第三章圆锥曲线的方程（暑假单元测试卷）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高二上学期第三章圆锥曲线单元卷，覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，通过基础题与综合探究题梯度设计，适配暑假巩固提升，体现数学眼光（几何直观）、思维（推理运算）与语言（模型构建）素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|椭圆定义（1题）、双曲线焦点（2题）、抛物线焦半径（3题）|基础巩固，直接考查定义与性质| |选择题（多选）|3/18|椭圆离心率（9题）、方程曲线类型（10题）、抛物线焦点弦（11题）|多角度辨析，培养批判性思维| |填空题|3/15|双曲线焦点距离（12题）、抛物线点坐标（13题）、蒙日圆方程（14题）|含创新拓展（蒙日圆），体现数学文化| |解答题|5/77|椭圆方程与直线交点（15题）、抛物线重心（16题）、双曲线面积（17题）、椭圆与直线平分（18题）、轨迹方程与面积（19题）|分层递进，综合考查推理运算与模型构建，贴合高考命题趋势|

2026-2027学年高二上学期单元测试卷 第三章 圆锥曲线的方程 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设是椭圆上的动点，则点到的两个焦点的距离之和为（    ） A．80 B．10 C．20 D．40 2．下列双曲线中，焦点在轴上的是（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 4 ，则点 到 轴的距离为（     ） A． B． C． D． 4．双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 7．已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，线段的中点在的左支上，，则双曲线的离心率为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 8．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若椭圆上的一个焦点坐标为，点P为椭圆上一动点，则下列结论中正确的是（   ） A．C的短轴长 B．点在椭圆上 C．C的离心率为 D． 10．已知方程．则下列说法正确的是（    ） A．若，则该方程表示椭圆 B．若，该方程表示焦点在轴上的椭圆 C．若该方程表示焦点在轴上的双曲线，则 D．该方程可以表示两条平行直线 11．已知为抛物线的焦点，为上的两个动点，则下列命题正确的是（    ） A．若点的坐标为，则的最小值为3 B．若，则线段的中点到轴的最小距离为2 C．若线段的中点的横坐标为3，则的最大值为8 D．若直线过点，则（为坐标原点）的斜率之积为定值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．双曲线上一点P到该双曲线的一个焦点的距离为7，则点P到另一个焦点的距离是 ． 13．抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 ． 14．已知椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在与该椭圆同中心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则该椭圆的蒙日圆方程为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 16．（15分）已知抛物线的焦点为F，点F到抛物线准线距离为4． (1)求抛物线E的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线E上，顶点，重心恰好是抛物线E的焦点F．求所在的直线方程． 17．（15分）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求的面积. 18．（17分）已知椭圆C：的离心率为，且过点． (1)求C的方程； (2)过C的右焦点F，且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若C上存在一点N，使得ON与AB互相平分（O为坐标原点），求k． 19．（17分）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为，过点且斜率为的直线与轨迹从左到右的三个公共点分别为． (1)求轨迹的方程 (2)求的取值范围； (3)点关于原点对称，若，求的面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期单元测试卷 第三章 圆锥曲线的方程 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设是椭圆上的动点，则点到的两个焦点的距离之和为（    ） A．80 B．10 C．20 D．40 【答案】D 【详解】由椭圆方程可知：椭圆的长半轴长为， 所以点到的两个焦点的距离之和为． 故选：D. 2．下列双曲线中，焦点在轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点在轴上. 故选：C 3．已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 4 ，则点 到 轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知抛物线 的准线方程为 . 设点 ,根据抛物线的定义可知 ,即 . 由抛物线方程可得 ,即 ,所以点 到 轴的距离为 . 故选：D. 4．双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，得到， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：B. 5．已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC， 当时，点在椭圆内部，所以直线与椭圆必有公共点. 故选：D 6．已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【详解】由椭圆，得， 过且垂直于的直线与椭圆交于B、C两点， 所以为线段的垂直平分线， 得， 则的周长为. 故选：B.    7．已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，线段的中点在的左支上，，则双曲线的离心率为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【详解】双曲线的左焦点，渐近线， 依题意，点在直线上，设，则， 由点在的左支上，得，整理得， 由，得，整理得， 消去得，解得，所以双曲线的离心率. 故选：C 8．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以，解得， 所以直线l的斜率为.    故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若椭圆上的一个焦点坐标为，点P为椭圆上一动点，则下列结论中正确的是（   ） A．C的短轴长 B．点在椭圆上 C．C的离心率为 D． 【答案】AB 【详解】因为焦点坐标为，所以，解得或， 所以椭圆C的方程为； 短轴长为； 代入椭圆方程可得点在椭圆上； 离心率； 焦半径． 故选：AB． 10．已知方程．则下列说法正确的是（    ） A．若，则该方程表示椭圆 B．若，该方程表示焦点在轴上的椭圆 C．若该方程表示焦点在轴上的双曲线，则 D．该方程可以表示两条平行直线 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，方程为，表示圆，A错误； 对于B，当时，方程为，，该方程表示焦点在轴上的椭圆，B正确； 对于C，该方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，C正确； 对于D，当时，方程表示两条平行直线，当时，方程也表示两条平行直线，D正确. 故选：BCD 11．已知为抛物线的焦点，为上的两个动点，则下列命题正确的是（    ） A．若点的坐标为，则的最小值为3 B．若，则线段的中点到轴的最小距离为2 C．若线段的中点的横坐标为3，则的最大值为8 D．若直线过点，则（为坐标原点）的斜率之积为定值 【答案】BCD 【详解】由题意知，所以，故的方程为， 设，则，所以， 所以当时，，故A错误； 过分别作准线的垂线，垂足分别为， 则的中点到轴的距， 当且仅当过点时等号成立，故B正确； 由于，当且仅当过点时等号成立，故C正确；    若过点，设其方程为，代入的方程并整理，得， 设，则，所以， 所以，故D正确， 故选：BCD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．双曲线上一点P到该双曲线的一个焦点的距离为7，则点P到另一个焦点的距离是 ． 【答案】13 【详解】由已知双曲线，可知，，， 设双曲线的两焦点分别为，，不妨设， 则，解得或， 又双曲线上的点到焦点的距离，所以． 故答案为：13 13．抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 ． 【答案】或 【详解】由题意，抛物线的准线方程为：，焦点坐标为， 设点在抛物线上，且与焦点的距离等于3， 由抛物线定义可得：，即， 所以，则，所以点的坐标是或. 故答案为：或. 14．已知椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在与该椭圆同中心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则该椭圆的蒙日圆方程为 . 【答案】 【详解】由椭圆的离心率为，得，解得， 椭圆在顶点处的切线分别为，它们交于点， 显然点在椭圆的蒙日圆上，因此， 所以椭圆的蒙日圆方程为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意，则，又，则，则， 所以C的标准方程为. （2）联立与，有，整理得， 由题意，，则，则. 16．（15分）已知抛物线的焦点为F，点F到抛物线准线距离为4． (1)求抛物线E的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线E上，顶点，重心恰好是抛物线E的焦点F．求所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，∴抛物线方程为： （2）设，，由重心坐标公式得，∴CD中点坐标为， 两式相减得， 方程：， ，∴方程：. 17．（15分）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知双曲线的实轴长为，即得， 所以双曲线方程为， 又双曲线过点，则，解得， 则双曲线方程； （2）由已知直线，即， 联立直线与双曲线，即， 得，， 且，， 则弦长 又为双曲线的左焦点，， 所以点的坐标为， 点到直线的距离为， 所以的面积， 所以的面积为. 18．（17分）已知椭圆C：的离心率为，且过点． (1)求C的方程； (2)过C的右焦点F，且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若C上存在一点N，使得ON与AB互相平分（O为坐标原点），求k． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由离心率，得，所以C的方程化为：， 将点代入C的方程得，解得，所以C的方程为． （2）由（1）得，则的方程为， 设，，AB的中点为， 联立消去得， 则，所以， 所以， 因为ON与AB互相平分，则四边形OANB为平行四边形，有， 所以，又N在C上，所以，解得． 19．（17分）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为，过点且斜率为的直线与轨迹从左到右的三个公共点分别为． (1)求轨迹的方程 (2)求的取值范围； (3)点关于原点对称，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)40 【详解】（1）设，依题意得：，即， 化简得，， 所以点的轨迹的方程为； （2）设直线的方程为，由方程组， 可得，要使得有三个交点，则， 方程的判别式为， 设直线与轴的交点为，则由，取得， 当，解得或， 故当时，直线与轨迹恰有三个公共点； （3）设，，由（1）知，， 所以， 由直线的方程可知，，故， 所以，， 则，整理得，解得， 从而，故，， 则，，，即直线为，， 点到直线的距离为， 所以． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $