1.1.1空间向量及其线性运算（分层作业）数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量概念与运算为核心，通过基础概念辨析、线性运算应用、共线共面判定及定理推论综合应用三阶分层，实现从知识理解到能力迁移的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|空间向量概念、线性运算|单选/多选题结合，巩固概念辨析与简单运算，培养抽象能力| |提升层|共线求参、共面求参、共线判定|参数计算题型为主，强化运算能力与逻辑推理，发展推理意识| |综合层|共线向量定理推论及应用|结合四面体等立体情境，需空间想象与定理综合应用，提升空间观念与数学思维|

分层作业 1.1.1空间向量及其线性运算 目 录 1 题型01空间向量的有关概念 1 题型02空间向量的线性运算 3 题型03空间向量共线求参 4 题型04空间向量共面求参数 6 题型05空间向量共线的判定 7 题型06空间共线向量定理的推论及应用 9 题型07空间共线向量定理的推论及应用 11 13 16 18 题型01空间向量的有关概念题型01 1.（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）与向量共线的单位向量可以为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 3.（多选题）（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 题型02空间向量的线性运算题型02 4.（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 6.（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 题型03空间向量共线求参题型03 7.（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8.（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 9.（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型04空间向量共面求参数题型04 10.（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 11.（25-26高二上·广西·阶段检测）已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D．2 12.（25-26高二上·广西·阶段检测）已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型05空间向量共线的判定题型05 13.（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 14.（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 15.（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 题型06空间共线向量定理的推论及应用题型06 16.（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 17.（2026·河北衡水·一模）在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 18.（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 题型07空间共线向量定理的推论及应用题型07 19.（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 20.（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 21.（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 1.（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 2.（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 4.（2026·陕西西安·模拟预测）已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 5.（2026·陕西西安·模拟预测）已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 1.（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·广东中山·阶段检测）若构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 3.（多选题）（25-26高二上·全国·期末）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 4.（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 1.（2026·河北衡水·一模）在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 2.（2026·河北衡水·一模）在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1.1空间向量及其线性运算 目 录 1 题型01空间向量的有关概念 1 题型02空间向量的线性运算 3 题型03空间向量共线求参 4 题型04空间向量共面求参数 6 题型05空间向量共线的判定 7 题型06空间共线向量定理的推论及应用 9 题型07空间共线向量定理的推论及应用 11 13 16 18 题型01空间向量的有关概念题型01 1.（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）与向量共线的单位向量可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知， 所以与向量共线的单位向量为，即或， 所以，选项中只有满足. 2.（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【解析】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 3.（多选题）（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】ACD 【解析】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误； 对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量， 所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确. 故选：ACD 题型02空间向量的线性运算题型02 4.（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 5.（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知， . 故选：A 6.（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是BD的中点， 所以， 所以. 题型03空间向量共线求参题型03 7.（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意可设，即， 所以，解得， 所以. 8.（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 【答案】B 【解析】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. 9.（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，且， 根据向量平行的充要条件，存在实数，使得， 所以，解得. 题型04空间向量共面求参数题型04 10.（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 【答案】C 【解析】共面， ， ，解得. 故选：C 11.（25-26高二上·广西·阶段检测）已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】设原点，，即， 则，，因为四点共面，所以，所以，． 故选：A. 12.（25-26高二上·广西·阶段检测）已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】设原点，，即， 则，，因为四点共面，所以，所以，． 故选：A. 题型05空间向量共线的判定题型05 13.（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以C选项满足题意； 其他选项不存在，使写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意. 故选：C 14.（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 15.（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【解析】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 题型06空间共线向量定理的推论及应用题型06 16.（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 17.（2026·河北衡水·一模）在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、空间共线向量定理的推论及应用 【解析】连接，设正四面体的棱长为4，则，， ，则为正三角形，所以， 由余弦定理得， ， 故. 18.（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 题型07空间共线向量定理的推论及应用题型07 19.（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 20.（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 21.（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 1.（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【解析】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 2.（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知， . 故选：A 3.（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，且， 根据向量平行的充要条件，存在实数，使得， 所以，解得. 4.（2026·陕西西安·模拟预测）已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】由题可知，存在实数，使得， 又，，，所以， 解得，，所以， 当且仅当时取等号． 5.（2026·陕西西安·模拟预测）已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】由题可知，存在实数，使得， 又，，，所以， 解得，，所以， 当且仅当时取等号． 1.（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 2.（24-25高二上·广东中山·阶段检测）若构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 【答案】A 【解析】对于A，假设，，共面，则存在不全为零的实数，使， 即，则共面与构成空间的一组基底矛盾， 因此，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B不正确； 对于C，因为，所以，，共面，故C不正确； 对于D，因为，所以，，共面，故D不正确； 故选：A． 3.（多选题）（25-26高二上·全国·期末）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】AC 【解析】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，若，则和的模相等，方向不一定相同， 若，则和的模相等，方向也相同， 所以是向量的必要不充分条件，故B为真命题； 对于C，向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：AC. 4.（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A：因为，故A正确； B：因为，故B正确； C：因为，故C正确； D:因为，故D错误. 故选：ABC. 1.（2026·河北衡水·一模）在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，设正四面体的棱长为4，则，， ，则为正三角形，所以， 由余弦定理得， ， 故. 2.（2026·河北衡水·一模）在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，设正四面体的棱长为4，则，， ，则为正三角形，所以， 由余弦定理得， ， 故. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $