精品解析：北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中练习数学试题

2025~2026学年度第二学期高一年级期中练习 数学 第Ⅰ卷（共18题，满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 1. 半径为，弧长为的扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用公式可求扇形的面积. 【详解】扇形的面积为， 故选：A. 2. 已知角的终边过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，点到原点的距离， 所以． 3. 已知向量，，且，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得出，解出m即可． 【详解】； ； ． 故选D． 【点睛】本题考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系． 4. 如图所示，在中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得： . 5. 函数的图像向左平移个单位得到下列哪个函数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相位平移,结合诱导公式即可求解. 【详解】的图像向左平移个单位得到， 故选：D 6. 是所在平面内一点，，则是点在内部（不含边界）的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【详解】若，点在内部，则，反之不成立，例如时，点为边的中点，是点在内部，（不含边界）的必要不充分条件，故选B. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用三角函数诱导公式化简分母，再结合同角三角函数平方关系化简代数式，最后采用弦化切的方法，借助 “1” 的代换，将式子转化为只含正切的形式，代入已知tanα的值，计算得出最终结果即可. 【详解】因为， 所以 8. 大语言模型（LLM）是深度学习在自然语言处理领域的应用.模型对词语进行聚类分析经常使用余弦相似度来判断事物的相似程度.它先把对象表示为向量，再计算夹角大小，向量的夹角越小，说明两者越相似.橙子与耙耙柑、丑橘、沃柑比较相似，模型用甜度、果皮光滑度两个特征将每种水果表示为向量，例如橙子表示为，其它水果见下表： 甜度 果皮光滑度 橙子 3 2 耙耙柑 2 2 丑橘 3 1 沃柑 4 2 请你用余弦相似度判断，与橙子最相似的水果是（ ） A. 沃柑 B. 丑橘 C. 耙耙柑 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量夹角的坐标表示计算出夹角，比较即可. 【详解】设橙子为向量，耙耙柑为、丑橘为、沃柑为. 由题意得，，，. 则， ， . 因为，，， 所以. 又在上单调递减，所以. 又向量的夹角越小，说明两者越相似，所以与橙子最相似的水果是沃柑. 9. 函数在区间上的大致图象不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的对称性可得函数的奇偶性，从而确定参数的值，再判断即可. 【详解】选项A，B中函数图象关于原点对称，则对应的为奇函数， 令，则为偶函数， 即，即， 所以，解得， 当时，，符合A项， 当时，，符合B项； 选项C，D中函数图象关于轴对称，则对应的为偶函数， 令，则为奇函数， 即，即， 所以，此时，当时，，故D符合，故C不符合. 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ）个 ①是偶函数 ②是周期为的函数 ③在区间上单调递减 ④的最大值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于①，函数定义域为，关于原点对称， ，所以是偶函数，①正确； 对于②，，所以周期为，②正确； 对于③，当时，，，所以， 由，得，由于在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减，③正确； 对于④，令，则，，则， 令，则， 由，得，的最大值为， 所以的最大值为，④错误． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.） 11. 已知向量，，则在上的投影的数量为________ 【答案】 【解析】 【详解】在上的投影的数量为. 12. 平面直角坐标系中与关于轴对称，则的一个取值为________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由对称的性质列方程求即可得答案． 【详解】因为与关于x轴对称， 所以，， 所以，， 整理得，所以， 所以， 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知函数的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象与轴交点的纵坐标为，则函数的解析式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数的最小正周期求出，再根据最大值点求出，再根据与轴交点的坐标求出即得解. 【详解】解：根据函数的部分图象， 可得 由题得得2×+＝，求得．所以. 再根据图象经过点（0，），可得，∴A＝2， 所以. 故答案为： 14. 我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示. 若，，为正方形及其内部的动点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图形信息，可以建立直角坐标系，将向量转化为坐标表示，建立点横纵坐标之间的等量关系，将数量积问题转化为求直线截距最值的问题，从而解决问题. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，，可得， 所以，，，，， 设，，，则，，， 所以， 令，则，即该直线与正方形及其内部有交点， 不难发现，当直线经过时，有最大值，代入坐标，此时； 当直线经过时，有最小值，代入坐标，此时， 所以的取值范围为. 15. 已知为常数，，关于的方程有以下四个结论： ①当时，方程有个实数根； ②存在实数，使得方程有个实数根； ③使得方程有实数根的的取值范围是； ④如果方程共有个实数根，记的取值集合为，那么. 所有正确结论的序号是________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】可得，令，所以方程变为：，所以关于的方程有根问题就转化为与交点个数的问题，对选项一一分析即可得出答案. 【详解】由可得，令，所以方程变为， 所以关于的方程有根问题就转化为与交点个数的问题， 对于①，当时，方程变为，则，则设方程的两根为， 则， 则如图所示，与的图象有个交点，故①正确； 对于②，当时， 则如图所示，与的图象有个交点，与的图象有个交点， 所以方程有个实数根，故②正确； 对于③，当时，方程为，则， 则如图所示，与的图象有个交点，故③不正确； 对于④，当时，方程为，解得， 则如图所示，与的图象有个交点，与的图象有个交点， 故关于的方程有个实根， 当时，方程为，解得， 则如图所示，与的图象有个交点，与的图象没有交点， 故关于的方程有个实根，故④正确. 三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.） 16. 如图所示，在中，，，，，. （1）用，表示与； （2）求的值； （3）若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）存在实数使得，此时 【解析】 【分析】（1）结合条件，根据向量的线性关系，求解即可. （2）根据向量数量积及运算律计算即可. （3）利用基底，表示向量，结合垂直关系的向量运算，求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以，. 所以， . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 因为，所以，即， 整理得， 即， 解得. 所以，存在实数使得，此时. 17. 已知函数（，，是常数，，，），函数的图象可由函数的图象平移得到. （1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使的解析式存在且唯一，并求出其解析式； 条件①：的两条相邻对称轴的距离为； 条件②：； 条件③：对任意的，都有成立. （2）根据（1）中确定的，求在区间上的取值范围. 【答案】（1）选择条件③， ； （2） 【解析】 【分析】（1）选条件①，由周期求出，无法确定 ，此条件不符合题意；选条件②，化简求角会出现两个解，此条件不符合题意；选条件③，根据条件代入可求得，再根据可确定解析式唯一； （2）由（1）求出函数的解析式，用整体换元思想结合正弦函数的图象性质求解即得. 【小问1详解】 函数 的图象可由函数 的图象平移得到，根据三角函数的平移和伸缩变换性质，且 ，所以 ； 若选条件①： 的两条相邻对称轴的距离为 ；即 ，而 ， 已知 时， ，无法确定 ，所以不能选条件①. 若条件②： 。将 代入 得： . 则 或 ； 当 时， ；当 时， ； 因为 ，当 时， 或 ，这里会出现两个解，所以不能选条件②； 若条件③：对任意的 ，都有 成立；根据正弦函数的性质，当 时， . 即； 因为 ，所以 时， ，此时 ，解析式唯一，所以选择条件③. 【小问2详解】 已知 ，所以 ； 令，则 ， ，根据正弦函数的图象性质可知， 在 上单调递减，在 上单调递增； ， . 所以当 时， ； 所以在区间上的取值范围为. 18. 已知函数. （1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象（要求列表），并直接写出图象的对称中心； （2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若，，当时，恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） 对称中心为 （2） 【解析】 【分析】（1）通过列表得函数在内的关键点以及端点值，在所给的坐标系中，描点连线画出草图，并写出其对称中心； （2）根据图象平移可得，分析可知函数在内单调递减，结合正弦函数的周期性和单调性运算求解即可. 【小问1详解】 列表： 0 1 2 0 0 1 描点，连线，画出在上的大致图像如图： 由图可知函数图像的对称中心为； 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位， 得到， 由题意可知：函数在内单调递减，且的最小正周期， 则，即，解得， 因为，则， 且，则，， 可得，解得， 所以实数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期高一年级期中练习 数学 第Ⅰ卷（共18题，满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 1. 半径为，弧长为的扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则 A. B. C. D. 4. 如图所示，在中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图像向左平移个单位得到下列哪个函数（ ） A. B. C. D. 6. 是所在平面内一点，，则是点在内部（不含边界）的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 大语言模型（LLM）是深度学习在自然语言处理领域的应用.模型对词语进行聚类分析经常使用余弦相似度来判断事物的相似程度.它先把对象表示为向量，再计算夹角大小，向量的夹角越小，说明两者越相似.橙子与耙耙柑、丑橘、沃柑比较相似，模型用甜度、果皮光滑度两个特征将每种水果表示为向量，例如橙子表示为，其它水果见下表： 甜度 果皮光滑度 橙子 3 2 耙耙柑 2 2 丑橘 3 1 沃柑 4 2 请你用余弦相似度判断，与橙子最相似的水果是（ ） A. 沃柑 B. 丑橘 C. 耙耙柑 D. 无法确定 9. 函数在区间上的大致图象不可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ）个 ①是偶函数 ②是周期为的函数 ③在区间上单调递减 ④的最大值为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.） 11. 已知向量，，则在上的投影的数量为________ 12. 平面直角坐标系中与关于轴对称，则的一个取值为________. 13. 已知函数的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象与轴交点的纵坐标为，则函数的解析式为__________. 14. 我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示. 若，，为正方形及其内部的动点，则的取值范围是________. 15. 已知为常数，，关于的方程有以下四个结论： ①当时，方程有个实数根； ②存在实数，使得方程有个实数根； ③使得方程有实数根的的取值范围是； ④如果方程共有个实数根，记的取值集合为，那么. 所有正确结论的序号是________. 三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.） 16. 如图所示，在中，，，，，. （1）用，表示与； （2）求的值； （3）若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17. 已知函数（，，是常数，，，），函数的图象可由函数的图象平移得到. （1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使的解析式存在且唯一，并求出其解析式； 条件①：的两条相邻对称轴的距离为； 条件②：； 条件③：对任意的，都有成立. （2）根据（1）中确定的，求在区间上的取值范围. 18. 已知函数. （1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象（要求列表），并直接写出图象的对称中心； （2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若，，当时，恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $