小专题01：集合中含参问题—【从0到1的暑假自学手册】2026年新高一数学暑假优学讲练（人教A版 必修第一册）

从0到1的暑假自学手册 小专题01：集合中含参问题 内容导航 01 知识导航 02 知识溯源 03 新知讲解 题型1：根据元素与集合的关系求参数 题型2：根据集合中元素的个数求参数 题型3：根据集合的相等关系求参数 题型4：根据集合间的包含关系求参数 题型5：根据集合运算的结果求参数 04 过关检测 一、相关知识 1．已知集合间的关系求参数①若集合中的元素是一一列举的，可转化为解方程（组）求解，并注意集合中元素的互异性； ②若集合利用不等式的解集表示，可借助数轴来求解，用数轴表示两个集合（分清实心点与空心点），确定两个集合之间的包含关系，从而列出关于参数的不等式（组），最后求解． ③已知，在未指明集合A非空时，应分和两种情况来讨论． 2．已知集合的运算结果求参数 ①若已知两个集合的运算结果，一般将集合中的运算结果转化为两个集合之间的关系（例如，在集合的并集、交集运算中，常将和转化为来考虑．） 二、解题步骤 第一步：求集合最简形式——对题目给出集合化至最简形式，并观察参数 第二步：用适合的图像表示——通过绘制数轴，Venn图等方式分析题目有关参数的条件 第三步：列式或方程求解——根据已知条件的分析，列出关于参数的方程(组）或不等式(组) 第四步：解出参数范围——对已设出方程（组）或不等式（组）进行计算，得到参数范围 【注意】 ① 分类讨论需做到不重不漏，要将所求得的参数代入集合进行检验； ② 考虑解集是否可能为空集，二次项系数是否为0； ③ 检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，集合是否满足元素的互异性； ④ 不等式的等号能否取到；含参集合是否为空集； ⑤ 确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；千万不要忘记考虑空集。 【典例讲解】已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是 . 【答案】 【套用解题步骤】 第一步：对题目所给集合进行化简，并转化为最简形式 ∴ 第二步：分析题目所给参数条件，并转化为数轴表示 ∵的真子集个数是3 ∴共有2个元素，分和两种情况. 即 或两种情况 第三步：分析数轴及题目已知条件，设出不等式组 若，则有①，； 若，则有②，无解. 第四步：计算已列出不等式组，解出参数范围 ∵由①可得，； 由②可得，无解 ∴ 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型1：根据元素与集合的关系求参数 【例1】已知集合，，则（   ） A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出的值，验证集合元素互异性即得. 【详解】由可得或. ① 当时，解得或， 若，则，与集合元素互异性矛盾， 若，则，此时，符合题意，故； ②当时，，由上分析可知不合题意. 故. 故选：D. 【变式1】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【答案】B 【分析】分别令和，求得a值，根据集合的互异性，分析即可得答案. 【详解】因为，当，即时， 集合，不满足互异性，不符合题意， 当时，解得或（舍）， 当时，集合，满足题意. 故选：B 【变式2】（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知集合，若，则（    ） A． B．-1 C．-1或 D．1 【答案】B 【分析】集合，，则或，结合集合中元素的互异性分情况讨论即可求解. 【详解】由题知集合，， 当时，得，此时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，得或（舍去）， 即时，，故B正确. 故选：B. 【变式3】（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 【变式4】（25-26高一上·广东清远·期中）已知集合，若，则_____ 【答案】 【分析】将代入方程，可得出的值. 【详解】由题意可知代入方程的一根，则，解得. 故答案为：. 题型2：根据集合中元素的个数求参数 【例2】（25-26高一上·上海·阶段检测）集合有且仅有一个元素，则实数___________ 【答案】或 【分析】分别讨论和的情况，结合判别式可构造方程求得结果. 【详解】当，即时，，满足题意； 当，即时，，解得：； 综上所述：或. 故答案为：或. 【变式1】（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】由进行求解. 【详解】由条件知，解得. 故选：B 【变式2】已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由，可知，依次讨论为时，集合中的元素个数即可得到结论. 【详解】由，且，可知， 所以依次讨论为时，集合中的元素个数． 对于A选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故A错误， 对于B选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故B错误， 对于C选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故C错误， 对于D选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素，故D正确. 故选：D 【变式3】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合的非空真子集为0个，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【分析】由题意可得集合A中只有一个元素，从而得方程只有一个解，分、求解即可. 【详解】因为集合A的非空真子集为0个， 所以集合A中只有一个元素或者没有元素， 若方程只有一个解， 当时，，满足题意； 当时，由，解得， 若集合集合A中没有元素，即集合A为空集， 则, 综上可知，实数的取值范围是或 故答案为：或 【变式4】（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. （1）若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； （2）若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据方程有两个不等实根可讨论得到结果； （2）根据方程有唯一解或两个相等实根可讨论得到结果. 【详解】（1）集合中恰有两个元素，有两个不等实根； 当时，，解得：，不合题意； 当时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为：或. （2）集合中只有一个元素，有唯一实根或两个相等实根； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，此时； 综上所述：实数的取值集合为. 题型3：根据集合的相等关系求参数 【例3】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等结合集合的互异性求，代入即可得结果. 【详解】因为， 可知，且，可得， 即，可得，且，解得， 代入，检验符合题意，所以. 故选：B. 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【答案】1 【分析】根据集合相等的定义求得后可得结论． 【详解】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）. 由A＝B， 得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性； ②解得，此时A＝B＝，符合题意. 综上，，所以. 【变式2】（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 【答案】1 【分析】通过集合相等的性质分类讨论求解. 【详解】显然， ①若，则解得，此时，不满足集合中元素的互异性； ②若，则，则，，时即可满足集合中元素的互异性，满足题意； ③若，则，则或可解得或. 经检验这两种情况均不满足集合中元素的互异性. 综上可知，. 【变式3】）设，，其中，若，则________． 【答案】1 【分析】由集合元素互异性、和集合相等的概念，分类讨论求解. 【详解】，由元素互异性得：，且． ，由元素互异性得：． 若集合中，则，此时，， 由得，所以，此时，符合要求； 若集合中，则，此时， ，这与矛盾，故这种情况不成立， 综上可知，，故． 题型4：根据集合间的包含关系求参数 【例4】（24-25高一上·河南驻马店·阶段检测）已知集合，. （1）若是的真子集，求的取值范围； （2）若是的子集，求的取值范围； （3）若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【详解】（1）   若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 【变式1】已知. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）先求出集合，再由分析出，由一元二次方程根与系数的关系即可求出的值； （2）若，分析出集合有四种情况，即或或或，结合一元二次方程的判别式及根与系数的关系，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 【变式2】设全集，集合，非空集合. （1）若A是B的真子集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 【变式3】已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的关系，计算参数范围即可； （2）利用集合间的关系，分类讨论计算参数范围即可 【详解】（1）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值范围为． （2）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值范围为． 【变式4】已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】先将集合化简，再分与讨论，即可得到结果. 【详解】由解得，所以，且， 当时，符合， 则，解得， 当时，即时， 要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 题型5：根据集合运算的结果求参数 【例5】（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围； （3）若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解． 【详解】（1）当时，， 又集合 ，则； （2）由得，所以， 即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即. 当时，有或，解得， 综上，实数的取值范围为． 【变式1】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算得，即可求解； （2）分和两种情况，结合条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】（1）因，或， 又，则，解得， 所以的取值范围为. （2）因为， 当，即时，，满足， 当时，由，得到，解得，所以， 综上所述，的取值范围为. 【变式2】（25-26高一上·上海·期中）设集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）由条件可知，，分和两种情况列式求解； （2）分和两种情况，结合数轴，比较端点值，列式求解. 【详解】（1）由条件可知，， 当时，，得， 当时，，得， 综上可知，或； （2）当时，，得， 当时，或， 得或， 综上可知，或. 【变式3】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． （1）当时，求 （2）若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据交集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． 一、单选题 1．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 2．（2026·安徽安庆·三模）设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，， 所以，所以. 3．（25-26高一上·广东河源·期末）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系求出参数即可. 【详解】因为，所以，解得． 故选：C. 4．（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，列出关系式，即可求解. 【详解】因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或． 5．（23-24高三下·湖南长沙·阶段检测）已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 【答案】B 【分析】由已知求出全集，再由可知中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，从而可求出中的元素. 【详解】因为全集，， 所以中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10， 且除了1，3，5，7，中有的其他数字，中也一定会有，中没有的数字，中也一定会有， 所以， 故选：B 二、多选题 6．（25-26高二下·湖南衡阳·期中）已知集合，，若，则a的取值可以是（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】BC 【分析】由集合子集的关系和元素互异性求解. 【详解】因为，又，， 所以或， 解得或或， 当时，，，满足要求， 当时，，，满足要求， 当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求, 所以或2. 7．（25-26高一上·河南信阳·期中）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用并集补集定义求解，再分为空集与非空集情况讨论，列出参数不等式求解即可. 【详解】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD 三、填空题 8．（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 9．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【分析】根据集合A是非空集合且⫋，得到中只有1个元素，即一元二次方程只有一个根，然后由求解. 【详解】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. 10．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则________. 【答案】1 【分析】根据进行一一验证可得. 【详解】因，所以 当时，即，此时，元素重复，不符合题意； 当时，即或，由上可知不符合题意， 而时，，元素重复，不符合题意； 当，即或， 由上可知不符合题意，而时，，符合题意. 故答案为：1. 11．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）若集合中只含有一个元素，则a的值为______． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论即可. 【详解】当时，，符合题意； 当时，因集合中只含有一个元素，则，得， 故或. 故答案为：或 12．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题 13．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 14．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个集合相等得出一元二次方程有两个实数根代入联立方程组解出检验即可； （2）由，分与讨论分析即可. 【详解】（1）若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. （2）当时，，满足， 当且时，或， 当时，，                         当时，，                          故的取值构成的集合为. 15．（24-25高一上·广东广州·阶段检测）（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用，再分，，三种情况讨论，利用集合的性质，即可求解； （2）利用集合相等的条件，建立方程组，即可求解. 【详解】（1）若时，解得，此时，，不满足集合的互异性，所以， 若时，解得或，当时，，，所以满足题意， 当时，，，不满足集合的互异性，所以， 若，解得（舍）或（舍）， 综上，实数的值为. （2）因为，则或， 由，解得，由，解得， 经检验，和均符合题意， 综上，或. 16．（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的概念即可求出； （2）分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，， 根据交集的概念可得 （2）当，即时，，满足； 当，即时，，解得，故， 综上，m的取值范围为. 17．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)，，，. (3) 【分析】（1）由，可求得，即可求解； （2）由，即可求出相应的子集； （3）由，结合（2）分别对进行讨论，从而求解. 【详解】（1）由，所以，得， 则，解得或， 所以. （2）由， 所以集合的子集为：，，，. （3）由，由集合的子集为：，，，. 当时，即，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上：实数的取值范围为. 18．（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知集合． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设易得，结合可得，进而求得，可得，，进而求得，再进行检验即可； （2）先求出，再分、、、四种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由题设，显然，又，所以， 所以，解得， 则，因此， 所以，解得， 则，此时，符合题意， 故. （2）若，则， 又，所以或或或， 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得； 当时，，无解. 综上所述，的取值范围是. 19．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分，两种情况，结合题意讨论求解即可； （2）结合（1），根据题意讨论求解即可. 【详解】（1）由，得， 当时，即时，，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围． （2）由（1）知，当时，，所以，满足； 当或时，，， 由可得，所以． 综上所述，实数的取值范围． 20．（25-26高一上·北京·期中）已知集合或． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）根据并集的定义运算即得； （2）因，结合数轴表示可列式求解； （3）根据，结合数轴表示可列式求解. 【详解】（1）若，则，或， 则或； （2）因，则， 由，可得且，解得， 故实数的取值范围为； （3）因，则，则或，即或， 故实数的取值范围为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $从0到1的暑假自学手册 小专题01：集合中含参问题 内容导航 01 知识导航 02 知识溯源 03 新知讲解 题型1：根据元素与集合的关系求参数 题型2：根据集合中元素的个数求参数 题型3：根据集合的相等关系求参数 题型4：根据集合间的包含关系求参数 题型5：根据集合运算的结果求参数 04 过关检测 一、相关知识 1．已知集合间的关系求参数①若集合中的元素是一一列举的，可转化为解方程（组）求解，并注意集合中元素的互异性； ②若集合利用不等式的解集表示，可借助数轴来求解，用数轴表示两个集合（分清实心点与空心点），确定两个集合之间的包含关系，从而列出关于参数的不等式（组），最后求解． ③已知，在未指明集合A非空时，应分和两种情况来讨论． 2．已知集合的运算结果求参数 ①若已知两个集合的运算结果，一般将集合中的运算结果转化为两个集合之间的关系（例如，在集合的并集、交集运算中，常将和转化为来考虑．） 二、解题步骤 第一步：求集合最简形式——对题目给出集合化至最简形式，并观察参数 第二步：用适合的图像表示——通过绘制数轴，Venn图等方式分析题目有关参数的条件 第三步：列式或方程求解——根据已知条件的分析，列出关于参数的方程(组）或不等式(组) 第四步：解出参数范围——对已设出方程（组）或不等式（组）进行计算，得到参数范围 【注意】 ① 分类讨论需做到不重不漏，要将所求得的参数代入集合进行检验； ② 考虑解集是否可能为空集，二次项系数是否为0； ③ 检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，集合是否满足元素的互异性； ④ 不等式的等号能否取到；含参集合是否为空集； ⑤ 确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；千万不要忘记考虑空集。 【典例讲解】已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是 . 【答案】 【套用解题步骤】 第一步：对题目所给集合进行化简，并转化为最简形式 ∴ 第二步：分析题目所给参数条件，并转化为数轴表示 ∵的真子集个数是3 ∴共有2个元素，分和两种情况. 即 或两种情况 第三步：分析数轴及题目已知条件，设出不等式组 若，则有①，； 若，则有②，无解. 第四步：计算已列出不等式组，解出参数范围 ∵由①可得，； 由②可得，无解 ∴ 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型1：根据元素与集合的关系求参数 【例1】已知集合，，则（   ） A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3 【变式1】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【变式2】（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知集合，若，则（    ） A． B．-1 C．-1或 D．1 【变式3】（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【变式4】（25-26高一上·广东清远·期中）已知集合，若，则_____ 题型2：根据集合中元素的个数求参数 【例2】（25-26高一上·上海·阶段检测）集合有且仅有一个元素，则实数___________ 【变式1】（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式2】已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合的非空真子集为0个，则实数的取值范围是______. 【变式4】（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. （1）若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； （2）若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 题型3：根据集合的相等关系求参数 【例3】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【变式2】（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 【变式3】）设，，其中，若，则________． 题型4：根据集合间的包含关系求参数 【例4】（24-25高一上·河南驻马店·阶段检测）已知集合，. （1）若是的真子集，求的取值范围； （2）若是的子集，求的取值范围； （3）若，求的值. 【变式1】已知. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【变式2】设全集，集合，非空集合. （1）若A是B的真子集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的子集，求实数a取值范围. 【变式3】已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【变式4】已知集合，，若，求实数的取值范围． 题型5：根据集合运算的结果求参数 【例5】（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围； （3）若，求实数m的取值范围． 【变式1】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【变式2】（25-26高一上·上海·期中）设集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【变式3】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． （1）当时，求 （2）若，求的取值范围． 一、单选题 1．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（2026·安徽安庆·三模）设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东河源·期末）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 4．（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·湖南长沙·阶段检测）已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 二、多选题 6．（25-26高二下·湖南衡阳·期中）已知集合，，若，则a的取值可以是（   ） A． B．0 C．2 D． 7．（25-26高一上·河南信阳·期中）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 9．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 10．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则________. 11．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）若集合中只含有一个元素，则a的值为______． 12．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 四、解答题 13．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 14．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 15．（24-25高一上·广东广州·阶段检测）（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 16．（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 17．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知集合． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 19．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 20．（25-26高一上·北京·期中）已知集合或． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $