第三章 圆锥曲线的方程（暑假预习举一反三单元自测·提高篇）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为人教A版高二圆锥曲线单元暑假提高卷，19题覆盖椭圆、双曲线、抛物线，注重基础巩固与能力提升，适配单元自测与暑期进阶训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|双曲线方程（1题）、椭圆方程（2题）|基础概念辨析，如焦点位置判断| |多选|3/18|曲线类型判断（9题）、椭圆焦点三角形（10题）|多维度考查，如椭圆周长与面积最值| |填空|3/15|抛物线焦点（12题）、双曲线渐近线（13题）|核心公式应用，如渐近线求标准方程| |解答|5/77|椭圆方程与面积（17题）、抛物线与直线位置关系（18题）|综合应用，如18题证垂直体现推理能力，19题定点问题培养创新意识|

第三章 圆锥曲线的方程（单元自测·提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】根据双曲线方程的性质，列式计算，即可得答案. 【解答过程】由表示双曲线，得，解得或 故选：D. 2．（5分）（2026高二·全国·专题练习）焦点在x轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆长轴长、短轴长的定义，结合椭圆焦点的位置进行求解即可. 【解答过程】因为椭圆的焦点在x轴上，中心在原点， 所以设该椭圆的标准方程为， 因为该椭圆长轴长为10，短轴长为8， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：D. 3．（5分）（25-26高二上·山东烟台·期末）双曲线的焦点到其渐近线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】利用双曲线方程求得焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离求得焦点到渐近线的距离. 【解答过程】由双曲线，可得，所以， 所以双曲线的两焦点坐标分别为， 渐近线方程为，即， 所以焦点到渐近线的距离为. 故选：A. 4．（5分）（25-26高二上·海南三亚·阶段检测）已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解题思路】利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得. 【解答过程】过点作抛物线的准线于点， 由抛物线定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线，抛物线的准线， 即时，有最小值. 故选：B. 5．（5分）（25-26高二上·四川泸州·期末）设分别是椭圆E：（）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，根据椭圆的定义可知，，再由，可知和都是直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解即可. 【解答过程】设，因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以， 在中，由勾股定理得：， 则，解得， 故，，， 在中，由勾股定理得：， 则，解得，故. 故选：B. 6．（5分）（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）一桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，通过待定系数法确定抛物线方程，并求出货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离，即可求出能使该货车能顺利通过桥洞的限高. 【解答过程】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，， 设抛物线方程为， 将代入方程可得，解得， 所以抛物线方程为， 若宽为的一辆货车沿桥洞中线行驶，则货车边缘的横坐标为， 将其代入抛物线方程可得，解得， 所以货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离为， 又因为货车与其正上方的墙壁高度差至少为， 所以货车能顺利通过桥洞的限高为. 故选：B. 7．（5分）（25-26高二上·湖南常德·期末）椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用点差法求得直线的斜率，再利用点斜式即可求得所求直线方程. 【解答过程】因为，所以点在椭圆内， 又不在坐标轴上，故以为中点的弦所在的直线斜率存在， 设以点为中点的弦的两端的坐标分别为， 则，由，两式相减， 得，则， 设以点为中点的弦所在直线斜率为，则， 所以所求直线方程为：，即. 故选：C. 8．（5分）（25-26高二上·吉林延边·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】将直线的方程与双曲线的方程联立，可得出，直线交轴于点，由可得出关于的等式，解之即可. 【解答过程】联立可得，， 设点、，直线交轴于点， ，解得或. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线可以是圆 B．当时，曲线可以是焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线可以是焦点在轴上的双曲线 D．当曲线是椭圆或双曲线时，其焦距均为5 【答案】BC 【解题思路】根据的值，结合圆与圆锥曲线的方程的特征即可判断各选项． 【解答过程】对于A，当方程表示圆时，，无解，故A错误； 对于B，当时，，则表示焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对于C，当时，，则表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当，即，此时方程表示焦点在轴上的双曲线， 故，所以，焦距为6； 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆， 故，所以，焦距为6．故D错误． 故选：BC． 10．（6分）（25-26高二下·云南昆明·阶段检测）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线与交于，两点（异于的左、右顶点），则（   ） A．椭圆的长轴长为2 B．的周长为8 C．的最大值为4 D．当为的上顶点时， 【答案】BC 【解题思路】对于AB，根据椭圆的几何性质可得；对于C，对已知，结合基本不等式计算求解；对于D，直线的方程与椭圆联立，结合弦长公式计算即可. 【解答过程】对于A，由题知长轴长为，A错误； 对于B，的周长为，B正确： 对于C，由题知， 所以（当且仅当时取等号），C正确； 对于D，当为椭圆的上顶点时，，又， 则，所以直线的方程为， 设点的坐标为，点的坐标为， 联立，可得， 解得，， 所以，故D错误． 故选：BC． 11．（6分）（25-26高二上·山东临沂·期末）已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．线段长度的最小值为3 B．若，则 C．若点的坐标为，则直线，的斜率之和为0 D．上一动点到直线的距离的最小值为 【答案】BCD 【解题思路】对于选项A，求出焦点的坐标，得到的方程，解出的值，从而得到抛物线的方程，将直线 代入抛物线，整理得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出，利用弦长公式求出，利用得到的最小值；对于选项B，求出，利用得到，利用得到的值，代入得解；对于选项C，求出，，计算得解；对于选项D，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，整理得到，利用求出，利用两平行线间的距离公式求出直线与直线的距离，即为上一动点到直线的距离的最小值. 【解答过程】对于选项A，，令，则，直线过， 直线：过抛物线：（）的焦点， ，，，抛物线：， 将代入，得到，整理得到， 已知直线：与抛物线交于，两点，设， ， ， ，，，的最小值为，故选项A错误； 对于选项B，，， ， ，，， ， ，，， ，，，， ，，，故选项B正确； 对于选项C，，，， ，同理， ， ， ， ，故选项C正确； 对于选项D，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为， 转化为，将代入得到， 整理得到， 直线与抛物线相切，，， 与直线平行且与抛物线相切的直线方程为， 直线与直线的距离为， 上一动点到直线的距离的最小值为，故选项D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则__________. 【答案】9 【解题思路】根据抛物线的定义求解即可. 【解答过程】由得， 由题意可得与抛物线上的点到抛物线准线的距离相等， 即. 故答案为：9. 13．（5分）（25-26高二上·广东惠州·期末）已知双曲线过点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是___________. 【答案】 【解题思路】由渐近线可设双曲线方程为，根据双曲线过的点算出进而得解. 【解答过程】双曲线的渐近线方程为， 则对应双曲线方程可设成：， 又双曲线过点，即， 即双曲线方程为：，标准方程为：. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·上海·期末）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解题思路】化简曲线为和直线为，得到直线恒过定点，结合题意，利用斜率公式，即可求解. 【解答过程】如图所示，由曲线， 可得，则， 又由直线，可化为，可得直线恒过定点， 则， 要使得直线与曲线有两个不同的交点，则满足或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：.    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·甘肃兰州·期末）求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1)中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点两点的椭圆； (2)与双曲线有公共焦点且经过点的双曲线； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意可得，，从而可求出椭圆的标准方程； （2）由题意设双曲线的方程为，则，再将的坐标代入方程，进而即得. 【解答过程】（1）因为椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点， 所以分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在轴上， 可设方程为， 所以，， 所以椭圆的标准方程为； （2）因为双曲线的焦点为， 可设双曲线的方程为，且， 将点代入曲线方程可得， 解得， 所以双曲线的标准方程为. 16．（15分）（25-26高二上·广西贺州·期末）已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设双曲线方程为，即可求出、，从而求出； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，解得即可. 【解答过程】（1）依题意设双曲线方程为， 所以，解得，则， 所以双曲线方程为； （2）设，， 由，消去整理得， 所以，解得或， 又，， 所以， 即，解得（满足）， 所以. 17．（15分）（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)4. 【解题思路】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可得椭圆方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及点到直线距离公式列出三角形面积，再利用基本不等式求出最大值. 【解答过程】（1）由椭圆：的短轴长为4，得， 由椭圆的离心率，得，则， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，， 由消去并整理得， ，解得，则， ， 原点到直线的距离，因此的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为4.      18．（17分）（25-26高二上·浙江杭州·期中）若抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物线E与直线相交于A、B两点． (1)求抛物线E的方程； (2)求证：； (3)若，求实数k的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由抛物线的定义确定顶点到焦点的距离最小，即可求解； （2）联立直线和抛物线方程，通过即可求证； （3）由三角形面积公式求得，再结合韦达定理即可求解. 【解答过程】（1）由题意，设抛物线的方程为 ，准线是， 根据抛物线定义：抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， 又抛物线上点到准线的距离最小值为顶点到准线距离， 故最小距离即为顶点到焦点的距离，即， 由条件得​，解得 ​， 因此抛物线E的方程为 ； （2） 当时，易知直线与抛物线仅一个交点，不符合题意，舍去； 当时，设，， 联立直线与抛物线方程， 将代入， 整理得： ， 由韦达定理得：，， ， 又，，所以， 因此， 故，得证； （3）的面积， 其中直线过点，故， 因此：， 所以​， 平方得： ， 又 ​，， 得：，解得， 即. 19．（17分）（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析； （ii）证明见解析，. 【解题思路】（1）利用给定的离心率及焦点到渐近线的距离，列式求出即可得双曲线方程. （2）（i）由题意易得直线l的斜率存在,设，直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，化简的式子，结合韦达定理即可求出结果.（ii）求出直线的方程，利用根与系数的关系以及定值探究直线过哪个定点． 【解答过程】（1）设双曲线右焦点， 由到双曲线的渐近线的距离为，得， 由双曲线的离心率，得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）（i）显然直线的斜率存在，设其方程为， 由消去得， ，由直线与双曲线的左、右支分别交于点， 得，解得，则 ， 所以为定值. （ii）设直线的方程为，直线斜率，由（i）得， 由消去得， ， 由，得，即或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，过定点. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程（单元自测·提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（5分）（2026高二·全国·专题练习）焦点在x轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高二上·山东烟台·期末）双曲线的焦点到其渐近线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 4．（5分）（25-26高二上·海南三亚·阶段检测）已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 5．（5分）（25-26高二上·四川泸州·期末）设分别是椭圆E：（）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）一桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为（   ）    A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二上·湖南常德·期末）椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·吉林延边·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（    ） A． B．或 C． D．或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线可以是圆 B．当时，曲线可以是焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线可以是焦点在轴上的双曲线 D．当曲线是椭圆或双曲线时，其焦距均为5 10．（6分）（25-26高二下·云南昆明·阶段检测）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线与交于，两点（异于的左、右顶点），则（   ） A．椭圆的长轴长为2 B．的周长为8 C．的最大值为4 D．当为的上顶点时， 11．（6分）（25-26高二上·山东临沂·期末）已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．线段长度的最小值为3 B．若，则 C．若点的坐标为，则直线，的斜率之和为0 D．上一动点到直线的距离的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则__________. 13．（5分）（25-26高二上·广东惠州·期末）已知双曲线过点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是___________. 14．（5分）（25-26高二上·上海·期末）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·甘肃兰州·期末）求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1)中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点两点的椭圆； (2)与双曲线有公共焦点且经过点的双曲线； 16．（15分）（25-26高二上·广西贺州·期末）已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 17．（15分）（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 18．（17分）（25-26高二上·浙江杭州·期中）若抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物线E与直线相交于A、B两点． (1)求抛物线E的方程； (2)求证：； (3)若，求实数k的值． 19．（17分）（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $