2.3.3 点到直线的距离公式课件-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“点到直线的距离公式”，通过课前自学引导预习，课时学案以定义解析、公式推导及知识拓展搭建基础，结合求距离、求直线方程、求最值等题型示例与探究总结，形成从概念到应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以数学抽象和数学运算为核心素养目标，通过定义辨析、公式结构特点分析及多题型示例（如例1将直线方程化为一般式求距离）培养学生逻辑思维，分层设计思考题和巩固题助力学生深化理解，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

课前自学 内容导航 课时学案 课后巩固 Content Navigation 01 02 03 2.3.3　点到直线的距离公式 素养目标 1.探索并掌握点到直线的距离公式．(数学抽象)2.会求点到直线的距离．(数学运算) 课前自学 4 要点　点到直线的距离 (1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的______________的长度． (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距 离d＝______________． 垂线段 第页 对点到直线的距离公式的两点说明： (1)适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离． (2)结构特点：公式中的分子是用点P(x0，y0)的坐标代换直线方程中的x，y，然后取绝对值，分母是直线方程中的x，y的系数的平方和的算术平方根． 提醒：在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式． 第页 1．在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？ 答：直线方程应为一般式． 2．点P(x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离能否用点到直线的距离公式？有没有更简单的方法？ 答：可以用点到直线的距离公式求解，也可以用下列方法求解： P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|； P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|. 返 回 课时学案 8 例 1 题型一　 点到直线的距离 第页 9 (2)y＝6； 第页 (3)x＝4. 【解析】　(3)因为直线x＝4平行于y轴， 所以d＝|4－3|＝1. 第页 探究1 点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点P(x0，y0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接用d＝|x0－a|或d＝|y0－b|计算． 第页 √ √ 第页 (2)若点P(4，a)到直线y＝2的距离为1，则a＝________． 【解析】　依题意可知|a－2|＝1，解得a＝3或a＝1. 3或1 第页 例 2　求过点M(－2，1)，且与A(－1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线l的方程． 题型二　 应用点到直线距离公式求直线方程 第页 15 第页 探究2 (1)根据点到直线的距离求直线方程时，首先设出直线方程，利用点到直线的距离公式列方程求解，过定点设直线方程时不要忘记斜率不存在的情况． (2)若已知条件中有明显的几何意义，则可以借助几何意义求解． 第页 思考题2　求过点A(－1，2)，原点到直线的距离等于1的直线方程． 第页 例 3　已知实数x，y满足x＋y－4＝0，求(x－1)2＋(y－1)2的最小值． 题型三　 利用点到直线距离公式求最值 【解析】　方法一：由x＋y－4＝0，得y＝4－x(x∈R)，则(x－1)2＋(y－1)2＝(x－1)2＋(4－x－1)2＝x2－2x＋1＋x2－6x＋9＝2x2－8x＋10＝2(x－2)2＋2，∴(x－1)2＋(y－1)2的最小值是2. 第页 19 第页 探究3 第页 思考题3　点P(x，y)在直线x＋y－b＝0上，且x2＋y2的最小值是8，则b＝________． ±4 第页 1．若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式再利用公式求点到直线的距离． 2．点P(x1，y1)到直线y＝b的距离为|y1－b|，到直线x＝a的距离为|x1－a|. 返 回 课后巩固 24 √ 第页 2．点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为(　　) A．(8，0) B．(－12，0) C．(8，0)或(－12，0) D．(－8，0)或(12，0) √ 第页 √ 第页 √ 第页 5．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，1)，B(3，4)，C(－2，－1)，则△ABC的面积为________． 5 返 回 请做：课时作业（二十二） 教师备用资料 eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) 【解析】　(1)把方程y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,4)写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝eq \f(|3×3－4×（－2）＋1|,\r(32＋（－4）2))＝eq \f(18,5). 　求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,4)； 【解析】　(2)方法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝eq \f(|0×3＋（－2）－6|,\r(02＋12))＝8. 方法二：因为直线y＝6平行于x轴， 所以d＝|6－(－2)|＝8. 【解析】　由题意得eq \f(|3＋\r(3)a－4|,\r(1＋3))＝eq \f(|\r(3)a－1|,2)＝1， 解得a＝eq \r(3)或a＝－eq \f(\r(3),3). 思考题1　(1)【多选题】若点P(3，a)到直线x＋eq \r(3)y－4＝0的距离为1，则a的值为(　　) A.eq \r(3)　　　　　　　　　 B．－eq \r(3) C.eq \f(\r(3),3) D．－eq \f(\r(3),3) 【解析】　方法一：易知直线l斜率存在，设所求的直线方程为y－1＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋1＝0. 由题意得eq \f(|－k－2＋2k＋1|,\r(k2＋1))＝eq \f(|3k＋2k＋1|,\r(k2＋1))， 解得k＝0或k＝－eq \f(1,2). 故所求的直线方程为y＝1或x＋2y＝0. 方法二：连接AB，由平面几何知识，得l∥AB或l过AB中点． 若l∥AB，因为kAB＝－eq \f(1,2)，且直线l过点M(－2，1)，所以l的方程为x＋2y＝0； 若l过AB的中点(1，1)，又直线l过点M(－2，1)，则l的方程为y＝1. ∴所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0. 【解析】　当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由题意可得eq \f(|k＋2|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，因此所求直线的方程为3x＋4y－5＝0. 当直线的斜率不存在时，直线x＝－1满足题意． 综上，所求直线的方程为3x＋4y－5＝0或x＝－1. 方法二：∵实数x，y满足x＋y－4＝0，∴点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上．而(x－1)2＋(y－1)2＝[eq \r(（x－1）2＋（y－1）2)]2可看成点P(x，y)与点A(1，1)之间的距离的平方， 显然eq \r(（x－1）2＋（y－1）2)的最小值就是点A(1，1)到直线x＋y－4＝0的距离d＝eq \f(|1＋1－4|,\r(12＋12))＝eq \r(2)， ∴(x－1)2＋(y－1)2的最小值为2. 若实数x，y在确定的直线上运动，求解形如或可化为eq \r(（x－a）2＋（y－b）2)(或(x－a)2＋(y－b)2)有关的最值问题，可以利用两点间距离公式的几何意义，转化为点P(a，b)到直线的距离(或距离的平方)． 【解析】　由x2＋y2的最小值是8可知eq \r(x2＋y2)的最小值为2eq \r(2). ∵x2＋y2＝(eq \r(x2＋y2))2＝[eq \r(（x－0）2＋（y－0）2)]2，它表示原点到P(x，y)距离的平方， ∴原点到直线x＋y－b＝0的距离d＝eq \f(|0＋0－b|,\r(2))＝2eq \r(2)，解得b＝±4. 解析　由点到直线的距离公式可得d＝eq \f(|1＋1＋1|,\r(12＋（－1）2))＝eq \f(3\r(2),2). 1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d是(　　) A.eq \f(3\r(2),2)　　　　　　　　　 B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(3,2) D.eq \f(1,2) 解析　设点P的坐标为(x，0)，则根据点到直线的距离公式可得eq \f(|3x－4×0＋6|,\r(32＋（－4）2))＝6， 解得x＝8或x＝－12. 所以点P的坐标为(8，0)或(－12，0)． 解析　由题意可得eq \f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝3，解得a＝eq \f(3,4)或a＝0. 3．已知点A(1，4)到直线l：ax＋y－1＝0的距离为3，则实数a等于(　　) A．3 B.eq \f(3,4) C．0或3 D．0或eq \f(3,4) 解析　由题意，|MP|的最小值是点M(0，2)到直线2x＋y－1＝0的距离d，即|MP|min＝d＝eq \f(|0×2＋2×1－1|,\r(22＋12))＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5). 4．已知点M(0，2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　) A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(3\r(5),5) C.eq \f(4\r(5),5) D.eq \r(5) 解析　由两点式得AB的直线方程为eq \f(y－1,4－1)＝eq \f(x－2,3－2)， 即3x－y－5＝0.再由点到直线距离公式得点C到直线AB的距离为d＝eq \f(|－6＋1－5|,\r(32＋（－1）2))＝eq \r(10).又|AB|＝eq \r(（3－2）2＋（4－1）2)＝eq \r(10)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \r(10)×eq \r(10)＝5. $