专题01 与三角形有关的线段15大题型（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形线段15大题型，以“核心知识点+通用解题方法+思维角度”构建系统方法体系，知识逻辑从概念生成到性质应用再到综合拓展，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形边的关系|3题型/3典例|三边关系判定与取值范围|从构成条件到应用拓展| |三角形的高|5题型/5典例|等积法与角度计算|从作图到计算与最值| |三角形的中线|3题型/3典例|中线分面积与重心性质|从长度到面积与重心| |角平分线与综合应用|4题型/4典例|综合计算与动点问题|从单一到综合与动态|

专题01 与三角形有关的线段15大题型 （题型突破·举一反三） 题型01 构成三角形的条件 题型02 确定第三边的取值范围 题型03 三角形三边关系的应用 题型04 画三角形的高 题型05 利用等积法求三角形的高 题型06 三角形中与高线有关的最小值问题 题型07 三角形高线中的角度计算 题型08 网格中的三角形高线问题 题型09 根据三角形中线求长度 题型10 根据三角形中线求面积 题型11 重心的性质与应用 题型12 三角形的角平分线性质 题型13 三角形高线、中线、角平分线综合问题 题型14 三角形在坐标轴中的面积计算 题型15 三角形相关的动点问题 ▌题型01 构成三角形的条件 【核心知识点】三条线段构成三角形的充要条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。实际解题只需验证最短两边和大于最长边，即可快速判定，规避重复验算。 【通用解题方法】先排序三条线段长度，区分最长边与另外两条短边，只需验算两短边之和大于最长边。涉及参数边长时，结合不等式求解取值范围，同时保证边长为正数。 【解题思维角度】摒弃逐条验证的固化思维，抓核心最简判定逻辑。分类讨论含未知数的边长最值情况，结合取值边界排除无效解，兼顾几何合理性与代数严谨性。 【典例1】（25-26七年级下·河南郑州·期末）小明手里有两根塑料吸管，一根长，另一根长，他想通过剪开其中一根吸管，和另一根拼成一个三角形框架．下列做法正确的是（     ） A．只能剪开的吸管 B．只能剪开的吸管 C．两根吸管剪开后都能拼成三角形 D．两根吸管剪开后都不能拼成三角形 【变式1-1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列各组线段，无法构成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西西安·期中）等腰三角形的周长为，若其中一条边长为，则该等腰三角形的腰长是______． 【变式1-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）一个等腰三角形的三边长都是整数，且周长为．求这个三角形的三边长． ▌题型02 确定第三边的取值范围 【核心知识点】已知三角形任意两边，第三边必须大于两边长度之差、小于两边长度之和。区间两端数值均不可取等，取等时三边共线，无法构成有效三角形。 【通用解题方法】先算出已知两边的和与差，直接锁定第三边取值区间。题目要求整数边长时，在开区间内逐一筛选整数，舍去边界值并验证结果合理性。 【解题思维角度】以数形结合思维理解三边约束，第三边长度需衔接两条已知边，不拉伸成直线。结合题干限制条件缩小范围，避免多解、漏解与错解。 【典例2】（25-26七年级下·山东青岛·期末）三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（     ） A．36 B．40 C．44 D．50 【变式2-1】（25-26七年级下·四川眉山·期末）已知的三边长分别为，，，其中，，的长度为奇数，则____________． 【变式2-2】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）有两根木棒长分别为、，要选第三根木棒与它们围成三角形，且长度为整数，则第三根木棒最长为________． 【变式2-3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． ▌题型03 三角形三边关系的应用 三角形三边关系可判定线段能否组成三角形、求第三边取值范围，同时可比较边长大小、解决周长取值问题，是三角形计算与判定的基础。 【典例3】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】（2025八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，，，，用小钉子把木棒和，和分别在端点，处连接起来，用橡皮筋把连接起来． （1）设橡皮筋的长为，则的最大值是________，最小值是_______． （2）若围成一个四边形，则橡皮筋的长的取值范围是________． （3）连接，若，的长为整数，则的长是_______． 【变式3-2】（25-26七年级下·广东梅州·期中）已知a、b、c是三角形的三边，化简___________． 【变式3-3】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简式子 ； (2)若，，．当为等腰三角形时，求a，b，c的值． ▌题型04 画三角形的高 找准对应顶点与对边，用三角板直角作垂线，钝角三角形延长底边再画高，标注直角符号。遇求面积题型，匹配底与对应高列式计算，区分内外高避免匹配错误。 【典例4】（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【变式4-1】（25-26七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 【变式4-2】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 【变式4-3】（25-26八年级上·北京顺义·期中）如图，在中： (1)作中线，高，角平分线，延长交于点O； (2)若，，则 °， °． ▌题型05 利用等积法求三角形的高 等积法核心是同一三角形面积恒定，面积可通过任意一组底和对应高计算。借此建立等式，已知底与面积便能反向求出未知高，适用于各类三角形边长与高线计算。 【解题方法】先选用条件充足的一组底和高算出三角形面积，再设未知高为未知数，套面积公式列方程，代入已知底边求解，计算时统一单位，找准底高对应关系防止混淆。 【典例5】（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，，经测量的长度为5，则原点O到的最短距离为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【变式5-1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式5-2】（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，该三角形的面积为18，O是边上任意一点，于点E，于点F，则等于______． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，． (1)图中边BC上的高为____________，边AC上的高为____________． (2)画出边AB上的高CD． (3)若，，，求边AB上的高CD的长． ▌题型06 三角形中与高线有关的最小值问题 直线外一点到直线垂线段最短，三角形内定点到对边最短距离为对应高。结合等积法可快速算出高线长度，常用来求解动点到边距离最小值类几何题型。 【典例6】（25-26七年级下·河南洛阳·期中）如图，在三角形中，边上的高，若点M在边上移动，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D．5 【变式6-1】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 【变式6-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，等腰中，是的中点，分别是和上的动点，能使的值最小，这个最小值为________． 【变式6-3】（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，点A，B在直线l上，且，的面积为．若P是直线l上任意一点，连接，则线段的最小长度为______． ▌题型07 三角形高线中的角度计算 三角形高线与底边垂直形成 90° 直角，结合三角形内角和、互余性质推导角度。直角、钝角三角形内外高可构造等角、余角，用于角度换算与几何证明计算。 【典例7】（（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，平分，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，是的平分线，是的高，，相交于点F，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在 中 ，，是的平分线，，，则 ______． 【变式7-3】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，，是边上的高线，是的角平分线．求，的大小． ▌题型08 网格中的三角形高线问题 网格三角形高线可借助方格横纵垂线作图，利用割补法求面积，结合等积法反推高线长度，依托格点边长快速计算线段，区分内外高，准确标注直角符号。 【典例8】（25-26七年级下·辽宁·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（小正方形的顶点）上，请利用格点解决下列问题： (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)过点作线段且； (4)线段，则点到直线的距离为___________个单位长度． 【变式8-1】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． (3)求的面积． 【变式8-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如下图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，依此变换下去．已知． (1)求出三角形各个顶点的坐标． (2)按此图形的变化规律，请你求出三角形的面积与三角形的面积的大小关系． 【变式8-3】（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． ▌题型09 根据三角形中线求长度 核心知识点： 三角形中线平分对边，将三角形分成面积相等两部分；已知两边及中线可用倍长中线构造全等，转化线段关系，是求解线段长度、证明等量关系的关键依据。 【典例9】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式9-1】（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则___． 【变式9-2】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，． （1）若的周长为，则的周长为_______； （2）若的面积为，则的面积为_______． 【变式9-3】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，AD是的角平分线，点在上（不与点重合），连接BE，交AD于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为___________； (2)如图2，若BE是的高，，则的度数为___________； (3)如图3，若BE是的角平分线，，求的度数． ▌题型10 根据三角形中线求面积 三角形一条中线把原三角形分成面积相等的两部分，多条中线可等分整块面积，等底同高面积相等，据此可快速推导分割后小三角形、组合图形的面积大小。 【典例10】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． 【变式10-1】（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，已知点E、F分别是、边上的中点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，是的中线，，是的三等分点，连接，，，．如果的面积是24，那么图中阴影部分的面积和为_______． 【变式10-3】（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： (1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； (2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； (3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． ▌题型11 重心的性质与应用 三角形三条中线交点为重心，重心分中线比 2:1，到顶点距离是到对边中点两倍；重心将原三角形分成三块面积相等的小三角形，常用于线段与面积计算。 【典例11】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【变式11-1】（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【变式11-2】（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与探究 问题情境：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 探究过程：如图2，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．若的三条中线，，交于点，则是的中线，利用上述结论，可得，同理，可得，． 猜想证明： （1）如图2，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 拓展延伸： （2）如图2，在中，若，则的面积为________； （3）在图2中，求的值． 【变式11-3】（25-26八年级上·北京平谷·期末）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，、、、、、这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与______的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的2倍，可得______，同理可得：______； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点F是的重心，连接，并延长分别交，于点E，D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． ▌题型12 三角形的角平分线性质 三角形角平分线平分内角，其上任意一点到角两边距离相等；三角形三条角平分线交于内心，内心到三边距离相同，常用来证线段相等、求解距离类几何题。 【典例12】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 【变式12-1】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，平分，平分，，的周长为20，，则为 ___________ . 【变式12-2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，交于点，过点作交于点．为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【变式12-3】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中， (1)求证∶为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． ▌题型13 三角形高线、中线、角平分线综合问题 【典例13】（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【变式13-1】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案： (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：____________（填、或）； (2)如图3，点是的重心，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理．猜想、之间的数量关系为？请说明理由； (3)如图3，点为的重心，被三条中线分成六个小三角形，则___________； (4)如图4，点、在的边、上，、交于，是的重心，，直接写出四边形的面积． 【变式13-2】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分． 【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比． (1)如图1，的边上有一点M，请证明：． (2)【结论应用】如图2，的面积为1，，，求的面积． (3)【迁移应用】如图3，四边形中，E、F、G、H依次是各边的中点，O是形内一点，若四边形、四边形、四边形的面积分别为5、6、7，试求四边形的面积． 【变式13-3】（22-23七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． ▌题型14 三角形在坐标轴中的面积计算 【典例14】（25-26七年级下·湖南长沙·期中）已知，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足．平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)直接写出点的坐标为________，点坐标为________，点坐标为________； (2)如图1，点是线段上的一个动点，连接，的面积记为，的面积记为，若，请求出点的坐标； (3)如图2，以为边作，交线段于点，是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动过程中，试说明的值是定值，并求出该定值． 【变式14-1】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为长方形，边、边分别与轴交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，且． (1)点坐标为______，点坐标为______； (2)在轴上是否存在点，使的面积是长方形面积的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若动点从原点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向上运动，连接直线交四边形的边于点，当直线将四边形的面积分成两部分时，请直接写出点的运动时间． 【变式14-2】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，回到点停止移动． (1)点的坐标为________；当点移动4秒时，点的坐标为________． (2)在移动过程中，当点到轴的距离为2时，求点移动的时间． (3)点在路线的移动过程中，是否存在某个时刻，使三角形的面积是10？若存在，直接写出点移动的时间；若不存在，请说明理由． 【变式14-3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，其坐标为，点C在y轴的正半轴上，其坐标为，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相交于B． (1)点B坐标为（____，____）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速沿向终点A匀速移动，设点P移动的时间为t秒，M为中点，N为中点，用含t的式子表示的长； (3)在（2）的条件下，点P到达A后，继续沿着向终点O运动，连接，求t为何值时，把长方形分成的两部分面积比为，并求出此时点P坐标． ▌题型15 三角形相关的动点问题 【典例15】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 【变式15-1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，点、分别是AB，BC上的动点，则的最小值为______． 【变式15-2】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）知识储备：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为_____． 【变式15-3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 与三角形有关的线段15大题型 （题型突破·举一反三） 题型01 构成三角形的条件 题型02 确定第三边的取值范围 题型03 三角形三边关系的应用 题型04 画三角形的高 题型05 利用等积法求三角形的高 题型06 三角形中与高线有关的最小值问题 题型07 三角形高线中的角度计算 题型08 网格中的三角形高线问题 题型09 根据三角形中线求长度 题型10 根据三角形中线求面积 题型11 重心的性质与应用 题型12 三角形的角平分线性质 题型13 三角形高线、中线、角平分线综合问题 题型14 三角形在坐标轴中的面积计算 题型15 三角形相关的动点问题 ▌题型01 构成三角形的条件 【核心知识点】三条线段构成三角形的充要条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。实际解题只需验证最短两边和大于最长边，即可快速判定，规避重复验算。 【通用解题方法】先排序三条线段长度，区分最长边与另外两条短边，只需验算两短边之和大于最长边。涉及参数边长时，结合不等式求解取值范围，同时保证边长为正数。 【解题思维角度】摒弃逐条验证的固化思维，抓核心最简判定逻辑。分类讨论含未知数的边长最值情况，结合取值边界排除无效解，兼顾几何合理性与代数严谨性。 【典例1】（25-26七年级下·河南郑州·期末）小明手里有两根塑料吸管，一根长，另一根长，他想通过剪开其中一根吸管，和另一根拼成一个三角形框架．下列做法正确的是（     ） A．只能剪开的吸管 B．只能剪开的吸管 C．两根吸管剪开后都能拼成三角形 D．两根吸管剪开后都不能拼成三角形 【答案】B 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，分两种情况讨论剪开哪根吸管，根据三边关系判断即可. 【详解】解：根据三角形三边关系，分两种情况讨论： 情况1：剪开的吸管，设剪开后两段长为，，则，第三边长为，，不满足三边关系，剪开的吸管不能拼成三角形. 情况2：剪开的吸管，设剪开后两段长为，，则，第三边长为，，将代入得，同理可得， 只要将的吸管剪成两段都大于，即可满足三边关系拼成三角形. 【变式1-1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列各组线段，无法构成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需比较较小两条边的和与最长边的大小，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A、∵ ，∴ 可以构成三角形. B、∵ ，，∴ 可以构成三角形. C、∵ ，，∴ 可以构成三角形. D、∵ ，不满足三边关系，∴ 无法构成三角形． 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西西安·期中）等腰三角形的周长为，若其中一条边长为，则该等腰三角形的腰长是______． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，即已知边长为腰长或为底边长，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不能构成三角形的情况，即可得到符合题意的腰长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况：若边长为腰长，则底边长为， 此时三角形三边长为，，， ∵， ∴不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去这种情况； 情况：若边长为底边长，则腰长为， 此时三角形三边长为，，， ∵， ∴满足三角形两边之和大于第三边，可以构成三角形， ∴腰长为， 故答案为． 【变式1-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）一个等腰三角形的三边长都是整数，且周长为．求这个三角形的三边长． 【答案】三边长可能为，，或，，或，，或，，． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．根据等腰三角形的性质，设腰长为，底边长为，则周长为，且、均为正整数．结合三角形两边之和大于第三边的条件，得到，进而确定的取值范围，并计算对应的值，验证后得到所有可能的三边长． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为，则周长为，其中、均为正整数． 根据三角形两边之和大于第三边，有． 由，得． 代入不等式，， 即，， 又， 故， 即，， 因此的取值为，，，． 当时，，满足． 当时，，满足． 当时，，满足． 当时，，满足． 故三角形的三边长可能为，，或，，或，，或，，． ▌题型02 确定第三边的取值范围 【核心知识点】已知三角形任意两边，第三边必须大于两边长度之差、小于两边长度之和。区间两端数值均不可取等，取等时三边共线，无法构成有效三角形。 【通用解题方法】先算出已知两边的和与差，直接锁定第三边取值区间。题目要求整数边长时，在开区间内逐一筛选整数，舍去边界值并验证结果合理性。 【解题思维角度】以数形结合思维理解三边约束，第三边长度需衔接两条已知边，不拉伸成直线。结合题干限制条件缩小范围，避免多解、漏解与错解。 【典例2】（25-26七年级下·山东青岛·期末）三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（     ） A．36 B．40 C．44 D．50 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，结合第三边为偶数的条件找出所有符合的第三边长，求和后选出正确选项． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，即， ∵第三边长为偶数， ∴符合条件的第三边长为，，，， ∴第三边所有可能值之和为． 【变式2-1】（25-26七年级下·四川眉山·期末）已知的三边长分别为，，，其中，，的长度为奇数，则____________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合为奇数即可求出的值． 【详解】解：根据三角形三边关系得 即. 又因为的长度为奇数， 所以． 【变式2-2】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）有两根木棒长分别为、，要选第三根木棒与它们围成三角形，且长度为整数，则第三根木棒最长为________． 【答案】9 【详解】解：设第三根木棒的长为，依题意，，即， ∵为整数， ∴的最大值为， 即第三根木棒最长为． 【变式2-3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． 【答案】(1)② (2)构成三角形的周长为13或14 【详解】（1）解：∵， ∴①和③不管构不构成三角形一定成立， 只有满足②时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）得，即，解得， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，三角形的周长为； 当时，三角形的周长为． ▌题型03 三角形三边关系的应用 三角形三边关系可判定线段能否组成三角形、求第三边取值范围，同时可比较边长大小、解决周长取值问题，是三角形计算与判定的基础。 【典例3】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题分3为腰长和3为底边长两种情况讨论，计算对应边长后求出“优美比”，同时根据三角形三边关系验证能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵等腰的周长为， ∴底边长 ， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； ②当为底边长时， ∵等腰的周长为， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； 综上，该等腰三角形的“优美比”是或． 【变式3-1】（2025八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，，，，用小钉子把木棒和，和分别在端点，处连接起来，用橡皮筋把连接起来． （1）设橡皮筋的长为，则的最大值是________，最小值是_______． （2）若围成一个四边形，则橡皮筋的长的取值范围是________． （3）连接，若，的长为整数，则的长是_______． 【答案】 【分析】（1）最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长； （2）当大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据（1）中的最大值和最小值即可确定的取值范围； （3）先根据三角形的三边关系求出的范围，再结合的长为整数的条件即可求解． 【详解】解：（1）要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点共线，从左到右依次为、、、． ，，， ； 要求的最小值，即将绕点顺时针方向旋转，使其与共线；将绕点逆时针方向旋转，使其与共线，即四点共线，从左到右依次为、、、． ，，， ； 综上，的最大值是，最小值是． （2）由（1）可知，要围成四边形，则的取值范围为：． （3）在中，，， ，即， ，， ，即， ， 的长为整数， ． 【变式3-2】（25-26七年级下·广东梅州·期中）已知a、b、c是三角形的三边，化简___________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系得到三边满足的不等式关系，判断绝对值内各式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可求解． 【详解】，，是三角形的三边， 根据三角形三边关系可得，， ，，， ． 【变式3-3】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简式子 ； (2)若，，．当为等腰三角形时，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2)，，的值分别为13，13，7 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系． （1）由三角形三边关系定理得：，，即可化简； （2）分三种情况分类讨论，分别根据等腰列方程求解，再判断是否构成三角形即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：，， ， 故答案为：； （2）解：分以下三种情况： 如果的腰是，，则， ， ，， ，，符合三角形三边关系； 如果的腰是，，则， ， ，， ，，不能组成三角形； 如果的腰是，，则，此时无解； 综上，，，的值分别为13，13，7． ▌题型04 画三角形的高 找准对应顶点与对边，用三角板直角作垂线，钝角三角形延长底边再画高，标注直角符号。遇求面积题型，匹配底与对应高列式计算，区分内外高避免匹配错误。 【典例4】（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【答案】B 【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是的边上的高，不是边上的高，故该选项说法错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意． 【变式4-1】（25-26七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)和 【分析】（1）过点A作交延长线于点F，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到，再由三角形面积公式得到，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长度； （4）解：∵点是边的中点， ∴， ∴， 即图形中面积相等的两个三角形为和． 【变式4-2】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直角三角形三条高的交点为直角顶点的性质进行解答即可； （2）根据三角形三条高所在直线交于一点的性质，作出第三条高即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点； （2）解：延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高， （3）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【变式4-3】（25-26八年级上·北京顺义·期中）如图，在中： (1)作中线，高，角平分线，延长交于点O； (2)若，，则 °， °． 【答案】(1)见解析 (2)60；75 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的中线、高和角平分线． （1）根据三角形的中线、高和角平分线的定义画出图形； （2）先根据三角形内角和定理计算出，再根据高的定义得，则利用互余计算出，接着根据角平分线的定义得到，然后利用互余可计算出的度数． 【详解】（1）解：如图，、、、点即为所作； （2）解：，， ， 是的高， ， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：60，． ▌题型05 利用等积法求三角形的高 等积法核心是同一三角形面积恒定，面积可通过任意一组底和对应高计算。借此建立等式，已知底与面积便能反向求出未知高，适用于各类三角形边长与高线计算。 【解题方法】先选用条件充足的一组底和高算出三角形面积，再设未知高为未知数，套面积公式列方程，代入已知底边求解，计算时统一单位，找准底高对应关系防止混淆。 【典例5】（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，，经测量的长度为5，则原点O到的最短距离为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】如图，过作于，再利用等面积法求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵点，，经测量的长度为5， ∴， ∴， ∴原点O到的最短距离为. 【变式5-1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用等面积法，求出之间的关系，并设值，再利用已知求出的长度，套用三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴，解得，， ． 【变式5-2】（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，该三角形的面积为18，O是边上任意一点，于点E，于点F，则等于______． 【答案】4 【分析】根据的面积的面积的面积，利用面积公式和已知条件，求出答案即可． 【详解】解：如图所示：连接， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，． (1)图中边BC上的高为____________，边AC上的高为____________． (2)画出边AB上的高CD． (3)若，，，求边AB上的高CD的长． 【答案】(1)AC，BC (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查直角三角形中高线，利用面积公式求解高的方法，解题的关键是理解三角形的高的定义． （1）根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，判断即可； （2）根据三角形高的定义即可完成作图； （3）根据即可求出的值． 【详解】（1）解：图中边上的高为，边上的高为． 故答案为：，． （2）解：如图所示． （3）解：∵， ∴． ▌题型06 三角形中与高线有关的最小值问题 直线外一点到直线垂线段最短，三角形内定点到对边最短距离为对应高。结合等积法可快速算出高线长度，常用来求解动点到边距离最小值类几何题型。 【典例6】（25-26七年级下·河南洛阳·期中）如图，在三角形中，边上的高，若点M在边上移动，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短．此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度即可． 【详解】解：根据垂线段最短可知，当垂直于时，的长度最短， ∵， ∴， 解得． 【变式6-1】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 【答案】9 【分析】连接，由得到，得出，，由D是的中点推导得出，得出的面积，从而求出边上的高，根据垂线段最短得出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， D是的中点， ，， ， ∴， ， ， 设边上的高为h， ， ， ， ， 的最小值为9． 【变式6-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，等腰中，是的中点，分别是和上的动点，能使的值最小，这个最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形面积计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．连接，过点C作于点G，根据题意得出所在直线是等腰的对称轴，根据两点之间线段最短和垂线段最短，得出的最小值为的长，根据三角形面积，求出结果即可． 【详解】解：连接，过点C作于点G， 是的中点， 所在直线是等腰的对称轴， ， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， 的最小值为的长， ， ∴． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，点A，B在直线l上，且，的面积为．若P是直线l上任意一点，连接，则线段的最小长度为______． 【答案】 【分析】设点C到距离为，根据垂线段最短得出线段的最小长度为，根据，三角形的面积为，求出结果即可． 【详解】解：设点C到距离为， ∵垂线段最短， ∴线段的最小长度为， ，三角形的面积为， ， 解得， 线段的最小长度为． ▌题型07 三角形高线中的角度计算 三角形高线与底边垂直形成 90° 直角，结合三角形内角和、互余性质推导角度。直角、钝角三角形内外高可构造等角、余角，用于角度换算与几何证明计算。 【典例7】（（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，平分，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，垂直定义，先由角平分线定义得出，再根据垂直定义得出，求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式7-1】（（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，是的平分线，是的高，，相交于点F，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与三角形相关的线段：角平分线与高，三角形内角和定理等知识，掌握这些基础知识是解题的关键；由对顶角相等及角平分线的定义、三角形的高可得的度数，从而求得，由即可求解． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵是的高，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式7-2】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在 中 ，，是的平分线，，，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线定义，垂直定义，直角三角形的性质，由角平分线定义得，又，则，根据直角三角形性质可得，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，，是边上的高线，是的角平分线．求，的大小． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的高、三角形的外角等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先根据三角形的角平分线求的值，再利用三角形内角和求出的值，然后根据三角形的高可知，最后由求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵是边上的高线， ∴， ∴． ▌题型08 网格中的三角形高线问题 网格三角形高线可借助方格横纵垂线作图，利用割补法求面积，结合等积法反推高线长度，依托格点边长快速计算线段，区分内外高，准确标注直角符号。 【典例8】（25-26七年级下·辽宁·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（小正方形的顶点）上，请利用格点解决下列问题： (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)过点作线段且； (4)线段，则点到直线的距离为___________个单位长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）借助网格作高即可； （2）取的中点E，连接即可； （3）取格点F，利用平移的性质连接即可； （4）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：的边上的高如图所示； （2）解：的边上的中线如图所示； （3）解：如图，线段即为所作； （4）解：的面积， 设点到直线的距离为h，则，即 解得． 【变式8-1】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)3 【分析】本题考查画三角形的高线，中线，与三角形的高有关的计算： （1）根据高线的定义，作高即可； （2）取的中点，连接即可； （3）求出的面积，根据中线平分面积求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）， ∵为中线， ∴． 【变式8-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如下图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，依此变换下去．已知． (1)求出三角形各个顶点的坐标． (2)按此图形的变化规律，请你求出三角形的面积与三角形的面积的大小关系． 【答案】(1)点O的坐标是，点的坐标是，点的坐标是 (2) 【分析】本题考查了点坐标规律探索，解题的关键是找出点的规律； （1）先得到A的横坐标是，而纵坐标都是3，点的横坐标是，纵坐标是0即可作答； （2）根据三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】（1）解：由图可知，点O的坐标是． 已知，从点，，…，的坐标中找规律，发现点的横坐标是，而纵坐标都是3． 同理，点也一样找规律，发现点的横坐标是，纵坐标是0． 由上述规律可知，点的坐标是，点的坐标是． （2）解：根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高都是3． 由（1），得，所以． 又因为， 所以． 【变式8-3】（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点或（）即为所求， ． ▌题型09 根据三角形中线求长度 核心知识点： 三角形中线平分对边，将三角形分成面积相等两部分；已知两边及中线可用倍长中线构造全等，转化线段关系，是求解线段长度、证明等量关系的关键依据。 【典例9】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 根据高和面积求出三角形的底边，然后根据三角形中线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故选：B． 【变式9-1】（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则___． 【答案】6 【分析】根据三角形中线的定义可得，根据三角形周长公式表示的周长，得到，再根据三角形周长公式表示的周长，即可求出的长． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长是，， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴． 【变式9-2】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，． （1）若的周长为，则的周长为_______； （2）若的面积为，则的面积为_______． 【答案】 【分析】（1）根据题意可得，结合是的中线，可得，再求周长即可； （2）根据三角形中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：（1）的周长为， ，即， 解得， 又是的中线， 是的中点，， 的周长； （2）， ， 又点E为线段的中点， ． 【变式9-3】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，AD是的角平分线，点在上（不与点重合），连接BE，交AD于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为___________； (2)如图2，若BE是的高，，则的度数为___________； (3)如图3，若BE是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和． （1）由中线的定义得，然后利用周长公式求解即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，， 然后利用三角形内角和定理求出，则，即可求解； （3）先由三角形内角和定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）∵是的中线， ∴， ∴与的周长差为： ． 故答案为：3； （2）∵是的高， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴ ． ▌题型10 根据三角形中线求面积 三角形一条中线把原三角形分成面积相等的两部分，多条中线可等分整块面积，等底同高面积相等，据此可快速推导分割后小三角形、组合图形的面积大小。 【典例10】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案． 【详解】解：过点E作交于点F，如下图， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∵的面积为30，， ∴， 解得， 即中边上的高为3． 【变式10-1】（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，已知点E、F分别是、边上的中点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点、分别是、的中点，得到，，，继而得到，解答即可． 【详解】解：根据点、分别是、的中点， 得到，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 【变式10-2】（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，是的中线，，是的三等分点，连接，，，．如果的面积是24，那么图中阴影部分的面积和为_______． 【答案】12 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，以及等高三角形的面积比等于底边比的性质，分别求出各部分阴影三角形的面积，最后求和即可 【详解】解：是的中线，的面积是24 ， ． 是的三等分点 ， ， ，，， 阴影部分的面积和为． 【变式10-3】（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： (1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； (2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； (3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． 【答案】(1)15； (2)． 证明：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴． (3)5 【分析】（1）根据点是边上的中点，可得，再代入已知数据求解即可； （2）过点A作于点E，根据推出，再通过面积公式求证即可； （3）根据是的中线，可得，再利用三角形面积公式，代入已知数据求解的长度． 【详解】（1）解：∵点是边上的中点， ∴． （2）略 （3）解：∵是的中线， ∴， ∵是的高线， ∴， 又∵， ∴． ▌题型11 重心的性质与应用 三角形三条中线交点为重心，重心分中线比 2:1，到顶点距离是到对边中点两倍；重心将原三角形分成三块面积相等的小三角形，常用于线段与面积计算。 【典例11】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【答案】8 【分析】根据三角形重心的定义可知是的中线，再利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． 【变式11-1】（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式11-2】（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与探究 问题情境：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 探究过程：如图2，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．若的三条中线，，交于点，则是的中线，利用上述结论，可得，同理，可得，． 猜想证明： （1）如图2，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 拓展延伸： （2）如图2，在中，若，则的面积为________； （3）在图2中，求的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3）． 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）由（1）中的结论即可得出． 【详解】解：（1）， 由题意可知，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）知，，， ∴的面积为， 故答案为；； （3）由（1）知，， ∵与等高， ∴，即． 【变式11-3】（25-26八年级上·北京平谷·期末）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，、、、、、这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与______的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的2倍，可得______，同理可得：______； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点F是的重心，连接，并延长分别交，于点E，D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）42 【分析】本题考查了重心定义、利用三角形中线求面积，同底等高三角形，根据已知解题思路求出的值是解题关键． （1）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （2）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （3）由上述解析得到6个小三角形面积相等，进而得到的面积是的面积的2倍，再根据同高三角形面积之比等于底边之比求解即可； （4）由上面的结论可知，，进而求出，，然后利用三角形的面积公式和6个小三角形面积相等求解即可． 【详解】解：（1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：， 故答案为：； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等， 故答案为：； （3）由的面积是的面积的2倍，可得，同理可得：， 故答案为：，； （4）由条件可知， ∴，， ∵， ∴的面积为， ∴四边形的面积． ▌题型12 三角形的角平分线性质 三角形角平分线平分内角，其上任意一点到角两边距离相等；三角形三条角平分线交于内心，内心到三边距离相同，常用来证线段相等、求解距离类几何题。 【典例12】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，最后利用求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 【变式12-1】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，平分，平分，，的周长为20，，则为 ___________ . 【答案】13 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行线和角平分线得出等腰三角形，将的周长转化为． 由角平分线和平行线的性质得、，从而、；的周长可转化为，结合周长和AB的长度求出． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， 的周长为20， ， ， ． 故答案为：13． 【变式12-2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，交于点，过点作交于点．为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，灵活运用所学知识是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，进而即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）证明：平分交于点， ， ， ， ， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的中点，且为等腰三角形， ∴， ∴， ∴在中，． 【变式12-3】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中， (1)求证∶为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵在中，，， 且， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形； (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）在中，根据三角形内角和定理并结合已知求出，即可得证； （2）先根据垂直的定义以及三角形的内角和定理求出，然后根据角平分线的定义求出，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又， ∴ 又∵平分，且由（1）得：， ∴， ∴. ▌题型13 三角形高线、中线、角平分线综合问题 【典例13】（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 【变式13-1】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案： (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：____________（填、或）； (2)如图3，点是的重心，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理．猜想、之间的数量关系为？请说明理由； (3)如图3，点为的重心，被三条中线分成六个小三角形，则___________； (4)如图4，点、在的边、上，、交于，是的重心，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形面积等于底乘高的一半，即可得出结论； （2）根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可； （3）设，，求出，得到，再由求解即可； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：是的中线，与等底等高， ； （2）解：，理由如下： ∵是的中线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：设，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵ ∴ ∴ （4）解：∵G是的重心， ∴由（3）可得， ∵，， ， ∵， ， 由（3）可得， ∵ ∴ ∴由（2）可得， ∴． 【变式13-2】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分． 【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比． (1)如图1，的边上有一点M，请证明：． (2)【结论应用】如图2，的面积为1，，，求的面积． (3)【迁移应用】如图3，四边形中，E、F、G、H依次是各边的中点，O是形内一点，若四边形、四边形、四边形的面积分别为5、6、7，试求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点C作于点H．结合三角形的面积公式证明即可； （2）连接，由，得出的面积为4，再结合，计算即可得出结果； （3）连接，，，．先证明，，，，再结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：过点C作于点H． ∵，， ∴； （2）解：连接． ∵的面积为1，， ∴的面积为4， ∵， ∴的面积； （3）解：连接，，，． ∵E、F、G、H依次是各边中点， ∴和等底等高， ∴， 同理可证，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式13-3】（22-23七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． ▌题型14 三角形在坐标轴中的面积计算 【典例14】（25-26七年级下·湖南长沙·期中）已知，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足．平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)直接写出点的坐标为________，点坐标为________，点坐标为________； (2)如图1，点是线段上的一个动点，连接，的面积记为，的面积记为，若，请求出点的坐标； (3)如图2，以为边作，交线段于点，是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动过程中，试说明的值是定值，并求出该定值． 【答案】(1)，， (2) (3)是定值，定值为 【分析】（1）利用非负数的性质求解即可； （2）过点分别作轴于点，轴于点，连接．根据三角形面积公式得，，满足的关系式为，可求出，，可得点的坐标； （3）由平移的性质得，分别过点，点作，，则，设，则，，，，代入可得结论． 【详解】（1）解：， ，， ，， ∴，， ，且在轴负半轴上， ； （2）解：如图1，过点分别作轴于点，轴于点，连接． 轴于点，且点A，D，C三点的坐标分别为，，， ，，，， ， 又 ， ， ，满足的关系式为，①   ， ，即， ，即，②   由①，②，解得，， ． （3）解：线段是由线段平移得到， ， 如图2，分别过点，点作，， 则， 设，则，， ， ， 同理可证， 再设， ，， ， 的值是定值，定值为． 【变式14-1】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为长方形，边、边分别与轴交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，且． (1)点坐标为______，点坐标为______； (2)在轴上是否存在点，使的面积是长方形面积的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若动点从原点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向上运动，连接直线交四边形的边于点，当直线将四边形的面积分成两部分时，请直接写出点的运动时间． 【答案】(1)， (2)存在；或 (3)或 【分析】（1）根据长方形的性质，坐标特点进行解答即可； （2）先求出，设点，根据的面积是长方形的面积，得出，求出y的值，即可得出答案； （3）当点H在上时，根据，直线将四边形的面积分成两部分，得出或，求出或（不合题意），得出此时点，连接，求出，得出；当点H在上时，画出图形，同理先求出点H的坐标，再求出，最后求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，，， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 轴，， ∴轴， 点，点， 故答案为：，； （2）解：，， ， 设点， 的面积是长方形的面积， ， ， 或， 点或； （3）解：如图，当点H在上时， ，直线将四边形的面积分成两部分， 或， 或， 或（不合题意）， 此时点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ； 如图，当点H在上时， ，直线将四边形的面积分成两部分， 或， 或， 或（不合题意）， 此时点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特点． 【变式14-2】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，回到点停止移动． (1)点的坐标为________；当点移动4秒时，点的坐标为________． (2)在移动过程中，当点到轴的距离为2时，求点移动的时间． (3)点在路线的移动过程中，是否存在某个时刻，使三角形的面积是10？若存在，直接写出点移动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或或或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的图形与坐标、非负数的性质、三角形的面积、动点问题的求解等知识与方法，正确地表示点P移动的距离是解题的关键． （1）先根据非负数的性质求得，，可得，的坐标，进而可求得点的坐标，然后计算点的坐标即可； （2）由（1）可知，当移动的时间为秒时，其坐标为，满足当点到轴的距离为2；当时，也满足当点到轴的距离为2，此时点在线段上，算得移动的距离，进而算得点移动时间即可； （3）分成以下四种情况，当点在线段上，当点在线段上，当点在线段上，当点在线段上分类讨论即可． 【详解】（1）解： ， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，当点移动4秒时， 点移动了个单位长度 ，， 此时点在线段上， 故答案为：，； （2）解：①由（1）可知，当移动的时间为秒时，其坐标为，满足当点到轴的距离为2； ②当时，也满足当点到轴的距离为2，此时点在线段上， 点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动， 点移动了个单位长度 移动的时间为秒 综上，移动的时间为或； （3）解：存在，或或或，理由如下： 当点在线段上，如图所示： ， 点移动的时间为：秒； 当点在线段上，如图所示： ， 点移动的时间为：秒； 当点在线段上，如图所示： ， 点移动的时间为：秒； 当点在线段上，如图所示： ， 点移动的时间为：秒； 综上所述，存在，点移动的时间为或或或． 【变式14-3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，其坐标为，点C在y轴的正半轴上，其坐标为，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相交于B． (1)点B坐标为（____，____）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速沿向终点A匀速移动，设点P移动的时间为t秒，M为中点，N为中点，用含t的式子表示的长； (3)在（2）的条件下，点P到达A后，继续沿着向终点O运动，连接，求t为何值时，把长方形分成的两部分面积比为，并求出此时点P坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查的是坐标的特点、三角形的面积公式，线段有关的计算； （1）根据坐标的定义求解即可； （2）根据M为中点，得到，根据N为中点得到， 根据求解即可； （3）线段把长方形分成的两部分面积比为，只要即可使把长方形分成的两部分面积比为，据此求解即可． 【详解】（1）∵点A的坐标为，点C的坐标为，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相交于B． ∴， ∴点B坐标为 故答案为：； （2）由题意得，，即 ∵M为中点， ∴， ∵N为中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由题意得，，即 连接， 则线段把长方形分成的两部分面积比为， ∵把长方形分成的两部分面积比为， ∴把分成的两部分面积比为， ∴为中点， ∴， ∴， ， 此时点P坐标． ▌题型15 三角形相关的动点问题 【典例15】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】过点A作于点E，连接，根据题意，得，当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值，求解即可． 【详解】解：过点A作于点E， 连接，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值， 故当点P与点E重合时，最小， 在中，， ， ， ∴的最小值是． 【变式15-1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，点、分别是AB，BC上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查作轴对称，两点之间，线段最短，垂线段最短，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 作E关于的对称点F，作关于的对称，连接根据两点之间，线段最短，得点D为的交点，继而，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即可解答． 【详解】解：作E关于的对称点F，作关于的对称，连接如图，有 ，点F在上，，，， ∴，根据两点之间，线段最短，得点D为的交点． 当时，根据垂线段最短，此时取得最小值． ∵， ∴， 即， 解得， 则的最小值为． 故答案为：． 【变式15-2】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）知识储备：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为_____． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形中线的性质，垂线段最短．如图：连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点C作于点H， ∵点D、E分别是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵垂线段最短， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 【变式15-3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（）①；②；③；（） 【分析】（）①把已知代入等式计算即可求解；②连接，列式解答即可；③作，，由列式解答即可； （）作点关于直线的对称点，可得，即得，过作于，过作的延长线于，利用三角形面积可求得，，进而由当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长即可求解； 本题考查了三角形高，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． 【详解】解：（）①∵，， ∴， ∴； ②连接， ∵， ∴， 即， ∴； ③猜想：，理由如下： 如图，作，， ∵， ∴， 即， ∴； （）作点关于直线的对称点， 则， ∴， ∵点在延长线上， ∴点共线， ∴， ∴， 过作于，过作的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长，即为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 与三角形有关的线段15大题型 （题型突破·举一反三） ▌题型01 构成三角形的条件 【典例1】 【答案】B 【变式1-1】 【答案】D 【变式1-2】 【答案】 【变式1-3】 【答案】三边长可能为，，或，，或，，或，，． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．根据等腰三角形的性质，设腰长为，底边长为，则周长为，且、均为正整数．结合三角形两边之和大于第三边的条件，得到，进而确定的取值范围，并计算对应的值，验证后得到所有可能的三边长． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为，则周长为，其中、均为正整数． 根据三角形两边之和大于第三边，有． 由，得． 代入不等式，， 即，， 又， 故， 即，， 因此的取值为，，，． 当时，，满足． 当时，，满足． 当时，，满足． 当时，，满足． 故三角形的三边长可能为，，或，，或，，或，，． ▌题型02 确定第三边的取值范围 【典例2】 【答案】C 【变式2-1】 【答案】 【变式2-2】 【答案】9 【变式2-3】 【答案】(1)② (2)构成三角形的周长为13或14 【详解】（1）解：∵， ∴①和③不管构不构成三角形一定成立， 只有满足②时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）得，即，解得， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，三角形的周长为； 当时，三角形的周长为． ▌题型03 三角形三边关系的应用 【典例3】 【答案】C 【变式3-1】 【答案】 【分析】（1）最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长； （2）当大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据（1）中的最大值和最小值即可确定的取值范围； （3）先根据三角形的三边关系求出的范围，再结合的长为整数的条件即可求解． 【详解】解：（1）要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点共线，从左到右依次为、、、． ，，， ； 要求的最小值，即将绕点顺时针方向旋转，使其与共线；将绕点逆时针方向旋转，使其与共线，即四点共线，从左到右依次为、、、． ，，， ； 综上，的最大值是，最小值是． （2）由（1）可知，要围成四边形，则的取值范围为：． （3）在中，，， ，即， ，， ，即， ， 的长为整数， ． 【变式3-2】 【答案】 【变式3-3】 【答案】(1) (2)，，的值分别为13，13，7 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系． （1）由三角形三边关系定理得：，，即可化简； （2）分三种情况分类讨论，分别根据等腰列方程求解，再判断是否构成三角形即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：，， ， 故答案为：； （2）解：分以下三种情况： 如果的腰是，，则， ， ，， ，，符合三角形三边关系； 如果的腰是，，则， ， ，， ，，不能组成三角形； 如果的腰是，，则，此时无解； 综上，，，的值分别为13，13，7． ▌题型04 画三角形的高 【典例4】 【答案】B 【变式4-1】 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)和 【分析】（1）过点A作交延长线于点F，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到，再由三角形面积公式得到，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长度； （4）解：∵点是边的中点， ∴， ∴， 即图形中面积相等的两个三角形为和． 【变式4-2】 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直角三角形三条高的交点为直角顶点的性质进行解答即可； （2）根据三角形三条高所在直线交于一点的性质，作出第三条高即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点； （2）解：延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高， （3）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【变式4-3】 【答案】(1)见解析 (2)60；75 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的中线、高和角平分线． （1）根据三角形的中线、高和角平分线的定义画出图形； （2）先根据三角形内角和定理计算出，再根据高的定义得，则利用互余计算出，接着根据角平分线的定义得到，然后利用互余可计算出的度数． 【详解】（1）解：如图，、、、点即为所作； （2）解：，， ， 是的高， ， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：60，． ▌题型05 利用等积法求三角形的高 【典例5】 【答案】A 【变式5-1】 【答案】C 【分析】利用等面积法，求出之间的关系，并设值，再利用已知求出的长度，套用三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴，解得，， ． 【变式5-2】 【答案】4 【分析】根据的面积的面积的面积，利用面积公式和已知条件，求出答案即可． 【详解】解：如图所示：连接， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】 【答案】(1)AC，BC (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查直角三角形中高线，利用面积公式求解高的方法，解题的关键是理解三角形的高的定义． （1）根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，判断即可； （2）根据三角形高的定义即可完成作图； （3）根据即可求出的值． 【详解】（1）解：图中边上的高为，边上的高为． 故答案为：，． （2）解：如图所示． （3）解：∵， ∴． ▌题型06 三角形中与高线有关的最小值问题 【典例6】 【答案】B 【变式6-1】 【答案】9 【变式6-2】 【答案】 【变式6-3】 【答案】 ▌题型07 三角形高线中的角度计算 【典例7】 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，垂直定义，先由角平分线定义得出，再根据垂直定义得出，求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式7-1】 【答案】D 【变式7-2】 【答案】 【变式7-3】 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的高、三角形的外角等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先根据三角形的角平分线求的值，再利用三角形内角和求出的值，然后根据三角形的高可知，最后由求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵是边上的高线， ∴， ∴． ▌题型08 网格中的三角形高线问题 【典例8】 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）借助网格作高即可； （2）取的中点E，连接即可； （3）取格点F，利用平移的性质连接即可； （4）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：的边上的高如图所示； （2）解：的边上的中线如图所示； （3）解：如图，线段即为所作； （4）解：的面积， 设点到直线的距离为h，则，即 解得． 【变式8-1】 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)3 【分析】本题考查画三角形的高线，中线，与三角形的高有关的计算： （1）根据高线的定义，作高即可； （2）取的中点，连接即可； （3）求出的面积，根据中线平分面积求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）， ∵为中线， ∴． 【变式8-2】 【答案】(1)点O的坐标是，点的坐标是，点的坐标是 (2) 【分析】本题考查了点坐标规律探索，解题的关键是找出点的规律； （1）先得到A的横坐标是，而纵坐标都是3，点的横坐标是，纵坐标是0即可作答； （2）根据三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】（1）解：由图可知，点O的坐标是． 已知，从点，，…，的坐标中找规律，发现点的横坐标是，而纵坐标都是3． 同理，点也一样找规律，发现点的横坐标是，纵坐标是0． 由上述规律可知，点的坐标是，点的坐标是． （2）解：根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高都是3． 由（1），得，所以． 又因为， 所以． 【变式8-3】 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点或（）即为所求， ． ▌题型09 根据三角形中线求长度 【典例9】 【答案】B 【变式9-1】 【答案】6 【变式9-2】 【答案】 【分析】（1）根据题意可得，结合是的中线，可得，再求周长即可； （2）根据三角形中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：（1）的周长为， ，即， 解得， 又是的中线， 是的中点，， 的周长； （2）， ， 又点E为线段的中点， ． 【变式9-3】 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和． （1）由中线的定义得，然后利用周长公式求解即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，， 然后利用三角形内角和定理求出，则，即可求解； （3）先由三角形内角和定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）∵是的中线， ∴， ∴与的周长差为： ． 故答案为：3； （2）∵是的高， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴ ． ▌题型10 根据三角形中线求面积 【典例10】 【答案】A 【变式10-1】 【答案】B 【变式10-2】 【答案】12 【变式10-3】 【答案】(1)15； (2)． 证明：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴． (3)5 【分析】（1）根据点是边上的中点，可得，再代入已知数据求解即可； （2）过点A作于点E，根据推出，再通过面积公式求证即可； （3）根据是的中线，可得，再利用三角形面积公式，代入已知数据求解的长度． 【详解】（1）解：∵点是边上的中点， ∴． （2）略 （3）解：∵是的中线， ∴， ∵是的高线， ∴， 又∵， ∴． ▌题型11 重心的性质与应用 【典例11】 【答案】8 【变式11-1】 【答案】/ 【变式11-2】 【答案】（1），见解析；（2）；（3）． 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）由（1）中的结论即可得出． 【详解】解：（1）， 由题意可知，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）知，，， ∴的面积为， 故答案为；； （3）由（1）知，， ∵与等高， ∴，即． 【变式11-3】 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）42 【分析】本题考查了重心定义、利用三角形中线求面积，同底等高三角形，根据已知解题思路求出的值是解题关键． （1）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （2）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （3）由上述解析得到6个小三角形面积相等，进而得到的面积是的面积的2倍，再根据同高三角形面积之比等于底边之比求解即可； （4）由上面的结论可知，，进而求出，，然后利用三角形的面积公式和6个小三角形面积相等求解即可． 【详解】解：（1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：， 故答案为：； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等， 故答案为：； （3）由的面积是的面积的2倍，可得，同理可得：， 故答案为：，； （4）由条件可知， ∴，， ∵， ∴的面积为， ∴四边形的面积． ▌题型12 三角形的角平分线性质 【典例12】 【答案】 【变式12-1】 【答案】13 【变式12-2】 【答案】(1)证明见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，灵活运用所学知识是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，进而即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）证明：平分交于点， ， ， ， ， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的中点，且为等腰三角形， ∴， ∴， ∴在中，． 【变式12-3】 【答案】(1) 证明：∵在中，，， 且， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形； (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）在中，根据三角形内角和定理并结合已知求出，即可得证； （2）先根据垂直的定义以及三角形的内角和定理求出，然后根据角平分线的定义求出，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又， ∴ 又∵平分，且由（1）得：， ∴， ∴. ▌题型13 三角形高线、中线、角平分线综合问题 【典例13】 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 【变式13-1】 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形面积等于底乘高的一半，即可得出结论； （2）根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可； （3）设，，求出，得到，再由求解即可； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：是的中线，与等底等高， ； （2）解：，理由如下： ∵是的中线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：设，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵ ∴ ∴ （4）解：∵G是的重心， ∴由（3）可得， ∵，， ， ∵， ， 由（3）可得， ∵ ∴ ∴由（2）可得， ∴． 【变式13-2】 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点C作于点H．结合三角形的面积公式证明即可； （2）连接，由，得出的面积为4，再结合，计算即可得出结果； （3）连接，，，．先证明，，，，再结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：过点C作于点H． ∵，， ∴； （2）解：连接． ∵的面积为1，， ∴的面积为4， ∵， ∴的面积； （3）解：连接，，，． ∵E、F、G、H依次是各边中点， ∴和等底等高， ∴， 同理可证，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式13-3】 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． ▌题型14 三角形在坐标轴中的面积计算 【典例14】 【答案】(1)，， (2) (3)是定值，定值为 【分析】（1）利用非负数的性质求解即可； （2）过点分别作轴于点，轴于点，连接．根据三角形面积公式得，，满足的关系式为，可求出，，可得点的坐标； （3）由平移的性质得，分别过点，点作，，则，设，则，，，，代入可得结论． 【详解】（1）解：， ，， ，， ∴，， ，且在轴负半轴上， ； （2）解：如图1，过点分别作轴于点，轴于点，连接． 轴于点，且点A，D，C三点的坐标分别为，，， ，，，， ， 又 ， ， ，满足的关系式为，①   ， ，即， ，即，②   由①，②，解得，， ． （3）解：线段是由线段平移得到， ， 如图2，分别过点，点作，， 则， 设，则，， ， ， 同理可证， 再设， ，， ， 的值是定值，定值为． 【变式14-1】 【答案】(1)， (2)存在；或 (3)或 【分析】（1）根据长方形的性质，坐标特点进行解答即可； （2）先求出，设点，根据的面积是长方形的面积，得出，求出y的值，即可得出答案； （3）当点H在上时，根据，直线将四边形的面积分成两部分，得出或，求出或（不合题意），得出此时点，连接，求出，得出；当点H在上时，画出图形，同理先求出点H的坐标，再求出，最后求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，，， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 轴，， ∴轴， 点，点， 故答案为：，； （2）解：，， ， 设点， 的面积是长方形的面积， ， ， 或， 点或； （3）解：如图，当点H在上时， ，直线将四边形的面积分成两部分， 或， 或， 或（不合题意）， 此时点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ； 如图，当点H在上时， ，直线将四边形的面积分成两部分， 或， 或， 或（不合题意）， 此时点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特点． 【变式14-2】 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或或或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的图形与坐标、非负数的性质、三角形的面积、动点问题的求解等知识与方法，正确地表示点P移动的距离是解题的关键． （1）先根据非负数的性质求得，，可得，的坐标，进而可求得点的坐标，然后计算点的坐标即可； （2）由（1）可知，当移动的时间为秒时，其坐标为，满足当点到轴的距离为2；当时，也满足当点到轴的距离为2，此时点在线段上，算得移动的距离，进而算得点移动时间即可； （3）分成以下四种情况，当点在线段上，当点在线段上，当点在线段上，当点在线段上分类讨论即可． 【详解】（1）解： ， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，当点移动4秒时， 点移动了个单位长度 ，， 此时点在线段上， 故答案为：，； （2）解：①由（1）可知，当移动的时间为秒时，其坐标为，满足当点到轴的距离为2； ②当时，也满足当点到轴的距离为2，此时点在线段上， 点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动， 点移动了个单位长度 移动的时间为秒 综上，移动的时间为或； （3）解：存在，或或或，理由如下： 当点在线段上，如图所示： ， 点移动的时间为：秒； 当点在线段上，如图所示： ， 点移动的时间为：秒； 当点在线段上，如图所示： ， 点移动的时间为：秒； 当点在线段上，如图所示： ， 点移动的时间为：秒； 综上所述，存在，点移动的时间为或或或． 【变式14-3】 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查的是坐标的特点、三角形的面积公式，线段有关的计算； （1）根据坐标的定义求解即可； （2）根据M为中点，得到，根据N为中点得到， 根据求解即可； （3）线段把长方形分成的两部分面积比为，只要即可使把长方形分成的两部分面积比为，据此求解即可． 【详解】（1）∵点A的坐标为，点C的坐标为，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相交于B． ∴， ∴点B坐标为 故答案为：； （2）由题意得，，即 ∵M为中点， ∴， ∵N为中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由题意得，，即 连接， 则线段把长方形分成的两部分面积比为， ∵把长方形分成的两部分面积比为， ∴把分成的两部分面积比为， ∴为中点， ∴， ∴， ， 此时点P坐标． ▌题型15 三角形相关的动点问题 【典例15】 【答案】 【变式15-1】 【答案】 【变式15-2】 【答案】5 【变式15-3】 【答案】（）①；②；③；（） 【分析】（）①把已知代入等式计算即可求解；②连接，列式解答即可；③作，，由列式解答即可； （）作点关于直线的对称点，可得，即得，过作于，过作的延长线于，利用三角形面积可求得，，进而由当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长即可求解； 本题考查了三角形高，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． 【详解】解：（）①∵，， ∴， ∴； ②连接， ∵， ∴， 即， ∴； ③猜想：，理由如下： 如图，作，， ∵， ∴， 即， ∴； （）作点关于直线的对称点， 则， ∴， ∵点在延长线上， ∴点共线， ∴， ∴， 过作于，过作的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长，即为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $