26.2二次函数的图像和性质 讲义 2026-2027学年 人教版九年级数学上册

26.2二次函数的图像和性质（原卷版） 学习目标导航 1、 结合图象深入探究二次函数的性质， 2、 熟练掌握开口方向、对称轴、顶点坐标等 3、 关键要素及其增减性规律。 洞悉◆教材知识 知识点1 二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 知识点2 二次函数的平移： 方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 方法二： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 知识点3 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1、a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． 2、b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 3、c决定了抛物线与轴交点的位置 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b b＝0 对称轴为y轴 ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 经过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 核心题型◆归纳 【题型1】y＝ax²的图像和性质 【题型2】关于二次函数y＝a(x－h)²的叙述 【题型3】二次函数y＝a(x－h)²的图象 【题型4】二次函数y＝a(x－h)²的增减性 【题型5】二次函数y＝a(x－h)²的最值 【题型6】二次函数y＝a(x－h)²与几何综合问题 【题型7】二次函数y＝a(x－h)²+k的性质叙述 【题型8】二次函数y＝a(x－h)²+k的增减性 【题型9】二次函数y＝a(x－h)²+k的最值 【题型10】二次函数y＝a(x－h)²+k的平移问题 【题型11】二次函数y＝a(x－h)²+k与几何性质问题 【题型12】二次函数y＝a(x－h)²+k性质的推理计算与证明 【题型13】二次函数y＝a(x－h)²+k的实际应用 【题型14】二次函数y＝a(x－h)²+k与几何综合问题 【题型15】把y=ax²+bx+c配成顶点式 【题型16】画y=ax²+bx+c的图象 【题型17】二次函数y=ax²+bx+c的图象问题 【题型18】关于y=ax²+bx+c性质的叙述 【题型19】二次函数y=ax²+bx+c的对称性 【题型20】待定系数法求二次函数解析式 【题型21】二次函数y=ax²+bx+c的平移问题 【题型22】二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数之间关系 【题型23】二次函数y=ax²+bx+c的最值问题 【题型24】二次函数y=ax²+bx+c性质的推理计算与证明 【题型25】二次函数y=ax²+bx+c与公共点的计算与证明 【题型26】二次函数y=ax²+bx+c的实际应用问题 【题型27】二次函数y=ax²+bx+c与几何综合问题 分层训练 题型解析◆精准备考 【题型1】y＝ax²的图像和性质 1．给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【题型2】关于二次函数y＝a(x－h)²的叙述 2．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【题型3】二次函数y＝a(x－h)²的图象 3．已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型4】二次函数y＝a(x－h)²的增减性 4．抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型5】二次函数y＝a(x－h)²的最值 5. 已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为 ． 【题型6】二次函数y＝a(x－h)²与几何综合问题 6. 如图，直线与抛线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为，求的面积． 【题型7】二次函数y＝a(x－h)²+k的性质叙述 7．已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．当时，随的增大而减小 【题型8】二次函数y＝a(x－h)²+k的增减性 8．已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为 ． 【题型9】二次函数y＝a(x－h)²+k的最值 9．抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【题型10】二次函数y＝a(x－h)²+k的平移问题 10．某二次函数的图象经过原点，且顶点是． (1)求此二次函数解析式； (2)求此二次函数图象如何平移可以得到图象？ 【题型11】二次函数y＝a(x－h)²+k与几何性质问题 11．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【题型12】二次函数y＝a(x－h)²+k性质的推理计算与证明 12．已知二次函数（h为常数）的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式． (2)将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． (3)已知点在二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 【题型13】二次函数y＝a(x－h)²+k的实际应用 13. 弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动路径可近似看成形状相同的两条抛物线．在如图所示的平面直角坐标系中，x（单位：m）是弹力球距抛出点的水平距离，y（单位；m）是弹力球距地面的高度．甲站在原点处，从离地面的点A处抛出弹力球，弹力球在点B处着地后弹起．已知弹力球第一次着地前抛物线的函数解析式为． (1)求a的值及的长． (2)若弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低． ①求弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的函数解析式． ②如图，如果在地面上摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，此时筐的最左端与原点的水平距离为．若要使得游戏成功，则d的取值范围是________． 【题型14】二次函数y＝a(x－h)²+k与几何综合问题 14．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)求点，，的坐标， (2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型15】把y=ax²+bx+c配成顶点式 15．二次函数的顶点在第________象限？ A．一 B．二 C．三 D．四 【题型16】画y=ax²+bx+c的图象 16．已知二次函数． (1)该二次函数的图象与x轴的交点坐标是_____________、_____________，顶点坐标是_____________； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的大致图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围_____________． 【题型17】二次函数y=ax²+bx+c的图象问题 17．关于的二次函数（其中）的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【题型18】关于y=ax²+bx+c性质的叙述 18．对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点 【题型19】二次函数y=ax²+bx+c的对称性 19．二次函数的图象上有两点和，则此抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【题型20】待定系数法求二次函数解析式 20．求下列抛物线对应的函数解析式： (1)顶点在原点，且过点； (2)过点，，； (3)过点，，； (4)当时，函数值取得最小值为，且此函数图象与轴交于点． 【题型21】二次函数y=ax²+bx+c的平移问题 21．已知二次函数． (1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标； (2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为轴，求的值． 【题型22】二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数之间关系 22．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型23】二次函数y=ax²+bx+c的最值问题 23．已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 【题型24】二次函数y=ax²+bx+c性质的推理计算与证明 24．在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上． (1)判断此抛物线与x轴的交点个数，并说明理由； (2)已知对于，，，总有，求的取值范围． 【题型25】二次函数y=ax²+bx+c与公共点的计算与证明 25．已知在平面直角坐标系中，直线经过点，与抛物线的对称轴交于点． (1)求k，b的值； (2)若抛物线与x轴交于，且，令，求h的最大值； (3)当时，抛物线与直线有且只有一个公共点，求c的取值范围． 【题型26】二次函数y=ax²+bx+c的实际应用问题 26．冬暖夏凉的黄土窑洞藏着四千年的智慧，高窗与厚土交织出天人合一的居住哲学．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形（图2），上部近似为一条抛物线．已知米，米，窑洞的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为4米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若在窑洞的上部安装两根窗框、，点D、E在矩形的边上，点F、G在抛物线上，点D与点E恰好是的三等分点（点D在点E的左侧），求这两根窗框的总长度． 【题型27】二次函数y=ax²+bx+c与几何综合问题 27．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由． 1．如图，二次函数（为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 2．下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是 C．函数图象与y轴交于正半轴 D．y有最大值，最大值为 3．将抛物线平移后得到抛物线，则平移的方式是（　　） A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 4．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．已知一条抛物线经过四点，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 6．如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为___________． 7．在等腰直角三角形中，，点在抛物线上，点在轴上，两点的横坐标分别为1和的值为__________． 8．已知二次函数（，为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，求的值． 9．给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 10．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 12．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 13．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 14．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 15．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 16．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 17．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 18．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过第______象限． 19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，对称轴是直线，下面四个结论中：①；②当时，随的增大而增大；③点的坐标为；④若点在函数的图象上，则；其中正确的是______（只填写序号）． 20．如果一条抛物线经过、两点，那么这条抛物线的对称轴是______． 21．已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为_______． 22．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，关于x的方程有实数根，直接写出t的取值范围． 23．如图，直线分别与轴，轴交于点，抛物线经过点和点，且与轴交于点，连接，求的面积． 24．已知抛物线如图所示，其顶点为，与轴的交点为． (1)作出抛物线关于轴对称的图象． (2)新图象的函数表达式为______． (3)设新图象的顶点为．请你连接，判断四边形的形状，并说明理由． 25．如图，二次函数 的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为 ． (1)求k的值； (2)点M是线段上的动点，将点M向上平移 （）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象上，求h的最大值； (3)在（2）的条件下，若 ，线段与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2二次函数的图像和性质（解析版） 学习目标导航 1、 结合图象深入探究二次函数的性质， 2、 熟练掌握开口方向、对称轴、顶点坐标等 3、 关键要素及其增减性规律。 洞悉◆教材知识 知识点1 二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 知识点2 二次函数的平移： 方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 方法二： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 知识点3 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1、a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． 2、b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 3、c决定了抛物线与轴交点的位置 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b b＝0 对称轴为y轴 ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 经过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 核心题型◆归纳 【题型1】y＝ax²的图像和性质 【题型2】关于二次函数y＝a(x－h)²的叙述 【题型3】二次函数y＝a(x－h)²的图象 【题型4】二次函数y＝a(x－h)²的增减性 【题型5】二次函数y＝a(x－h)²的最值 【题型6】二次函数y＝a(x－h)²与几何综合问题 【题型7】二次函数y＝a(x－h)²+k的性质叙述 【题型8】二次函数y＝a(x－h)²+k的增减性 【题型9】二次函数y＝a(x－h)²+k的最值 【题型10】二次函数y＝a(x－h)²+k的平移问题 【题型11】二次函数y＝a(x－h)²+k与几何性质问题 【题型12】二次函数y＝a(x－h)²+k性质的推理计算与证明 【题型13】二次函数y＝a(x－h)²+k的实际应用 【题型14】二次函数y＝a(x－h)²+k与几何综合问题 【题型15】把y=ax²+bx+c配成顶点式 【题型16】画y=ax²+bx+c的图象 【题型17】二次函数y=ax²+bx+c的图象问题 【题型18】关于y=ax²+bx+c性质的叙述 【题型19】二次函数y=ax²+bx+c的对称性 【题型20】待定系数法求二次函数解析式 【题型21】二次函数y=ax²+bx+c的平移问题 【题型22】二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数之间关系 【题型23】二次函数y=ax²+bx+c的最值问题 【题型24】二次函数y=ax²+bx+c性质的推理计算与证明 【题型25】二次函数y=ax²+bx+c与公共点的计算与证明 【题型26】二次函数y=ax²+bx+c的实际应用问题 【题型27】二次函数y=ax²+bx+c与几何综合问题 分层训练 题型解析◆精准备考 【题型1】y＝ax²的图像和性质 1．给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在时的增减性即可得到答案. 【详解】解：①对于，是一次函数，，随增大而增大，当时符合条件； ②对于，是一次函数，，随增大而减小，不符合条件； ③对于，是反比例函数，，时随增大而减小，当时不符合条件； ④对于，是二次函数，开口向上，对称轴为，时随增大而增大，故当时符合条件； 因此符合条件的是①④，故选C. 【题型2】关于二次函数y＝a(x－h)²的叙述 2．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】根据题目中的函数解析式，直接可以写出对称轴即可； 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：抛物线解析式为： 该抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 【题型3】二次函数y＝a(x－h)²的图象 3．已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质“对于二次函数，开口向上，开口向下”，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示， ∴， ∴， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 【题型4】二次函数y＝a(x－h)²的增减性 4．抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小． 【详解】解：函数的解析式是， 对称轴是直线， 点的对称点为， 对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大， 又， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性及对称性． 【题型5】二次函数y＝a(x－h)²的最值 5．已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为 ． 【答案】1或6 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，分，，三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵当时，函数有最大值， ①当时，则：当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或； ②当时，则当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或； ③当时，则：当时，函数有最大值为：，不符合题意； 故答案为：1或6． 【题型6】二次函数y＝a(x－h)²与几何综合问题 6．如图，直线与抛线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法． （1）令，求出点B，C的横坐标，再将横坐标代入直线解析式求解； （2）作轴交于点D，由求解． 【详解】（1）解：令， 解得：，， 将分别代入得，， ∴点B坐标为，点C坐标为． （2）解：作轴交于点D，如图所示： ∵， ∴抛物线顶点A坐标为， 将代入得， ∴点D坐标为，， ∴ ． 【题型7】二次函数y＝a(x－h)²+k的性质叙述 7．已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、对称轴为，故此选项说法错误，不符合题意； B、顶点坐标为，故此选项说法错误，不符合题意； C、函数的最大值是，故此选项说法正确，符合题意； D、当时，随的增大而减小，故此选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【题型8】二次函数y＝a(x－h)²+k的增减性 8．已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为，图象开口向上；利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴距离对称轴越近，函数值越小， 而， ∴， 故答案为：． 【题型9】二次函数y＝a(x－h)²+k的最值 9．抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【答案】；5 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据解析式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而得到离对称轴越远函数值越大，再确定当且仅当时，函数有最大值并计算出最大值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即最小值为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，当且仅当时，函数有最大值，最大值为， 故答案为；；5． 【题型10】二次函数y＝a(x－h)²+k的平移问题 10．某二次函数的图象经过原点，且顶点是． (1)求此二次函数解析式； (2)求此二次函数图象如何平移可以得到图象？ 【答案】(1) (2)向左1个单位，向上2个单位 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据某二次函数的图象经过原点，且顶点是，设，把代入，得，即可作答． （2）结合“左加右减、上加下减”进行作答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象的顶点是， ∴， 把代入， 解得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 则二次函数图象向左1个单位，向上2个单位平移可以得到图象， 【题型11】二次函数y＝a(x－h)²+k与几何性质问题 11．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【题型12】二次函数y＝a(x－h)²+k性质的推理计算与证明 12．已知二次函数（h为常数）的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式． (2)将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． (3)已知点在二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象的平移变换、二次函数的性质等知识点，掌握平移的规律以及二次函数的对称性是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用平移的规律求得平移后的解析式，再代入原点坐标求得n的值即可； （3）根据题意点关于对称轴对称，则，由，得出，即，然后利用图象上点的坐标特征即可求得m的取值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（h为常数）的图象经过点 ∴，解得， ∴此二次函数的表达式为． （2）解：将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，得到，即， ∵图象恰好经过原点， ∴，解得或， ∵， ∴n的值为2． （3）解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵当时，， 当时，， ∴m的取值范围是． 【题型13】二次函数y＝a(x－h)²+k的实际应用 13．弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动路径可近似看成形状相同的两条抛物线．在如图所示的平面直角坐标系中，x（单位：m）是弹力球距抛出点的水平距离，y（单位；m）是弹力球距地面的高度．甲站在原点处，从离地面的点A处抛出弹力球，弹力球在点B处着地后弹起．已知弹力球第一次着地前抛物线的函数解析式为． (1)求a的值及的长． (2)若弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低． ①求弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的函数解析式． ②如图，如果在地面上摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，此时筐的最左端与原点的水平距离为．若要使得游戏成功，则d的取值范围是________． 【答案】(1),米 (2)；． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与一元二次方程，利用待定系数法求出抛物线解析式是解题的关键． （）将点坐标代入解析式，即可求出的值； （）由（）可得弹力球第一次着地前抛物线的解析式，再令，解方程求出的值，即可得出点坐标，再根据条抛物线形状相同，且弹力球在处着地后弹起的最大高度为着地前抛物线最大高度的一半以及点坐标，即可求出弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的表达式；l把代入，解方程求出的值与框的位置比较即可． 【详解】（1）解：∵点是抛物线的起点， ∴， 解得， 则， 当时，， 解得， (不合，舍去)， ∴点的横坐标为； ∴； （2）解：由（）知，点的横坐标为5； ∵两条抛物线形状相同，弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低． ∴， 设弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线解析式为， 将点代入该解析式，得， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴ 弹力球第一次着地后的弹起降落形成抛物线解析式为； 令中，则， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴弹力球第二次落地点距离原点米， ∵筐的最左端与原点的水平距离为．在地面上摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐， 当代入， 得 解得或， ∵时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， ∴由题意可知, 解得： ∴要使得游戏成功，则d的取值范围是． 故答案为：． 【题型14】二次函数y＝a(x－h)²+k与几何综合问题 14．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)求点，，的坐标， (2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与坐标轴的交点，一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）分别令，，利用解析式解答即可； （2）先求出，过点作所在直线于点，设，则，利用铅锤法得出，列式求解即可． 【详解】（1）解：令，得， 则， 令，得， 解得：，， ∴，； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作所在直线于点， 设，则， 则， 则， 同理当点在抛物线上段时，， 当点在抛物线上点右侧时，， 综上，， 则， ∴， 即， 当时，解得，， 分别代入， 得，， 即点的坐标为或； 当时，由，无解； 综上所述，点的坐标为或 【题型15】把y=ax²+bx+c配成顶点式 15．二次函数的顶点在第________象限？ A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的性质，判断点所在象限，熟练掌握顶点式二次函数的性质是银题的关键． 先将抛物线解析式化成顶点式，再写出顶点坐标，然后根据坐标符号判断其所在象限即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点在第一象限． 故选：A． 【题型16】画y=ax²+bx+c的图象 16．已知二次函数． (1)该二次函数的图象与x轴的交点坐标是_____________、_____________，顶点坐标是_____________； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的大致图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围_____________． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象． （1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标即可； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象； （3）结合二次函数图象，写出当时对应的y的取值范围． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ∴二次函数图象与轴的交点坐标是，， ∵， ∴该二次函数图象顶点坐标为； （2）解：列表： 描点，连线，如图： （3）解：由图象可知，当时，． 【题型17】二次函数y=ax²+bx+c的图象问题 17. 关于的二次函数（其中）的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数法图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关系．根据开口方向，对称轴，与x轴交点逐项判断即可． 【详解】解：在中： ∵， ∴函数图象开口向下． ∵对称轴为， ∴函数对称轴在y轴右侧，C选项不正确， 令代入二次函数得， 则． ∵， ∴， ∴方程有两个不同实数根，即二次函数的图象与轴有两个不同交点， 设二次函数的图象与轴有两个不同交点的横坐标分别为， 又∵，则， ∴ ∴二次函数的图象与轴的两个交点在轴的右侧， ∴只有D选项符合题意， 故选：D． 【题型18】关于y=ax²+bx+c性质的叙述 18．对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；把二次函数化为顶点式，根据顶点式即可对各选项进行判断． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，当时随的增大而减小，故A选项错误 当时， 有最大值，与轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确， 故选：B． 【题型19】二次函数y=ax²+bx+c的对称性 19．二次函数的图象上有两点和，则此抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知抛物线上对称的两点求对称轴，此抛物线的对称轴是直线，即可求解； 【详解】解：∵点和是抛物线上对称的两点， ∴此抛物线的对称轴是直线， 故选：A 【题型20】待定系数法求二次函数解析式 20．求下列抛物线对应的函数解析式： (1)顶点在原点，且过点； (2)过点，，； (3)过点，，； (4)当时，函数值取得最小值为，且此函数图象与轴交于点． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）设抛物线解析式为，再然后把代入求出a即可； （2）设抛物线解析式为，然后把，，代入得三元一次方程组，解方程组即可； （3）设抛物线解析式为，然后把代入求出a即可； （4）设抛物线解析式为，然后把代入求出a即可． 【详解】（1）解：∵顶点在原点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， ∴抛物线解析式为； （2）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线过点，，， ∴， 解得：，，， ∴抛物线解析式为； （3）解：∵抛物线过过点，， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （4）解：∵当时，函数值取得最小值为， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为． 【题型21】二次函数y=ax²+bx+c的平移问题 21．已知二次函数． (1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标； (2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为轴，求的值． 【答案】(1)二次函数的对称轴为，顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数的性质； （1）通过配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而求解； （2）根据平移的性质得出新抛物线的解析式为，然后由平移后的函数的对称轴为y轴得到，最后求解即可． 【详解】（1）解：配方： ， 所以二次函数的对称轴为，顶点坐标为； （2）由题意得：平移后的二次函数表达式为， 所以对称轴为， 因为平移后的二次函数对称轴是轴， 所以， 解得． 【题型22】二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数之间关系 22．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标判断①，开口方向，对称轴，与轴的交点判断②和④，特殊点判断③即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴该图象经过点；故①正确； 由图象可知：， ∵对称轴为， ∴， ∴；故②④错误； ∵图象经过点； ∴，故③正确； 故选B． 【题型23】二次函数y=ax²+bx+c的最值问题 23．已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据对称轴公式进行求解即可； （3）分和，根据最值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得：； （2）由题意，对称轴为直线； （3）当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 解得：； 当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大，即：， 解得：； 综上：或． 【题型24】二次函数y=ax²+bx+c性质的推理计算与证明 24．在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上． (1)判断此抛物线与x轴的交点个数，并说明理由； (2)已知对于，，，总有，求的取值范围． 【答案】(1)两个，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据抛物线解析式并结合一元二次方程根的判别式可得，由此判断即可得解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，，再分两种情况：当时；当时；求出的取值范围，再结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：此抛物线与x轴的交点个数为两个，理由如下： ∵抛物线， ∴， ∴此抛物线与x轴的交点个数为两个； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 当时， ∵对于，，总有， ∴如图所示： ∴由图可得：， 解得， 当时，可以取到，此时，与题意矛盾，舍去； ∵， ∴为关于的二次函数，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，． 【题型25】二次函数y=ax²+bx+c与公共点的计算与证明 25．已知在平面直角坐标系中，直线经过点，与抛物线的对称轴交于点． (1)求k，b的值； (2)若抛物线与x轴交于，且，令，求h的最大值； (3)当时，抛物线与直线有且只有一个公共点，求c的取值范围． 【答案】(1)1，1 (2) (3)或 【分析】（1）将和分别代入直线表达式中可求得k和n值，再根据抛物线的对称轴公式求解b值即可； （2）由题意可得，抛物线的对称轴为直线，进而得到，再结合得出，则，最后根据二次函数的性质求最值即可； （3）联立方程组可得，然后分两种情况，分别结合方程根取值范围求解即可． 【详解】（1）解：将点代入可得：，解得， ∴直线方程为， 把代入得：解得，即交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵抛物线与x轴交于，， ∴对称轴为， ∴，即， ∵， ∴，即，解得：． ∵ ∴对称轴为，， ∴当时，h的最大值为． （3）解：联立直线和抛物线，可得，即， 令，对称轴为直线， 当时，二次函数g的图象与x轴有且只有一个公共点，分两种情况： ①当二次函数g的图象的顶点在x轴上时满足条件，此时，解得； ②当时，， 当时，， 根据图象可知，当时满足条件，解得：， 综上，c的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合、待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、求二次函数的最值问题、两个函数图象的交点问题、解一元二次方程、解一元一次不等式组等知识点，认真分析题意、找寻知识之间的关联点是解题的关键． 【题型26】二次函数y=ax²+bx+c的实际应用问题 26．冬暖夏凉的黄土窑洞藏着四千年的智慧，高窗与厚土交织出天人合一的居住哲学．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形（图2），上部近似为一条抛物线．已知米，米，窑洞的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为4米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若在窑洞的上部安装两根窗框、，点D、E在矩形的边上，点F、G在抛物线上，点D与点E恰好是的三等分点（点D在点E的左侧），求这两根窗框的总长度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质. （1）由题意知，顶点P的坐标为，设抛物线的函数表达式为，将代入，求解即可； （2）由题意知，，当时，求出，由对称性可知，即可得解. 【详解】（1）由题意知，顶点P的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）由题意知，， ， 当时，， 由对称性可知， ， 故这两根窗框的总长度为米． 【题型27】二次函数y=ax²+bx+c与几何综合问题 27．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象与性质，正确求出二次函数解析式是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出，，求出直线的函数表达式为，设，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）作轴交BC于点E，求出直线的函数表达式为，设，求出，得，，根据的面积等于3得，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：令，解得或， ∵， ∴，， 如图1， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴ 解得， ∴直线的函数表达式为， 由（1）得抛物线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵， ∴线段有最大值为． （3）解：如图2，作轴交BC于点E， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得 ∴直线的函数表达式为， 设， 令，解得， 则， ∴， ∴的面积， ∵的面积等于3， ∴，解得或． 1．如图，二次函数（为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等，①由图象得，，由对称轴可判断b的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断． 【详解】解：①由图象得：，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线，图象与x轴交于点， ∴图象与x轴交于另一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（m为任意实数）， ∴， ∵， ∴，故③错误； ④由②得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故正确的结论有：①④， 故选：D． 2．下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是 C．函数图象与y轴交于正半轴 D．y有最大值，最大值为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质．由解析式 可知其为顶点式，通过分析开口方向、顶点坐标、与y轴交点及最值，逐一判断选项． 【详解】解：∵ 二次函数 中，， ∴ 图象开口向上，故A错误； ∵ 顶点形式为 ，其中，， ∴ 顶点坐标为 ，故B错误； 当时，， ∴ 函数图象与 y 轴交于正半轴，故C正确； ∵ ，开口向上， ∴ y 有最小值，最小值为，故D错误． 故选：C． 3．将抛物线平移后得到抛物线，则平移的方式是（　　） A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握抛物线顶点式（）中，的变化对应图象左右平移（时向右平移，时向左平移）． 先确定原抛物线与平移后抛物线的顶点坐标，原抛物线的顶点为，平移后抛物线的顶点为；对比两个顶点的横坐标变化，从到是增加，据此判断平移方向． 【详解】解：原抛物线可化为，顶点坐标为； 平移后抛物线,可化为，顶点坐标为 顶点从到，横坐标增加，即抛物线向右平移个单位，与选项D一致． 故选：D． 4．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设，利用矩形的性质得到四边形周长，然后根据二次函数的性质解决问题． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴四边形周长， ∴当时，四边形周长有最大值，最大值为， 故选：C． 5．已知一条抛物线经过四点，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设出抛物线的解析式，然后利用点A的坐标求出常数项，利用纵坐标相同的点B与点C ，求出对称轴进而得知抛物线一次项系数与二次项系数的关系式，点D带入解析式即可求出. 【详解】解：设抛物线的解析式为 将点A(0,10)代入解析式得 ， 得， 故解析式为； 点B()和C()的纵坐标相同， 即点B与点C关于抛物线的对称轴对称。 对称轴为两点横坐标的中点为 已知抛物线的对称轴公式为， 将D(3,1)代入解析式： 整理得 又 解得； . 故抛物线的解析式为. 故选：C. 【点睛】本题考查了抛物线的对称性及已知点坐标求抛物线的解析式，熟练掌握抛物线的性质是解答本题的关键. 6．如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理及其逆定理，根据二次函数的图象的性质得出阴影部分的面积等于三角形的面积是解题的关键．设两抛物线的另一个交点为A，抛物线与x轴交于另一点B，先求得A、B的坐标，然后根据勾股定理及其逆定理可推出为等腰直角三角形，接着由抛物线的对称轴可推出阴影部分的面积等于的面积，最后计算三角形面积即可求解． 【详解】解：设两抛物线的另一个交点为A，抛物线与x轴交于另一点B，如图，连接、， 则， 解得或， ∴两抛物线的交点分别为原点和， 对于，令，即，解得或2， ∴， ∴，，， ∴，且， ∴为等腰直角三角形，， 又∵的对称轴为直线， ∴阴影部分的面积等于的面积， ∴阴影部分的面积． 故答案为：1． 7．在等腰直角三角形中，，点在抛物线上，点在轴上，两点的横坐标分别为1和的值为__________． 【答案】2 【分析】先求得，接着过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，，那么，结合点坐标得到，然后解方程算得答案即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， 两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∴， 如图所示：过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，通过构造“型全等”三角形，结合点在抛物线上的坐标关系建立方程求解是关键． 8．已知二次函数（，为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，求的值． 【答案】 【分析】先确定顶点坐标为，可得最小值为，当时，函数取得最大值，为，即可列方程求解． 【详解】解：， 顶点坐标为， ，即抛物线开口向上，，最小值为， 当时，该函数的最小值为， ， 当时，函数取得最大值，为， 由题意可得， 解得． 9．给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在时的增减性即可得到答案. 【详解】解：①对于，是一次函数，，随增大而增大，当时符合条件； ②对于，是一次函数，，随增大而减小，不符合条件； ③对于，是反比例函数，，时随增大而减小，当时不符合条件； ④对于，是二次函数，开口向上，对称轴为，时随增大而增大，故当时符合条件； 因此符合条件的是①④，故选C. 10．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入，得 11．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 12．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【答案】D 【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据顶点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误； ∵该函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确． 13．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 14．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 15．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入式子中相应的位置即可求出函数值． 【详解】将代入得 ． 16．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将代入，得 17．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 18．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过第______象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断．根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，对称轴是直线，下面四个结论中：①；②当时，随的增大而增大；③点的坐标为；④若点在函数的图象上，则；其中正确的是______（只填写序号）． 【答案】①④ 【分析】观察到抛物线开口向下，则，因为抛物线对称轴是直线，所以当时，随的增大而减小，根据对称性得，所以，因为越靠近对称轴的所对应的函数值越大，所以．本题考查二次函数图与系数的关系，二次函数的性质，关键是利用函数的图象和性质解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 故①正确； 抛物线对称轴是直线，开口向下， 当时，随的增大而减小， 故②错误； ，对称轴是直线， ∴， ， 故③错误； 抛物线开口向下， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵点在函数的图象上， ， ， 故④正确． 故答案为：①④． 20．如果一条抛物线经过、两点，那么这条抛物线的对称轴是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及抛物线对称轴的求解，抛物线上的两点纵坐标相同，说明它们关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的中点． 【详解】解：点和的纵坐标均为，因此这两点关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线． 故答案为：． 21．已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性求函数值，因为由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可作答． 【详解】解：由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为， 则， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 22．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，关于x的方程有实数根，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）把和代入即可求解； （2）求出抛物线在的函数值范围即可求解． 【详解】（1）解：把和代入得， ，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：由抛物线的表达式为，方程可化为， ∵的对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴t的取值范围为． 23．如图，直线分别与轴，轴交于点，抛物线经过点和点，且与轴交于点，连接，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的应用、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据直线分别求得点和点的坐标，利用待定系数法求得抛物线的解析式，进而求出点的坐标，利用勾股定理逆定理判断是直角三角形，根据直角三角形的面积公式求解的面积即可． 【详解】解：将代入直线解析式得，，则， 将代入直线解析式得，，解得，则， 将和代入抛物线得，、 ， 解得， 因此，抛物线的解析式为， 抛物线对称轴为， 则， 、、， 则， 所以是直角三角形， 因此，的面积为， 答：的面积为． 24．已知抛物线如图所示，其顶点为，与轴的交点为． (1)作出抛物线关于轴对称的图象． (2)新图象的函数表达式为______． (3)设新图象的顶点为．请你连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)四边形为菱形．理由见解析 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）根据对称之后的图像特征求解析式即可； （3）先证明四边形为平行四边形，再根据证明菱形． 【详解】（1）解：抛物线关于轴对称的图象如图． （2）解：抛物线关于轴对称之后开口方向向下，开口大小不变，顶点坐标为， 故答案为：． （3）解：如图，四边形为菱形．理由如下： 点关于轴对称，点关于轴对称， ， 四边形为平行四边形． 又四边形为菱形． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 25．如图，二次函数 的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为 ． (1)求k的值； (2)点M是线段上的动点，将点M向上平移 （）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象上，求h的最大值； (3)在（2）的条件下，若 ，线段与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围． 【答案】(1)k的值为 (2)h的最大值为 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图形上点坐标的特征，解题的关键是用含m的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）把代入得，解得k的值为． （2）根据题意，轴且在抛物线上，设，则，求出，根据二次函数性质可得答案． （3）求出，，把M向上平移个单位得到点，由线段与二次函数的图象有公共点，知，即可解得答案． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ∴k的值为． （2）根据题意，轴且在抛物线上，如图： 由（1）知直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，h取最大值， ∴h的最大值为． （3）由得或， ∴，， 同（2）当M的横坐标为m时，， ∵把M向上平移个单位得到点， ∴， ∵线段与二次函数的图象有公共点， ∴， ∴， 解得或， ∵点M在线段上，， ∴或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $