第06讲 等式与不等式性质 讲义-2026年初升高数学衔接

第06讲 等式与不等式性质 基●础●知●识 一、等式的基本性质 1如果，那么. 2如果，那么. 3如果，那么. 4如果，那么. 5如果，那么. 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 2 传递性 不可逆 3 可加性 可逆 4 可乘性 的符号 5 同向可加性 同向 6 正数同向可乘性 同向 7 正数乘方性 同正 性质拓展（重点考察）： 倒数的性质： （1）. （2）. （3） （4）或. 三、比较两个实数（或代数式）大小 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法. （1）作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论. （2）作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论. 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若，则；若，那么其中是介于与之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值. 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零； （2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止. 题●型●破●译 题型01用不等式表示不等关系 【典例01】平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 【变式01】某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 【变式02】中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据已知写出不等式即可. 【详解】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得． 故选：C 题型02 做差法比较代数式大小 【典例01】已知，，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】， 因为，所以， 若，则，即， 若，则，即， 所以“”是“”的充要条件. 【变式01】对于任意实数，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对A、B、C，通过取特殊值，即可判断正误；对D，根据选项条件可得，再由作差法，即可求解. 【详解】对于A，取，显然满足，此时，，所以A错误， 对于B，取，显然，此时，，所以B错误， 对于C，取，显然满足，此时，，所以C错误， 对于D，因为，得，显然不成立，所以，则， 又， 若，则，不满足，所以， 所以，即，所以D正确， 故选：D. 【变式02】已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质，用作差法计算求解． 【详解】选项A：因为，所以， 所以，又， 所以，故，故A正确； 选项B：若，则，， ，， ，故，不满足， 若，则，不满足，故B错误； 选项C：，，， ，则，故C错误； 选项D：，， ，则，故D错误． 故选：A． 题型03 作商法比较代数式大小 【典例01】若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差、作商法即可判断A、B的正误，由不等式的性质可判断C、D的正误. 【详解】A：，又，知：，但无法确定符号，错误； B：，，故，正确； C：由，知，即，正确； D：由，有，正确； 故选：A 【变式01】已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 【变式02】已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 题型04 由不等式性质比较大小 【典例01】下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对选项A、B、C举出反例即可，选项D由不等式的同向可加性即可求得. 【详解】对于选项A，在时不成立； 对于选项B，取时不成立； 对于选项C，取时不成立； 对于选项D，由得，又，所以两式相加得. 【变式01】已知，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD可取特例证伪，对于B，由不等号的传递性即可证明. 【详解】对于A，若则原式不成立，故A错误； 对于B，，即，故B正确； 对于C，若则原式不成立，故C错误； 对于D，若则原式不成立，故D错误； 【变式02】若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对移项通分：， 若，则，因此，即一定成立，充分性成立； 若，不一定能推出， 举例：取，满足，但不满足，因此必要性不成立； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 题型05 由不等式性质证明不等式 【典例01】已知均为正实数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论． 【详解】，， ， 又， ，故， ，，， ，即． 【变式01】已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 【变式02】（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． 题●型●巩●固 1. 下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【分析】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错误； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错误； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错误. 故选：C. 2. 某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可. 【详解】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B 3. 在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【分析】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【详解】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 4. 已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则充分性成立； 若，则满足，但不满足，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知是非零实数，且是任意实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD选项举反例说明，B选项根据作差法说明. 【详解】对于A，不妨取，此时，即A错误； 对于B，由题意可知，所以，因此，即B正确； 对于C，当时，，可得C错误； 对于D，当时，可得，即D错误． 故选：B 6. 下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对A和C，根据条件，通过取特殊值检验，即可判断出正误；对B和D，根据条件，通过作差法，即可判断正误. 【详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，因为，又，则，所以， 得到，所以B错误， 对于C，取，显然满足，此时， 不满足，所以C错误， 对于D，因为，又，则， 所以，得到，所以D正确， 故选：D. 7. 已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项分析后可得正确的选项. 【详解】对于A，因为，故，故， 故，故A成立； 对于B，因为，故，又，故，故B成立； 对于C，因为，故，又，故，故C成立； 对于D，因为，故，故，故D不成立. 8. 已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】选项A，取，，，，满足条件，但，A错误； 选项B，当，时，满足，但，B错误； 选项C，当时，有，， ， 则，所以，C正确； 选项D，且，则，， 则，得，D错误. 9. 若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】若，则，故A错误，B正确； 因为，所以，则，故C错误； 因为，所以，故D错误. 10. 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先整理已知条件： 由 移项得 ，且因为 ，所以 ，可得 ，即同号，据此分析每个选项. 【详解】选项A：，因为 ，，所以 ，A正确； 选项B：取 ，满足 ，但 ，B错误； 选项C：取 ，满足 ，但 ，C错误； 选项D：取，满足条件，但 ，D错误. 11. 已知实数，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，利用作差法可判断C的正误，根据反例可判断D的正误. 【详解】对于A，因此，故，故，故，故A正确； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C，， 而，故，故， 故，故C正确； 对于D，取，则， 此时不成立，故D错误. 故选：D. 12. （1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 13. 从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简可得，，再通过比较分母的大小即可得解； （2）借助作差法作差后因式分解即可得； （3）借助作差法比较即可得. 【详解】（1）， ， 由，， 故，即有； （2） ， 由，均为正实数，故，即； （3） ， 由，故，，，， 即，故. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 等式与不等式性质 基●础●知●识 一、等式的基本性质 1如果，那么. 2如果，那么. 3如果，那么. 4如果，那么. 5如果，那么. 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 2 传递性 不可逆 3 可加性 可逆 4 可乘性 的符号 5 同向可加性 同向 6 正数同向可乘性 同向 7 正数乘方性 同正 性质拓展（重点考察）： 倒数的性质： （1）. （2）. （3） （4）或. 三、比较两个实数（或代数式）大小 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法. （1）作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论. （2）作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论. 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若，则；若，那么其中是介于与之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值. 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零； （2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止. 题●型●破●译 题型01用不等式表示不等关系 【典例01】平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【变式01】某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式02】中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 题型02 做差法比较代数式大小 【典例01】已知，，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式01】对于任意实数，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式02】已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03 作商法比较代数式大小 【典例01】若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式01】已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【变式02】已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型04 由不等式性质比较大小 【典例01】下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式01】已知，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式02】若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型05 由不等式性质证明不等式 【典例01】已知均为正实数，且，求证：． 【变式01】已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【变式02】（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 题●型●巩●固 1.下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 2.某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 3.在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 4.已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知是非零实数，且是任意实数，则（   ） A． B． C． D． 6.下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7.已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 8.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 9.若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 10.已知，则（   ） A． B． C． D． 11.已知实数，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12.（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 13.从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $