26.2.2 二次函数的图像和性质（二）《知识解读·题型专练》 -2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像和性质，系统梳理一般式与顶点式转化、图像特征（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）、系数a,b,c与图像的关系，以及解析式求解（一般式、顶点式、交点式）、图像平移和对称，搭建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过8大题型（含例题与变式）系统归纳，结合图像分析培养几何直观（数学眼光），借助待定系数法推理训练发展推理意识（数学思维）。课中辅助教师分层教学，课后随堂检测助力学生查漏补缺，强化用数学语言表达函数关系的模型意识。

26.2.2 二次函数的图像和性质（二）（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 二次函数的图像】 3 【题型2 二次函数的性质】 9 【题型3 二次函数图象与系数的关系】 11 【题型4 二次函数图象的平移】 15 【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】 16 【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】 19 【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】 20 【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】 23 【随堂检测】 25 知识点1 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 1. 一般式与顶点式的转化 利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为． 2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 符号 函数图像 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小 最值 当时, 当时, 3. 二次函数的图象特征与的符号关系 代数式（决定因素） 图像特征 符号判定 a(开口方向) 抛物线开口向上 抛物线开口向下 b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号 对称轴在y轴左侧，即 a、b同号 c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点 交于y轴正半轴 交于y轴负半轴 (与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴没有交点 知识点2 求二次函数的解析式 1. 待定系数法 根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式． （1）一般式： 已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为． （2）顶点式： 已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为． （3）交点式： 已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为． 2. 平移 （1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移． （2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式． 3. 二次函数关于点或直线对称的解析式 若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下： （1）关于x轴对称的抛物线的解析式 关于x轴对称的抛物线的解析式：； 关于x轴对称的抛物线的解析式：． （2）关于y轴对称的抛物线的解析式 关于y轴对称的抛物线的解析式：； 关于y轴对称的抛物线的解析式：． （3）关于顶点对称的抛物线的解析式 关于顶点对称的抛物线的解析式：； 关于顶点对称的抛物线的解析式：． 【题型1 二次函数的图象】 【例1】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (3)当时，直接写出的取值范围：______ 【答案】(1) (2)图象见详解 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据列表，描点，连线可作函数图象； （3）根据函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：把点和点代入二次函数得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由抛物线可列表如下： x …… 0 1 2 3 … y ……. 0 0 … 由表可在坐标系中描点、连线可得函数图象如下： （3）解：由函数图象可知：当时，的取值范围为； 故答案为． 【变式1-1】已知二次函数的图象经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象，直接写出当时，函数y的取值范围是_____． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查求二次函数解析式，画二次函数图象，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入求出b值即可； （2）根据描点法画二次函数图象的步骤即可解决问题； （3）观察图象，利用数形结合思想解答． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 故这个二次函数的解析式为； （2）解：列表， x …… 0 1 2 3 4 …… y …… 3 0 0 3 …… 描点、连线， （3）解：由图可得当时，函数y的取值范围是， 故答案为：． 【变式1-2】已知二次函数． (1)请把下面的表格补充完整： x … 0 1 2 3 … … ____ 2 ___ 2 … (2)根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． (3)根据图像，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②当时，的取值范围是________． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3)减小， 【分析】本题考查求二次函数的函数值，画二次函数的图像，二次函数的图像和性质，正确的画出函数图像是解题的关键． （1）把自变量的值代入函数解析式进行求解即可； （2）描点，连线，作图即可； （3）直接根据图像作答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 2 3 2 ．．． （2）解：画出二次函数的图像如下： （3）解：①观察图像可知，当时，随x的增大而减小； 故答案为：减小； ②观察图像可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． 【变式1-3】画出二次函数的图象并利用图象回答： (1)方程的根是________________； (2)函数值大于0时，x的取值范围是________________． 0 1 2 3 4 3 0 0 3 【答案】(1)画图见解析， (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象，学会利用图象法解方程和不等式是解题的关键． （1）先画出二次函数的图象，根据二次函数与x轴的交点，即可求解方程的根； （2）当函数值大于0时，图象在x轴的上方，结合图象即可得到x的取值范围． 【详解】（1）解：列表得： 0 1 2 3 4 3 0 0 3 在坐标系描出点，再用平滑的曲线连接它们，如图则二次函数的图象为所求； 由图象得，二次函数与x轴的交点为和， 方程的根是． 故答案为：． （2）解:当函数值大于0时，图象在x轴的上方， 由图象得，x的取值范围是或． 故答案为：或． 【题型2 二次函数的性质】 【例2】关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图像的开口向下； B．拋物线的对称轴是直线； C．函数有最大值为； D．函数图像与y轴的交点是． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，通过分析二次函数的开口方向、对称轴、最大值和y轴交点，判断各选项正误，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 二次函数为，二次项系数， ∴ 函数图像开口向下，选项A不符合题意； ∵ 对称轴公式为，其中， ， ∴ ，即对称轴为直线，故B不符合题意； ∵ 函数图象开口向下，函数有最大值，在顶点处取得， 当时，， ∴ 最大值为，故C不符合题意； 当时，， ∴函数图像与y轴的交点是，故D符合题意， 故选：D． 【变式2-1】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．函数有最大值 【答案】C 【分析】通过将二次函数化为顶点形式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和函数最值． 【详解】 将二次函数化为顶点式：， A、二次项系数，故抛物线开口向上，A错误，不符合题意； B、对称轴为直线，B错误，不符合题意； C、顶点坐标为，C正确，符合题意； D、开口向上， 函数有最小值，无最大值，D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】将二次函数化为顶点式是分析其性质的关键，可直接得出开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式2-2】已知点、 在抛物线上，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，把点代入解析式，然后比较大小即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵点、 在抛物线上， ∴，， ， ∴， 故选：A． 【变式2-3】二次函数中的与的部分对应值如下表： ．．． 0 2 3 4 ．．． ．．． 0 6 0 ．．． 下列结论：①函数的图像开口向下；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，可根据表格数据求出对称轴，进而利用二次函数的图像与性质逐个判断即可． 【详解】解：∵当或3时，，当时，， ∴对称轴为直线， ∵由表知，在对称轴左侧，函数值随自变量的增大而增大， ∴抛物线开口向下，故①正确， ∴当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小． ∴当时，，即③正确． 又∵， ∴，即②正确． 故正确的有：①②③， 故选：D． 【题型3 二次函数图象与系数的关系】 【例3】二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 【变式3-1】已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（   ） ①   ②  ③   ④ A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向可判断①正确；根据对称轴的位置可判断②正确；根据抛物线与y轴的交点可判断③错误；根据时的函数值可判断④正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故①正确； ∵对称轴在y轴的右侧， ∴，故②正确； ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴，故③错误； ∵当时，， ∴，故④正确． 故选D． 【变式3-2】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，．其中所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质．根据抛物线与y轴的交点的位置可判断①，根据抛物线的对称轴可判断②，根据当时的函数值可判断③；根据抛物线在的位置可判断④． 【详解】解：∵由图象可知，抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴，故②正确； ∵由图象可得，当时，， ∴，故③正确； ∵由图象可得，当时，抛物线部分在x轴上方，部分在x轴下方， ∴当时，的结论错误，即④错误． 综上所述，正确的结论是②③． 故选：C 【变式3-3】已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（    ） ①；②； ③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于x轴负半轴，与x轴有2个交点， ∴，， ∴，，故②正确； ∴，故①错误； 当时，，故③正确； ∵， ∴，即，故④正确； 当时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故⑤正确； 故选：D． 【题型4 二次函数图象的平移】 【例4】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由抛物线为，再结合由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”，从而可得新的抛物线为，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线为， 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，可得新抛物线为，即． 此时顶点坐标为． 故选：B． 【变式4-1】将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，先确定原抛物线的顶点式，再根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，依次进行向左平移3个单位和向下平移2个单位的变换，从而得到新抛物线的顶点式． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位、再向下平移2个单位后，所得新抛物线的表达式是． 故选：B． 【变式4-2】将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，则最终所得图象的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律，确定解析式，后确定顶点坐标即可． 本题考查了抛物线的平移，顶点坐标，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线解析式为， 故抛物线的顶点坐标． 故答案为：． 【变式4-3】要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（    ） A．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．先化简得，根据二次函数图象的平移法则：左加右减、上加下减，求解即可． 【详解】解：∵， ∴将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到抛物线， 故选：B． 【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】 【例5】已知抛物线的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式． (2)当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把两个已知点的坐标代入得a、c的方程组，然后解方程组即可； （2）先利用配方法得到顶点式，则当时，y有最大值4，再计算出和时对应的函数值，从而得到当时函数值的取值范围，然后确定m、n的值，最后计算的值． 【详解】（1）解：依题意，把，．分别代入， 得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得， 则， ∵ ∴开口向下， ∴当时，y有最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴，， ∴． 【变式5-1】已知二次函数的图象经过，，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．根据点在抛物线上，将，代入得方程组，求解即可． 【详解】解：将，分别代入 得， 解得， ∴该二次函数的解析式为． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及顶点坐标和对称轴，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）配方成即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ， 解得：， ∴解析式为：； （2）解：， ∴对称轴为直线，顶点为． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，点和都在二次函数，（ 是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式； (2)若，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由点和都在二次函数（是常数）的图象上，从而，，结合，求出a，b，即可判断得解； （2）依据题意，当时，二次函数为，从而，结合，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，点和都在二次函数（是常数）的图象上， ， 又， ， 二次函数为． （2）由题意，当时，二次函数为， ， 又， ， ． 【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】 【例6】已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，得出的值是解题关键．直接利用顶点式假设出二次函数解析式，进而代入求出即可． 【详解】解：设二次函数解析式为， 则由顶点为知，． ， 把代入解析式得， 解得， 解析式为． 【变式6-1】已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为．求此二次函数的表达式； 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据顶点坐标设出抛物线的顶点形式，将代入计算即可确定出抛物线解析式． 【详解】解：∵顶点坐标为，设二次函数解析式为， 把点代入得， 解得：， ∴这个二次函数解析式为． 【变式6-2】已知二次函数图象的顶点为，且与轴的一个交点坐标是． (1)求该二次函数的解析式； (2)若二次函数图象上有两点、，直接写出函数值、的大小关系． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． （1）设抛物线的解析式为，把代入求出a即可得到抛物线解析式； （2）分别求出的值即可求解． 【详解】（1）解：二次函数图象的顶点为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，，当时，， ． 【变式6-3】已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，得出的值是解题关键．直接利用顶点式设出二次函数解析式，进而代入求出即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为， 设解析式为：， 将代入得出：， 解得：． 故这个二次函数的解析式为：． 【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】 【例7】如图，抛物线分别经过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式． （1）设交点式，然后把C点坐标代入，求出即可； （2）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 即； （2）由图像可得当时，自变量x的取值范围为或． 【变式7-1】二次函数图象经过，求二次函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的三种表达式是解题的关键；由题意可设该抛物线的解析式为，然后代入点B坐标可进行求解． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 把代入函数得：， 解得：， 该抛物线的解析式为，即． 【变式7-2】二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 【变式7-3】已知：抛物线经过、两点，顶点为．求： (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点和点在该抛物线上，则当时，请写出与的大小关系． 【答案】(1)； (2)的面积为27； (3)． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数的性质． （1）利用交点式得到，然后展开即可求解； （2）先把抛物线的解析式配成顶点式得到点坐标为，然后根据三角形面积公式计算即可； （3）由于抛物线的对称轴为直线，开口向下，则根据二次函数的性质可确定与的大小关系． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 所以； （2）解：， 点坐标为， 所以的面积； （3）解：抛物线的对称轴为直线，开口向下， 所以当时，． 【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】 【例8】将二次函数的图象沿x轴翻折，所得到的新的二次函数解析式为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，二次函数的图象及性质．将二次函数图象沿x轴翻折，相当于对原函数图象关于x轴对称，此时每个点的纵坐标变为相反数．因此，将原解析式中的y替换为，再整理即可得到新解析式． 【详解】解：将二次函数的图象沿x轴翻折，所得到的新的二次函数解析式为，即． 故选：B 【变式8-1】若抛物线与抛物线关于x轴对称，则抛物线C的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，利用关于轴对称的点坐标特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数从而得出，，，然后代入即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，且抛物线与抛物线关于轴对称， ∴抛物线的顶点坐标为，且， ∴，， ∴函数的解析式为：． 故选：C． 【变式8-2】抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数的对称轴，二次函数的对称轴为直线，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线 ， 故选：A． 【变式8-3】已知二次函数的图象开口向上，则□可能是（    ） A． B． C．0 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键． 二次函数开口方向由二次项系数决定，大于0则开口向上． 【详解】解：设“”为，a为常数，则函数为， ∵ 图象开口向上， ∴ ． 故选：D． 随堂检测c 1．对于函数，当为何值时，随的增大而增大（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴，然后根据抛物线的开口方向，结合抛物线的性质，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而增大． 故选：B． 2．已知二次函数的解析式为，则该二次函数的最大值是（   ） A．3 B．－3 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的最值与二次项系数的关系． 根据二次函数的二次项系数判断抛物线的开口方向，再结合函数的常数项确定其最大值． 【详解】解：∵二次函数解析式为，其中， ∴抛物线开口向下，有最大值， 顶点横坐标， 代入得， ∴函数最大值为． 故选：B． 3．.对抛物线图象性质描述错误的是（    ）． A．开口向下 B．时，y随x的增大而减小 C．有最大值 D．对称轴是直线 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握这些知识是关键；根据二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：∵二次项系数，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴抛物线的开口向下，有最大值，当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， ∴选项A、C、D都正确，选项B错误， 故选：B． 4．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象和性质． 根据解析式确定对称轴和抛物线的增减性，利用点到对称轴的距离确定函数值的大小即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴距离对称轴越远的点的纵坐标越大， ∵到对称轴的距离为； 到对称轴的距离为； 到对称轴的距离为； ∴， 故选：C． 5．已知二次函数的图象过点，，若始终存在，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数开口方向向上，对称轴为直线，则越靠近对称轴的所对应的数越小，再结合，则，解得或，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口方向向上，对称轴为直线， 即越靠近对称轴的所对应的数越小， ∵二次函数的图象过点，，且， ∴， 即， 则或， 解得或， 故选：B 6.二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像的知识；由抛物线的对称轴性质，可对③进行判断；利用抛物线与y轴交点的位置，则可对①进行判断；结合当时，，可对②进行判断；最后根据抛物线的对称性计算，即可完成求解． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴，即③正确； ∵抛物线与x轴的交点在x轴上方， ∴ ∴，即①不正确； 根据图象，当时，， ∴当时， ∴，即②不正确； ∵抛物线图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线和x轴的另一个交点为， ∴抛物线图象过点，即④正确； 故选：B． 7．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 【答案】 【分析】设二次函数的表达式为，再把代入表达式，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 设二次函数的表达式为， 抛物线经过坐标原点， 将代入表达式得， 解得 ， ∴抛物线解析式为． 8．如果抛物线对称轴是直线，那么________． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据抛物线对称轴公式建立方程求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得． 故答案为：． 9.已知二次函数 (1)完成下表，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； x … 0 … y … 4 … (2)结合图象，若点均在该二次函数的图象上，请比较和的大小． 【答案】(1)1；0；1；4；见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，图象法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线即可； （2）根据函数图象，可得该二次函数的对称轴是直线，从而得到关于对称轴的对称点坐标是，求解即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： x … 0 … y … 4 1 0 1 4 … 在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，如下图： （2）解：由图象可知，该二次函数的对称轴是直线， ∴关于对称轴的对称点坐标是， 又∵抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵点在该二次函数的图象上，， 10．已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 【答案】(1)次函数的表达式为，对称轴为直线 (2)最大值为8，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质； （1）先将和分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可； （2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：二次函数经过和， ， 解得， 二次函数的表达式为， 对称轴为直线； （2）解：由（1）可知的开口向上， 二次函数的对称轴为直线在内， 当时，有最小值； 直线距直线最远， 当时，有最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2 二次函数的图像和性质（二）（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 二次函数的图像】 3 【题型2 二次函数的性质】 6 【题型3 二次函数图象与系数的关系】 7 【题型4 二次函数图象的平移】 8 【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】 8 【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】 9 【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】 10 【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】 11 【随堂检测】 11 知识点1 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 1. 一般式与顶点式的转化 利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为． 2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 符号 函数图像 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小 最值 当时, 当时, 3. 二次函数的图象特征与的符号关系 代数式（决定因素） 图像特征 符号判定 a(开口方向) 抛物线开口向上 抛物线开口向下 b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号 对称轴在y轴左侧，即 a、b同号 c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点 交于y轴正半轴 交于y轴负半轴 (与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴没有交点 知识点2 求二次函数的解析式 1. 待定系数法 根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式． （1）一般式： 已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为． （2）顶点式： 已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为． （3）交点式： 已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为． 2. 平移 （1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移． （2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式． 3. 二次函数关于点或直线对称的解析式 若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下： （1）关于x轴对称的抛物线的解析式 关于x轴对称的抛物线的解析式：； 关于x轴对称的抛物线的解析式：． （2）关于y轴对称的抛物线的解析式 关于y轴对称的抛物线的解析式：； 关于y轴对称的抛物线的解析式：． （3）关于顶点对称的抛物线的解析式 关于顶点对称的抛物线的解析式：； 关于顶点对称的抛物线的解析式：． 【题型1 二次函数的图象】 【例1】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (3)当时，直接写出的取值范围：______ 【变式1-1】已知二次函数的图象经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象，直接写出当时，函数y的取值范围是_____． 【变式1-2】已知二次函数． (1)请把下面的表格补充完整： x … 0 1 2 3 … … ____ 2 ___ 2 … (2)根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． (3)根据图像，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②当时，的取值范围是________． 【变式1-3】画出二次函数的图象并利用图象回答： (1)方程的根是________________； (2)函数值大于0时，x的取值范围是________________． 0 1 2 3 4 3 0 0 3 【题型2 二次函数的性质】 【例2】关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图像的开口向下； B．拋物线的对称轴是直线； C．函数有最大值为； D．函数图像与y轴的交点是． 【变式2-1】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．函数有最大值 【变式2-2】已知点、 在抛物线上，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-3】二次函数中的与的部分对应值如下表： ．．． 0 2 3 4 ．．． ．．． 0 6 0 ．．． 下列结论：①函数的图像开口向下；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【题型3 二次函数图象与系数的关系】 【例3】二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-1】已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（   ） ①   ②  ③   ④ A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【变式3-2】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，．其中所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式3-3】已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（    ） ①；②； ③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型4 二次函数图象的平移】 【例4】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，则最终所得图象的顶点坐标为________． 物线，下列平移方法正确的是（    ） A．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】 【例5】已知抛物线的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式． (2)当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 【变式5-1】已知二次函数的图象经过，，求该二次函数的解析式． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，点和都在二次函数，（ 是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式； (2)若，求b的取值范围． 【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】 【例6】已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，求这个二次函数的解析式． 【变式6-1】已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为．求此二次函数的表达式； 【变式6-2】已知二次函数图象的顶点为，且与轴的一个交点坐标是． (1)求该二次函数的解析式； (2)若二次函数图象上有两点、，直接写出函数值、的大小关系． 【变式6-3】已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，求这个二次函数的解析式． 【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】 【例7】如图，抛物线分别经过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 【变式7-1】二次函数图象经过，求二次函数解析式． 【变式7-2】二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【变式7-3】已知：抛物线经过、两点，顶点为．求： (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点和点在该抛物线上，则当时，请写出与的大小关系． 【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】 【例8】将二次函数的图象沿x轴翻折，所得到的新的二次函数解析式为（   ） A．B．C． D． 【变式8-1】若抛物线与抛物线关于x轴对称，则抛物线C的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式8-3】已知二次函数的图象开口向上，则□可能是（    ） A． B． C．0 D．5 随堂检测c 1．对于函数，当为何值时，随的增大而增大（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的解析式为，则该二次函数的最大值是（   ） A．3 B．－3 C．1 D．0 3．.对抛物线图象性质描述错误的是（    ）． A．开口向下 B．时，y随x的增大而减小 C．有最大值 D．对称轴是直线 4．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象过点，，若始终存在，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 6.二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 8．如果抛物线对称轴是直线，那么________． 9.已知二次函数 (1)完成下表，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； x … 0 … y … 4 … (2)结合图象，若点均在该二次函数的图象上，请比较和的大小． 10．已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $