拓展01 集合含参题型与新定义问题（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

拓展01 集合含参题型与新定义问题 预习精讲 知识点01 利用集合元素特性求解参数 集合元素具备确定性、互异性、无序性，此类题型核心解题步骤固定： ①依据确定性列出含参字母的全部候选取值； ②代入候选值，利用互异性逐一检验，剔除会造成集合元素重复的参数； ③全程贯彻分类讨论思想，不漏掉任何一种取值情况。 【即学即练】 1．已知集合，，则__________． 知识点02 根据集合间包含关系求解参数 集合分为离散数集、连续不等式数集两类，两类题型解法区分明显： 1．连续数集（不等式解集）借助数轴直观建立参数不等关系，画图时区分实心点（包含端点）、空心点（不包含端点），最后验证端点取值是否符合题意。 2．离散有限数集（可一一列举）根据子集、真子集的定义，建立等式方程求解参数；多解场景必须分类讨论，完成后代回集合验证互异性。 【即学即练】 2．设，，，若，则实数a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 知识点03 集合交、并、补运算中求参数 通用解题两步法： ①转化关系把交集、并集、补集的运算条件，转化为两个集合的包含、相等、相交关系：有限列举集合可直接观察元素对应关系列等式；不等式型连续集合可绘制数轴，直观确定集合范围约束。 ②转化方程/不等式将集合范围约束转化为方程（组）、不等式（组），通过判断方程有无解、不等式解集是否存在，确定参数取值。 【即学即练】 3．已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点04 利用交、并集特殊性质求参数 解题策略：题干给出、等特殊条件时，先根据集合运算定义等价转化：，，再结合子集关系解题。 解题方法：数轴分析法：先根据集合包含关系画出数轴，依据数轴区间列出参数不等式（组），求解后重点检验端点值能否取到。 注意 若题干条件隐含子集关系，但集合或未明确非空，必须单独讨论空集的情况，空集是任意集合的子集，极易遗漏失分。 【即学即练】 4．已知集合. (1)求； (2)若，且，求实数的取值范围. 知识点05 以集合为背景的新定义题型解题方法 这类题目给出全新集合运算、集合规则，抽象度高，遵循三点解题思路： 1．紧扣新定义本质：拆解题干文字描述，提炼新定义的运算规则、判定标准，吃透定义内涵，是解决此类题的核心； 2．举例具象化抽象条件：自行代入简单数字、简单集合举例演算，把抽象文字定义转化为直观计算实例，快速理解规则； 3．灵活运用集合基础性质：解题过程中主动挖掘集合确定性、互异性、子集、交并补等基础性质，在推导、取舍参数、判断元素时辅助解题。 【即学即练】 5．对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 题型速练 题型01 根据元素与集合的关系求参数 【例1】已知，则实数的值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．3或1 【例2】已知集合，且，则的值为__________. 【小试牛刀】 【变式1-1】已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式1-2】已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知集合，若，则________. 题型02 根据集合的包含关系求参数 【例3】设集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【小试牛刀】 【变式2-1】已知集合，若，则所有整数a的取值构成的集合为（   ） A． B． C． D．N 【变式2-2】已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【变式2-3】已知，若，求的值 题型03 根据集合的相等关系求参数 【例5】已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例6】已知集合，，若，则（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【小试牛刀】 【变式3-1】（多选）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 【变式3-2】，若，则______． 【变式3-3】若集合，则__________． 题型04 根据集合的交、并、补集求参数 【例7】已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【例8】已知集合． (1)求集合； (2)设集合，且，求实数的取值范围． 【小试牛刀】 【变式4-1】设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 【变式4-2】已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【变式4-3】已知集合 ，或，， ． (1)求 ， (2)若 ，求实数的取值范围． 题型05 根据交并补混合运算求参数 【例9】已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【例10】设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【小试牛刀】 【变式5-1】已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【变式5-2】已知集合，.，，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【变式5-3】已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 题型06 集合的新定义问题 【例11】定义集合运算：.若集合，，则_____. 【例12】（多选）用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，若，则实数的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D． 【小试牛刀】 【变式6-1】整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 【变式6-2】（多选）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（多选）非空集合W关于运算满足：对于任意的，都有，则称集合W关于运算为“回归集”．下列集合W关于运算为“回归集”的是（   ） A．W为，为自然数的减法 B．W为，为有理数的乘法 C．W为，为实数的加法 D．已知全集，集合，W为，为的乘法 1．已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 2．已知全集，集合，且，则实数m的取值范围是_________． 3．（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 4．（多选）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 5．设，，若，则实数__________. 6．已知集合.若，则______. 7．定义为数集的所有元素之和，若数集有四个元素，而且且有六个元素，若，则__________ 8．已知集合，，定义集合，则中有__________个元素． 9．已知，或，若，则实数的取值范围是______. 10．设集合或，，且， 则实数的取值范围______.  （用集合表示） 11．已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 12．已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 13．已知全集，集合或，， (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 14．已知集合．若，则的取值集合为． (1)求集合． (2)若，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展01 集合含参题型与新定义问题 预习精讲 知识点01 利用集合元素特性求解参数 集合元素具备确定性、互异性、无序性，此类题型核心解题步骤固定： ①依据确定性列出含参字母的全部候选取值； ②代入候选值，利用互异性逐一检验，剔除会造成集合元素重复的参数； ③全程贯彻分类讨论思想，不漏掉任何一种取值情况。 【即学即练】 1．已知集合，，则__________． 【答案】 【详解】因为，所以或，即或， 由集合的互异性知且且，即且，所以． 故答案为：. 知识点02 根据集合间包含关系求解参数 集合分为离散数集、连续不等式数集两类，两类题型解法区分明显： 1．连续数集（不等式解集）借助数轴直观建立参数不等关系，画图时区分实心点（包含端点）、空心点（不包含端点），最后验证端点取值是否符合题意。 2．离散有限数集（可一一列举）根据子集、真子集的定义，建立等式方程求解参数；多解场景必须分类讨论，完成后代回集合验证互异性。 【即学即练】 2．设，，，若，则实数a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】，，， ，，，解得，即，，符合题意. 故选：B. 知识点03 集合交、并、补运算中求参数 通用解题两步法： ①转化关系把交集、并集、补集的运算条件，转化为两个集合的包含、相等、相交关系：有限列举集合可直接观察元素对应关系列等式；不等式型连续集合可绘制数轴，直观确定集合范围约束。 ②转化方程/不等式将集合范围约束转化为方程（组）、不等式（组），通过判断方程有无解、不等式解集是否存在，确定参数取值。 【即学即练】 3．已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 知识点04 利用交、并集特殊性质求参数 解题策略：题干给出、等特殊条件时，先根据集合运算定义等价转化：，，再结合子集关系解题。 解题方法：数轴分析法：先根据集合包含关系画出数轴，依据数轴区间列出参数不等式（组），求解后重点检验端点值能否取到。 注意 若题干条件隐含子集关系，但集合或未明确非空，必须单独讨论空集的情况，空集是任意集合的子集，极易遗漏失分。 【即学即练】 4．已知集合. (1)求； (2)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解，因式分解得，解得，故. ，所以. （2）由，知. 若，则，解得. 若，则，且需满足且，解得. 综合得. 知识点05 以集合为背景的新定义题型解题方法 这类题目给出全新集合运算、集合规则，抽象度高，遵循三点解题思路： 1．紧扣新定义本质：拆解题干文字描述，提炼新定义的运算规则、判定标准，吃透定义内涵，是解决此类题的核心； 2．举例具象化抽象条件：自行代入简单数字、简单集合举例演算，把抽象文字定义转化为直观计算实例，快速理解规则； 3．灵活运用集合基础性质：解题过程中主动挖掘集合确定性、互异性、子集、交并补等基础性质，在推导、取舍参数、判断元素时辅助解题。 【即学即练】 5．对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为. 故选：D 题型速练 题型01 根据元素与集合的关系求参数 【例1】已知，则实数的值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．3或1 【答案】C 【详解】由题意可知或，解得，或. 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足互异性，所以. 故选：C. 【例2】已知集合，且，则的值为__________. 【答案】或 【详解】由题意得或，解得或或， 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 所以的值为或， 故答案为：或. 【小试牛刀】 【变式1-1】已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得，， 故选：A． 【变式1-2】已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 又且，则. 故选：D 【变式1-3】已知集合，若，则________. 【答案】1 【详解】因，所以 当时，即，此时，元素重复，不符合题意； 当时，即或，由上可知不符合题意， 而时，，元素重复，不符合题意； 当，即或， 由上可知不符合题意，而时，，符合题意. 故答案为：1. 题型02 根据集合的包含关系求参数 【例3】设集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得． 当时，； 当时，，由，可得或． 综上所述，实数的取值集合为． 故选：D. 【例4】已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，， 根据交集的概念可得 （2）当，即时，，满足； 当，即时，，解得，故， 综上，m的取值范围为. 【小试牛刀】 【变式2-1】已知集合，若，则所有整数a的取值构成的集合为（   ） A． B． C． D．N 【答案】C 【详解】当时，，满足，故符合题意； 当时，，，， 或，或， 综上可知所有整数的取值构成的集合为. 故选：C. 【变式2-2】已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为则 (1)若，则，解得； (2)若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选： C. 【变式2-3】已知，若，求的值 【答案】或或 【详解】由，得，解得或. 所以， 当时，，满足； 当时，, 因为，所以或， 所以或. 综上所述，或或. 题型03 根据集合的相等关系求参数 【例5】已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 【例6】已知集合，，若，则（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】B 【详解】因为集合，，若， 所以关于的方程只有一个实数根，则，故， 所以， 则，故，所以， 故. 故选：B. 【小试牛刀】 【变式3-1】（多选）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】AC 【详解】若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，这不符合集合中元素的互异性，所以不符合题意； 若，则，此时，符合题意． 故选：AC 【变式3-2】，若，则______． 【答案】1 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以． 【变式3-3】若集合，则__________． 【答案】6 【详解】由，得，解得， 所以. 故答案为：. 题型04 根据集合的交、并、补集求参数 【例7】已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 【例8】已知集合． (1)求集合； (2)设集合，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），则． 又，所以； （2）， 又， 解得， 实数的取值范围为． 【小试牛刀】 【变式4-1】设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 【答案】D 【详解】因为，所以，且． 由题意得，，且，，，． 若，则，不满足，不符合题意； 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，，符合题意． 故选：D． 【变式4-2】已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 【变式4-3】已知集合 ，或，， ． (1)求 ， (2)若 ，求实数的取值范围． 【答案】(1) 或 ， (2) 【详解】（1） ，或， 或； 又，则 . （2） ，则需， 解得，故实数的取值范围为. 题型05 根据交并补混合运算求参数 【例9】已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 【例10】设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】 【详解】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 【小试牛刀】 【变式5-1】已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 【变式5-2】已知集合，.，，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，，所以，解得， 所以实数的取值集合； （2）由可得， 若，则，即，此时，即成立； 若，则或， 则，解得， 综上，实数的取值范围为. 【变式5-3】已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． 题型06 集合的新定义问题 【例11】定义集合运算：.若集合，，则_____. 【答案】 【详解】由题设可得，， 因为，，，， 故. 故答案为：. 【例12】（多选）用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，若，则实数的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】BCD 【详解】由或，则必有， 当，或时，， 当，时，， 当，时，， 由，则， 由，可得或， 所以或或. 故选：BCD 【小试牛刀】 【变式6-1】整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 【答案】D 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：，则，，，， ，，， 因为，，所以，所以，故D正确； 故选：D 【变式6-2】（多选）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 【变式6-3】（多选）非空集合W关于运算满足：对于任意的，都有，则称集合W关于运算为“回归集”．下列集合W关于运算为“回归集”的是（   ） A．W为，为自然数的减法 B．W为，为有理数的乘法 C．W为，为实数的加法 D．已知全集，集合，W为，为的乘法 【答案】BC 【详解】对于A选项，若，为自然数的减法，则，A不满足条件； 对于B选项，若，对任意的，则，B满足条件； 对于C选项，若，对任意的，则，C满足条件； 对于D选项，已知全集，集合，，取，，则，D不满足条件． 故选：BC． 1．已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【详解】由条件知，解得. 故选：B 2．已知全集，集合，且，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【详解】因为，所以，故实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 4．（多选）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或， 故选：BC 5．设，，若，则实数__________. 【答案】 【详解】由得，解得或， ，可得, 故， 故答案为： 6．已知集合.若，则______. 【答案】 【详解】由集合，可得或， 当时，解得，此时，不满足集合的互异性； 当时，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以则. 故答案为：. 7．定义为数集的所有元素之和，若数集有四个元素，而且且有六个元素，若，则__________ 【答案】10 【详解】由题意，设，显然互不相同， 由且，则有， 由集合中有六个元素，则互不相等， 所以，则. 故答案为：10 8．已知集合，，定义集合，则中有__________个元素． 【答案】99 【详解】因为， 则， 所以中的元素有: 共9个； 又因为， 所以， 所以中共有个元素； 又因为， 所以，， 所以，共11种可能； ，共9种可能， 所以中有个元素. 故答案为： 9．已知，或，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为集合，或. 若，则， ∴或，即或. ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 10．设集合或，，且， 则实数的取值范围______.  （用集合表示） 【答案】或 【详解】因为或，，且， 显然，即， 所以或，解得或， 即实数的取值范围为或. 故答案为：或 11．已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 【答案】(1)，， (2)，或 【分析】 【详解】（1）解方程得，或 因此集合， 其真子集为，，，共3个． （2）因为，所以， ①当时，，此时符合题意 ②当时，因为，此时易知 要使得，即或，解得，或． 综上所述，要使得，则，或. 12．已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】 【详解】（1）解：由集合，或， 可得或，则或. （2）解：由（1）知，，或， 所以或，可得， 当时，即时，，此时满足； 当时，即时，要使得， 则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 13．已知全集，集合或，， (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）因为集合或， 所以， （2）易知或， ∴， 当时，即，满足； 当，只需，即也满足； 综上所述，实数a的取值范围为. 14．已知集合．若，则的取值集合为． (1)求集合． (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若，则，解得， 所以的取值集合为； （2）若，则，则，即， 则或， 要满足，则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $