D选项，定义域为R，， 故为偶函数，D错误. 4. 将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象. 5. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】在中，，，所以或， 所以或， 在中，等价于， 所以在中，“”是“”的必要不充分条件. 6. 已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 因为为第二象限角，所以. 7. 已知中，，则角A的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理结合大边对大角即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得：，则， 解得：，则或， 因为，所以，所以. 故选：A. 8. 若，且，则向量与的夹角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，由于，且，结合向量的数量积公式可知，解得其向量的夹角为1200，故选C. 考点：向量的数量积 点评：主要是考查了向量的数量积的垂直的充要条件的运用，属于基础题． 9. 函数(其中，，)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法进行求解即可. 【详解】由函数图象可知函数的最大值为，所以， 由函数图象可知函数的最小正周期为， 因为，所以，所以， 由图象可知： ，即， 因为， 所以令，所以，因此， 故选：C 10. 在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理求出，建立平面直角坐标系，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，，先求出的最大值，进而求出的最大值. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得：，所以， 又因为，所以， 所以建立如图所示的平面直角坐标系，， 因为点为所在平面内的一个动点，且， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 取的中点，则， 而， 所以. 第二部分（非选择题共60分） 二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知为虚数单位，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】， 故 12. 已知，，与的夹角为，求__________. 【答案】 【解析】 【详解】 . 13. 北海白塔位于北京北海公园琼华岛上，是清代建造的藏式佛塔，由于环绕琼华岛的水域太液池的阻碍，某数学小组在探测白塔高度的实践活动中，选取河岸边相距28m的两个观测点、，测得，，作，在观测点测得塔尖的仰角，根据以上数据，计算塔尖距湖面的距离__________m. 【答案】 【解析】 【分析】先在中利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理求出的长，最后在中利用正切函数的定义求出的长. 【详解】在中，，，所以. 由正弦定理得，即，解得. 因为，所以为直角三角形. 在中，，所以. 故塔尖距湖面的距离为m. 14. 如图，矩形中，，，为的中点，点在线段上运动，则的值为__________；若，则__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据数量积的定义可计算；由向量线性表示可得，结合三点共线，得到，再根据向量的夹角公式及模长公式求解． 【详解】， ， 三点共线， ，解得， ， ， ， ， ， ． 15. 已知函数，则以下正确结论的序号为__________. ①函数的图象关于轴对称； ②函数的值域为； ③函数在区间上单调递减： ④当时，函数的图象与直线有且仅有两个交点. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，由得为偶函数；对于②，求出的最小正周期为，当时，，换元后得到函数值域，结合周期性可得②正确；对于③，在②的基础上，分析出函数在该区间上的单调性；对于④，令得到方程，求出或，故④正确. 【详解】对于①，的定义域为， ， 故为偶函数，图象关于轴对称，①正确； 对于②，， ， 故的最小正周期为， 当时，， 令，则， 综上，函数的值域为，②正确； 对于③，由②得时，， ，对称轴为，显然在上不单调， 故在区间上不单调，③错误： 对于④，时，， 令得，即， 时，，解得，此时或， 故函数的图象与直线有且仅有两个交点，④正确. 三、解答题：共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可； （2）由向量垂直的条件以及向量夹角的计算公式可求得答案. 【小问1详解】 解：设，因为，所以．① 又，所以．②， 由①②联立，解得或， 所以或． 【小问2详解】 解：由， 得， 又，解得， 所以， 所以与的夹角. 17. 已知函数． （1）求的值； （2）求函数的最小正周期； （3）求函数在区间上的最大值及相应的的值． 【答案】（1）; （2）; （3）最大值为，此时. 【解析】 【分析】（1）先化简解析式为，再计算的值即可； （2）根据计算函数的最小正周期即可； （3）由，计算，进而求出函数在区间上的最大值，再求解相应的的值即可. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 由得， 故函数的最小正周期为； 【小问3详解】 因为，所以，所以，， 所以函数在区间上的最大值为， 此时，又，所以，解得， 故函数在区间上的最大值为，此时. 18. 在中，. （1）求的大小： （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长. 条件①：；条件②：的面积为；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）选择条件①或③，中线长为1. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理和已知关系式可得，从而先求出. （2）选①，根据三角恒等变换得到，是以为斜边的直角三角形，由正弦定理得到，求出中线；选②，由三角形面积和余弦定理得到，由推出矛盾；选③，由余弦定理得到，设边上的中线长为，再由余弦定理得到边上的中线的长为1. 【小问1详解】 由余弦定理及，得， 得，即， 又，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 当选择条件①时，， 由（1）知，. 所以 . 所以. 因为，所以， 所以，即，则， 所以是以为斜边的直角三角形. 因为，所以. 所以边上的中线的长为. 选②，的面积为， 即，即，解得， 因为，由余弦定理得， 即，解得， 由基本不等式得，但，出现矛盾， 故此时三角形不存在，不能选②. 选条件③：. 由余弦定理得，即. 设边上的中线长为，由余弦定理得 . 所以边上的中线的长为1. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴向量，同时，称函数为向量的相伴函数. （1）若向量的相伴函数为，当且时，求的值. （2）设，其中为向量的相伴函数.证明：是函数的最小正周期. （3）已知点，，函数的相伴向量为，在函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 说明：对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个，都满足，那么就称函数为周期函数，是函数的一个周期.对于周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做该函数的最小正周期. 【答案】（1）或； （2）由题意，则，则；由从而是函数的周期；下面证明是函数的最小正周期，假设存在，使得对任意，都满足成立，即.令，则，即，解得或(舍去)，从而，由得，这与矛盾；所以是函数的最小正周期.； （3）存在,. 【解析】 【分析】1.利用题意解三角方程即可； 2.先验证是函数的周期，再利用反证法说明是函数的最小正周期； 3.利用定义求出函数的解析式，再求，设出点坐标，将垂直问题转化为向量数量积为0的问题，利用因式分解及代数式的非负性求解即可. 【小问1详解】 由题意，则，即，又， 解得或.即的值为或. 【小问2详解】 由题意，则，则； 由 从而是函数的周期； 下面证明是函数的最小正周期，假设存在， 使得对任意，都满足成立， 即. 令，则，即， 解得或(舍去)，从而，则， 这与矛盾； 所以是函数的最小正周期. 【小问3详解】 由题意， 从而，解得，所以； 从而， 设，，， 则，，由 所以； 整理化简得：，即， 由，从而，又， 从而要使， 当且仅当且成立，即， 从而存在，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一数学期末试卷 本试卷满分为100分，考试时间为90分钟. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（ ）. A. B. C. 1 D. 2 3. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，，则角A的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 若，且，则向量与的夹角为 A. B. C. D. 9. 函数(其中，，)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（ ）. A. B. C. D. 第二部分（非选择题共60分） 二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知为虚数单位，则__________. 12. 已知，，与的夹角为，求__________. 13. 北海白塔位于北京北海公园琼华岛上，是清代建造的藏式佛塔，由于环绕琼华岛的水域太液池的阻碍，某数学小组在探测白塔高度的实践活动中，选取河岸边相距28m的两个观测点、，测得，，作，在观测点测得塔尖的仰角，根据以上数据，计算塔尖距湖面的距离__________m. 14. 如图，矩形中，，，为的中点，点在线段上运动，则的值为__________；若，则__________. 15. 已知函数，则以下正确结论的序号为__________. ①函数的图象关于轴对称； ②函数的值域为； ③函数在区间上单调递减： ④当时，函数的图象与直线有且仅有两个交点. 三、解答题：共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角. 17. 已知函数． （1）求的值； （2）求函数的最小正周期； （3）求函数在区间上的最大值及相应的的值． 18. 在中，. （1）求的大小： （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长. 条件①：；条件②：的面积为；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴向量，同时，称函数为向量的相伴函数. （1）若向量的相伴函数为，当且时，求的值. （2）设，其中为向量的相伴函数.证明：是函数的最小正周期. （3）已知点，，函数的相伴向量为，在函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 说明：对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个，都满足，那么就称函数为周期函数，是函数的一个周期.对于周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做该函数的最小正周期. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $