1.2 集合间的基本关系 同步练--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 这份同步练习通过“基础过关练”和“能力提升练”分层设计，基础层聚焦子集、真子集等概念辨析与简单应用，提升层深化子集个数、含参关系等综合问题，形成从概念理解到逻辑推理的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|子集、真子集、空集概念，集合关系判断，简单子集个数|题组一以辨析题（如关系式正误判断）巩固概念，题组二结合方程（如含参集合元素个数）实现简单应用，适配新授课基础目标| |能力提升练|子集个数综合计算，含参集合关系，集合性质证明|题组一通过多选题、实际情境（如非空真子集元素和）提升计算能力，题组二以证明题（如B⊆A）发展逻辑推理，体现数学思维进阶|

1.2　集合间的基本关系 基础过关练 题组一　子集、真子集和空集 1.(2026山东济宁第一中学月考)有下列关系式:①{a,b}={b,a};②{a,b}⊆{b,a};③⌀={⌀};④{0}=⌀;⑤⌀⊆{0};⑥0∈{0}.其中不正确的是(　　) A.①③④　B.②④⑤　C.②⑤⑥　D.③④ 2.(教材习题改编)在平面直角坐标系中,集合C={(x,y)|y=x}表示直线y=x上的所有点,从这个角度看,若集合D=(x,y),则集合C、D之间的关系是(　　) A.C⊆D　　B.D⊆C　　C.C∈D　　D.D∈C 3.(2026福建莆田第五中学期中)集合A={x∈N|-5<2x-1<5}的子集个数为(　　) A.3　　B.4　　C.5　　D.8 4.(2026重庆凤鸣山中学月考)已知集合A={x|kx2+8x-16=0,x∈R}. (1)若k=8,写出集合A的所有子集; (2)若A中只有一个元素,求实数k的值,并用列举法表示集合A; (3)若A有且只有四个子集,求实数k的取值范围. 题组二　集合间的关系及其应用 5.(2026江苏苏州大学附属中学月考)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=(　　) A.2　　B.1　　C.　　D.1或2 6.(2026辽宁沈阳重点高中联考)若集合A=xx=(2k+1),k∈Z,B=xx=k±,k∈Z,则集合A,B之间的关系表示最准确的为(　　) A.A⊆B　　B.B⊆A　　 C.A=B　　D.A与B互不包含 7.(易错题)(2026天津中学月考)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B为A的子集,则m的取值范围是(　　) A.{m|m<2}　　B.{m|2≤m<3} C.{m|m≤3}　　D.{m|2<m≤3} 8.(2026湖北武汉育才高级中学月考)已知集合A={x|x2+4x-a=0}. (1)若a=5,请写出集合A的所有子集; (2)若集合B={x|x2+2x=0},且A⊆B,求a的取值范围. 能力提升练 题组一　集合的子集个数问题 1.(2026山东淄博淄川中学月考)已知集合A={1,2},B={x|-1<x<5,x∈N},则满足A⊆C⫋B的集合C的个数为(　　) A.4　　B.7　　C.8　　D.15 2.(2026安徽六安毛坦厂中学期中)设集合A=,则A的真子集的个数为(　　) A.7　　B.8　　C.15　　D.16 3.(多选题)(2026吉林长春外国语学校月考)已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值可以为(　　) A.-2　　B.-1　　 C.0　　D.1 4.(2026上海行知中学月考)若集合M⫋{1,2,3,4,5,6,7,8},且M中至少含有两个奇数,则满足条件的集合M的个数是　　　　.  5.设集合S={a1,a2,a3,a4,a5},若集合S的所有非空真子集的元素之和是300,则a1+a2+a3+a4+a5=　　　　.  题组二　含参的集合间的关系 6.(多选题)(2026河南南阳期中联考)已知集合A满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5},且A={1,a2-2a+2,a2+1},则a的可能取值为(　　) A.2　　B.0　　 C.-1　　D.1 7.(多选题)(2026河北承德高新一中月考)已知集合A={0,1},B={x|ax2+x-1=0},若A⊇B,则实数a的取值可以是(　　) A.0　　B.1　　 C.-1　　D. 8.(2026广东茂名期中)若A={x|x2+2x=3},B={x|ax=1},且B⊆A,则实数a的值为　　　.  9.(2026河南郑州外国语学校月考)设集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1<x<2m+1}. (1)当x∈Z时,求A的所有子集中的元素之和; (2)若A⊇B,求m的取值范围. 10.(2026山西临汾一中月考)已知集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z}. (1)判断5,12,14是否属于A,并说明理由; (2)集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:B⊆A; (3)写出集合A中的所有偶数. 11.若x∈A,∈A,就称A是具有伙伴关系的集合,集合M=的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为(　　) A.1　　B.3　　C.5　　D.7 1.2　集合间的基本关系 基础过关练 1.D　对于①,由集合中元素的无序性可知①正确; 对于②,由①知{a,b}={b,a},根据任何一个集合是它本身的子集可知②正确; 对于③④,⌀是不含有任何元素的集合,而{⌀}是以空集为元素的一个集合,{0}是只有一个元素0的集合,故③④错误; 对于⑤,空集是任何集合的子集,故⑤正确; 对于⑥,0是{0}的一个元素,所以⑥正确. 综上,不正确的有③④. 2.B　易得D=(x,y)={(1,1),(-2,-2)},因为C={(x,y)|y=x},所以D⊆C. 3.D　因为A={x∈N|-5<2x-1<5}={x∈N|-2<x<3}={0,1,2},所以集合A的子集有23=8个. 4.解析　(1)当k=8时,方程为8x2+8x-16=0,即x2+x-2=0,解得x=-2或x=1, 所以A={1,-2},则A的所有子集为⌀,{1},{-2},{1,-2}. (2)当k=0时,方程为8x-16=0,得x=2,此时A={2},符合题意; 当k≠0时,由题意得一元二次方程kx2+8x-16=0有两个相等的实数根,则Δ=82-4k×(-16)=0,解得k=-1, 此时方程为-x2+8x-16=0,即x2-8x+16=0,所以x=4,则A={4},符合题意. 综上,k=0时,A={2};k=-1时,A={4}. (3)若A有且只有四个子集,则A有两个元素(点拨:由2n=4=22得n=2),即方程kx2+8x-16=0有两个不等实数根, 所以解得k>-1且k≠0. 故实数k的取值范围为{k|k>-1且k≠0}. 5.B　由A⊆B,得0∈B,若a-2=0,则a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B,不合题意;若2a-2=0,则a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足A⊆B. 综上,a=1. 6.C　对于集合A,当k=2n(n∈Z)时,A=xx=n+,n∈Z,当k=2n-1(n∈Z)时,A=xx=n-,n∈Z,所以A=B. 7.C　当B=⌀时,满足B⊆A,此时m+1>2m-1,可得m<2; 当B≠⌀时,由B⊆A得 解得2≤m≤3. 综上,m的取值范围是{m|m≤3}. 8.解析　(1)当a=5时,A={x|x2+4x-5=0}={-5,1},所以集合A的子集有⌀,{-5},{1},{-5,1}. (2)易得B={x|x2+2x=0}={-2,0}. ①当A=⌀时,满足A⊆B,此时方程x2+4x-a=0无解,故Δ=16+4a<0,解得a<-4; ②当集合A只有一个元素时,方程x2+4x-a=0有两个相等的实根,故Δ=16+4a=0,可得a=-4,此时A={x|x2+4x+4=0}={-2},满足A⊆B; ③当集合A有两个元素时,因为A⊆B,所以A=B,即A={-2,0},即关于x的方程x2+4x-a=0的两根分别为-2,0,所以无解. 综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-4}. 能力提升练 1.B　因为集合A={1,2},B={x|-1<x<5,x∈N}={0,1,2,3,4},A⊆C⫋B, 所以集合C可以为{1,2},{0,1,2},{1,2,3},{1,2,4},{0,1,2,3},{0,1,2,4},{1,2,3,4},共7个. 2.C　由=1+∈N*(分离常数)和x∈Z,可得4+x=1,2,3,6, 所以x=-3,-2,-1,2, 可得A={-3,-2,-1,2}, 所以集合A的真子集的个数为24-1=15. 3.BCD　∵集合A有且仅有2个子集, ∴A中有且仅有1个元素. 当a=0时,集合A={0},符合题意. 当a≠0时,Δ=4-4a2=0,解得a=±1, 当a=1时,A={-1},符合题意; 当a=-1时,A={1},符合题意. 故a的取值可以为-1,0,1. 4.答案　175 解析　从反面入手,考虑集合M中不含有奇数、只含有1个奇数两种情况. 若M中不含有奇数,则集合M的个数等于集合{2,4,6,8}的子集的个数,为24=16; 若M中只含有1个奇数,则这个奇数有4种可能,故集合M的个数等于集合{2,4,6,8}的子集的个数的4倍,为24×4=64. 易得{1,2,3,4,5,6,7,8}的真子集的个数为28-1=255, 所以当M中至少含有两个奇数时,满足条件的集合M的个数为255-16-64=175. 5.答案　20 6.AC　由题意可知,1∈A,2∈A. 当a2-2a+2=2时,解得a=0或a=2. 当a=0时,a2+1=1,不满足集合中元素的互异性,舍去; 当a=2时,A={1,2,5},满足题意. 当a2+1=2时,解得a=-1或a=1, 当a=-1时,A={1,2,5},满足题意; 当a=1时,a2-2a+2=1,不满足集合中元素的互异性,舍去. 综上,a=2或a=-1. 7.AC　当a=0时,B={1},满足条件; 当a≠0时,由A⊇B,可得B={1}或B={0}或B={0,1}或B=⌀. 若B={1},则无解; 若B={0},则无解; 若B={0,1},则无解; 若B=⌀,则Δ=1+4a<0,得a<-. 综上,a的取值范围是aa<-∪{0}. 结合选项知a的值可以为0或-1. 8.答案　0或1或- 解析　由x2+2x=3得x=1或x=-3,即A={1,-3}, 当B=⌀,即a=0时,符合题意; 当B={1},即a=1时,符合题意; 当B={-3},即a=-时,符合题意. 综上所述,实数a的值为0或1或-. 9.解析　(1)当x∈Z时,A={x∈Z|-2≤x≤5}={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 对于集合A中的每个元素,除该元素外还有7个元素,每个元素有选或不选两种可能,故包含该元素的子集的个数为27, 故A的所有子集中的元素之和为(-2-1+0+1+2+3+4+5)×27=12×128=1 536. (2)当B=⌀时,满足B⊆A,此时m-1≥2m+1,可得m≤-2; 当B≠⌀时,由B⊆A得 可得-1≤m≤2. 综上,m的取值范围是{m|m≤-2或-1≤m≤2}. 10.解析　(1)∵5=32-22,12=42-22, ∴5∈A,12∈A. 假设14=m2-n2,m,n∈Z, 则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=14,且|m|+|n|>|m|-|n|>0, ∵14=1×14=2×7, ∴或均无整数解, ∴14∉A. (2)证明:∵集合B={x|x=2k+1,k∈Z},且2k+1=(k+1)2-k2,k∈Z, ∴2k+1∈A,k∈Z,∴B⊆A. (3)易知m2-n2=(m-n)(m+n), 当m,n同奇或同偶时,m+n,m-n均为偶数,则(m-n)(m+n)为4的倍数, 当m,n一奇一偶时,m+n,m-n均为奇数,则(m-n)(m+n)为奇数. ∵4p=(p+1)2-(p-1)2,p∈Z,∴4p∈A, ∴集合A中的所有偶数为4p,p∈Z. 11.B　由集合M=及新定义可知当x=0时,无意义;当x=,,2时,∉M;当x=-1,1时,∈M,因此x可取-1和1. 所以符合题意的集合为{-1},{1},{-1,1},所以具有伙伴关系的集合的个数为3. 7 学科网（北京）股份有限公司 $