2.2 一元二次方程的解法(4)—因式分解法（课时作业） 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程的解法（因式分解法）同步练，新授课使用。分层清晰，基础层巩固核心技能，拓展层提升综合应用，适配新授课梯度需求，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|因式分解法直接应用、简单实际问题|含选择、填空、解答题，结合三角形边长等情境，强化概念理解与运算准确性| |拓展提升|综合应用与知识迁移|引入新定义运算、高次不等式，渗透推理意识，培养数学思维的逻辑性与创新性|

盐城市北蒋实验学校九年级数学导学活动单 九年级数学•上册•第2章•一元二次方程 2.2一元二次方程的解法(4)—因式分解法（课时作业） 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1．（2026•溧阳市校级模拟）方程x2＝2026x的解是（　　） A．x＝0 B．x＝2026 C．x1＝0，x2＝2026 D．无实数根 2．（2024秋•遂川县校级月考）一元二次方程2x(x－1)＝x－1的解为（　　） A． B．x1＝2，x2＝1 C． D． 3．（2024春•邗江区）一个等腰三角形的两边是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则三角形的周长为（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定 4．（2024秋•莲池区校级期中）已知三角形的两边长分别是3和5，第三边的长是一元二次方程x2－12x+32＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．6或10 B．10 C．6 D．12或10 5．（2025秋•双柏县期中）对于实数a、b，定义新运算，规则如下：a△b＝b2﹣ab，则等式5△x＝6中x的值为（　　） A．1或－6 B．－1或6 C．－1 D．－6 6．（2026•常州模拟）一元二次方程x2－4x＝0的解是　 　 ． 7．（2025秋•信宜市期末）方程(x－3)(x+1)＝0的根是　 　 ． 8．（2026•嵊州市二模）已知关于x的一元二次方程x(x－2)＝x－2，则该一元二次方程的解为　 　 ． 9．（2026•泗阳县校级二模）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 　 　 ． 10．（2025秋•达川区期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和(x－2)(x+3)＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a－2b+c＝0，且该方程与(x－3)(x+n)＝0互为“同伴方程”，则n＝　 　 ． 11．（2026春•海淀区校级月考）解方程： (1)x2－7x+6＝0； (2)(5x－1)2+(5x－1)＝0． (3)3x(x+2)＝x+2； (4)x2－2x+1＝0； (5)(x－2)(2x－3)＝6． (6)x2﹣4x+8＝0 12．（2025秋•苏州校级月考）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，求△ABC的周长． 13．（2023秋•蒲城县校级月考）当x为何值时，代数式－2x2+7x－3与代数式2(x2－9)互为相反数． 14．（2026•拱墅区校级二模）在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算：． 解：原式 第一步 第二步 第三步 习题2：解方程：x2﹣4x﹣12＝0 解：x2﹣4x＝12第一步 （x﹣2）2＝12+4第二步 x﹣2＝4第三步 x＝6第四步 （1）解答过程中，习题1从第 　 步开始出现错误，习题2从第 　 步开始出现错误； （2）任选其中一个习题写出正确的解答过程． 【拓展提升】 15．（2025秋•宜阳县期中）已知x≠0，且x2－xy－6y2＝0，则 的值为（　 　） 16．（2025秋•鄱阳县校级月考）已知关于x的方程，则　 　 ． 17．（2025秋•台州月考）我们可以用因式分解法解一些一元二次方程，同样我们也可以用因式分解法解一些一元二次不等式． 如：解一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0， 解：(x﹣3)(x+1)＞0，由两数相乘，同号得正，有或．解得x＞3或x＜﹣1， 所以原不等式的解集为x＞3或x＜﹣1． 请你阅读以上内容，解下列不等式： （1）x2－5x－6＜0； （2）(x－1)(x2+7x－8)＞0． 2.2一元二次方程的解法(4)—因式分解法（课时作业）(答案) 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1．（2026•溧阳市校级模拟）方程x2＝2026x的解是（　C　） A．x＝0 B．x＝2026 C．x1＝0，x2＝2026 D．无实数根 2．（2024秋•遂川县校级月考）一元二次方程2x（x﹣1）＝x﹣1的解为（　D　） A． B．x1＝2，x2＝1 C． D． 3．（2024春•邗江区）一个等腰三角形的两边是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则三角形的周长为（　B　） A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定 4．（2024秋•莲池区校级期中）已知三角形的两边长分别是3和5，第三边的长是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（　C　） A．6或10 B．10 C．6 D．12或10 5．（2025秋•双柏县期中）对于实数a、b，定义新运算，规则如下：a△b＝b2﹣ab，则等式5△x＝6中x的值为（　B　） A．1或﹣6 B．﹣1或6 C．﹣1 D．﹣6 6．（2026•常州模拟）一元二次方程x2﹣4x＝0的解是　x1＝0，x2＝4 　 ． 7．（2025秋•信宜市期末）方程（x﹣3）（x+1）＝0的根是　 x1＝3，x2＝﹣1 　 ． 8．（2026•嵊州市二模）已知关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2，则该一元二次方程的解为　 x1＝1，x2＝2 　 ． 9．（2026•泗阳县校级二模）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 14 　 ． 10．（2025秋•达川区期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，且该方程与（x﹣3）（x+n）＝0互为“同伴方程”，则n＝　﹣1或2　 ． 解：当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，即x＝1是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根； 当x＝﹣2时，a×（﹣2）2+b×（﹣2）+c＝4a﹣2b+c＝0，即x＝﹣2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根， ∴方程ax2+bx+c＝0的根为x＝1和x＝﹣2， ∵两方程互为“同伴方程”，即有且只有一个相同的实数根，又方程（x﹣3）（x+n）＝0的根为x＝3和x＝﹣n， ∴若相同根为x＝1，则﹣n＝1，即n＝﹣1，此时两方程分别有根1、﹣2和3、1，仅有相同根x＝1，满足条件； 若相同根为x＝﹣2，则﹣n＝﹣2，即n＝2，此时两方程分别有根1、﹣2和3、﹣2，仅有共同根x＝﹣2，满足条件， 若相同根为x＝3，则3不是方程ax2+bx+c＝0的根，不满足题意， 综上，n＝﹣1或n＝2． 11．（2026春•海淀区校级月考）解方程： (1)x2－7x+6＝0； (2)(5x－1)2+(5x－1)＝0． (3)3x(x+2)＝x+2； （1）x2﹣7x+6＝0，(x﹣1)(x﹣6)＝0，x﹣1＝0或x﹣6＝0，∴x1＝1，x2＝6． （2）(5x﹣1)[(5x﹣1)+1]＝0，(5x﹣1)(5x﹣1+1)＝0，5x(5x﹣1)＝0，5x＝0或5x﹣1＝0，∴x1＝0，． （3）3x(x+2)﹣(x+2)＝0，(x+2)(3x﹣1)＝0，∴x+2＝0或3x﹣1＝0，∴x1＝﹣2，x2； (4)x2－2x+1＝0； (5)(x－2)(2x－3)＝6． (6)x2﹣4x+8＝0 (4)原方程分解因式可得：(x－1)2＝0，∴x﹣1＝0，∴x1＝x2＝1； (5)(x－2)(2x－3)＝6，2x2－7x＝0，x(2x－7)＝0，则x＝0或2x－7＝0，所以． (6)(x﹣2)2＝0，所以x1＝x2＝2； 12．（2025秋•苏州校级月考）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，求△ABC的周长． 解：原方程分解因式可得：(x﹣3)(x﹣5)＝0，解得x1＝3，x2＝5， ∵2+3＝5，∴△ABC的第三边长不能为5， ∴△ABC的第三边长为3， ∴△ABC的周长为2+3+3＝8． 13．（2023秋•蒲城县校级月考）当x为何值时，代数式－2x2+7x－3与代数式2(x2－9)互为相反数． 解：∵代数式－2x2+7x﹣3与代数式2(x2－9)互为相反数， ∴﹣2x2+7x－3+2（x2－9）＝0， ∴－2x2+7x－3+2x2－18＝0， ∴7x－21＝0，∴x＝3， ∴当x＝3时，代数式－2x2+7x－3与代数式2(x2﹣－9)互为相反数． 14．（2026•拱墅区校级二模）在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算：． 解：原式 第一步 第二步 第三步 习题2：解方程：x2﹣4x﹣12＝0 解：x2﹣4x＝12 第一步 （x﹣2）2＝12+4 第二步 x﹣2＝4 第三步 x＝6 第四步 （1）解答过程中，习题1从第　二　 步开始出现错误，习题2从第　三　 步开始出现错误； （2）任选其中一个习题写出正确的解答过程． （2） 习题1，原式 ； 习题2，x2﹣4x﹣12＝0，(x+2)(x﹣6)＝0，则x+2＝0或x﹣6＝0， 所以x1＝﹣2，x2＝6． 【拓展提升】 15．（2025秋•宜阳县期中）已知x≠0，且x2－xy－6y2＝0，则 的值为（　D　） 解：x2﹣xy﹣6y2＝0，(x﹣3y)(x+2y)＝0，x﹣3y＝0或x+2y＝0，∴x＝3y或x＝﹣2y， ∴或，故选：D． 16．（2025秋•鄱阳县校级月考）已知关于x的方程，则　6　 ． 17．（2025秋•台州月考）我们可以用因式分解法解一些一元二次方程，同样我们也可以用因式分解法解一些一元二次不等式． 如：解一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0， 解：(x﹣3)(x+1)＞0，由两数相乘，同号得正，有或．解得x＞3或x＜﹣1， 所以原不等式的解集为x＞3或x＜﹣1． 请你阅读以上内容，解下列不等式： （1）x2－5x－6＜0； （2）(x－1)(x2+7x－8)＞0． 解：（1）分解因式可得(x+1)(x－6)＜0， ∴或，解得﹣1＜x＜6， ∴不等式的解集为－1＜x＜6； （2）由条件可得(x﹣1)2(x+8)＞0，∴或， 解第一个不等式组得x＞－8且x≠1，解第二个不等式组无解， ∴不等式的解集为x＞－8且x≠1． 学科网（北京）股份有限公司 $