精品解析：山西省祁县中学校2025-2026学年高一下学期7月月考数学试题

2026年祁县中学高一年级7月月考数学试题 时长：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，其中是虚数单位，则复数的模为 A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可． 【详解】复数＝2i+＝2i+1﹣i＝1+i, 则|z|＝． 故选C． 【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题． 2. 设向量，则与的夹角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由坐标计算向量夹角可得. 【详解】， 因为向量夹角范围为，所以与的夹角等于. 故选：A. 3. 从中随机抽取一个数，抽到奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】从中随机抽取一个数，总共有个等可能的抽取结果. 其中抽到奇数的事件为，共种符合条件的结果, 根据古典概型概率公式 . ​因此抽到奇数的概率为. 4. 样本数据的上四分位数为（ ） A. 30 B. 31 C. 33 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】利用上四分位数的定义，计算数据即可判断． 【详解】样本数据的上四分位数为从小到大排列：， 因为，，所以上四分位数是第8个数为34. 故选：D. 5. 设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面位置关系的性质定理与判定定理一一判定即可. 【详解】对于A，若，,则或相交或异面，错误； 对于B，若，，则或相交，错误； 对于C，若，，则，又，则，正确； 对于D，若，，则或，错误. 故选：C. 6. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以，又， 所以向量与向量的夹角为，即. 故选：B. 7. 瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘．某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题图可知，半球的半径和圆柱的底面圆半径为6，圆柱的高为8，圆台的上、下底面半径为2和6，高为9， 则该瓷器的体积为. 8. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边化简可得，结合余弦定理可得，进而将进行切化弦，化简即可求得答案. 【详解】由，得, 故， 则 ， ， 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C发生的概率分别为p，2p，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若与C是对立事件，则 D. 事件A，B不相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用互斥事件的加法公式和对立事件的加法公式注意判定ABC；D根据判定. 【详解】对于A，因是互斥事件，故，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若与C是对立事件，则，即，得，故C错误； 对于D，因为互斥，所以，故， 所以事件不相互独立，故D正确. 故选：ABD 10. 如图，在长方体中，分别为，的中点，分别为的中点，则（ ） A. 四点在同一平面内 B. 三条直线有公共点 C. 直线与直线相交 D. 直线上存在点使三点共线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由平面的基本性质分析A、B和D，由异面直线的定义分析C，综合可得答案． 【详解】根据题意，如图所示 对于A，假设四点在同一平面内，根据题意，则有或与相交， 因为，而与相交，则不平行，矛盾，说明与是异面直线， 因此，四点不在同一平面内，故A错误； 对于B，延长，，则，相交于点， 又平面，平面，则平面，平面， 且平面平面，所以，即三条直线有公共点，故B正确； 对于C，直线为长方体的体对角线，为的中点，为的中点， 由于不在平面内，在平面内，所以不在平面内， 而直线和点在平面内，假设直线与直线相交，则交点只能是，即在直线上， 由于在底面上，交底面于，所以不在直线上，矛盾， 因此直线与直线不相交，故C错误； 对于D，直线上存在点使三点共线，等价于交于点， 由题意知，，，，均在平面内，连接， 由于分别为，的中点，为的中点，则关于对称，因此在上， 因为为的中点，所以是的中点，即在上，所以直线平面， 因为直线平面，如图所示，设交于点， 所以直线上存在点使三点共线，故D正确. 11. 已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（ ） A. 若为非零向量，且，则 B. 若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C. 已知点，，为坐标原点，则 D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的定义，结合数量积的定义逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得， 则，而，因此或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由，得， 则，而，则，又， 即，因此， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的模和除法公式求解. 【详解】因为复数满足， 所以， 故答案为： 13. 甲、乙两名射手射击同一目标，且命中目标与否相互独立，已知甲、乙击中目标的概率分别为0.8和0.7，若他们各射击一次，则目标被击中的概率是_________________. 【答案】0.94 【解析】 【分析】由对立事件的概念和独立事件的乘法公式可得. 【详解】记“甲、乙击中目标的事件”分别为A，B.则，两人都没有击中的概率， 所以目标被击中的概率为. 故答案为：0.94. 14. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积．根据此公式，若，且，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得，再根据余弦定理求，最后代入面积公式求解. 【详解】由正弦定理边角互化可知化简为 ， 即 ，, ，解得：， 根据面积公式可知 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两个人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求“星队”在一轮活动中恰好猜对个成语的概率 （2）求“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率及互斥事件的概率公式计算可得； （2）先分别计算甲乙两轮猜对个，个成语的事件概率，再根据互斥事件及相互独立事件概率公式计算可得. 【小问1详解】 设事件“甲第轮猜对成语”，事件“乙第轮猜对成语”，. 由题意知甲乙答题相互独立，，，，. 设一轮活动中恰好猜对个成语为事件， 因此“星队”一轮活动中恰好猜对个成语的概率为． 【小问2详解】 设“两轮活动中猜对三个成语”，且两轮活动相互独立， 设分别表示甲两轮猜对个，个成语的事件，分别表示乙两轮猜对个，个成语的事件， 所以 故. 因此“星队”两轮活动中猜对三个成语的概率为. 16. 如图所示，D为外一点，且，， （1）求sin∠ACD的值； （2）求BD的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出边的长，用勾股定理得出边的长，即可求出sin∠ACD的值； （2）由正弦定理求出与的关系，由余弦定理即可求出BD的长. 【小问1详解】 由题意， 在中，，，， 由余弦定理得，， . . 在中，，， ， . 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在中，由正弦定理得，. ∴，且. 又， ∴， ∴. 在中，，， 由余弦定理得，， ∴， ∴. 17. 如图，已知斜三棱柱中，平面⊥平面，为上一点，，为锐角： （1）求证：⊥平面； （2）若平面，求证：是等腰三角形. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明直线和平面垂直，就是要证明直线和这个平面内的两条相交直线垂直，而题目没有直接告诉我们平面内的两条相交直线，此时我们可以由，结合面面垂直的性质定理，想到要在平面内找到一条与相交的直线，进而想到过点作一条垂直于的辅助线，即可得出证明； （2）由（1）的证明可知，，要证明，则点为中点，看到中点想到中位线，于是想到可以连接构造中位线，所以，当我们连接，就可以较易得出证明. 【小问1详解】 证明：在平面中，过作， 又为锐角，∴与必有交点，设为， ∵平面平面，平面平面， ，平面，∴平面， 又平面，∴， 平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 证明：连接交于点，在斜三棱柱中，四边形为平行四边形， ∴为的中点，连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴，又在中，为的中点，∴为中点， 又平面，平面， ∴，在中，为中点， ∴，是等腰三角形. 18. 为了解游客五一假期来漳河旅游的体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）； （2）已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差. 【答案】（1），众数为85，中位数为82 （2）81；30 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图可得，众数为85，分别求满意度分值在的频率和在的频率，根据题意求中位数即可. （2）由频率分布直方图计算得，分值在平均数，方差，在平均数，方差，在的平均数，根据方差的定义计算即可 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，， 解得， 由频率分布直方图可估计众数为85. 满意度分值在的频率为， 在的频率为， 所以中位数落在区间内， 所以中位数为. 【小问2详解】 由频率分布直方图得，满意度分值在的频率为， 人数为20；在的频率为，人数为30， 把满意度分值在记为，其平均数，方差， 在记为，其平均数，方差， 所以满意度分值在的平均数 ， 根据方差的定义，满意度分值在的方差为 . 19. 如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，为的中点，点在平面内的射影为点，且． （1）求证：； （2）当为等边三角形时， ①求的长 ②求点到平面的距离； （3）若记，，记三棱锥的外接球表面积，当函数取最小值时，求的长． 【答案】（1）因为平面平面，则， 且平面，所以平面， 且平面，所以． （2）①；②． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证明出，且，从而得到线面垂直，得到； （2）作出辅助线，得到平面，点到平面的距离即为，对于平行四边形，建立平面直角坐标系，根据，得到，即，得到，再求出各边长，求出点到平面的距离； （3）表达出，求出，，由余弦定理可得，由正弦定理得到的外接圆半径，设三棱锥的外接球半径为，则，，结合二次函数性质求出最值，求出. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ①作，垂足为，连接，若为等边三角形，则为中点， 对于平行四边形，建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 设，则， 若，可得， 即，因为为中点，可知：，则， 即，则． ②过点作， 因为平面平面，则，且， 且平面，可得平面， 又平面，则平面平面， 又平面平面，平面， 则平面，点到平面的距离即为， 可知三棱锥的高， 在中，， 故由等面积法知：， 所以点到平面的距离为． 【小问3详解】 记， 由题意可知，由（2）可知：点在直线上， 结合（2）得：， 在中， 设的外接圆半径为，则， 设三棱锥的外接球半径为， 则， 且，当时，即时，取到最小值， 即外接球表面积取到最小值，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年祁县中学高一年级7月月考数学试题 时长：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，其中是虚数单位，则复数的模为 A. B. C. D. 2 2. 设向量，则与的夹角等于（ ） A. B. C. D. 3. 从中随机抽取一个数，抽到奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 样本数据的上四分位数为（ ） A. 30 B. 31 C. 33 D. 34 5. 设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 6. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 7. 瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘．某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C发生的概率分别为p，2p，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若与C是对立事件，则 D. 事件A，B不相互独立 10. 如图，在长方体中，分别为，的中点，分别为的中点，则（ ） A. 四点在同一平面内 B. 三条直线有公共点 C. 直线与直线相交 D. 直线上存在点使三点共线 11. 已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（ ） A. 若为非零向量，且，则 B. 若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C. 已知点，，为坐标原点，则 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数为________． 13. 甲、乙两名射手射击同一目标，且命中目标与否相互独立，已知甲、乙击中目标的概率分别为0.8和0.7，若他们各射击一次，则目标被击中的概率是_________________. 14. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积．根据此公式，若，且，则的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两个人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求“星队”在一轮活动中恰好猜对个成语的概率 （2）求“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率 16. 如图所示，D为外一点，且，， （1）求sin∠ACD的值； （2）求BD的长. 17. 如图，已知斜三棱柱中，平面⊥平面，为上一点，，为锐角： （1）求证：⊥平面； （2）若平面，求证：是等腰三角形. 18. 为了解游客五一假期来漳河旅游的体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）； （2）已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差. 19. 如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，为的中点，点在平面内的射影为点，且． （1）求证：； （2）当为等边三角形时， ①求的长 ②求点到平面的距离； （3）若记，，记三棱锥的外接球表面积，当函数取最小值时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $