精品解析：宁夏回族自治区银川市兴庆区银川北塔中学2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

银川北塔中学2025－2026学年第二学期期末试卷七年级试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 2026年，搭载AI水质分析系统的“蛟龙号”深潜器在深海热泉口开展探测任务．传感器在采集的水样中，发现了一种未知的极端微生物，它的直径仅为．将数据0.0000000012用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 从如图所示的4张印有图案的卡片（除所印图案外其他都相同）中任取1张，取出的卡片是轴对称图形的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 6. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） A. b2﹣c2＝a2 B. a：b：c＝3：4：5 C. ∠C＝∠A﹣∠B D. ∠A：∠B：∠C＝9：12：15 7. 如图，△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝50°，点 D 是 BC 上任一点，点 E 和点 F 分别是点 D 关于 AB 和 AC 的对称点，连接 AE 和 AF，则∠EAF 的度数是（ ） A. 140° B. 135° C. 120° D. 100° 8. 无人机在军事、农业、航拍、物流、安防、电力、环保、科研与教育等多个领域发挥着越来越重要的作用．无人机爱好者小军有一次操控无人机从起点出发派送物品到指定地点，下图是飞行路程随时间变化的图象，下列分析错误的是下列分析错误的是（ ） A. 无人机从起点到指定派送点飞行的路程为 B. 在内，无人机的平均速度为 C. 在内，无人机在进行加速运动 D. 在内，无人机在进行匀速运动 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 如图，在河岸l的某段有一个饮用水水源保护区P，某市要在附近新建一个自来水厂A，将水引至工厂净化．施工人员的做法是：过点A作于点，将水泵房建在处，这样修建的引水管最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是____________________． 10. 已知，则_______． 11. 如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为_______． 12. 在烧开水时，水温达到水就会沸腾，下表是小红同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的时间（单位：）和水温（单位：）的数据：则水沸腾之前，水温与时间之间的关系式为_____ 0 1 2 3 4 5 6 … 30 37 44 51 58 65 72 … 13. 已知三角形的三边长分别为1，，4，则化简的结果为_____． 14. 如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点．若，则的面积为_____． 15. 如图，在中，，，面积是10，的垂直平分线交于点，交于点，点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 16. 如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从B点出发以的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动_____时，与全等． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图， 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了_____名学生； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是_____； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ （4）若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：作边的垂直平分线，交边于点，交边于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 21. 如图，和的顶点都在边长为1的正方形组成的网格的格点上，且和关于直线成轴对称． （1）的面积为_____； （2）请在网格中作出直线m； （3）请在直线的上方找一点D（不与点A重合），作出，使．（无需证明） 22. 如图，，． （1）若，求的度数； （2）求证：． 23. 盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 2.5 3 b 指针转过的角度 （1）请直接写出_____，_____； （2）设盘秤转过的角的数值为n，物体的重量为m，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出n与m之间的关系式为_____； （3）指针转过的角度不得超过，否则盘秤会受损，称量18千克的物品会对盘秤造成损伤吗？说说你的理由； （4）某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的数量是第一次数量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 24. 如图，已知：，，点在边上，且． （1）求证：； （2）如果为中点，，求的度数． 25. 综合与实践： （1）【基础巩固】如图①，已知与相交于点，．是的中点，求证：． （2）【深入探究】如图②，在（1）的条件下，过点，分别作于点，于点，若．当时，求的长． （3）【拓展探究】如图③，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连结，并且延长到点，使；延长到点，使，连结并延长到点，使三点在同一条直线上．若测量出，则河流，请说明理由． 26. 我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． （1）请利用图①证明勾股定理； （2）图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； （3）如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川北塔中学2025－2026学年第二学期期末试卷七年级试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 2026年，搭载AI水质分析系统的“蛟龙号”深潜器在深海热泉口开展探测任务．传感器在采集的水样中，发现了一种未知的极端微生物，它的直径仅为．将数据0.0000000012用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法可表示为，其中，为原数小数点移动到第一个非零数字后移动的位数． 【详解】解：∵将的小数点向右移动位可得到，且满足， ∴． 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对选项A：∵合并同类项时，系数相加，字母及指数不变，∴，A错误； 对选项B：∵积的乘方运算满足，幂的乘方满足，∴，B正确； 对选项C：∵单项式除法中，同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，C错误； 对选项D：，D错误． 3. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、添加，由“”不可证，故选项A符合题意； B、添加，由“”可判定，选项B不符合题意； C、添加，由“”可证，故选项C不合题意； D、添加，可得到，由“”可证，故选项D不合题意． 4. 将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平角定义和两直线平行内错角相等结合题目条件求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ． 5. 从如图所示的4张印有图案的卡片（除所印图案外其他都相同）中任取1张，取出的卡片是轴对称图形的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用简单的概率公式求解即可； 【详解】解：根据题意，得一共有4种等可能性，其中是轴对称图形的可能性有3种，除了第一个图形不是轴对称图形外，其余三个都是， 故取出的卡片是轴对称图形的概率是； 6. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） A. b2﹣c2＝a2 B. a：b：c＝3：4：5 C. ∠C＝∠A﹣∠B D. ∠A：∠B：∠C＝9：12：15 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理可判断出A、B是否是直角三角形，根据三角形内角和定理可得C、D是否是直角三角形． 【详解】解：b2﹣c2＝a2 则b2＝a2+c2 △ABC是直角三角形，故选项A不符合题意； a：b：c＝3：4：5， 设a＝3x，b＝4x，c＝5x， a2+b2＝c2， △ABC是直角三角形，故选项B不符合题意； ∠C＝∠A﹣∠B， 则∠A＝∠B+∠C， ∠A＝90°， △ABC是直角三角形，故选项C不符合题意； ∠A：∠B：∠C＝9：12：15， 设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x， 则9x+12x+15x＝180°， 解得，x＝5°， 则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°， △ABC不是直角三角形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用以及三角形内角和定理，正确利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义是解题的关键． 7. 如图，△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝50°，点 D 是 BC 上任一点，点 E 和点 F 分别是点 D 关于 AB 和 AC 的对称点，连接 AE 和 AF，则∠EAF 的度数是（ ） A. 140° B. 135° C. 120° D. 100° 【答案】A 【解析】 【分析】利用轴对称的性质解答即可． 【详解】解：如图，∵D 点分别以 AB、AC 为对称轴，画出对称点 E、F， ∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD， ∵∠B＝60°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣60°﹣50°＝70°， ∴∠EAF＝2∠BAC＝140°， 故选：A． 【点睛】此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答． 8. 无人机在军事、农业、航拍、物流、安防、电力、环保、科研与教育等多个领域发挥着越来越重要的作用．无人机爱好者小军有一次操控无人机从起点出发派送物品到指定地点，下图是飞行路程随时间变化的图象，下列分析错误的是下列分析错误的是（ ） A. 无人机从起点到指定派送点飞行的路程为 B. 在内，无人机的平均速度为 C. 在内，无人机在进行加速运动 D. 在内，无人机在进行匀速运动 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息．根据图象中路程与时间的关系，逐一分析各选项中的路程、速度及运动状态即可． 【详解】解：A．由图象可知，纵坐标的最大值为， 无人机飞行的路程为，故该选项分析正确，不符合题意． B．由图象可知，当时，， 在内，平均速度为，故该选项分析正确，不符合题意． C．在内，图象是一条平行于轴的线段， 路程不随时间变化，故该选项分析错误，符合题意． D．在内，图象是一条倾斜的线段， 路程随时间均匀增加， 无人机在进行匀速运动，故该选项分析正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 如图，在河岸l的某段有一个饮用水水源保护区P，某市要在附近新建一个自来水厂A，将水引至工厂净化．施工人员的做法是：过点A作于点，将水泵房建在处，这样修建的引水管最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是____________________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【详解】解：过点A作于点，将水泵房建在处．这样修建的引水管最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是垂线段最短． 10. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 11. 如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由图②得小球落在不规则图案内的概率约为，求出矩形的面积，再根据小球落在不规则图案内的概率估计其面积即可． 【详解】解：由图②得，小球落在不规则图案内的概率约为， 由题意得矩形的面积为， 设不规则图案的面积为，则， ∴， ∴不规则图案的面积大约为． 12. 在烧开水时，水温达到水就会沸腾，下表是小红同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的时间（单位：）和水温（单位：）的数据：则水沸腾之前，水温与时间之间的关系式为_____ 0 1 2 3 4 5 6 … 30 37 44 51 58 65 72 … 【答案】 【解析】 【详解】解：由表格可知，时间每增加，水温上升， 则． 当水沸腾时，令， 解得， 故． 故关系式为． 13. 已知三角形的三边长分别为1，，4，则化简的结果为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵三角形的三边长分别为1，，4， ∴，即， ∴， ∴． 14. 如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点．若，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图可知，平分，根据角平分线的性质，得到点到的距离相等，均为的长，再求得三角形的面积即可． 【详解】解：由作图可知：平分， ∵，， ∴点到的距离相等，均为的长， ∵ ∴． 15. 如图，在中，，，面积是10，的垂直平分线交于点，交于点，点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】连接，，由垂直平分线的性质可得，当、、三点共线时，周长最小为的长． 【详解】解：连接，， 是线段的垂直平分线，点在线段上， ， 周长， 当、、三点共线时，周长最小， 为边的中点，，， ，， ， ， 周长， 周长的最小值为7． 16. 如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从B点出发以的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动_____时，与全等． 【答案】2或4 【解析】 【分析】根据题意和这两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴运动时间为； 当时，则， ∴运动时间为； 综上所述，当运动或时，与全等． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 19. 某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图， 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了_____名学生； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是_____； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ （4）若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． 【答案】（1） （2）补全条形统计图如图所示： （3） （4）名 【解析】 【分析】（1）利用喜欢娱乐的人数除以所占比例即可得出一共调查的学生的人数； （2）先求出喜欢阅读的人数，即可补全条形统计图，利用乘以喜欢阅读的人数所占的比例即可得出结果； （3）用喜欢阅读的人数除以总人数即可得出结果； （4）用乘以爱好运动的学生人数所占的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：在这次研究中，一共调查了名学生； 【小问2详解】 解：喜欢阅读的人数为（名）， 图略； 阅读部分圆心角是； 【小问3详解】 解：由题意可得，选出的恰好是爱好阅读的学生概率是； 【小问4详解】 解：（名）， 故估计全校爱好运动的学生人数为名． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：作边的垂直平分线，交边于点，交边于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）如图，直线即为所求， （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本作图，作的垂直平分线即可； （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，和的顶点都在边长为1的正方形组成的网格的格点上，且和关于直线成轴对称． （1）的面积为_____； （2）请在网格中作出直线m； （3）请在直线的上方找一点D（不与点A重合），作出，使．（无需证明） 【答案】（1） （2）直线m如图： （3）如图， 【解析】 【分析】（1）利用割补法求面积即可； （2）连接对应点，再找到对应线段的中点，连接即可得到直线m； （3）先证明以和为斜边且网格边长为直角边的三角形全等，即可得到，再把平移得到，此时，，结合即可证明； 【小问1详解】 解：的面积为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 如图，，． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由内错角相等，两直线平行可得，再由平行线的性质并结合题意计算即可得出结果； （2）由平行线的性质可得，结合题意得出，即可得证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略． 23. 盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 2.5 3 b 指针转过的角度 （1）请直接写出_____，_____； （2）设盘秤转过的角的数值为n，物体的重量为m，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出n与m之间的关系式为_____； （3）指针转过的角度不得超过，否则盘秤会受损，称量18千克的物品会对盘秤造成损伤吗？说说你的理由； （4）某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的数量是第一次数量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 【答案】（1）， （2） （3）不会，理由如下： 由（2）可得盘秤转过的角的数值n与物体的重量m之间的关系式为， 当时，转过的角度， ∵， ∴称量18千克的物品不会对盘秤造成损伤； （4）千克 【解析】 【分析】（1）观察表格，重量每增加1千克，指针转过的角度增加，由此计算即可得出结果； （2）根据重量每增加1千克，指针转过的角度增加，即可写出n与m之间的关系式； （3）将代入（2）中所得关系式，求出的值即可判断； （4）设第一次称重的重量为千克，则第二次称重的重量为千克，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：观察表格，重量每增加1千克，指针转过的角度增加， 故重量为千克时，指针转过的角度为，即， 当指针转过的角度为时，重量为千克，即； 【小问2详解】 解：∵重量每增加1千克，指针转过的角度增加， ∴盘秤转过的角的数值n与物体的重量m之间的关系式为； 【小问3详解】 略； 【小问4详解】 解：设第一次称重的重量为千克，则第二次称重的重量为千克， 由（2）可得盘秤转过的角的数值n与物体的重量m之间的关系式为， ∵指针第二次转过的角度比第一次大， ∴， 解得， ∴第一次称重的重量为3千克，则第二次称重的重量为千克， ∵（千克） ∴该顾客一共购买了千克水果． 24. 如图，已知：，，点在边上，且． （1）求证：； （2）如果为中点，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，，再结合等腰三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴． 25. 综合与实践： （1）【基础巩固】如图①，已知与相交于点，．是的中点，求证：． （2）【深入探究】如图②，在（1）的条件下，过点，分别作于点，于点，若．当时，求的长． （3）【拓展探究】如图③，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连结，并且延长到点，使；延长到点，使，连结并延长到点，使三点在同一条直线上．若测量出，则河流，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵是的中点， ∴, 在和中， ， ∴； （2） （3）若测量出，则河流，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴若测量出，则河流． 【解析】 【分析】（1）利用证明即可； （2）在（1）的条件下，，，得到，利用面积相等得到高相等，即，再证明，得到，最后根据计算即可； （3）先证明，得到，，再证明，得到，则，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在（1）的条件下，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 26. 我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． （1）请利用图①证明勾股定理； （2）图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； （3）如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【答案】（1）证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． （2）48 （3） 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即可求解； （2）设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，，可得，，，即可求解； （3）延长交于点，证明，可得，可得，在中，，，，可得，再证明，可得，，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． 【小问3详解】 解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $