2.2 一元二次方程的解法(5)—公式法1（课时作业）2026-2027学年苏科版九年级数学上学期

**基本信息** 分层设计清晰，基础练习夯实公式法核心概念与运算，拓展提升深化综合应用与跨情境迁移，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|公式法基本要素（a,b,c确定）、求根公式应用、简单综合（新运算/方程应用）|选择/填空/解答题结合，含错题辨析（第13题）与情境应用（第14题），强化运算能力与推理意识| |拓展提升|代数变形（第15题）、几何综合（第17题）|跨知识整合，渗透模型意识与创新思维，适配差异化教学需求|

盐城市北蒋实验学校九年级数学导学活动单 九年级数学•上册•第2章•一元二次方程 2.2一元二次方程的解法(5)—公式法1（课时作业） 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1．（2024秋•凉州区校级）用公式法解方程2x2+3x＝1，把原方程化为一般式，则a，b，c依次是（　　） A．2，－3，1 B．2，3，－1 C．－2，3，1 D．2，－3，－1 2．（2025•洪泽区一模）方程x2+x－1＝0的根是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 3．（2025秋•兰山区校级月考）关于x的一元二次方程bx2－cx－a＝0（b≠0）的解是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•武昌区）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．b2－4ac≥0 B．b2－4ac≤0 C．b2－4ac＞0 D．b2－4ac＜0 5．（2025秋•岳池县校级期中）定义一种新运算：a⊕b＝2a+b，a☆b＝a2b，则方程（x+1）☆2＝（3⊕x）－2的解是（　　） A．x1＝0.5，x2＝－2； B．x1＝0.5，x2＝－1； C．x1＝－0.5，x2＝2； D．x1＝－0.5，x2＝1 6．（2025秋•杨浦区期中）一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程ax2+bx+c＝0，其求根公式为x＝　 　 ． 7．（2026•新疆一模）一元二次方程2x2－3x＝1的根为　 　 ． 8．（2025春•栖霞市期中）方程x2－3＝2|x|的实数根为 　 　 ． 9．（2025秋•九台区月考）已知代数式7x（x+1）－10的值与代数式9x－9的值相等，则x＝　 ． 10．（2024春•宁阳县期末）定义新运算：规定，例如，若，则x的值为 　 　 ． 11．（2026春•高新区校级期末）用公式法解下列方程： (1)3x2+2x－1＝0 (2)4x2+9＝12x； (3)； (4)， (5)2x（x2－1）． (6) 3x－5＝0． 12．（2024春•金安区校级期末）已知代数式x（2x+4）与代数式x+2的值相等，求x的值． 13．（2025秋•龙湖区期末）解方程x2＝3x+2时，小海同学解答如下： 解：原方程中，a＝1，b＝3，c＝2．第一步 b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1．第二步 ，第三步 即x1＝﹣1或x2＝﹣2．第四步 所以，原方程的根是x1＝﹣1，x2＝﹣2．第五步 （1）上述解题过程从第　 　 步开始出现错误？ （2）请写出完整的正确解题过程． 14．（2024秋•迁安市校级月考）约定：上方相邻两数之和等于这两数箭头共同指向的数．示例：如图1． 即4+3＝7，根据图2，完成问题． （1）用含x的式子表示：m＝ ，n＝　 　 ； （2）当y＝5时，求x的值． 【拓展提升】 15．（2024春•宁波期中）若a2+5ab－b2＝0，则的值为　 ． 16．（2023秋•新蔡县期中）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，则方程1☆x＝x★6的解为 　 　 ． 17．（2025秋•西安校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣2是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 2.2一元二次方程的解法(5)—公式法1（课时作业）(答案) 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1．（2024秋•凉州区校级）用公式法解方程2x2+3x＝1，把原方程化为一般式，则a，b，c依次是（　B） A．2，－3，1 B．2，3，－1 C．－2，3，1 D．2，－3，－1 2．（2025•洪泽区一模）方程x2+x－1＝0的根是（　D　） A．1 B． C．－1 D． 3．（2025秋•兰山区校级月考）关于x的一元二次方程bx2－cx－a＝0（b≠0）的解是（　B　） A． B． C． D． 4．（2023秋•武昌区）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　A　） A．b2－4ac≥0 B．b2－4ac≤0 C．b2－4ac＞0 D．b2－4ac＜0 5．（2025秋•岳池县校级期中）定义一种新运算：a⊕b＝2a+b，a☆b＝a2b，则方程（x+1）☆2＝（3⊕x）﹣2的解是（　A　） A．x1＝0.5，x2＝－2； B．x1＝0.5，x2＝－1； C．x1＝－0.5，x2＝2； D．x1＝－0.5，x2＝1 解：∵a⊕b＝2a+b，a☆b＝a2b，∴方程的左边：（x+1）☆2＝（x+1）2×2＝2（x+1）2， 方程的右边：（3⊕x）﹣2＝2×3+x﹣2＝x+4， ∴方程化为2（x+1）2＝x+4，2（x2+2x+1）＝x+4，2x2+3x﹣2＝0， 解方程：，∴，，故选：A． 6．（2025秋•杨浦区期中）一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程ax2+bx+c＝0，其求根公式为x＝　 　 ． 7．（2026•新疆一模）一元二次方程2x2﹣3x＝1的根为　 ， 　 ． 8．（2025春•栖霞市期中）方程x2﹣3＝2|x|的实数根为 x1＝3，x2＝﹣3　 ． 解：当x≥0时，方程为x2﹣3＝2x，即x2﹣2x﹣3＝0，则（x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1（舍）； 当x＜0时，x2﹣3＝﹣2x，即x2+2x﹣3＝0，（x+3）（x﹣1）＝0，则x+3＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝﹣3，x4＝1（舍）， 综上，方程的实数根为x1＝3，x2＝﹣3，故答案为：x1＝3，x2＝﹣3． 9．（2025秋•九台区月考）已知代数式7x（x+1）－10的值与代数式9x－9的值相等，则x＝　或 ． 10．（2024春•宁阳县期末）定义新运算：规定，例如，若，则x的值为　或﹣3　 ． 解：由题意可得3x2﹣（1﹣8x）＝2，整理得：3x2+8x﹣3＝0， ∵a＝3，b＝8，c＝﹣3，∴Δ＝82﹣4×3×（﹣3）＝100＞0，则x， 解得：x或x＝﹣3，故答案为：或﹣3． 11．（2026春•高新区校级期末）用公式法解下列方程： (1)3x2+2x－1＝0 (2)4x2+9＝12x； (3)； (1)∵a＝3，b＝2，c＝﹣1，∴b2-4ac＝22﹣4×3×(﹣1)＝16＞0，∴，∴x1＝﹣1，． (2)4x2+9＝12x，4x2﹣12x+9＝0，b2-4ac＝（﹣12）2﹣4×4×9＝0，则x，所以； (3)，b2-4ac10＞0，则x，所以； (4)， (5)2x（x2－1）． (6) 3x－5＝0． (4)4x2﹣x﹣3＝0，b2-4ac＝（﹣1）2﹣4×4×（﹣3）＝49＞0，则x，所以． (5)原方程整理得：0， ∵a，b＝﹣2，c，∴b2﹣4ac20＞0， ∴x，∴，． (6)∵3x﹣5＝0，∵a，b＝3，c，∴b2﹣4ac19＞0， 则x，所以； 12．（2024春•金安区校级期末）已知代数式x（2x+4）与代数式x+2的值相等，求x的值． 解：∵代数式x(2x+4)与代数式x+2的值相等， ∴x(2x+4)＝x+2，整理得：2x2+3x﹣2＝0， ∵b2-4ac＝32﹣4×2×(﹣2)＝25，∴x，∴x1．x2＝﹣2． 13．（2025秋•龙湖区期末）解方程x2＝3x+2时，小海同学解答如下： 解：原方程中，a＝1，b＝3，c＝2．第一步 b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1．第二步 ，第三步 即x1＝﹣1或x2＝﹣2．第四步 所以，原方程的根是x1＝﹣1，x2＝﹣2．第五步 （1）上述解题过程从第　一　 步开始出现错误？ （2）请写出完整的正确解题过程． 解：（1）∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴解题过程从第一步开始出现错误；故答案为：一； （2）x2＝3x+2， 原方程可变形为：x2﹣3x﹣2＝0， ∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2， ∴b2﹣4ac＝(﹣3)2﹣4×1×(﹣2)＝17， ∴， ∴，． 14．（2024秋•迁安市校级月考）约定：上方相邻两数之和等于这两数箭头共同指向的数．示例：如图1．即4+3＝7，根据图2，完成问题． （1）用含x的式子表示：m＝ x+2x2 ，n＝　2x2+3　 ； （2）当y＝5时，求x的值． 解：（1）由条件可知m＝x+2x2，n＝2x2+3；故答案为：x+2x2，2x2+3； （2）由题意得y＝m+n，则y＝2x2+x+2x2+3＝4x2+x+3， 把y＝5代入得方程，5＝4x2+x+3，即4x2+x﹣2＝0， ∵a＝4，b＝1，c＝﹣2，Δ＝12﹣4×4×（﹣2）＝33＞0，∴， 解得：，． 【拓展提升】 15．（2024春•宁波期中）若a2+5ab－b2＝0，则的值为　±　 ． 解：∵a2+5ab﹣b2＝0，∴1＝0，令t，∴t2+5t﹣1＝0， ∴t2+5t，∴（t）2，∴t±，故答案为：±． 16．（2023秋•新蔡县期中）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，则方程1☆x＝x★6的解为 　，　 ． 解：∵，∴， ∵1☆x＝x★6，∴12+x2＝3x，则x2﹣3x+1＝0， ∴，，开平方得，，∴， ∴，，故答案为：，． 17．（2025秋•西安校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣2是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解：（1）由条件可得a×（﹣2）2+（b+c）×（﹣2）+2（b﹣c）＝0， 即4a﹣2（b+c）+2（b﹣c）＝0， 化简得4a﹣2b﹣2c+2b﹣2c＝0， ∴4a﹣4c＝0， ∴a＝c， ∴△ABC是等腰三角形； （2）由条件可知a＝b＝c， 于是方程变为ax2+（a+a）x+2（a﹣a）＝0， 即ax2+2ax＝0， ∵a＞0， ∴两边除以a得x2+2x＝0， 即x（x+2）＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣2． 学科网（北京）股份有限公司 $