精品解析：山西省定襄县定襄中学校2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题A

高一 数学试卷（A卷） 满分150分，时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.不得随意在答题卡上涂改、乱画，使用黑色中性笔，认真规范答题，不得使用涂改液、修正带、透明胶等方法改错. 3.考试结束后，试卷本人留存将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知四边形是平行四边形，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为 A. B. C. D. 7. 如图，某校数学兴趣小组对古塔AB进行测量，AB与地面垂直，从地面C点看塔顶A的仰角为，沿直线BC前行20米到点D此时看塔顶A的仰角为，根据以上数据可得古塔AB的高为（ ）米. A. B. 20 C. 10 D. 8. 已知矩形, , ,将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,在翻折的过程中 A. 存在某个位置,使得直线和直线垂直 B. 存在某个位置,使得直线和直线垂直 C. 存在某个位置,使得直线和直线垂直 D. 无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 若在上的投影向量为 10. 在中，已知.则（ ） A. 为锐角三角形 B. 的面积为 C. D. 11. 如图，在棱长为的正方体中（ ） A. 与的夹角为 B. 二面角的平面角的正切值为 C. 与平面所成角的正切值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数是纯虚数，则实数a的值为______. 13. 在中，，，，则________． 14. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 设复数z1=1-ai（a∈R），复数z2=3+4i． （1）若，求实数a的值； （2）若是纯虚数，求|z1|． 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，求； （3）若，求与的夹角. 17. 如图，在中，是上的点，，，，. （1）求角的大小； （2）求的面积. 18. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的大小. 19. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：∥平面； （Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得平面平面？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一 数学试卷（A卷） 满分150分，时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.不得随意在答题卡上涂改、乱画，使用黑色中性笔，认真规范答题，不得使用涂改液、修正带、透明胶等方法改错. 3.考试结束后，试卷本人留存将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 已知四边形是平行四边形，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质结合向量的坐标运算，即可得答案. 【详解】因为四边形是平行四边形， 故, 故选：A 3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一判断选项即可. 【详解】对于A, 若,则，或，或，或与相交，故A错误； 对于B，若，，则，故B正确； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则或，故D错误； 故选：B 4. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解. 【详解】连接，在正方体中，， 所以为异面直线与所成的角， 而，即为等边三角形， 所以，即异面直线与所成的角是. 故选：C. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 6. 在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，由余弦定理得,当且仅当时取“”，的最小值为，选C. 7. 如图，某校数学兴趣小组对古塔AB进行测量，AB与地面垂直，从地面C点看塔顶A的仰角为，沿直线BC前行20米到点D此时看塔顶A的仰角为，根据以上数据可得古塔AB的高为（ ）米. A. B. 20 C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形三角关系可得，，根据题意列式求解即可. 【详解】设古塔AB的高为米， 在中，可得； 在中，可得； 由题意可知：，即，解得， 所以古塔AB的高为米. 故选：A. 8. 已知矩形, , ,将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,在翻折的过程中 A. 存在某个位置,使得直线和直线垂直 B. 存在某个位置,使得直线和直线垂直 C. 存在某个位置,使得直线和直线垂直 D. 无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直 【答案】A 【解析】 【分析】依次判断每个选项：存在一个状态使得到，故正确错误；若和垂直得到，不成立，故错误；若和垂直得到，不成立，故错误；得到答案. 【详解】如图所示：作于，于 翻折前，易知存在一个状态使，满足，，平面，平面，故正确错误； 若和垂直，平面，平面，不成立，故错误； 若和垂直，故平面，平面，，因为 ，故不成立，故错误； 故选： 【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推理能力. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 若在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用向量减法运算的坐标运算可判断A；求得向量的模判断B；利用向量夹角坐标表示求得向量的夹角判断C；利用投影向量的运算公式求解可判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 由已知可得，，故B错误； 因为，又，所以，故C错误； 在上的投影向量为，故D正确. 故选：AD. 10. 在中，已知.则（ ） A. 为锐角三角形 B. 的面积为 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由余弦定理即可判断AC，由三角形的面积公式即可判断B，再由正弦定理即可判断D. 【详解】对于A，因为，则角最大， 由余弦定理可得， 即角为锐角，所以为锐角三角形，故A正确； 对于B，由A可得，则， 则，故B正确； 对于C，由余弦定理可得，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，即，故D错误； 故选：AB 11. 如图，在棱长为的正方体中（ ） A. 与的夹角为 B. 二面角的平面角的正切值为 C. 与平面所成角的正切值为 D. 点到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可一一求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则， ，，即，与的夹角为，故A 错误； 设平面的法向量为，， 所以，令，则， 平面的法向量可取，二面角的平面角为， 则，所以，故B 正确； 因为，设与平面所成角为， 则，故C 正确； 因为，设点到平面的距离为，则 ，故D 正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数是纯虚数，则实数a的值为______. 【答案】-2 【解析】 【详解】因为 为纯虚数，所以且，解得. 13. 在中，，，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：在中，由正弦定理得.所以答案应填：． 考点：1、正弦定理；2、三角形内角和定理． 14. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 设复数z1=1-ai（a∈R），复数z2=3+4i． （1）若，求实数a的值； （2）若是纯虚数，求|z1|． 【答案】（1）a=4（2） 【解析】 【分析】（1）由已知利用复数代数形式的加减化简，再由虚部为0求得a值； （2）利用复数代数形式的乘除运算化简,由实部为0且虚部不为0求得a值，再由复数模的计算公式求|z1|. 【详解】解：（1）∵z1=1-ai（a∈R），z2=3+4i， ∴z1+z2=4+（4-a）i， 由，得4-a=0，即a=4； （2）由=是纯虚数， 得，即， ∴|z1|=||=． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是中档题． 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，求； （3）若，求与的夹角. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量垂直的坐标表示求解即可； （2）根据平面向量共线的坐标表示求解即可； （3）根据平面向量夹角余弦的坐标表示求解即可； 【小问1详解】 由，则，解得. 【小问2详解】 由，则，解得. 【小问3详解】 当时，，， 则， 因为，所以与的夹角为. 17. 如图，在中，是上的点，，，，. （1）求角的大小； （2）求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）在中，利用余弦定理即可求解. （2）由（1）可得，从而可得，，即，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】解：（1）在中， 又，所以. （2）由（1）知，，所以， 又，所以，， 由，知， 所以 18. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作的中点，连接，则由三角形中位线定理及平行四边形的性质可证得四边形为平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理证得平面，则，由，可得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论； （3）连接交于点，连接，则可得平面，所以与平面所成角为，然后在中求解即可. 【小问1详解】 作的中点，连接， 由得分别为的中点， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面 【小问2详解】 因为，所以， 因为底面，所以， 又因为平面，且， 所以平面， 所以， 因为，，所以，， 又因为平面， 所以平面； 【小问3详解】 连接交于点，连接， 因为点分别为的中点， 所以， 所以平面， 所以为在平面中的射影， 所以与平面所成角为， 由已知得 所以， 因为为锐角，所以， 所以与平面所成角为. 19. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：∥平面； （Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得平面平面？说明理由． 【答案】（Ⅰ）证明：在三棱柱中， 因为侧棱垂直于底面， 所以平面． 又平面 所以． 因为，，平面，平面 所以平面． 因为平面， 所以． （Ⅱ）证明：取中点，连结，． 则，且， 又因为，且， 所以，且． 所四边形为平行四边形． 所以． 又平面，平面， 所以平面 （Ⅲ）在棱上存在点，且为的中点．理由： 连接．在正方形中， 因为为中点， 所以△≌△． 所以． 所以． 由（Ⅰ）可得平面， 因为， 所以平面． 因为平面， 所以． 因为，平面，平面． 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 【解析】 【分析】（Ⅰ）在三棱柱中，由侧棱垂直于底面，可得平面，则，再由，结合线面垂直的判定可得平面．从而得到； （Ⅱ）取的中点，连结，．可得，且．则四边形为平行四边形，则．再由线面平行的判定可得平面； （Ⅲ）在棱上存在点，且为的中点．连接，．首先证明△△．可得，则．由（Ⅰ）可得平面，得到平面．即．由线面垂直的判定可得平面．进一步得到平面平面． 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）略 （Ⅲ）略 【点睛】本题考查直线与平面、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $