甘肃省环县第一中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

环县一中2025~2026学年度第二学期期末考试 高一数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟。 处 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0,5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：湘教版必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 必 1.在△ABC中，A=60°，BC=√5，则△ABC外接圆的半径为 A.1 B.√2 C.3 D.2 2.复数z=2i(4一5i)的共轭复数在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D.第四象限 3.以下四个命题中，真命题为 灯 A.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 B.底面是矩形的平行六面体是长方体 C.直四棱柱是直平行六面体 D.棱台的侧棱延长后必交于一点 4.已知△ABC的直观图△ABC如图所示，A'B∥x'轴，A'C∥y'轴， 蓉 且A'B'=A'C=1,则BC= A√2 B.√5 C.5 D.2√2 5.已知a,b是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题中，真命题是 A.若aCa,b中a,则a与b必异面 B.若点A氏a,点B任a,则直线AB∥a、 C.若a∥a,bCa,则a∥b D.若点A∈，点Bta,则直线AB与a相交 剂 6.连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是 A院 B品 c品 D船 【高一期末考试·数学卷第1页（共4页）】 6393A 7.如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN上且Ai=(m+异)A店 十品B心，则实数m的值为 A.1 c 9 D. C 第7题图 第8题图 8.如图，已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为√2，若K为棱A1B1的中点，过A,C,K三点 作正方体的截面，则截面的周长为 A.3+√10 B.2+√5 C.2√2+3√5 D.√5+2√2+3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中错误的是 Ai+i2+i3+4=0 B复数异的虚部为一1， C.若复数之为纯虚数，则|z2=z2 D.若1,2为复数，则|z1·2|=之1川之2 10.下列各式中，值不为2的是 Aos五-sin8 B. 1-tan 15 3+tan60°tan15 1+cos C.2sin195°cos195° D. 11.如图，已知圆台上、下底面的圆心分别为O,O2,半径分别为2， 4,圆台的轴截面中∠ABC的正切值为3，P为线段O1O2上一 点，则 A.圆台的母线长为6 B.当圆锥PO1与圆锥PO2的体积相等时，PO1=4PO2 C.圆台的体积为56π D.当圆台上、下底面的圆周在同一个球面上时，该球的表面积为80π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在长方体ABCD-EFGH中，AB=2√3，AD=2,则异面直线AB和EG所成角的大小 是 【高一期末考试·数学卷第2页（共4页）】 6393A 13.圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径，高BC=6cm,点P是母线BC上一点，且 PC=号BC一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 cm. 14.司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马 迁祠内.某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度. 如图，选取与司马迁雕像底部O同一水平面内的三个共线的测量基 点A,B,C,且在A,B,C处测得雕像顶端P的仰角分别为30°，45°， 60°，AB=BC=10米，则司马迁雕像高度OP为 米 A 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知向量a=(3,5),b=(2,6),c=(4,2). (1)若a与b十c共线，求k; (2)若b=m+c,求x,y. 16.(本小题满分15分) 已知函数fa一厄s血著s青o号-号z∈R (1)求f(x)的最小正周期； (2)若x∈[0,2π]，求函数f(x)的值域. 17.(本小题满分15分) Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号 处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基 础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学 答对每题的概率都为p,乙同学答对每题的概率都为q(p>q),且在考试中每人各题答题结 果互不影响已知每题甲、乙同时答对的概率为分，恰有一人答对的概率为品 (1)求饣和g的值； (2)试求两人共答对3道题的概率. 【高一期末考试·数学卷第3页（共4页）】 6393A 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，内角A,B,C对边分别为a,b,c,已知2 acos B=2c一b. (1)求角A的值； (2)若2 bsin B+2 csin C-=bc+√3a. (i)求a的值； ()求△ABC面积的最大值. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD,E是PC的中 点，AB=PA,PB=2BC=4,设平面ADE交PB于F. (1)求证：F为PB的中点； (2)求证：平面PBC⊥平面ADE; (3)若二面角P-AD-B的余弦值为号，求直线DE与平面ABCD所成角的正切值. 【高一期末考试·数学卷第4页（共4页）】 6393A环县一中2025~2026学年度第二学期期末考试·高一数学 参考答案、提示及评分细则 一 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A D D C D B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 BC ABD BCD 1.A 由正弦定理 sin A 尽=2R,则R=1,故△ABC外接圆的半径为1.故选A 2 2.D 3.D 4.C根据斜二测画法可知，AB⊥AC,AB=A'B'=1,AC=2A'C'=2,则BC=√2+2严=√5，故选C. 5.D若aCa,b中a,则a与b平行或相交、或异面，故A为假命题；若点A任a,点B任a,则直线AB∥平面a或 直线AB与平面a相交，故B为假命题；若a∥a,bCa,则a与b平行或异面，故C为假命题.若点A∈a,点B a,则直线AB与平面a相交，故D为真命题；故选D. 6.B一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，可能出现的情况为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共36种， 其中至少出现一次1点的情况有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)， 共1种，故至少出现一-次1点的概率是号故选B .CA-(+)A+心-(m+号)A+是衣-)=mA+A花，N为线段AC上靠近A的 三等分点，所以A市=mA+普A衣.因为点P在BN上，即P,B,N三点共线，所以m十品=1，解得m=哥 8.A如图，取B,C的中点M,连接KM,MC,则KM∥AC,又AC∥AC,所以 KM∥AC,则四边形KMCA即为过A,C,K三点的截面.因为正方体ABCD A,BCD的棱长为E,所以AC=2,KM=1,AK=MC=√E)+(号) 四，则其周长为AC+KM+AK+MC=2+1+至+=3+瓜.放选A 2 2 9.BC因为i+2+3+=i-1一i+1=0,A正确： 复数异，的虚部为-1，B不正确： 若=i,则2=一1，=1，C不正确； 设=a十bi,2=c十di,所以2=ac-bdl+(ad+bc)i, |2=√(ac-bd)2+(ad+bc)=√a2c2+bd形+a+bc=√a2+b·√c2+正=名1l2|,D正确. 故选BC 【高一期末考试·数学卷参考答案第1页（共4页）】 6393A 10ADoe音m音(2x)=s音-， 1-tan159 tan45°-tan15° √3+tan60°tanl5°√3 1十tan45·tan15= 后×tam(45°-15)=2×5= √5◆33 2sin195c0s195°=2sin(180°+15)c0s(180°+15)=2sin15c0s15°=sin30°=7， 3 6 2 2 √2+E.故选ABD. 2 1L.BCD如图：由题意得OA=2,O,B=4,BC=2,所以tan∠ABC= 瓷=3 所以AC=6, 从而母线长为AB=√AC+BC=2√IO,所以A错误； 当圆锥PO与圆锥PO2的体积相等时， 即号×xX0A×PO=号XxXO形XPO, 所以4PO=16PO2,即PO=4PO2,所以B正确： 圆台的体积为号×(4x+16x十√4X16元)X6=56m,所以C正确： 由圆台的结构特征知外接球的球心O在线段O]O上，设外接球的半径为R, 则-00世 (R=(6-OO)+16 解得OO,=4.所以R=20,从而外接球的表面积为4xR2=80π，所以D正确. 也可以用轴截面外接圆来解.故选BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 120市AB/EF知∠FEG为AB和EG所成的角，在R△EG中，m∠PBG票-则∠PEG=3 13.5侧面展开图如图所示：，圆柱的底面周长为6cm,∴.AC=3cm..PC= 号BC, PC=号X6=4em在R△ACp中，Ar=ACCr=V尽+E=5 14.5后设0P=x米，由题设有0A=厅，0B=x,0C-号，又AB=C=10,由sAB0 +os∠CB0=AF0B04+CB+0B0C=0,所以100+-3 2AB·OB 2CB·OB 20.x 100+2- 20x -=0,则200-专x2=0,可得x=56米。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.解：(1)由题得b十C=(2k十4,6k十2)，…2分 因为a与b十c共线，所以5(2k+4)=3(6k+2),解得k=7 4 6分 (2)b=0十C→(3x十4y,5x十2y)=(2,6),…8分 则〈 2=3x+4y 11分 6=5x+2y 10 解得 …13分 y=- 【高一期末考试·数学卷参考答案第2页（共4页）】 6393A 1解：r0=反sm青os亭+Ecs号-号-号m号+号(2m号-D=号sn专+号a 号cos= sin(受+平) …5分 故f(x)的最小正周期T=4π.… …7分 (2)因为x[0,2x],x+圣∈[，平1，所以sim(号+子)[-号，1]， 14分 散两数的值竣为[-号，山 15分 17.解：(1)由题意可得 …2分 b(1-q)+g(1-p)=2; 5 1 3 p= =2 即 解得 =2或 …5分 由于p>g,所以p=是，9g=号 …6分 (2)设A,={甲同学答对了i道题}，B,={乙同学答对了i道题}，=0,1,2. 面题包得，PA)-寸×学+是×号PA)子×子-品 4 4416 …9分 PB)=号×+号×号-告PB)子×号- 3 39· …11分 设E={甲、乙二人共答对3道题}，则E=AB2十A2B. 由于A和B:相互独立，AB与A2B互斥， 所以PD=P(AB)+PAB)=PA)PB)+PA)P(B)=景×告+是X告是 …14分 所以甲，乙两人共答对3道题的概率为 …15分 18.解：(1)".2 acos B=2c-→2 sin Acos B=2sinC-sinB, ∴.2 sin Acos B=2sin(A+B)-sinB=2(sin Acos B+cos Asin B)-sinB,…4s分 .cosA= :0<A<元，A=晋 6分 (2)(i)6 sin B sin C sin A 3 a-d,.'sin B-v3 b 2 a,sin C=3c 2 a ……8分 2 29,台+a,号后=+6a… 2 a ∴B+e-a)=万sA=号→5·7=号>a= 12分 (i)由(i)得/3(b2+c2-3)=√3b→8+2=3+bc, ∴.3十bc≥2bc→bc≤3，当且仅当b=c时等号成立， 15分 六△AC面积的最大值为号smA=3 41 17分 19.(1)证明：连接AF,EF,因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,…1分 又AD女平面PBC,BCC平面PBC,所以AD∥平面PBC,…2分 又ADC平面ADE,平面ADE∩平面PBC=EF,所以AD∥EF,所以BC∥EF,…3分 【高一期末考试·数学卷参考答案第3页（共4页）】 6393A 因为E是PC的中点，所以F为PB的中点. 4分 (2)证明：因为AB=PA,F是PB的中点，所以AF⊥PB,…5分 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,ADC平面ABCD, 且AD⊥AB, 所以AD⊥平面PAB,…6分 又PBC平面PAB,所以AD⊥PB,…7分 因为AF∩AD=A,且AF,ADC平面ADE,所以PB⊥平面ADE.…8分 因为PBC平面PBC,所以平面PBC⊥平面ADE.…9分 (3)解：过点F作FH⊥AB,垂足为H,设AD中点为G,连接GH,GF, 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,FHC平面PAB, 所以FH⊥平面ABCD,所以∠FGH为直线GF与平面ABCD所成的角， …10分 由(1)易得DG∥EF,DG=EF,所以四边形DEFG是平行四边形，所以DE ∥GF, 所以∠FGH为直线DE与平面ABCD所成的角.… …11分 由(2)知AD⊥平面PAB,又APC平面PAB,所以AD⊥AP, 又ADLAB,所以∠PAB为二面角P-AD-B的平面角，即cOs∠PAB=号， …13分 设PA=AB=a,在△PAB中，由余弦定理得2十a2-2a2X号=PB=4,解得a=2E, 所以AF=aB那=2，FHA=2AH=Va-FT- AB 3 …15分 又AG=2BC=1,所以GH=VAG+AF= 3 所以m∠PGH器2得⑧，即直线DE与平面ABCD所成角的正切值为2治 …17分 【高一期末考试·数学卷参考答案第4页（共4页）】 6393A