精品解析：广东揭阳市揭东区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2025—2026学年度第二学期期末 质量监测数学科试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 甲骨文是殷商时期刻在龟甲、兽骨上的文字，距今已有三千多年历史，是中国迄今为止发现最早的成熟汉字体系．下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. 非 B. 比 C. 立 D. 鼎 【答案】B 【解析】 【详解】解：平移只改变位置，不改变大小，方向和形状， 观察四个选项，只有B选项中的图形是经过平移得到． 2. 下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合要求； B选项右边未化为几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合要求； C选项是将整式乘积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； D选项将多项式化为两个整式的乘积，变形正确，符合因式分解定义. 3. 用个如图的全等纸片拼接出如图的正六边形，则图2中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，正多边形的内角和．先计算出正六边形一个内角为，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：正六边形的一个内角为：， ，且正六边形是由个全等纸片拼接得到的， ， 故选：C． 4. 某厂商为中小学智慧课堂提供学生平板，成本为2400元，标价为2800元，如果厂商要以利润不低于的售价打折出售，最低可打几折（ ） A. 9折 B. 8.5折 C. 8折 D. 7.5折 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设打x折，利用销售价减进价等于利润得到，然后解不等式求出x的范围，从而得到x的最小值即可． 【详解】解：设打x折， 根据题意得， 解得． 所以最低可打9折． 故选：A． 5. 下列给出的条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据平行四边形的判定定理，逐一分析各选项，找出无法判定四边形是平行四边形的选项即可． 【详解】解：选项：，，满足该条件的四边形可以是等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 选项：，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 选项：，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 选项：， ， 又， ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 6. 在实数范围内，函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【详解】解：要使函数有意义，需满足两个条件：二次根式的被开方数为非负数，分式分母不为零． ，解得． 7. 对于任何整数，多项式都能（ ） A. 被8整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，通过因式分解判断整除性． 利用平方差公式将多项式分解因式，并化简，根据结果判断整除性． 【详解】解：原式 因为是整数，所以和也是整数． 因此，原式一定能被整除． 故选：A． 8. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得A、B两点坐标，得到、，根据旋转的性质求得的坐标，即可求解． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 将代入得，，将代入得， 则，，即，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴ 9. 关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 10. 如图，在中，，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，沿折叠得，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于，设，根据含角的直角三角形的性质，结合勾股定理得出，，根据折叠的性质得出，，，利用含角的直角三角形的性质，结合勾股定理得出，，在中，利用勾股定理列方程求出的值即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，设， ∵，，， ∴，， ∵将沿折叠得，沿折叠得， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：=___． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法和公式法因式分解． 【详解】解：原式 ． 12. 当_________时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】分式值为0的条件：①分子；②分母．结合题目所给分式分别满足这两个条件列出相关方程和不等式，求解即可． 【详解】解： 分式的值为0， ，由可得： ；由可得：， 综上可知，， 故答案为． 【点睛】本题考查分式值为0的条件，该题型比较容易漏掉分母不为0的条件．根据分式值为0的条件，准确求解相关方程与不等式是解决问题的关键． 13. 如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为点_____． 【答案】G 【解析】 【分析】分别连接两组对应点作它们的垂直平分线，确定两条垂直平分线的交点，该交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：分别作线段和的垂直平分线， ， 由图可得，旋转中心为点． 14. 关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的和是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解以及增根的定义进一步确定a的取值范围，确定符合条件的整数a的值即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于x的不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得， 将关于y的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， ∵关于y的分式方程的解为整数， ∴或或， 解得或或或或或， 又∵分式方程的增根是， ∴， 即， 解得， 又∵， ∴符合条件的整数a的和为． 15. 如图，在平行四边形中，将绕A逆时针旋转到，的角平分线经过的中点E，且，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转得，而平分，所以垂直平分，则，而，可证明是等边三角形，由，求得，则，，由，得，求得，则，所以，且，由，得． 【详解】解：由旋转得， ∵的角平分线经过的中点， ∴，， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，推导出是等边三角形是解题的关键． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 按要求完成作答： （1）解不等式组并把解集表示在数轴上； （2）先化简，再求值：，其中a从1，2，3中取一个合适的数代入求值． 【答案】（1）， （2）化简结果为，当时，原式的值为 【解析】 【分析】（1）考查一元一次不等式组的求解与解集的数轴表示，解题关键是掌握一元一次不等式的解法，正确求出两个不等式的解集后取公共部分即可，再在数轴上表示出不等式的解集，即可； （2）考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解： 解不等式①得 解不等式②得 因此不等式组的解集为 在数轴上表示解集图略． 【小问2详解】 解： 分式有意义的条件为分母不为，因此，， 即且 从，，中只能选取，代入得原式 17. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，仅用无刻度的直尺画图． （1）平移得到，使得点的对应点为； （2）将绕点顺时针旋转，得到． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用点B对应点的位置关系，分析平移规律可知点B先向右移1格，再向下移5格，进而确定点A、C的对应点，用直尺顺次连接即可； （2）旋转可以利用“横变竖，竖变横”的规律找到线段和分别绕点C旋转后的对应点，再顺次连接成即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 按要求用无刻度直尺和圆规作图，（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图①，作的平分线； （2）如图②，作直线l，使得点A与点P关于直线l对称． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据对称性，连接，作线段的垂直平分线即可. 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，直线即为所求； 【点睛】 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于点，交于点，． （1）求的度数； （2）是等边三角形吗？为什么？ （3）求的长． 【答案】（1）15°；（2）是，理由见解析；（3）8． 【解析】 【分析】（1）由AB=AC，AD是BC边的中线，求出∠Bº，∠ADB，利用等腰三角形求出∠BDE，再计算∠ADE=∠ADB-∠BDE即可， （2）AB=AC，AD是BC边的中线，求出∠CAD,∠C，∠ADB，CD的垂直平分线推出DF=CF 可求∠FDC，∠ADF，经计算∠ADB，∠ADB=∠ADF=60，△ADF是等边三角形， （3）求出∠FDM=∠FCM=30º，△DFM是直角三角形，MF=2，利用30º的直角三角形的性质DF=2FM，由等边三角形AF=DF=AD，再利用30角所对直角边是斜边一半求AC=AB即可． 【详解】（1）∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AD是BC边的中线， ∴∠BAD=∠CAD=60º,AD⊥BC , ∴∠B=30º，∠ADB=90º， ∵BD=BE， ∴∠BED=∠BDE=75º， ∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=90º-75º=15º， （2）∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AD是BC边的中线， ∴∠BAD=∠CAD=60º,AD⊥BC , ∴∠C=30º，∠ADB=90º， ∵CD的垂直平分线MF交AC于M， ∴DF=CF， ∴∠FDC=30º， ∴∠ADF=60º， ∴△ADF是等边三角形， （3）∵CD的垂直平分线MF交AC于M， ∴∠FMD=90º， ∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AD是BC边的中线， ∴,AD⊥BC , ∴∠ADB=90º， ∵△ADF是等边三角形， ∴∠FDM=∠FCM=30º， ∴△DFM是一个角为30º的直角三角形， ∵MF=2， ∴DF=2FM=4， ∴AF=DF=AD=4， ∵∠C=30º，AD⊥BC， ∴AC=AB=2AD=8． 【点睛】本题考查线段垂直平分分析，等腰三角形，三线合一的性质，30º角的直角三角形的性质等边三角形等知识，会用这些知识解决问题是关键． 20. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；． 解决下列问题： （1）分式是___分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式的形式为____； （3）把分式化为带分式；如果的值为整数，求x的整数值． 【答案】（1）真 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义进行化简即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值． 【小问1详解】 由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； 【小问2详解】 ， 故答案为：； 【小问3详解】 ， 当为整数时，也为整数 所以x+1可取得的整数值为±1、±3． 所以x的可能整数值为0，-2，2，-4． 【点睛】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 21. 如图，在中，D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．求证： （1）四边形是平行四边形； （2）． 【答案】（1）证明：延长交于点G， ∵，平分， ∴，， 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， ． ，E分别是，的中点， ． ∴， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）延长交于点G，利用平行四边形的定义，证明四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形，可得．证明．结合，可得，进一步可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（三）（第22题13分、第23题14分，共27分） 22. 项目式学习问题：迎接的智能机器人采购与工程规划 背景：2026年亚太经合组织（）非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻．现有A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题． 素材一 A款机器人单价比B款贵2万元．若用60万元单独采购A款，采购数量会与用50万元单独采购B款的采购数量相等． 素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期10天．若A、B两机器人合作8天，余下工作由B机器人单独完成，可提前2天完工． 素材三 已知A款机器人每日巡逻路程为48千米；B款机器人每日巡逻路程为32千米．街道办拟购买两种机器人共8台，要求每日巡逻总路程不低于320千米，且总费用不超过90万元． 巡逻机器人A 巡逻机器人B （1）任务一：机器人单价计算 求A款机器人与B款机器人单价，设B款机器人的单价为万元，请根据素材列出分式方程，不用求解 （2）任务二：巡逻工程规定日期 根据素材二，求该项工程规定日期多少天？ （3）任务三：机器人采购优化 根据素材三，问有多少种购买方案，A，B款机器人各购买多少台？哪种方案最划算？ 【答案】（1） （2） （3）有两种购买方案，方案一：购买A款机器人台，购买B款机器人台；方案二：购买A款机器人台，购买B款机器人3台；方案一更划算 【解析】 【分析】（1）设B款机器人的单价为x万元，则A款机器人的单价为万元，根据“用60万元单独采购A款，采购数量会与用50万元单独采购B款的采购数量相等”即可列出方程； （2）设该项工程规定日期天，则A机器人单独完成需要天，B机器人单独完成需要天，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （3）设A款机器人购买台，则B款机器人购买台，根据题意列出关于的一元一次不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：设B款机器人的单价为x万元，则A款机器人的单价为万元， 由题意可得； 【小问2详解】 解：设该项工程规定日期天，则A机器人单独完成需要天，B机器人单独完成需要天， ∴A机器人的工作效率为，B机器人的工作效率为， 由题意可得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴该项工程规定日期天； 【小问3详解】 解：解方程，得 ， 经检验，是原分式方程的解， ∴（万元） 即A款机器人的单价为12万元，B款机器人的单价为10万元， 设A款机器人购买台，则B款机器人购买台，由题意可得 ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∵为整数， ∴或， 方案一：当时，购买A款机器人台，购买B款机器人台，所花费用为（万元）， 方案二：当时，购买A款机器人台，购买B款机器人3台，所花费用为（万元）， ∵， ∴有两种购买方案，方案一：购买A款机器人台，购买B款机器人台；方案二：购买A款机器人台，购买B款机器人3台；方案一更划算． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． （1）点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； （2）平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； （3）点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； （4）若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 【答案】（1），20 （2） （3）存在，点的坐标为或 （4）或 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得点D的坐标，平行四边形的面积等于底乘高； （2）平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点，平分其面积的直线必经过对称中心； （3）先求出直线的解析式，分三种情况：为对角线时，为边且点N在x轴的负半轴时，为边且点N在x轴的正半轴时，根据对角线中点重合列方程组，即可求解； （4）先将一次函数解析式变形，求出其图像必经过的点，再分别求出其图像经过点D，B时k的值，结合图像即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，，点在轴正半轴上，，， ，，， 点D的纵坐标与点A相同，横坐标为， 点的坐标是， 平行四边形的面积； 【小问2详解】 解：，， 对角线，的交点坐标为，即， 设经过点且平分平行四边形面积的直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， 所求直线的解析式为； 【小问3详解】 解：，点在轴正半轴上，， ，即， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 设，， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，存在三种情况： 当为对角线时，如图： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的负半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的正半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即， 综上可得，存在，点的坐标为或； 【小问4详解】 解：， 一次函数的图象一定经过点， 当 的图象经过点时， ， 解得； 当的图象经过点时， ， 解得； 结合上图，可得当或时，的图象与平行四边形的边有2个交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末 质量监测数学科试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 甲骨文是殷商时期刻在龟甲、兽骨上的文字，距今已有三千多年历史，是中国迄今为止发现最早的成熟汉字体系．下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. 非 B. 比 C. 立 D. 鼎 2. 下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 用个如图的全等纸片拼接出如图的正六边形，则图2中的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 某厂商为中小学智慧课堂提供学生平板，成本为2400元，标价为2800元，如果厂商要以利润不低于的售价打折出售，最低可打几折（ ） A. 9折 B. 8.5折 C. 8折 D. 7.5折 5. 下列给出的条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 在实数范围内，函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 对于任何整数，多项式都能（ ） A. 被8整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 8. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是（） A. B. C. D. 9. 关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 10. 如图，在中，，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，沿折叠得，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：=___． 12. 当_________时，分式的值为0． 13. 如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为点_____． 14. 关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的和是_______． 15. 如图，在平行四边形中，将绕A逆时针旋转到，的角平分线经过的中点E，且，，则的值为_____． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 按要求完成作答： （1）解不等式组并把解集表示在数轴上； （2）先化简，再求值：，其中a从1，2，3中取一个合适的数代入求值． 17. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，仅用无刻度的直尺画图． （1）平移得到，使得点的对应点为； （2）将绕点顺时针旋转，得到． 18. 按要求用无刻度直尺和圆规作图，（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图①，作的平分线； （2）如图②，作直线l，使得点A与点P关于直线l对称． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于点，交于点，． （1）求的度数； （2）是等边三角形吗？为什么？ （3）求的长． 20. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；． 解决下列问题： （1）分式是___分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式的形式为____； （3）把分式化为带分式；如果的值为整数，求x的整数值． 21. 如图，在中，D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．求证： （1）四边形是平行四边形； （2）． 五、解答题（三）（第22题13分、第23题14分，共27分） 22. 项目式学习问题：迎接的智能机器人采购与工程规划 背景：2026年亚太经合组织（）非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻．现有A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题． 素材一 A款机器人单价比B款贵2万元．若用60万元单独采购A款，采购数量会与用50万元单独采购B款的采购数量相等． 素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期10天．若A、B两机器人合作8天，余下工作由B机器人单独完成，可提前2天完工． 素材三 已知A款机器人每日巡逻路程为48千米；B款机器人每日巡逻路程为32千米．街道办拟购买两种机器人共8台，要求每日巡逻总路程不低于320千米，且总费用不超过90万元． 巡逻机器人A 巡逻机器人B （1）任务一：机器人单价计算 求A款机器人与B款机器人单价，设B款机器人的单价为万元，请根据素材列出分式方程，不用求解 （2）任务二：巡逻工程规定日期 根据素材二，求该项工程规定日期多少天？ （3）任务三：机器人采购优化 根据素材三，问有多少种购买方案，A，B款机器人各购买多少台？哪种方案最划算？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． （1）点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； （2）平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； （3）点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； （4）若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $