精品解析：广东省广州市天河区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

2024学年第二学期学业水平调研 八年级数学 本试卷共6页，分两卷，I卷共20题80分，Ⅱ卷共3题40分，满分120分．调研时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． I卷 一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，12，13 C. 1，，2 D. 1，1， 3. 如图，在等边中，点，分别为边，上的中点，若，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列计算中，正确是（ ） A. B. C. D. 5. 某校艺术节歌唱比赛中，有位评委对选手的表现打分，某位选手所得个分数组成一组数据．根据评分规则，去掉这组数据中的一个最高分和一个最低分，剩余个分数作为一组新数据．下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 6. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 矩形四个角都相等 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 菱形的四条边相等 D. 菱形的对角线互相垂直 8. 如图，在中，，于点，若，是斜边的中点，则（ ） A B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 二、填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 若点，在如图的直线上，则________． 13. 在中，，，，则________． 14. 一次演讲比赛中，某位选手演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面的成绩分别为90分，85分，80分，若按的比例计算综合成绩，则该选手的综合成绩为________． 15. 如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为________． 三、解答题（本大题有5小题，共35分．解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 下表是某班41名学生右眼视力的检查结果： 视力 4.0 4.1 4.2 4.3 44 4.5 46 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 2 4 5 3 5 1 1 5 9 5 （1）求该班学生右眼视力的平均值； （2）填空：该班学生右眼视力的众数为______，中位数为______；根据以上信息，你对该班学生提出的建议是________． 18. 如图，四边形是平行四边形，点在边上，且． （1）尺规作图：作的角平分线交边于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中作图的条件下，求证：四边形是平行四边形； 19. “漏壶”是古代的一种计时器．如图，在它内部盛有一定量的水，不考虑水量对压力的影响，水从小孔均匀漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间，水面高度与漏水时间成一次函数关系．经记录，当漏水时间为2小时时，水面高度为20厘米，当漏水时间为5小时时，水面高度为14厘米． （1）求与之间函数关系式； （2）求刚开始计时水面的高度． 20. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的周长； （2）求的度数． 四、解答题（本大题有3小题，共40分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 21. 为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导某农户种植优质玉米喜获丰收，上市销量日益增加，助手小天对销量（吨）进行了跟踪记录，制作销量统计表，并将数据用坐标表示，得到、、、，在如图的坐标系描点． 销量统计表 函数（） 1 2 3 4 5 销量（） 2.5 3.6 4.8 6.7 ☆ 假设销售环境不发生改变，可运用函数与统计知识预测第五周的销量．例如选择直线或直线等一次函数模型来进行分析． （1）根据，的坐标，可得直线的解析式为．类似的，请任意选择两点坐标，求过这两点的直线解析式； （2）在运用一次函数模型分析预测第五周的销量时，可以利用偏离方差分析选用哪一个模型预测更适合．请根据以下方框材料，求出（1）中你选择的直线的偏离方差，并与选用直线的预测方案作比较，选择较为合适的模型，预估第五周的销量． 在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组销量所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差．来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．例如，分析直线，即上的点．可知：时，时，时，；时，；时，．求得偏离方差：． 22. 小天和小河在学完《平行四边形》之后，研究教材的数学活动；折纸做，，角．学习了以下折法：如图1，先对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段，把纸片展平．两人对此展开了命题研究和折纸拓展，提出了以下3道由易到难的数学题．请你解答． （1）已知矩形纸片中，，．以点为原点建立平面直角坐标系，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，分别设直线，，的解析式为，，．得到以下四个结论，其中正确的是（ ） A． B． C． D． （3）在图1的折法基础上，两人再次动手操作：如图2，若将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，把纸片再次展平，连接．试证明四边形是菱形． 23. 在平面直角坐标系中，直线，，的解析式分别为，和，其中，，且直线和交于点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，请结合图象探索的取值范围；（需要画图，并直接写出结果） （3）如图，当时，设直线与轴和轴分别交于，两点，点在直线上，连接，过点作交线段于点． ①若点的横坐标为，用含的式子表示点的横坐标； ②若在平面直角坐标系中取定点和任意一点，使得四边形为矩形，设，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期学业水平调研 八年级数学 本试卷共6页，分两卷，I卷共20题80分，Ⅱ卷共3题40分，满分120分．调研时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． I卷 一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式：熟练掌握最简二次根式满足的条件（被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式）．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A.，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确； B. ，不符合最简二次根式定义，故本选项不正确； C. 符合最简二次根式定义，故本选项正确； D.，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确； 故选：C． 2. 以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，12，13 C. 1，，2 D. 1，1， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A、∵，∴不能构成直角三角形，故选项符合题意； B、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不合题意； C、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不合题意； D、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不合题意． 故选：A． 3. 如图，在等边中，点，分别为边，上的中点，若，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握定理内容是解题的关键；由题意知，是的中位线，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵在等边中，， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴； 故选：C． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键．分别计算各项即可求解． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确 ； 故选：D． 5. 某校艺术节歌唱比赛中，有位评委对选手的表现打分，某位选手所得个分数组成一组数据．根据评分规则，去掉这组数据中的一个最高分和一个最低分，剩余个分数作为一组新数据．下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数，众数，方差和中位数，去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数，解题的关键在于理解这些统计量的意义． 【详解】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数， 故选：． 6. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，则的，得出经过的象限是第一、三、四象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的 ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限 ∴不经过的象限是第二象限 故选：B 7. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 矩形四个角都相等 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 菱形的四条边相等 D. 菱形的对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形、正方形、菱形的判定、对顶角、命题，熟练掌握特殊四边形的判定是解题关键．先写出各命题的逆命题，再根据矩形、正方形、菱形的判定、对顶角逐项判断即可得． 【详解】解：选项A：原命题“矩形四个角都相等”的逆命题为“四个角都相等的四边形是矩形”．根据矩形判定定理，四个角相等的四边形是矩形，逆命题为真． 选项B：原命题“对角线相等的平行四边形是矩形”的逆命题为“矩形的对角线相等且是平行四边形”．矩形本身是平行四边形，且对角线相等，逆命题为真． 选项C：原命题“菱形的四条边相等”的逆命题为“四条边相等的四边形是菱形”．根据菱形定义，四边相等的四边形是菱形，逆命题为真． 选项D：原命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题为“对角线互相垂直的四边形是菱形”．存在对角线垂直但非菱形的四边形（如对角线垂直但边不相等的普通四边形），逆命题为假． 故选：D． 8. 如图，在中，，于点，若，是斜边的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质，先求得，由题意得，结合三角形的外角的性质，推出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的中点， ∴， 又∵， ∴， 故选：B 9. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、一元一次方程的知识，结合题意，根据一次函数的性质可得：，原函数为，向上平移3个单位后得到，由各选项中点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值，取k值为负的选项即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y随x的增大而减小， ∴， 原函数为，向上平移3个单位后得到 A．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； B．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； C．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； D．当，时，则，解得，符合题意，故该选项符合题意； 故选：D． 10. 如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程． 连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，，， ∴， ∵，，°， ∴四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， ∴， 即的最小值为， 故选：C． 二、填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 若点，在如图的直线上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 根据一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：由图可知，该直线对应函数的函数值随着自变量的增大而减小， ， ． 故答案为：． 13. 在中，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据题意得到，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为： ． 14. 一次演讲比赛中，某位选手演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面的成绩分别为90分，85分，80分，若按的比例计算综合成绩，则该选手的综合成绩为________． 【答案】分 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算公式． 根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：该选手的综合成绩为（分）， 故答案为：87分． 15. 如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并利用三角形全等判定与性质得到对角线被互相平分是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明和全等，得，同理可得，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形面积公式解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， ，， 四边形的面积． 故答案为：600． 三、解答题（本大题有5小题，共35分．解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质和二次根式乘法法则计算，并化简即可； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，并化简即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 下表是某班41名学生右眼视力的检查结果： 视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 2 4 5 3 5 1 1 5 9 5 （1）求该班学生右眼视力平均值； （2）填空：该班学生右眼视力的众数为______，中位数为______；根据以上信息，你对该班学生提出的建议是________． 【答案】（1）4.6 （2）4.9；4.6；少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数的定义列式计算即可； （2）根据众数和中位数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：该班学生右眼视力的平均值为： ， 答：该班学生右眼视力的平均值为4.6． 【小问2详解】 解：该数据中右眼视力是4.9的有9个，最多， 所以该班学生右眼视力的众数为4.9， 该样本中共有41个数据，按照右眼视力从小到大的顺序排列，第21个数据是4.6， 所以该班学生右眼视力的中位数为4.6． 建议少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）． 故答案为：4.9，4.6，少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）． 【点睛】本题主要考查了平均数、中位数、众数，以及用统计做决策．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两个数的平均数． 18. 如图，四边形是平行四边形，点在边上，且． （1）尺规作图：作的角平分线交边于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中作图的条件下，求证：四边形是平行四边形； 【答案】（1）图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图—作已知角的角平分线，平行四边形的性质与判定定理，角平分线的定义，平行四边形的判定等知识点，掌握作图方法是解题关键． （1）按要求作出的角平分线（保留作图痕迹）即可； （2）由角平分线的定义和平行四边形的性质得到，进而得到，再由边的和差关系得到，最后由一组对边平行且相等即可判定四边形是平行四边形． 【小问1详解】 如图，即为所求． 【小问2详解】 证明：为的平分线， ， 四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， ，， ，，即 ， 四边形是平行四边形． 19. “漏壶”是古代的一种计时器．如图，在它内部盛有一定量的水，不考虑水量对压力的影响，水从小孔均匀漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间，水面高度与漏水时间成一次函数关系．经记录，当漏水时间为2小时时，水面高度为20厘米，当漏水时间为5小时时，水面高度为14厘米． （1）求与之间的函数关系式； （2）求刚开始计时水面的高度． 【答案】（1） （2）24厘米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）当时，求出对应的值即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为（、为常数，且）． 将，和，分别代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：把代入，得， 答：刚开始计时时壶底到水面的高度为24厘米． 20. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的周长； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了网络图形，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，是解题的关键． （1）利用利用勾股定理求出的长，相加即得； （2）连接，根据勾股定理与勾股定理的逆定理判断出为等腰直角三角形，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：，，，； 四边形的周长为 ． 【小问2详解】 解：连接， ，，， ． ． ， ． 四、解答题（本大题有3小题，共40分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 21. 为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导某农户种植优质玉米喜获丰收，上市销量日益增加，助手小天对销量（吨）进行了跟踪记录，制作销量统计表，并将数据用坐标表示，得到、、、，在如图的坐标系描点． 销量统计表 函数（） 1 2 3 4 5 销量（） 2.5 3.6 4.8 6.7 ☆ 假设销售环境不发生改变，可运用函数与统计知识预测第五周的销量．例如选择直线或直线等一次函数模型来进行分析． （1）根据，的坐标，可得直线的解析式为．类似的，请任意选择两点坐标，求过这两点的直线解析式； （2）在运用一次函数模型分析预测第五周的销量时，可以利用偏离方差分析选用哪一个模型预测更适合．请根据以下方框材料，求出（1）中你选择的直线的偏离方差，并与选用直线的预测方案作比较，选择较为合适的模型，预估第五周的销量． 在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组销量所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差．来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．例如，分析直线，即上的点．可知：时，时，时，；时，；时，．求得偏离方差：． 【答案】（1）选择A、D，（答案不唯一） （2）选用直线较为合适，第五周的销售量约为8.1吨（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．理解并应用偏离方差的定义是解决本题的难点． （1）选择A、D，用待定系数法求解即可； （2）按照所给方法求得直线的偏离方差，与直线的偏离方差比较后，取代入较小的偏离方差的直线解析式中，求得对应的y的值，即为预估的第五周的销量． 【小问1详解】 解： 选择A、D，设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ， ，即， 选用直线较为合适， 把代入得，， 预估第五周的销量约为8.1吨． 其他答案如下：，，，， 1 2.5 2.5 2.5 2.5 2.4 2.05 1 2 3.6 3.6 3.65 3.9 3.6 3.6 2.9 3 4.8 4.7 4.8 5.3 4.8 5.15 4.8 4 6.7 5.8 5.95 6.7 6 6.7 6.7 第五周的销量计算其他情况： 直线 偏离方差比较 第五周的销量 ，即 选用， ，即 选用， ，即 选用， ，即 选用， 22. 小天和小河在学完《平行四边形》之后，研究教材的数学活动；折纸做，，角．学习了以下折法：如图1，先对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段，把纸片展平．两人对此展开了命题研究和折纸拓展，提出了以下3道由易到难的数学题．请你解答． （1）已知矩形纸片中，，．以点为原点建立平面直角坐标系，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，分别设直线，，的解析式为，，．得到以下四个结论，其中正确的是（ ） A． B． C． D． （3）在图1的折法基础上，两人再次动手操作：如图2，若将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，把纸片再次展平，连接．试证明四边形是菱形． 【答案】（1） （2）A、C、D （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定． （1）根据矩形的性质得到，于是得到； （2）根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，待定系数法求得直线，，的解析式分别为，，，于是得到结论； （3）根据折叠的性质，则，，根据三线合一，则，根据菱形的判定和性质，即可推出结论． 【小问1详解】 解：如图所示； 四边形是矩形， ， ，． ； 【小问2详解】 解：由折叠的性质得，，， ∴， ， ，； 把，，代入，得，解得， ∴设直线的解析式为， 把，代入，得，解得， ∴直线的解析式为； 把，代入，得，解得， 直线的解析式分别为， ∴A．，正确； B．，错误； C．，正确； D．，正确； 故正确的是A，C，D， 故答案为：A，C，D； 【小问3详解】 证明：连接， 为折痕， 垂直平分， ， 由折叠所得， ， ，， ， 为等边三角形， ， ； ， ， ， 是等边三角形， ， 沿折叠得到， ， ， ， ， 四边形平行四边形， ， 四边形是菱形． 23. 在平面直角坐标系中，直线，，的解析式分别为，和，其中，，且直线和交于点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，请结合图象探索的取值范围；（需要画图，并直接写出结果） （3）如图，当时，设直线与轴和轴分别交于，两点，点在直线上，连接，过点作交线段于点． ①若点的横坐标为，用含的式子表示点的横坐标； ②若在平面直角坐标系中取定点和任意一点，使得四边形为矩形，设，直接写出的最小值． 【答案】（1）， （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象写出结果即可； （3）①由点在上得点的坐标为其中，过点作垂直轴于点，作垂直轴于点，证明得，求出的横坐标为； ②证明矩形为正方形得，作于点G，作于点E，证明得，，求出可知点在上． 过点作轴交轴于点，由，可知当，，三点共线时，最小，最小值为的长，然后利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：直线过点， ，解得， 将点代入得：，解得 【小问2详解】 解：如图，当函数的值既大于函数的值，也大于函数的值时，的取值范围是． 【小问3详解】 解：①由（1）得直线的解析式为， 当时，，所以的坐标为， 当时，，所以的坐标为， 点在上， 点坐标为其中 过点作垂直轴于点，作垂直轴于点， ， ，， 即， ． ． ． 的横坐标为； ②． 由①得， 矩形为正方形， 作于点G，作于点E， ， 又 又， ， ， 点在上， 在正方形中， ， 作关于的对称点，则坐标为，且，过点作轴交轴于点， ，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长． 坐标为， 又， ， ，即的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$