第三章 圆锥曲线的方程（暑假预习举一反三单元自测·基础篇）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 第三章圆锥曲线单元自测基础卷，19题覆盖选填解答，全面考查椭圆、双曲线、抛物线定义与性质，适配高二暑假复习，助力数学眼光、思维与语言能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|椭圆焦点、双曲线定义、抛物线焦半径|基础巩固，如第4题考查抛物线点到焦点距离| |多选|3/18|曲线类型判断、椭圆与双曲线性质|能力提升，如第9题分类讨论曲线类型| |填空|3/15|抛物线准线、椭圆标准方程、双曲线离心率（冷却塔情境）|联系实际，如第14题结合冷却塔模型| |解答|5/77|双曲线方程求解、轨迹方程、椭圆弦长、抛物线焦点弦|综合应用，如第18题探究抛物线斜率关系|

第三章 圆锥曲线的方程（单元自测·基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·天津西青·期末）椭圆的焦点为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．（5分）（2026高二·全国·专题练习）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 3．（5分）（25-26高二上·湖北十堰·期末）方程 表示焦点在轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高二上·天津西青·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离为9，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的两条渐近线为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二上·山西晋城·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二上·广东湛江·期末）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（    ） A． B．12 C．11 D．10 8．（5分）（25-26高二上·广东揭阳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·山东烟台·期末）已知曲线，则下列说法正确的有（   ） A．曲线可能是圆 B．曲线可能是等轴双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 10．（6分）（25-26高二上·江苏镇江·期末）已知曲线，则（   ） A．的长半轴长为4 B．的渐近线方程为 C．与的离心率互为倒数 D．与的焦点坐标相同 11．（6分）（25-26高二上·河南新乡·期末）已知为坐标原点，动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线，过点的直线交于两点（点在第一象限），且，则（    ） A．的方程为 B．直线的方程为 C． D．的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）若点为抛物线上一点，则点到抛物线的准线的距离为___________. 13．（5分）（2026高二上·福建厦门·专题练习）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为___________． 14．（5分）（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·河北雄安·期末）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为4，虚轴长为2； (2)过点，渐近线方程为． 16．（15分）（2026高二上·江苏·专题练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 17．（15分）（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 18．（17分）（25-26高二上·上海·阶段检测）已知过抛物线C：的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，当直线AB的斜率不存在时，． (1)求抛物线C的方程； (2)已知点，且直线AB，AD，BD的斜率都存在，若直线AD，BD与C的另一个交点分别为M，N，设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，求的值． 19．（17分）（25-26高二上·山西太原·阶段检测）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点. 当两点均在的左支上时，求面积的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程（单元自测·基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·天津西青·期末）椭圆的焦点为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【解题思路】根据方程分析可知焦点在x轴上，设焦距为，则，由此可得焦点坐标. 【解答过程】因为，所以椭圆的焦点在x轴上. 设椭圆的焦距为，则，所以. 所以焦点为. 故选：D. 2．（5分）（2026高二·全国·专题练习）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的定义求解即可. 【解答过程】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C. 3．（5分）（25-26高二上·湖北十堰·期末）方程 表示焦点在轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由椭圆方程及焦点所在的位置列不等式求参数范围即可. 【解答过程】由题意，，可得. 故选：B. 4．（5分）（25-26高二上·天津西青·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离为9，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用抛物线定义求解. 【解答过程】抛物线的准线方程为，由点到其焦点的距离为9， 得，解得，而，则， 所以点的坐标为. 故选：D. 5．（5分）（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的两条渐近线为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由双曲线渐近线设出双曲线方程，再根据经过的点求得方程. 【解答过程】双曲线的渐近线为，可设对应双曲线方程为：， 又双曲线经过，即，解得， 则双曲线的方程为：. 故选：C. 6．（5分）（25-26高二上·山西晋城·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求证四边形是平行四边形，再利用椭圆的定义和离心率的定义可求. 【解答过程】由直线经过原点，且椭圆关于原点对称可知，四边形是平行四边形， 所以， 由椭圆定义得：，所以， 又因为，所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故选：C. 7．（5分）（25-26高二上·广东湛江·期末）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（    ） A． B．12 C．11 D．10 【答案】B 【解题思路】先求出抛物线焦点 和准线方程，延长交准线于，连接，由抛物线定义得到即可数形结合得解. 【解答过程】抛物线方程的标准形式为， 所以焦点 ，准线方程为，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当三点共线时， ，      的最小值为. 故选：B． 8．（5分）（25-26高二上·广东揭阳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件求出双曲线方程，然后求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，求得，，再根据弦长公式计算即可求解. 【解答过程】由题意得，， 所以，，所以，，， 所以双曲线的方程为， 因为，直线过点且倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线l的方程为， 与双曲线的方程联立，消去，整理得， 解得，， 所以． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·山东烟台·期末）已知曲线，则下列说法正确的有（   ） A．曲线可能是圆 B．曲线可能是等轴双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 【答案】ACD 【解题思路】利用椭圆、双曲线方程的特征，逐项列式求解判断即可. 【解答过程】对于A，曲线表示圆，则，解得，故A正确； 对于B，曲线表示等轴双曲线，则，方程无解，故B错误； 对于C，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则， 解得，故C正确； 对于D，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且，解得，故D正确. 故选：ACD. 10．（6分）（25-26高二上·江苏镇江·期末）已知曲线，则（   ） A．的长半轴长为4 B．的渐近线方程为 C．与的离心率互为倒数 D．与的焦点坐标相同 【答案】ACD 【解题思路】根据椭圆和双曲线的性质逐项验证即可求解. 【解答过程】由题意得曲线，所以 ，即，， 所以的长半轴长为4，故A正确； 所以的离心率为，的焦点坐标为. 又，所以的渐近线方程为，故B错误； 又， 所以，所以的离心率为，即， 所以与的离心率互为倒数，的焦点坐标为，故C正确，故D正确； 故选：ACD. 11．（6分）（25-26高二上·河南新乡·期末）已知为坐标原点，动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线，过点的直线交于两点（点在第一象限），且，则（    ） A．的方程为 B．直线的方程为 C． D．的面积为 【答案】ABD 【解题思路】由抛物线的定义可判断A项，由，及两点式方程可判断B项，由弦长公式可判断C项，由三角形的面积可判断D项. 【解答过程】由动点到点的距离比它到直线的距离小2，可得动点到点的距离等于它到直线的距离， 故动点的轨迹是焦点为的抛物线，故的方程为，故A正确； 设，点在第一象限，则， 由，得，得，代入，解得，则， 而，故直线的方程为： ，得，故B正确； 由，消去，得，， 则，故C错误； 点到直线：的距离为：， 则的面积为，故D正确. 故选：ABD.    第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）若点为抛物线上一点，则点到抛物线的准线的距离为___________. 【答案】4 【解题思路】由点为抛物线上一点，求得，从而得到抛物线的方程，求出其准线的方程，即可得到点到抛物线的准线的距离. 【解答过程】因为点为抛物线上一点，所以，解得. 所以抛物线的方程为：，其准线方程为：. 故点到抛物线的准线的距离为. 故答案为：. 13．（5分）（2026高二上·福建厦门·专题练习）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为___________． 【答案】 【解题思路】根据椭圆与焦点相同，得到所求椭圆焦点在轴上，且，设其标准方程为，结合在椭圆上列方程组求解． 【解答过程】所求椭圆与椭圆的焦点相同， 其焦点在轴上，且， 设其标准方程为， ，且，①， 点在所求椭圆上， ②， 联立①②得，解得， 所求椭圆的标准方程为． 故答案为：． 14．（5分）（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为___________. 【答案】 【解题思路】以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，由题意求出可得答案. 【解答过程】如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，由题意知，所以， ，， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·河北雄安·期末）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为4，虚轴长为2； (2)过点，渐近线方程为． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件列出方程求出双曲线的标准方程； （2）设双曲线方程为，代入已知点的坐标，求得参数后可得结论． 【解答过程】（1）设双曲线标准方程为：， ，， ∴双曲线标准方程为． （2）由双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为， 代入点的坐标，有，可得． 即双曲线的方程为，化为标准方程为． 16．（15分）（2026高二上·江苏·专题练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用抛物线的定义计算即可； （2）利用点差法结合点斜式计算即可. 【解答过程】（1）设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 17．（15分）（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，消得到，结合条件，利用韦达定理和弦长公式，即可求解. 【解答过程】（1）由题可得，则， 又由得 ，则， 所以椭圆的方程为. （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组，消得到， 则， 由于，又， 则，整理得到，解得， 又时，，所以满足题意. 18．（17分）（25-26高二上·上海·阶段检测）已知过抛物线C：的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，当直线AB的斜率不存在时，． (1)求抛物线C的方程； (2)已知点，且直线AB，AD，BD的斜率都存在，若直线AD，BD与C的另一个交点分别为M，N，设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，求的值． 【答案】(1) (2)4 【解题思路】（1）设直线，，与抛物线方程联立求出，即可得解； （2）设，直线，求出，，，，得，即得解. 【解答过程】（1）易知焦点，当直线AB的斜率不存在时，直线，设， 由可得，所以， 所以，所以，所以C的方程为； （2）设， 直线，由，可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 所以，所以． 19．（17分）（25-26高二上·山西太原·阶段检测）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点. 当两点均在的左支上时，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）首先求出椭圆的焦点坐标，再表示出双曲线的渐近线方程，依题意得到、、的方程组，求出、即可得解； （2）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由两点均在的左支求出，再由，利用换元法及函数的单调性计算可得. 【解答过程】（1）椭圆即，所以椭圆的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线为， 故依题意可得，解得，所以双曲线的方程为； （2）依题意直线的斜率存在时不为，所以可设直线的方程为， 设，， 由，可得， 由得， 所以，， 则， ， 因为两点均在的左支上，所以，解得，即， 所以 ， 令，则，， 所以， 因为在上单调递减，所以，所以， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $