第10讲 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第10讲二次函数v=ax2+bx+c的图象和性质 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破一析考点破方法：典型题型深度拆解 题型1把y=x2+bx+c化成顶点式 题型2画y=x2+bx+c的图象 题型3y=x2+bx+c的图象与性质 题型4利用y=ax2+bx+c的性质求解 题型5二次函数的图象与各项系数的符号 题型6一次函数、二次函数图象的综合判断 题型7二次函数图象的平移 题型8y=ax2+bx+c的图象与性质综合 04过关检测→练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.会用配方法将一般式化为顶点式=αx-)+k,确定顶点坐标和对称轴。 一般式、配方法、顶 2能根据公式直接写出顶点坐标（一2a44aD)和对称轴x=一2a。 b 4ac-b2 b 点坐标、对称轴、最 3.掌握二次函数y=ax2+x+c的开口方向、顶点、对称轴、增减性、最值等 值 2a° 性质。 4.体会转化思想（一般式化灯顶点式）和数形结合思想，提升代数运算与函数 分析能力。 学习重点：用配方法或公式法确定二次函数的顶点坐标和对称轴，并由此分析其性质。 学习难点：配方法的熟练运用（特别是二次项系数不为1时的处理），以及理解顶点坐标公式的推导 过程。 02教材全解 1/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知|识|框|架 顶点坐标符号错误 配方法系数提取错误 高频易错点 对称轴计算失误 提二次项系数 一般式与顶点式互化 配方法步骤 配方加一次项系数一半平方 开和方向判断 一般式与顶点式互化 化为顶点式 高频考点 增减性应用 顶点坐标公式(-b/2a,4ac-b2/4a) 最值求法 对称轴公式X=-b/2a a决定开口方向与大小 二次函数y=ax2+bx+c 形状 抛物线 b与a共同决定对称轴位置 系数与图象关系 的图象和性质 对称轴 直线×=-b/2a c决定与y袖交点位置 顶点坐标(-b/2a,4ac-b2/4a) 图象特征 a越大开口越小 a>0响上 开和大小 开口方南 a越小开口越大 a<0响下 X<-b/2a时y随x增大而减小 与y轴交点(0，c) a>0 >-b/2a时y随x增大而增大 与x轴交点对应方程ax2+bx+C=0的根 培减性 图象性质 X<-b/2a时y随x增大而增大 a<0 X>-b/2a时y随x增大而减小 a>0时最小值4ac-b2/4a 最值 ac0时最大值4ac-b/4a 知|识I精|讲 知识点O1二次函数=ax2+bx+c的图象和性质 一、基本形式与系数含义 y=a2+bx+c(a产0) 系数 名称 作用 a 二次项系数 决定开口方向、开口大小 b 一次项系数 影响对称轴位置 常数项 决定与y轴交点 二、图象特征 1.开口方向 a>0:开口向上→有最小值 a<0:开口向下→有最大值 2.开口大小 由a决定：a越大，抛物线越窄；a越小，抛物线越宽 3.顶点坐标： b 4ac-b2 2a 4a b 4.对称轴：直线x= 2a,是一条竖直直线。 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.与y轴交点：(0，c) 6.与x轴交点（根的个数） 由判别式△=b2-4ac决定： △ 交点个数 说明 △>0 2个 与x轴交于两点 △=0 1个 与x轴相切（顶点在x轴上） △<0 0个 与x轴无交点 三、函数性质 1.定义域：全体实数 2.值域 4ac-b2 a>0(开口向上)：24a a<0(开口向下)：y 4ac-b2 4a 3.单调性 a>0时：在x≤2a上单调递减：在之 b 2a 上单调递增 a<0时：在52a上单调递增：在这2 b 上单调递减 4.最值 a>0:最小值m= 4ac-b2 4a (在x= 20处)：无最大值 4ac-b2 a人0：最大值a= b 4a （在x=2a处)：无最小值 四、图象画法（五点法） 步骤： 1.求顶点： b 4ac-b2 2a’4a b 2.求对称轴：直线x= 2a 3.求与y轴交点(0，c) 4.求与x轴交点（若存在） 5.取对称点，平滑连线 五、系数ab,c的几何意义总结 3/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 系数 作用 判断方法 a 开口方向与大小 a>0向上，K0向下；a越大越窄 与y轴交点 (0,c) b 影响对称轴 b 对称轴：直线x=一 2a 【易错提醒】 二次函数y=+bx+c(a0),心0开口向上，K0向下。顶点公式 b 4ac-b2 2a’4a 对称轴：直线x 2Q。注意配方法求顶点时物算错符号，c是y轴截距。 即时即练1.对于抛物线y=x2-4x+1,下列说法正确的是() A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标为(2，-3) C.抛物线的对称轴为直线x=-2 D.当x>一2时，y随x的增大而增大 2.己知二次函数y=x2+bx+2的图象经过点(1，-1) (1)求该函数图象的顶点坐标： (②)若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点(2，m),求m的值. 3.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3)、（-3,0) S/ 4 3 2 -4-3-2-1012345衣 -2 3 5 I)求b、c的值： (2)画出该函数的图象； 3)若x>m时，y随x的增大而增大，则m的最小值为一： 4)该函数图象向上平移一个单位长度后，所得函数的图象与x轴只有一个公共点 4/15 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 … -4 3 -2 0 … 。。。0 3 -1 0 3 0。。。 03 题型突破 题型1把y=a心2+bx+c化成顶点式 【例1】将二次函数y=x2-4x+3化成y=a(x+m+k的形式为. 【例2】将二次函数y=2x2-4x+6化为y=a(-h)+k的形式，结果为一 【技巧归纳】 用配方法：提，括号内配方，加一次项系数一半平方，再减去乘a。整理得y=c)2+k,=-1(2), k=(4c-b2)/(4。J顶点，)。 【变式1-1】把二次函数y=r-2x+4变形为y=a(x-h)'+k的形式，则h+k的值为 【变式1-2】将二次函数y=2x2+4x+1化成y=a(x+h+k的形式，则h+k的和为 题型2画y=ax2+bx+c的图象 【例3】己知二次函数y=x2+mx+n经过(，-2)和(4,1)两点. 4 -1 123.45x 2 3 (1)求二次函数的表达式. (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象. 5/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 )当x满足t≤x≤5时，y的最大值为a,最小值为b,且a+b=4,直接写出t的值. 【例4】在二次函数y=a2+bx-3中，图象经过点(-3,0)和(1,0)」 -4-3-2-10 1234 -1 3 4 (I)求二次函数的表达式： (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象： 3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当2≤x≤4时，若图象对应的函数最小值为-3，直接写出 n的值 【技巧归纳】 先确定顶点、对称轴，再与y轴交点(0，c)及与x轴交点（判别式）。取对称点连线，五点法：顶点、左右 各取两点。心0开口向上，K0向下。草图反映最值、增减性 【变式2-1】抛物线L:y=a2+bx+c经过点A(1,-)和点B(5,-),且与y轴交于点C(0,4) 8 61 5 4 3 7-6-5-4-3-2-10 12345678 2 5 6 8 (1)求抛物线乙的函数表达式. 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求抛物线L的顶点坐标，并在给定的平面直角坐标系中画出抛物线L, 3)将抛物线L向左平移k(k>0)个单位长度后得到抛物线L2,当1≤x≤4时，抛物线L的最大值为P,最 小值为9.若p-9=3,请直接写出k的值. 0 1 3 6 -1 -5 -1 【变式22】已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标'的对应值如下表所示： -3 0 0 -3 -4 0 01 ()求这个二次函数的表达式： (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； 3)若图象与x轴交点坐标为B、C、与Y轴的交点坐标为A.求三角形ABC的面积 4)当4<x<1时，直接写出y的取值范围. 题型3y=ax2+bx+c的图象与性质 【例5】己知二次函数y=-x+2x+3,下列关于这个函数图象性质的说法，正确的是() A.图象的开口向上 B.图象的顶点坐标是(1,3) C.图象与x轴有唯一交点 D.当x≤1时，y随x的增大而增大 【例6)关于二次函数y=-2x+4x-1,下列说法正确的是() A.图象开口向上 B.对称轴是直线x=-1 C.当x=1时，y有最大值1 D.当x>1时，y随x的增大而增大 【技巧归纳】 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 L定开口与增减，c定y轴交点。对称轴x=-b1(20,顶点坐标公式。判别试4=b24c决定与x轴交点个 数。最值在顶点，对称轴两侧单调性相反。 【变式31】关于二次函数y=2x2+x-2描述错误的是() 1 A.对称轴是直线x=一 4 B.对称轴右侧y随x增大而增大 C.与y轴交点是(0，-2) D.与x轴无交点 【变式3-2】已知二次函数y=2xr2-4x+1, 则下列关于该函数的结论正确的是() A.顶点坐标为 B.函数的最大值为-1 C.当x≤2时，y随x的增大而减小 D.若2<x<x,则出< 题型4利用y=ax2+bx+c的性质求解 【例)抛物线y=-x+2x+C上有三点(-2，片)，（-山，)，(2，)，则，2，为的大小关系是 (用“<”连接) 【例8】二次函数y=x-2x+2的最小值为 【技巧归纳】 根据判断开口和最值；利用对称轴求顶点：利用4判定交点。由已知点代入得方程求系数。比较函数值 时，画草图或利用增减性，对称轴到点距离影响函数值大小。 【变式41】在平面直角坐标系中，设二次函数y=(x+ax-a-6),其中a≠0. (1)此二次函数的对称轴为直线x=一： (2)己知点P化，m)和Q(7,n)在此函数的图象上，若m≤n,则t的取值范围是 【变式42】已知二次函数y=-x-4x-a2,当-1≤x≤2时，y的最大值为3，则a的值为一 题型5二次函数的图象与各项系数的符号 【例9】已知二次函数y=ar+br+c(a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=2,现有下列结论， 其中错误的是() 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O12 A.abc>0 B.4a+b=0 C.c-3a=0 D.16a+4b+c<0 【例10】二次函数y=r+br+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-l,0),对称轴为直线x=1,下 列结论：①c>0,②2a+b=0,③4a+2b+c<0,④当y>0时，-1<x<3,其中正确的结论有() A. ①② B.①④ C.①②④ D.①③④ 【技巧归纳】 正开口向上，负向下：c为y轴交点：b符号由对称轴位置判定：左同右异（对称轴在y轴左侧，ab同 号；右侧异号)。4正与x轴两交点，4零-交点。 【变式51】如图是二次函数y=ar2+bx+c(a≠0)图象的一部分.对称轴是x=1,且过点（-1,0)，下列说 法：①abc>0,②2a+b=0,③4a-2b+c<0,④当x≥1时，y随x的增大而减小，⑤a-3b+2c<0,其 中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式52】抛物线y=ar+br+c(a≠0)的部分图象如图所示，其顶点P的坐标为(L,n),抛物线与x轴的 个交点A在(3,0)和(4,0)之间，有以下结论： ①abc>0: 9/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②3a+c>0: ③n=c-a; ④关于x的一元二次方程ar2+br+c=n有两个相等的实数根. 其中，正确结论的个数为() 4 -2-101234x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型6一次函数、二次函数图象的综合判断 【例11】在同一个平面直角坐标系中，二次函数y=x-b,y=-x+b的图象可能是() : 【例12】在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ar-c与二次函数y=ax2+4x+c的图象可能是() 【技巧归纳】 先确定各自系数的符号范围，再检验公共交点是否一致。假设一个成立，推导参数符号，验证另一个图象 是否可能共存。常用排除法，如开口方向与一次函数增减性矛盾则错： 【变式61】如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(4,-5),B(1,-2),则关于x的方程 ax2+bx=mx+n的解为一 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式6-2】如图所示，二次函数=ax2+br-3的图像与一次函数片=-x+m的图像交于A(-1,0), B(2,-3)两点，当ax2+bx-3<x+m时，自变量x的取值范围是 题型7二次函数图象的平移 【例13】将抛物线y=(x-2+1向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的新抛物线的 表达式为() A.y=(x-1)-1B.y=x2+2 C.y=(x-1)2+3D.y=(x-3)}-1 【例14】如果将某一抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是 y=2(x-2)+1,那么原抛物线的表达式是() A.y=2(x-3)2+3 B.y=2(x-1)+3C.y=2(x-1)-1D. y=2(x-3)}2-1 【技巧归纳】 平移口诀：左加右减（对x),上加下减（对整体）。从y=开始，先平移再平移k。注意符号： Jy=(x)+k中，心0向右，~0向上；反之向左向下。直接写解析式。 【变式7-1】将抛物线y=2(x-+3向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式7-2】将抛物线y=-2x2+12x-12先向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到的新抛物 线的顶点为 题型8y=ax2+bx+c的图象与性质综合 【例15】已知二次函数y=2-mx+2m-3(m为常数）. )若该函数图象上有两个点A(m+2,片)、B(m-l,),试比较片与2的大小： (2)当2≤x≤4时，函数有最小值为-2，请直接写出m的值 【例16】在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(-3,0)和点C(0,3) (1)求该二次函数的表达式： (②)已知点M(m,n)在该二次函数的图象上，当-2≤m<2时，求n的取值范围： 3)当t≤x≤t+1时，二次函数的最大值为2t,求出t的值. 【技巧归纳】 综合应用：(D、C决定开口、对称轴、交点及最值。配方法求顶点；4判定交点；求面积用交点坐标； 比较大小利用到对称轴距离。图象信息题从开口、对称轴、特殊点突破。 【变式81】已知二次函数y=ar2-3axr+2(a为常数且a≠0). (1)当点P(2,0)在该函数图象上时，求a的值， (2)当x=m和x=n时(m≠n),函数值相等，求m,n之间的关系式. 3)若a=1时，当t≤x≤t+1时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t的值. 【变式82】如图，二次函数y=a2+bx+3的图象经过点A(-1,0),点B(2,3) 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 备用图 (1)求此二次函数的解析式： (②)当-5≤x≤3时，求二次函数y=ax2+bx+3的最值： (③)点M为此函数图象上任意一点，其横坐标为m,过点M作MN∥x轴，点N的横坐标为-m+3.已知 点M与点N不重合，且线段MN的长度随m的增大而减小，求m的取值范围. 04 过关检测 一、单选题 1.抛物线y=x2-6x+2的顶点坐标为() A.(3,-7) B.(3,7) C.（-3,-7) D.（-3,7) 2.已知(1，乃)，(2，)，(4，y)是抛物线y=-x2+4x+m上的点，则片、2、乃的大小关系为() A.<y2<y3B.y2<y3< C.y<y3<y2 D.y3<y<y2 3.已知二次函数y=x2-2x+3,下列说法错误的是() A.开口向上 B.对称轴为直线x=1 C.顶点坐标为(1，-4) D.当x>I时，y随x的增大而增大 4.二次函数y=x2-bx+C的图象如图所示，对称轴为直线x=2,下列说法正确的是() 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.b=2 B.当x<3时，y随x的增大而增大 C.c<-5 D.当c=4时，抛物线的顶点坐标为(2，-8) 5.已知二次函数y=x2-2ax+a2+2,当自变量x满足a-1≤x≤a+2时，函数y的最小值为2，则a的值 为() A.0或2 B.1或3 C.任意实数 D.2或4 二、填空题 6.y=2+2x-x2的开口方向是 一；最大值是 7.已知点（-2，y),(3,)在二次函数y=x2-2x+m的图象上，比较为一2. (填>、<或=). 8.已知抛物线y=x2-4x+1,当-1≤x≤4时，函数y的最大值是一 9.已知点P(1,m),Q(3,m)都在抛物线y=ax2-bx+1上，则b=一（用含a的代数式表示）. 10.如图，抛物线y=ar2+br+c的对称轴是直线x=-1.有下列结论：①abc<0;②4a+c<2b;③若 (:,)和(：，)是抛物线上的两点，则当+>：+时，片>：④抛物线的顶点为(1，m),则关于x 的方程ax2+bx+c=m-1无实数根.其中正确结论是 (只需填写序号) 三、解答题 11.通过配方，写出函数y=-2-3x+5的顶点式，并写出其开口方向、对称轴和顶点坐标. 12.已知二次函数y=2ar2+4ar-3(a≠0). 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求该函数图象的对称轴： ②)当a>0时，点M(-3,m),N(-2,n)在该函数图象上，比较m,n的大小并说明理由. 13.在直角坐标系中，抛物线y=ax+br+1(a,b是常数，a≠0)与y轴相交于点A. (1)若抛物线经过点(1,6)，（-2,3)，求a,b的值： (②)已知3a+b=0,若-1≤x≤2，y有最大值9，求a的值， 14.己知二次函数y=ar+br+c(a≠0)中的x和y满足下表： -2 0 0 -1 0 3 ()根据表格内容，求该二次函数的表达式和顶点坐标； (②)在图中平面直角坐标系中画出上述二次函数的图象，并在图象上标出A(-2,0),B(1,3): 5 3 -5-4-3-2-1 O12345x 2 3 3)将(2)中二次函数的图象向右平移(n>0)个单位长度，当-2≤x≤1时，新函数的最大值为2，请直 接写出n的值. 15.在平面直角坐标系中，平移抛物线2：y=x2-2x+c的图象，若其顶点P始终都在直线y=a+b(k, b均为常数)上，则称直线y=x+b为抛物线Q的“k-b型亲密线”· ()当抛物线2满足c=(h+1)时， ①若此时抛物线Q的图象恰好经过原点，求顶点P的坐标： ②求该抛物线马的“k-b型亲密线”的表达式： (2)将抛物线Q进行平移，得到抛物线9，设抛物线9与y轴交点的纵坐标为n,项点P的横坐标为m, 当-2≤m≤1时，n有最小值1，若此时抛物线有“k-3型亲密线”，求k的值. 15/15 第10讲 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型2 画y=ax²+bx+c的图象 题型3 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型4 利用y=ax²+bx+c的性质求解 题型5 二次函数的图象与各项系数的符号 题型6 一次函数、二次函数图象的综合判断 题型7 二次函数图象的平移 题型8 y=ax²+bx+c的图象与性质综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一般式、配方法、顶点坐标、对称轴、最值、。 1. 会用配方法将一般式化为顶点式y=a(x-h)²+k，确定顶点坐标和对称轴。 2. 能根据公式直接写出顶点坐标(, ) 和对称轴x =。 3. 掌握二次函数y=ax²+bx+c的开口方向、顶点、对称轴、增减性、最值等性质。 4. 体会转化思想（一般式化顶点式）和数形结合思想，提升代数运算与函数分析能力。 学习重点:用配方法或公式法确定二次函数的顶点坐标和对称轴，并由此分析其性质。 学习难点:配方法的熟练运用（特别是二次项系数不为1时的处理），以及理解顶点坐标公式的推导过程。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 一、基本形式与系数含义 y = ax2+bx+c(a0) 系数 名称 作用 a 二次项系数 决定开口方向、开口大小 b 一次项系数 影响对称轴位置 c 常数项 决定与 y 轴交点 二、图象特征 1. 开口方向 a > 0：开口向上 → 有最小值 a < 0：开口向下 → 有最大值 2. 开口大小 由|a|决定：|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽 3. 顶点坐标： 4. 对称轴:直线x=，是一条竖直直线。 5. 与 y 轴交点：(0, c) 6. 与 x 轴交点（根的个数） 由判别式= b2-4ac决定： 交点个数 说明 >0 2 个 与 x 轴交于两点 = 0 1 个 与 x 轴相切（顶点在 x 轴上） <0 0 个 与 x 轴无交点 三、函数性质 1. 定义域:全体实数 2. 值域 a > 0（开口向上）：y≥ a < 0（开口向下）：y≤ 3. 单调性 a > 0 时：在x≤上单调递减;在x≥上单调递增 a < 0 时：在x≤上单调递增;在x≥上单调递减 4. 最值 a > 0 ：最小值ymin=（在x=处）;无最大值. a < 0 ：最大值 ymax=（在x=处）;无最小值. 四、图象画法（五点法） 步骤： 1. 求顶点： 2. 求对称轴：直线x = 3. 求与 y 轴交点(0, c) 4. 求与 x 轴交点（若存在） 5. 取对称点，平滑连线 五、系数a, b, c的几何意义总结 系数 作用 判断方法 a 开口方向与大小 a>0向上，a<0向下；|a|越大越窄 c 与 y 轴交点 (0,c) b 影响对称轴 对称轴：直线x = 【易错提醒】 二次函数y = ax2+bx+c（a≠0），a>0开口向上，a<0向下。顶点公式 ，对称轴：直线x = 。注意配方法求顶点时勿算错符号，c是y轴截距。 即时即练1．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】先将抛物线的一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可. 【详解】解：将抛物线解析式配方得 ， 二次项系数， 抛物线开口向上， 故A选项错误； 由顶点式可知，抛物线顶点坐标为， 故B选项正确； 由抛物线的解析式可知，对称轴为直线， 故C选项错误； 根据二次函数性质，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而而减小， 故D选项错误. 2．已知二次函数的图象经过点． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求m的值． 【答案】(1) 顶点坐标为 (2) 【分析】（1）把点代入函数，即可求出，再把一般式化为顶点式，即可得到该函数图象的顶点坐标； （2）根据二次函数图象平移“右减左加”的规律得到平移后的解析式，将已知点代入即可求出的值． 【详解】（1）解：将点代入，得 ， 解得， ∴二次函数的解析式为， 对解析式配方得 ， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）解：将函数图象向右平移3个单位长度， ∴平移后解析式为 ， 将点代入上式，得． 3．已知二次函数的图象经过点、 (1)求、的值； (2)画出该函数的图象； (3)若时，随的增大而增大，则的最小值为______； (4)该函数图象向上平移______个单位长度后，所得函数的图象与轴只有一个公共点． 【答案】(1) (2)图见详解 (3) (4)1 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据列表，描点，连线画函数图象即可； （3）根据（2）中函数图象及二次函数的性质可进行求解； （4）根据（2）中函数图象及二次函数图象的平移可进行求解． 【详解】（1）解：由二次函数的图象经过点、，可得： ， 解得：； （2）解：由（1）可知：二次函数的解析式为，列表如下： x ….. 0 ….. y ….. 3 0 0 3 ….. 该二次函数图象如下所示： （3）解：由图象可知：当时，随的增大而增大， ∴的最小值为； （4）解：由图象可知：该函数图象向上平移1个单位长度后，所得函数的图象与轴只有一个公共点． 题型1 把y=ax²+bx+c化成顶点式 【例1】将二次函数化成的形式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的一般式化为二次函数的顶点式，掌握好配方法是解题的关键．通过配方法将其转化成，即可得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 【例2】将二次函数化为的形式，结果为_____． 【答案】 【分析】先提取二次项系数，再利用完全平方公式配方即可得到结果. 【详解】解： ， 即. 【技巧归纳】 用配方法：提a，括号内配方，加一次项系数一半平方，再减去乘a。整理得y=a(x-h)²+k，h=-b/(2a)，k=(4ac-b²)/(4a)。顶点(h,k)。 【变式1-1】把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 【答案】4 【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出，的值，进而可得出结论． 【详解】， ，， ． 【变式1-2】将二次函数化成的形式，则的和为______． 【答案】0 【分析】本题考查了二次函数一般式化为顶点式，通过配方法将二次函数化为顶点形式，确定h和k的值，然后求和． 【详解】解：． 所以， 因此． 故答案为0． 题型2 画y=ax²+bx+c的图象 【例3】已知二次函数经过和两点． (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)当满足时，的最大值为，最小值为，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，见解析 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出顶点坐标为，再描点、连线即可画出函数图象； （3）由（2）可得顶点为，二次函数的对称轴为直线，求出当时，，分三种情况：当时；当时；当时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：把和两点代入可得，， 解得， 二次函数的表达式为：； （2）解：∵， 顶点坐标为． 作图如下． （3）解：由（2）可得顶点为，二次函数的对称轴为直线， 当时，， 当时，在上，随着的增大而增大， ∴当时，二次函数取得最小值为，即，当时，二次函数取得最大值为，即， ∵， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，当时，二次函数取得最小值为，即，当时，二次函数取得最大值为，即，此时，不符合题意； 当时，当时，二次函数取得最小值为，即，当时，二次函数取得最大值为，即， ∵， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 综上所述，或． 【例4】在二次函数中，图象经过点和．    (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，    (3)的值为6或2 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）利用配方法化成顶点式即可得到二次函数图象的顶点坐标，根据描点法画出图象即可； （3）求出平移后的抛物线解析式，根据的范围进行解答即可． 【详解】（1）解：把点和代入，得： ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点为， 当时，，解得， ∴抛物线与轴的交点为和， 画函数图象略； （3）由题意，二次函数的图象向右平移个单位长度， 新函数为． 此时函数图象开口向上，对称轴是直线，函数的最小值为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，图象对应的函数最小值为， 或， 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， 即 ， 解得：或4（舍去）； 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， b ， 解得：或4（舍去）； 综上所述，的值为6或2． 【技巧归纳】 先确定顶点、对称轴，再与y轴交点(0,c)及与x轴交点（判别式）。取对称点连线，五点法：顶点、左右各取两点。a>0开口向上，a<0向下。草图反映最值、增减性。 【变式2-1】抛物线经过点和点，且与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)求抛物线的顶点坐标，并在给定的平面直角坐标系中画出抛物线． (3)将抛物线向左平移个单位长度后得到抛物线，当时，抛物线的最大值为，最小值为．若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先将表达式配方成顶点式，然后列表，描点，然后连线作图即可； （3）首先得到抛物线的表达式，然后求出对称轴和顶点坐标，然后分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为； 列表如下： x 0 1 3 5 6 y 4 4 画图如下： （3）解：根据题意得，抛物线的表达式为 ∴对称轴为直线，顶点坐标为 当时， 当时，即时，最大值在处取得， ∴ 最小值 ∵ ∴ 解得（舍去）或； 当时，即时，最大值在处取得， ∴ 最小值 ∵ ∴ 解得或（舍去）； 当时，即时，最大值在处取得， ∴ 最小值在处取得， ∴ ∵ ∴ 解得（舍去）； 综上所述，的值为或． 【变式2-2】已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … … … … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)若图象与轴交点坐标为、、与轴的交点坐标为．求三角形的面积． (4)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）先通过表格找到顶点，设顶点式，再代入已知点求出系数，得到函数表达式； （2）根据顶点、与坐标轴的交点等关键点，画出抛物线图象； （3）先确定三角形三个顶点的坐标，再用三角形面积公式计算面积； （4）先找到区间内的顶点，再计算区间端点的函数值，比较后确定的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可知，二次函数的顶点为， 设二次函数的解析式为， 将代入，解得 ， 故二次函数的解析式为，即． （2）解：如图为二次函数的图象． （3）解：点，，如图所示． 据图可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 则，， 故． （4）解：二次函数的解析式为， 当，有最小值， 当，， 当，， 故的取值范围为． 题型3 y=ax²+bx+c的图象与性质 【例5】已知二次函数，下列关于这个函数图象性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．图象与轴有唯一交点 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程根的判断．也考查了二次函数的性质．先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对A、B、D进行判断；通过解方程可对C进行判断． 【详解】解：∵， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为， A、开口向上，错误； B、顶点坐标应为，不是，错误； C、令，得 ，即，判别式，有两个交点，不是唯一交点，错误； D、∵ 开口向下，对称轴 ， ∴ 当 时，y 随x的增大而增大，正确． 故选：D． 【例6】关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y有最大值1 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的一般形式，通过系数判断开口方向，利用对称轴公式求对称轴，在顶点处求最值，并分析增减性． 【详解】解：∵二次函数为，其中， ∴，函数图象开口向下，故A错误； 对称轴为，故B错误； 当时，， ∵开口向下， ∴有最大值1，故C正确； ∵对称轴且开口向下， ∴当时，y随x增大而减小，故D错误． 故选：C． 【技巧归纳】 a定开口与增减，c定y轴交点。对称轴x=-b/(2a)，顶点坐标公式。判别式Δ=b²-4ac决定与x轴交点个数。最值在顶点，对称轴两侧单调性相反。 【变式3-1】关于二次函数描述错误的是（    ） A．对称轴是直线 B．对称轴右侧y随x增大而增大 C．与y轴交点是 D．与x轴无交点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过计算二次函数的对称轴、开口方向、与坐标轴交点等性质，判断各选项正误． 【详解】对于函数， ∵， ∴抛物线开口向上． 对称轴是直线，故A正确； ∵开口向上，∴对称轴右侧随增大而增大，故B正确； 当时，，∴与轴交点为，故C正确； 对于，判别式，∴与轴有两个交点，故D错误； 故选：D． 【变式3-2】已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．函数的最大值为 C．当时，y随x的增大而减小 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将二次函数一般式化为顶点式，得出开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，即可得出正确答案． 【详解】解：， 顶点坐标为，函数图象开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为， 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 若，则， 综上可知，选项D结论正确，选项A，B，C结论错误， 故选：D． 题型4 利用y=ax²+bx+c的性质求解 【例7】抛物线上有三点，，，则，，的大小关系是 ．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的单调性和对称轴的应用． 先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的开口方向，比较三点到对称轴的距离，从而得出函数值的大小关系；也可直接代入计算函数值进行比较． 【详解】解：对于抛物线，其对称轴为直线， 且抛物线开口向下（因为）， 点到对称轴的距离越远，函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下， ． 【例8】二次函数的最小值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的最值问题．通过配方将二次函数化为顶点式，根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向，从而确定函数的最小值，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：， ∵中的二次项系数， ∴函数的开口向上，顶点坐标为， ∴二次函数的最小值为， 故答案为：1． 【技巧归纳】 根据a判断开口和最值；利用对称轴求顶点；利用Δ判定交点。由已知点代入得方程求系数。比较函数值时，画草图或利用增减性，对称轴到点距离影响函数值大小。 【变式4-1】在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）此二次函数的对称轴为直线 ； （2）已知点和在此函数的图象上，若，则t的取值范围是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）令，可求出函数与x轴交点的横坐标，由二次函数的对称性可求出对称轴； （2）因为抛物线开口向上，所以抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，若，则，据此解答即可． 【详解】（1）∵二次函数， 令，即， ， ∴函数经过和是对称点， ∴对称轴为直线， 故答案为：． （2）∵二次函数， ∴二次项系数为， ∴函数图象开口向上， 又∵和在此函数的图象上，对称轴为直线， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】已知二次函数，当时，的最大值为3，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，先求出抛物线的对称轴为直线，分三种情况：当，即时，当，即时，当，即时，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， ， 整理得：， 解得：； 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， 解得：(舍去)，(舍去)； 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， 整理得：， 解得：，； 综上分析可知：a的值为或或； 故答案为：2或或． 题型5 二次函数的图象与各项系数的符号 【例9】已知二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的图象和性质，理解相关知识是解答关键． 根据二次函数的图象的开口方向和与轴交于负半轴，来判断出，再根据对称轴的来得到求解A；根据对称轴来判断B，根据由图象可知，当时，，再结合来求解C；根据图象可知，当时，来求解D． 【详解】解：二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于负半轴， . 对称轴为直线，即， ， ，故A正确； 对称轴为直线，即， ， ，故B正确； 由图象可知，当时，， ， ， 即，故C项错误； 由图象可知，当时，， ，故D项正确， 综上所述，错误的是C． 【例10】二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；当时，，其中正确的结论有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线与轴的交点在轴正半轴，可知；根据抛物线的对称轴是，可知；根据抛物线的对称性可知抛物线与轴的另一个交点坐标是，所以当时，有；根据图象可知当时，抛物线的图象在轴上方，所以当时，． 【详解】解：抛物线与轴的交点在轴的正半轴， 当时，， 故正确， 抛物线的对称轴是， ， ， 故正确； 由图象可知，抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是， 抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 当时，， 故错误； 由图象可知，当时，抛物线的图象在轴上方， 当时，， 故正确； 正确的结论有． 故选：C． 【技巧归纳】 a正开口向上，负向下；c为y轴交点；b符号由对称轴位置判定：左同右异（对称轴在y轴左侧，a、b同号；右侧异号）。Δ正与x轴两交点，Δ零一交点。 【变式5-1】如图是二次函数图象的一部分．对称轴是，且过点，下列说法：①，②，③，④当时，y随x的增大而减小，⑤，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键。 根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再利用抛物线的对称性和增减性及巧妙利用数形结合的数学思想即可求解． 【详解】解：由图象可知二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 由图可得，函数图象交y轴于上半轴， ∴， ∴，①错误； ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，②正确； ∵图象与x轴的一个交点坐标为且图象关于直线对称， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象得，当时，；当或时， ∴当时，， ∴，③正确； 由函数图象可得，当时，y随x的增大而减小， ∴④正确； ∵函数过， ∴， ∴， ∴ ， 由得， ， ∴⑤正确， 综上所述，正确的有②③④⑤，共四个， 故选D． 【变式5-2】抛物线的部分图象如图所示，其顶点的坐标为，抛物线与轴的一个交点在和之间，有以下结论： ①； ②； ③； ④关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 其中，正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，图象开口方向判断出，由对称轴得出，抛物线与轴的交点判断，然后利用二次函数的性质依次判断即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】解：由图象得：抛物线开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， ∵抛物线与轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间， ∴时，， ， 即，故②正确； 当时，，故③正确； ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根，故④正确； 综上，②③④正确． 故选：C． 题型6 一次函数、二次函数图象的综合判断 【例11】在同一个平面直角坐标系中，二次函数，的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解： 二次函数，， 二次函数开口向上，排除选项A； 当时，一次函数经过一、二、四象限，排除选项C， 当时，，，相应的函数值互为相反数，只有选项D符合题意； 故选∶D． 【例12】在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的a，c的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：∵一次函数与y轴交点坐标为，二次函数与y轴交点坐标为， ∴选项A、C的直线和抛物线与y轴交点坐标是同一点，不合题意， 选项B、D直线和抛物线与y轴交点坐标都是关于x轴对称， 但选项B观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 选项D观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； 故选：D 【技巧归纳】 先确定各自系数的符号范围，再检验公共交点是否一致。假设一个成立，推导参数符号，验证另一个图象是否可能共存。常用排除法，如开口方向与一次函数增减性矛盾则错。 【变式6-1】如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程的解是解此题的关键．根据，两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 【变式6-2】如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，不等式组，因式分解，掌握知识点是解题的关键． 先分别求出二次函数与一次函数的解析式，再令，当时，求出，继而当时，即，推断出，求解即可． 【详解】解：将，分别代入得 ， 解得， ∴二次函数， 将代入得 ， 解得， ∴一次函数， 令，当时， ， 即， 解得， ∵当时， 即， ， ∴， 即或（无解） 解得． 故答案为：． 题型7 二次函数图象的平移 【例13】将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线平移的性质，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，先处理向下平移，再处理向左平移，直接计算新表达式． 【详解】解：∵ 原抛物线为 ， 向下平移2个单位：， 再向左平移1个单位：， ∴ 新抛物线表达式为， 故选：A． 【例14】如果将某一抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是，那么原抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：将某一抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是， 则表达式为的抛物线，左移1个单位，下移2个单位得原函数解析式为，即， 故选：C． 【技巧归纳】 平移口诀：左加右减（对x），上加下减（对整体）。从y=ax²开始，先平移h再平移k。注意符号：y=a(x-h)²+k中，h>0向右，k>0向上；反之向左向下。直接写解析式。 【变式7-1】将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移；根据抛物线平移的规律：向右平移时，替换为；向下平移时，替换为或函数值减去． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为 故答案为：． 【变式7-2】将抛物线先向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移变换规律及顶点坐标的求解方法，先通过配方法将原抛物线化为顶点式，得到顶点坐标，再根据平移规律“左加右减，上加下减”确定新顶点坐标． 【详解】解：将抛物线化为顶点式：， 因此原顶点坐标为， 将原抛物线顶点式向右平移2个单位，横坐标加2，得5；向下平移1个单位，纵坐标减1，得5， ∴新抛物线顶点为． 故答案为： 题型8 y=ax²+bx+c的图象与性质综合 【例15】已知二次函数（m为常数）． (1)若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； (2)当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）先求二次函数对称轴，利用二次函数开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大的性质比较和； （2）对于范围内的最值问题，先确定对称轴为，因为二次函数开口向上，所以分三种情况讨论：如果对称轴在范围左侧，那么最小值在处取得；如果对称轴在区间内，那么最小值在顶点处取得；如果对称轴在区间右侧，那么最小值在处取得，分别列方程求解后验证是否符合对应范围条件． 【详解】（1）解：已知二次函数，二次项系数，抛物线开口向上． 根据对称轴公式得对称轴为： ， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 开口向上的二次函数，点离对称轴越远，函数值越大， 因为， 因此． （2）解：根据对称轴位置分三种情况讨论： 当时： 在上y随x的增大而增大，最小值在处取得： ，此情况无解． 当时： 函数最小值在顶点取得： ，整理得， 解得，只有满足条件； 当时： 在上y随x的增大而减小，最小值在处取得： ， 解得，不满足，舍去． 综上，． 【例16】在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和点． (1)求该二次函数的表达式； (2)已知点在该二次函数的图象上，当时，求的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值为，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将、 代入，列方程组求 ； （2）先求出二次函数的对称轴，由二次函数开口向下，在对称轴左侧随增大而增大，右侧减小，求出最小值和最大值，即可求出的取值范围； （3）分类讨论与对称轴的位置关系，由二次函数的性质，根据最大值等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：过点和点， ，解得， 该二次函数表达式为 ． （2）解：由（1）得该二次函数表达式为 ， 对称轴 ，函数图象开口向下， 在对称轴左侧 随 增大而增大，右侧 随 增大而减小， 点在该二次函数的图象，当时， 当 时，取得最大值为 ． 当时， ； 当时，， ，取不到 ， ∴ 的取值范围为 ， （3）解：由（2）得，二次函数，对称轴为， 当，即时， 在上， 随 增大而增大， 当 ，有最大值为， ， 化简得，解得或 （舍）， 当，即时， 当 时 ，有最大值为， ，解得 ，不符合题意，舍去， 当时， 在上， 随 增大而减少， 当 ，有最大值为， ， 化简得，解得或 （舍）， 综上， 或 ． 【技巧归纳】 综合应用：a、b、c决定开口、对称轴、交点及最值。配方法求顶点；Δ判定交点；求面积用交点坐标；比较大小利用到对称轴距离。图象信息题从开口、对称轴、特殊点突破。 【变式8-1】已知二次函数（a为常数且）． (1)当点在该函数图象上时，求a的值． (2)当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式． (3)若时，当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用纵坐标相同的两个点关于对称轴对称即可求解； （3）分情况讨论对称轴的位置，利用最大值比最小值大2，建立方程，其中当时，要再细分为两个端点离对称轴的距离的大小进一步讨论，最后该两种情况都不成立，综合所有情况即可求解． 【详解】（1）解：把，代入中， 得： ∴． （2）解：∵对称轴为直线， ∴ ． （3）解：当时，， 图象开口向上，对称轴为直线，顶点， ①当时，最大值最小值 解得：． ②当，即时，最大值最小值 解得：． ③当，即时，最小值为顶点纵坐标， 要使最大值最小值， ∴最大值， 令， 解得：， 当时，即时， 函数在时取最大值， ∵都不在的范围内， ∴该情况不成立， 当时，即时， 函数在时取最大值， 令， ∴ ∵， ∴都不在这个范围内， 故该情况不成立， 综上所述：或． 【变式8-2】如图，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最值； (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，二次函数的最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据抛物线的解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，取最大值为，进而根据，得出函数值的最值，即可求解； （3）根据题意得出的表达式，根据线段的长度随的增大而减小，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将点，点代入， 得，解得，                      ∴二次函数的解析式为． （2）解：， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取最大值为．           ∵， ∴当时，．         当时，．        ∴当时，二次函数的最大值为，最小值为． （3）解：，         当时，即，，的长度随增大而增大，不符合题意．        当时，即，，的长度随的增大而减小， ∴的取值范围为． 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用配方法将原式化为顶点式，进而求出二次函数的顶点坐标． 【详解】解： 故抛物线的顶点坐标是： ． 2．已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口方向得到点到对称轴的距离与函数值的大小关系，比较三个点到对称轴的距离即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大． 分别计算三个点到对称轴 的距离： 点的距离：， 点的距离：， 点的距离：． ∵， ∴． 3．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质判断各选项的说法，找出错误的选项即可． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，B选项说法正确， 顶点坐标为，不是，C选项说法错误， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，D选项说法正确． 4．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法正确的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C． D．当时，抛物线的顶点坐标为 【答案】D 【分析】由二次函数对称轴公式即可判断A选项，由二次函数的性质即可判断B选项，由图象可得当时，，即可判断C选项，当时，，结合二次函数的性质即可判断D选项． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项错误； ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故B选项错误； 由图象可得当时，， ∴，故C选项错误； 当时，，此时抛物线的顶点坐标为，故D选项正确． 5．已知二次函数，当自变量x满足时，函数y的最小值为2，则a的值为（   ） A．0或2 B．1或3 C．任意实数 D．2或4 【答案】C 【分析】先对二次函数配方，得到开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的x范围判断对称轴位置，然后根据二次函数的性质求最值即可求得a． 【详解】解：∵ ， ∴ 二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∵ 自变量x满足 ∴恒成立，即对称轴一定在给定区间内， ∴ 二次函数在处取得最小值，最小值恒为，符合题意 ∴为任意实数． 二、填空题 6．的开口方向是__________；最大值是_______________． 【答案】 开口向下 3 【分析】首先将抛物线配方成顶点式，然后根据二次项系数为负判断出开口向下，然后根据顶点的纵坐标为最大值求解． 【详解】解： ∵二次项系数为 ∴抛物线开口向下，最大值是3． 7．已知点，在二次函数的图象上，比较______．（填或）． 【答案】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越大，求出两点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点，在二次函数的图象上，且， ∴． 8．已知抛物线，当时，函数的最大值是_____． 【答案】6 【分析】先将抛物线解析式配方，得到抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，在给定范围内，代入端点计算后比较得到最大值． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 已知的取值范围为， 分别代入端点计算函数值：当时，， 当时，， 比较得， 因此的最大值为． 9．已知点，都在抛物线上，则______（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据点的坐标得出两点关于对称轴对称，然后根据对称轴的公式列出关系式． 【详解】解：∵点P和点Q的纵坐标都是m，且两点都在抛物线上， ∴点P和点Q关于该抛物线的对称轴对称． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴． 10．如图，抛物线的对称轴是直线．有下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点为，则关于的方程无实数根．其中正确结论是________．（只需填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】由图象可知a与c的正负，再根据对称轴可得b的正负，由此可判断①；根据不等式的性质判断②；根据抛物线上的点到对称轴的距离即可判断③；根据二次函数的最值可得最小值，由此可判断④． 【详解】解：由图象可知，图象开口向上，且与y轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ∵，， 此时表示点和到对称轴的距离， 当时， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∵抛物线开口向上， ∴，故结论③正确； ∵抛物线的顶点坐标为，抛物线开口向上 则y的最小值为m， ∴， ∴， ∴， ∴ 而方程变形为 ∴关于的方程无实数根，故结论④正确． ∴正确的结论是①②③④． 三、解答题 11．通过配方，写出函数的顶点式，并写出其开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 【详解】略 12．已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴； (2)当时，点，在该函数图象上，比较m，n的大小并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（1）根据对称轴公式计算即可； （2）先求出m、n的值，进而根据作差法比较即可． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线； （2）解：，理由如下： ∵点，在该函数图象上， ∴，， 则， ∵， ∴， 即． 13．在直角坐标系中，抛物线（，是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，，求，的值； (2)已知，若，有最大值，求的值． 【答案】(1)的值分别为 (2)或 【分析】（）利用待定系数法，将函数图像经过的两个点坐标代入二次函数解析式，构造出关于参数的二元一次方程组，通过解方程组直接求出a、b的数值； （）先根据用表示，代入解析式配成顶点式确定对称轴；再按照开口向上、开口向下分类讨论，结合自变量的取值范围判断最大值对应的，分别列式求解，最后汇总所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， ∴的值分别为； （2）解：∵， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，， ∴当时，为最大值， 即，解得； ②当时，抛物线开口向下， ∴当时，为最大值， 即， 解得； 综上所述，或． 14．已知二次函数（）中的x和y满足下表： x … 0 1 … y … 0 0 3 … (1)根据表格内容，求该二次函数的表达式和顶点坐标； (2)在图中平面直角坐标系中画出上述二次函数的图象，并在图象上标出，； (3)将（2）中二次函数的图象向右平移个单位长度，当时，新函数的最大值为2，请直接写出的值． 【答案】(1)二次函数的表达式为，顶点坐标为 (2)见详解 (3)或 【分析】（1）根据表格信息得到对称轴为，则得到顶点坐标，再把表格中对应的自变量的值，函数值代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据表格信息，描点连线即可； （3）根据二次函数图象的平移得到平移后的解析式，结合图象得到在中，分类讨论：当时；当时，结合图形得到函数最大值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：根据表格得到，当，时，函数值， ∴二次函数对称轴为， 当时，，即顶点坐标为， 根据表格数据得，， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵对称轴为， ∴当时，， 如图所示， （3）解：二次函数解析式为， ∴二次函数图象开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，即离对称轴越远，值越大， ∵二次函数的图象向右平移个单位长度， ∴平移后的解析式为， 此时的对称轴为， ∵， ∴， 当时，即，时，取得最大值2， ∴， 解得，，（舍去）； 当时，即，时取得最大值2， ∴， 解得，，（舍去）， ∴； 综上所示，的值为或． 15．在平面直角坐标系中，平移抛物线的图象，若其顶点始终都在直线（，均为常数）上，则称直线为抛物线的“型亲密线”． (1)当抛物线满足时， ①若此时抛物线的图象恰好经过原点，求顶点的坐标； ②求该抛物线的“型亲密线”的表达式； (2)将抛物线进行平移，得到抛物线，设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为，当时，有最小值1，若此时抛物线有“型亲密线”，求的值． 【答案】(1)①；② (2)的值为或 【分析】（1）①先结合抛物线，，得出，再结合抛物线的图象恰好经过原点，求出，即可作答． ②把整理成顶点式，又因为直线为抛物线的“型亲密线”，故设，则，即可作答． （2）先结合抛物线有“型亲密线”，得出二次函数可表示为，令，则，此时是关于的二次函数，且开口方向向上，对称轴为直线，运用二次函数的性质以及分类讨论思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解： ①∵抛物线的图象恰好经过原点 ∴将代入得：， 解得：， ， ∴其顶点坐标为； ②， 其顶点坐标为， ∵直线为抛物线的“型亲密线” ∴设，则， 该二次函数“型亲密线”为； （2）解：二次函数有“型亲密线” 二次函数平移后的顶点在直线上， ∵设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为， ∴当时，则 则二次函数可表示为 令，则， 此时是关于的二次函数，且开口方向向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， 当时，有最小值1 ①若，即， 当时，为最小值1， 即 解得，不满足，故舍去； ②若，即， 当时，为最小值1， 即 解得； ③若，即， 当时，为最小值1， 即 解得，（不满足，故舍去） 综上，的值为或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $