10.1 平面及其基本性质（高效培优讲义）高二数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦平面及其基本性质核心知识点，系统梳理三个基本事实及推论、空间点线面的文字图形符号表达、截面作图与斜二测画法，构建从平面概念到空间应用再到直观图转化的完整学习支架。 资料通过10类题型（含典例与变式）设计，以正方体等实例强化数学思维（如共线证明的逻辑推理）和数学眼光（截面作图的空间想象），课中辅助教师突破重难点，课后练习题助力学生查漏补缺，提升空间观念与表达能力。

10.1 平面及其基本性质 教学目标 1.准确区分空间中点、直线、平面三类几何元素，掌握文字、图形、集合符号三种表达形式 2.熟记平面三条基本性质（公理）及三条推论，能利用公理判断点、线、面的共面、共线关系 3.掌握相交平面的图形画法，熟练运用平面基本性质画出多面体截面图形 4.能结合平面公理完成线段长度、角度、截面面积相关基础计算 5.掌握斜二测画法规则，独立画出空间几何体的平面直观图，并能完成原图与直观图的面积换算 教学重难点 教学重点 1.空间点、直线、平面的符号语言与位置关系表达 2.平面的三条基本公理及其推论的内容与几何意义 3.相交平面的作图规范，利用基本性质绘制几何体截面图形 4.斜二测画法的核心规则，原图与直观图的面积换算公式 教学难点 1.利用平面公理完成共点、共线、共面的逻辑证明 2.复杂多面体截面图形的找点、连线作图逻辑 3.结合平面基本性质的几何综合计算 4.斜二测作图中平行、长度、角度的变换规则，直观图还原原图的逆向计算 知识点01 三个基本事实 三个基本事实 图形 文字语言 符号语言 基本事实1 过__不在一条直线上______的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线存在唯一的平面使 基本事实2 如果一条直线上的___两个点_____在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ，，且， 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条_过该点的公共直线_______ ，且，且 2．三个推论：（1）经过一条直线和__直线外的一点有且只有______________一个平面；（2）经过两条__相交______直线__有且只有______一个平面；（3）经过两条__平行______直线___有且只有_____一个平面. 知识点02 平面 （1）平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是向四周__无限延展_____的. （2）平面的画法 画法 我们常用矩形的直观图，即__平行四边形_____表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成__横向 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成___竖向____ 在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成_虚线或不画 图示          知识点03 空间几何体的斜二测画法 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则：①原图形中轴、轴、轴两两垂直，直观图中，轴，轴的夹角为__（或）______________，轴与轴和轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段长度在直观图中_变为原来的一半_______． 题型01 平面的概念及其表示 【典例1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）直线上存在两点在平面上，用集合语言表示的关系_________． 【答案】 【分析】由平面的基本性质得解. 【详解】由平面的基本性质，当直线上存在两点在平面上时，. 故答案为： 【变式1】（24-25高一下·上海松江·阶段检测）“点在平面上”用集合符号表示是_____ 【答案】 【分析】根据集合的语言书写即可. 【详解】“点在平面上”用集合符号表示为： . 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）用数学符号表示“直线在平面上”为________． 【答案】 【分析】由线面关系的符号表示即可得解. 【详解】“直线在平面上”的符号表示为. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·上海杨浦·期末）“平面与相交于直线”用符号语言可以表述为______. 【答案】 【分析】根据立体几何中，符号语言的表示规则直接写出答案. 【详解】平面与相交于直线，即. 故答案为： 题型02 空间直线位置关系的画法 【典例1】图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两平面相交的特点判断. 【详解】两平面相交画出公共直线作为交线， 且看不到的直线为虚线，故只有D正确. 故选：D 【变式1】下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相交平面的画法逐一判断即可. 【详解】对于A，图形没有画出两平面的交线，故A不正确； 对于B，C，图形的实、虚线没有按照画法原则去画，故B，C不正确． 对于D，符合画法原则，故D正确， 故选：D. 【变式2】用符号表示下列语句，并画出相应的图形． (1)点在平面外，点在平面内，直线经过点，； (2)平面和的交线是直线，直线经过内不在直线上的点且经过内不在直线上的点． 【答案】(1)，，，．图形见解析 (2)，，，，，，．图形见解析 【分析】（1）根据空间点线面位置关系数学符号表示及空间位置关系画法作图即可； （2）根据空间点线面位置关系数学符号表示及空间位置关系画法作图即可. 【详解】（1），，，．大致图形如图（1）． （2），，，，，，．大致图形如图（2）． 题型03 平面分空间区域的数量 【典例1】若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（   ） A．8 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目． 【详解】如图，若三个平面平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若其中两个平面平行，另一平面与这两个平面都相交， 此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线互相平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线交于同一点，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面相交于同一条直线，此时三个不同平面把空间分成部分， 故A、B、C都有可能，D不可能.    故选：D. 【变式1】空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析，即可得解. 【详解】      先研究直线分一个平面： 1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分， 3条直线分一个平面为7部分，这个， 4条直线分一个平面为11部分，这个， 5条直线分一个平面为16部分，这个， 由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个区域， 当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域， 所以4个平面最多可将空间分成个区域， 当第5平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域， 所以5个平面最多可将空间分成个区域， 故选：B 【变式2】两个平面把空间最多分成_____________个部分. 【答案】4 【分析】两个平面分平行、相交两种情况讨论，从而可得结果. 【详解】空间中两个平面的位置关系是平行或相交， 若两个平面平行，则可将空间分成3部分， 若两个平面相交，可将空间分成4部分， 所以两个平面可以将空间最多分成 4个部分. 故答案为：4． 题型04 平面的基本性质 【典例1】（24-25高二上·上海·期中）若点与直线确定一个平面，则点与直线的位置关系是点______直线（用“”、“”、“”填空） 【答案】 【分析】由平面的基本定理判断即可. 【详解】直线与直线外的一点可以确定一个平面， 所以点A与直线的位置关系是点， 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·上海静安·阶段检测）用集合的符号语言表示如图所示的公理__________________________.    【答案】若，，则. 【分析】根据图形中点，线，面的位置关系，利用符合语言，即可求解. 【详解】如图所示的公里可以表示为若，，则. 故答案为：若，，则. 【变式2】（24-25高二·上海·课堂例题）对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪些是使三条直线确定一个平面的充分条件（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据确定平面的依据，即可判断选项. 【详解】①三条直线两两相交且不共点，则三条直线可以确定一个平面，故①正确； ②三条直线两两平行，有可能确定三个平面，故②错误； ③三条直线共点，有可能确定三个平面，故③错误； ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交，则三条直线确定一个平面，故④正确. 故选：D 【变式3】（24-25高二·上海·课堂例题）给出下列条件：①空间的任意三点；②空间的任意一条直线和任意一个点；③空间的任意两条直线；④梯形的两条腰所在的直线． 其中一定能确定一个平面的条件的序号是________． 【答案】④ 【分析】根据确定面的条件逐一判断即可. 【详解】若三点共线，则不能确定一个平面，故①错误； 若点在直线上，则不能确定一个平面，故②错误； 若两条直线异面，则不能确定一个平面，故③错误； 由于梯形的两条腰所在的直线为相交直线，故能确定一个平面，即④正确； 故答案为：④. 题型05 点共面问题 【典例1】如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】通过证明即可证明，，，四点共面. 【详解】连接， 在长方体中， ∵∴四边形是平行四边形， ∴， 又因为，分别为棱，的中点，所以， 所以， 所以，，，四点共面. 【变式1】如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面 【答案】证明见解析 【分析】如图，取的中点，连接，，由题可得四边形是平行四边形，进而可得，据此可完成证明. 【详解】如图，取的中点，连接，， 则， 在正方体中，，， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以，，，四点共面． 【变式2】如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，过作于，连接，，依次证明，，即可证明，，，四点共面，最后由即可得证； 【详解】取中点，过作于，连接，， 则，，， 所以四边形是平行四边形，， 由得，， 又，，，所以，，，四点共面， 又，所以，，，四点共面. 【变式3】如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形及平行公理判断即可. 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 题型06 点共线与线共点问题 【典例1】在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到平行关系及比例关系，进而得到，且，故四边形为梯形； （2）由（1）得到相交于一点，因为平面，平面，而平面平面，所以，证明出结论. 【详解】（1）由题意，作图如下： 连接、，因为空间四边形中，分别是的中点， 所以，且， 又因为，所以，且， 所以，且， 故四边形为梯形. （2）由（1）知四边形为梯形，且是梯形的两腰， 所以相交于一点. 设交点为， 因为平面，所以平面， 同理平面，而平面平面，所以， 故点是直线的公共点，即直线相交于一点. 【变式1】如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．    【答案】证明见解析 【分析】如图，连接，可证明四点共面，结合基本事实3即可证明. 【详解】连接，    因为为的中点，为的中点，所以且. 又因为且，所以且， 所以四点共面， 设.又平面平面， 所以点为平面与平面的公共点． 又因为平面 平面 ， 所以根据基本事实3,得， 即三线交于一点． 【变式2】若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证：    (1)和、和、和分别在同一平面内； (2)如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间中直线与平面、点与平面的位置关系即可判断； （2）证明三点分别在平面与平面的交线上即可. 【详解】（1）∵， ∴确定平面， ∵都在平面内， ∴平面；平面， ∵， ∴确定平面， ∵都在平面内， ∴平面；平面， ∵， ∴确定平面， ∵都在平面内， ∴平面；平面； （2）∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， ∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， ∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， 所以三点共线. 【变式3】如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】推导出，，从而，由此能证明E，F，G，H四点共面；，从而直线EG与直线FH必相交，设交点为P，证明P点在直线上． 【详解】如图所示，     E，F分别为AB，AD的中点，∴，， 分别在，CD上，且，∴，， ∴，则E，F，G，H四点共面，说法①正确； ∵，四边形是梯形，不成立，说法②错误； 若直线与直线交于点P，则由，平面，得平面， 同理平面，又平面平面， ∴则P，A，C三点共线，说法③正确； 说法中正确的有2 个. 故选：C 题型07 作截面图形 【典例1】如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．    【答案】画图见解析 【分析】画平面与长方体不同的表面的交线，只需找到两平面的两个公共点，两点确定交线即可. 【详解】如图，由于P是上的点，所以平面，且平面， 所以平面平面=， 同理，平面平面=，平面平面=， 所以平面与长方体表面的交线是，，. 作法：连接，，，它们就是平面与长方体表面的交线（如图）．    【变式1】如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点． (1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）． (2)求截面的面积． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、、、，则四边形即为所求； （2）依题意可得四边形为菱形，连接，，求出，，即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接、、、， 则四边形即为过点、和的平面截直四棱柱所得截面； 取的中点，连接、，因为为的中点，为直四棱柱，底面为正方形， 所以且，且，所以且， 所以为平行四边形，所以， 又且，所以为平行四边形，所以， 所以，即、、、四点共面. （2）在直四棱柱中，，、分别为、的中点， 所以， 所以四边形为菱形，连接，，则， 又，， 所以. 【变式2】如图，在棱长为6的正方体中，P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C）．    (1)经过P，Q两点作平面，平面截正方体所得截面可能是n边形，请根据n的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；    (2)若M为AB的中点，求过点P，Q，M的截面的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据两平面相交，只有一条交线，以及确定平面的依据，即可作出不同的截面图形； （2）首先根据确定平面的依据，作出截面，方法一，根据作图的过程，可以选择减法求截面的面积，方法二，根据截面为等腰梯形，根据梯形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）截面可以分别为三角形，四边形，五边形，六边形, 如图，取上一点，连结，即为截面三角形；    如图，取线段上，靠近点处的一点，延长， 连结，，连结，则四边形为截面四边形；和    取上靠近点的四等分点，连结并延长，交于点， 连结并延长，交于点，连结并延长，交于点， 连结并延长，交于点，连结，如图五边形为截面五边形.    如图，延长，交的延长线交于点，取上靠近点的三等分点， 连结，并延长，交于点，连结，交于点，六边形为截面六边形.    （2）如图：连接PQ所在直线交DC延长线于X，交的延长线于Z； 连接直线MX交BC于R，交DA延长线于Y； 连接YZ分别交，于S，T．则六边形PQRMST即为截面． ∵P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C），∴，，， 可得，，，， 又，，所以，，，， 又，M为AB的中点，，，所以YDZ为等腰直角三角形， 所以，，，，， ∴为等腰三角形，等边上的高为， ， 所以    方法二：可证明PQRM与PTSM是全等的等腰梯形，，，，所以等腰梯形PQRM的高为，所以． 【变式3】如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法； 【答案】答案见解析 【分析】由平面的基本性质作图. 【详解】如图所示，五边形即为所求截面. 作法如下：连接并延长交的延长线于点， 连接交于点，交的延长线于点， 连接交于点，连接，， 所以五边形即为所求截面. 题型08 与截面有关的周长面积计算 【典例1】在棱长为的正方体中，，分别为棱的中点，为棱上的点，且，则过，，三点的平面交正方体所得截面的周长为__________. 【答案】 【分析】在线段上取点，画直线交的延长线分别于点，连接交于点，连接交于点，可得六边形即为过点，，的截面，解三角形求其周长即可. 【详解】在线段上取点，使得， 则，所以， 因为，分别为棱的中点，所以，又， 所以， 如图，画直线交的延长线分别于点，连接交于点， 连接交于点，连接，， 则六边形即为过点，，的截面， 因为，所以，又， 所以， 因为，分别为棱的中点，所以， 因为 ，， 所以，所以， 因为，， 所以，又， 所以，所以，， 所以，， 同理可得，， 所以截面图形的周长为．    【变式1】在棱长为1的正方体中，E、F分别为AB、BC的中点，则过点、E、F的平面截正方体所得的截面周长为______． 【答案】 【分析】根据平行关系求截面，进而可得周长. 【详解】由、为、的中点，得， 又，，则为平行四边形，， 过作，设，，则， 可得，， 连接、，设，，连接、， 可得过点、、的平面截正方体所得的截面为五边形， 因为，，则，， 可得，，， 所以截面周长为. 【变式2】已知正方体的棱长为2，点P，Q分别为BC，的中点，则过点，P，Q的平面截正方体所得的截面的周长为__________. 【答案】 【分析】根据题意得截面为五边形，即可利用三角形的边角关系求解长度得解. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，连接交于点， 连接交于点，连接，．则过点，的平面截正方体所得的截面为五边形． 因为为的中点，为的中点， 所以，， 所以，， 所以， ， ， 即截面周长为 ． 故答案为：. 【变式3】在棱长为的正方体中，点分别为线段的中点，点在线段上，且，则过三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行关系可作出过三点的截面，结合垂直关系和长度关系可求得结果. 【详解】连接，取中点，则三点共线，在上取点，满足；在上取点，满足；在上取点，满足；连接； ，，，又， ，五点共面； 同理可得：五点共面， 四边形即为过三点的平面截正方体得到的截面多边形； ，平面，平面， 又平面，，四边形为矩形； ，，， 又，. 故选：B. 题型09 斜二测画法的概念辨析 【典例1】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，则（   ） A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．菱形的直观图是菱形 D．三角形的直观图是三角形 【答案】D 【详解】如图： 平面正方形的直观图为平行四边形，且，，，，. 所以对A：，但直观图中，，故A错误； 对B：平面图形中，，但直观图中，，，所以，故B错误； 对C：正方形（也是菱形）的直观图为平行四边形，因为，所以四边形不是菱形，故C错误； 根对D：据斜二测画法的规则可知，三角形的直观图是三角形，故D正确. 【变式1】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ）. A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中仍然相等 C．一个直角的直观图仍是一个直角 D．平行的线段在直观图中仍然平行 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的规则判断. 【详解】根据斜二测画法的规则，与轴平行的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，A错； 直角的一条边与轴平行，另一条边与轴平行，则其直观图变为或，BC均错； 平行的线段在直观图中仍然平行，D正确。 故选：D. 【变式2】关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ）． A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的性质依次判断即可. 【详解】斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，故A不符合题意； 斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行，故B不符合题意； 用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行，故C不符合题意； 斜二测画法中，直观图和原图的面积不一定相等，故D符合题意． 故选：D． 【变式3】关于水平放置的平面图形用斜二测画法绘制其直观图，下列说法正确的是（   ） A．平行于轴的线段，在直观图中长度变为原来的倍 B．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 C．平行四边形的直观图仍是平行四边形 D．相等的角在直观图中仍然相等 【答案】C 【详解】对选项A，对于斜二测画法，平行于轴的线段，在直观图中长度变为原来的，故A错误； 对选项B，直观图的面积是原图面积的，故B错误； 对选项C，斜二测画法的核心是平行关系保持不变.原平行四边形的对边平行，因此直观图的对边仍平行，故仍是平行四边形，故C正确； 对选项D，不妨以水平放置的正方形为例，其直观图直角变为或，故D错误. 题型10 与斜二测画法有关的周长面积计算 【典例1】（24-25高一下·上海·阶段检测）用斜二测画法画三角形OAB的直观图，如图所示，已知，，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】由题意，借助于等腰直角三角形，求得，再根据在轴上即可求得其长. 【详解】在斜坐标系中，因，，且， 则， 因在轴上，故在轴上，且. 故选：D. 【变式1】（25-26高二上·上海普陀·期末）如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为__________.    【答案】 【分析】由直观图得到平面图，求出相应线段长，即可求出三角形的面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形，其中，， 所以. 故答案为：    【变式2】（25-26高二上·上海金山·期末）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到的直观图是矩形（如图所示），其中，，则原图形的面积是______． 【答案】 【分析】利用斜二测画法来还原平面图形，即可求面积. 【详解】 由直观图中的，根据，可知， 则根据斜二测画法还原平面图形平行四边形，可得，， 所以平行四边形的面积为， 即原图形的面积是， 故答案为： 【变式3】（25-26高二上·上海·期中）如图，三角形是用斜二测画法画出的边长为1的正三角形的直观图，则其底边上的高的值为___________． 【答案】 【分析】利用公式求得直观图面积即可求解. 【详解】， 所以， 设底边上的高为， 则， 得， 故答案为： 1．（24-25高二上·上海·阶段检测）若，且，则______（填数学符号） 【答案】 【分析】根据点线、点面位置关系，结合平面的基本性质即可得答案. 【详解】由且，即. 故答案为： 2．（24-25高二上·上海·阶段检测）三个平面最多可以将空间分为______部分． 【答案】 【分析】依题意画出图形，即可判断. 【详解】如图所示，空间中三个平面最多可以将空间分为8部分. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·阶段检测）有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②四边形是平面图形，③三条直线两两相交则确定一个平面，④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序号是______. 【答案】①②③ 【分析】根据平面的基本性质和推论，对题目中的命题进行分析，或举反例判断即可. 【详解】①过不共线的三点有且只有一个平面. 若三点共线，则过三点的平面有无数个，不能确定平面，故①错误； ②四边形可能是平面图形也可能是空间图形.    如图三棱锥中，四边形不是平面图形，故②错误； ③三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面， 如图三棱锥中，三条直线两两相交，且交于一点， 可确定平面，平面，平面三个平面，故③错误； ④平面是无限延展的，如图，两个相交平面把空间分成四个区域，故④正确.    故答案为：①②③. 4．（24-25高二上·上海·阶段检测）从同一点出发的四条射线能确定个平面，则所有可能的取值是________． 【答案】1，3，4，6 【分析】按共点的4条射线共面情况，分类讨论即可得解. 【详解】4条射线在空间的位置关系有：任何3条都不共面，仅有3条共面，有2条射线反向共线，4条共面，共三种情况， 当4条射线中任何3条都不共面时，如四棱锥的四条侧棱，可以确定6个平面； 当4条射线中仅只3条共面时，可以确定4个平面； 当4条射线中有2条射线反向共线时，可以确定3个平面； 当4条射线共面时，可以确定1个平面， 所以所有可能的取值是1，3，4，6. 故答案为：1，3，4，6 5．（24-25高二上·上海·阶段检测）在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线________上． 【答案】BD 【分析】根据题意，直线分别为平面、平面内的直线，所以直线的交点一定在平面与平面的交线上，故得解. 【详解】由题意，且， 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面， 因此，直线与的公共点在平面与平面的交线上， 因为平面平面 ， 所以点直线． 故答案为：BD. 6．（24-25高二上·上海·阶段检测）如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC的直观图，则三角形 ABC的面积是_______. 【答案】2 【分析】画出原图形可得答案. 【详解】由直观图画出原图，如图， 可得是等腰三角形，且， 所以三角形的面积. 故答案为:2. 7．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是______．    【答案】 【分析】过点作的平行线即可延展平面，则可得到截面，再求周长即可. 【详解】取中点，连接，,    ∵中点为，E是侧棱的中点， ∴,, 又在直角三角形中, ∴, ∵正方体中， ∴四边形为平行四边形, ∴ ∴, 四点共面，即为正方体的截面. 在直角三角形中, 同理,则截面周长为. 故答案为:. 8．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是（　　） ①E，F，G，H四点共面；②EF与GH异面； ③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上； ④EF与GH的交点M一定在直线AC上． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理、平面基本事实推理，再逐一判断各个命题作答. 【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且， 点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且， 因此，点E，F，G，H四点共面，①正确，②错误； 因，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，令交点为M， 点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上，则点M是平面ACB与平面ACD的公共点， 而AC是平面ACB与平面ACD的交线，所以点M一定在直线AC上，④正确，③错误， 所以说法正确的命题序号是①④． 故选：B 9．（23-24高二下·上海杨浦·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 _____（写出所有正确命题的编号）    ①当时，为等腰梯形. ②当时，与的交点满足. ③当时，为四边形. ④当时，的面积为. 【答案】①②④ 【分析】根据题意作出图形，由相关知识对选项一一判断即可得出答案. 【详解】①如图当时，即为中点，此时可得， ， 故可得截面为等腰梯形，故①正确；    ②当时，如图， 延长至，使，连接交于，连接交于， 连接，可证，由， 可得，故可得，故②正确；    ③由②可知当时，只需点上移即可， 此时的截面形状仍然上图所示的，显然为五边形，故③错误； ④当时，与重合，取的中点，连接， 可证，且， 可知截面为为菱形，故其面积为，故④正确．    故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． 确定截面的依据如下：（1）平面的四个公理及推论；（2）直线和平面平行的判定和性质；（3）两个平面平行的性质；（4）球的截面的性质． 10．（24-25高二上·上海·期中）若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为__________. 【答案】 【分析】由平行四边形的面积求出，再结合斜二测画法分析可得结果. 【详解】 如图，过点作于点，则为等腰直角三角形， 由平行四边形的面积为8得， ∵，∴，∴， ∴原平面图形中，，. 故答案为：. 11．证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内． 已知：如图，直线两两相交，且不共点．求证：直线在同一平面内. 【答案】证明见解析 【分析】证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1．先证某两线确定平面，然后证其它直线也在内． 【详解】图①中，没有三条直线交于一点， 因为，所以确定平面， 又因，所以， 所以， 同理可得， 所以直线在同一平面内； 图②中，三条直线交于一点， 因为又因，所以， 所以， 同理， 所以直线在同一平面内， 综上所述，所以直线在同一平面内. 12．直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线_________上． 【答案】BD/DB 【分析】利用平面的基本性质证明，再根据点线、线面、及面面关系判断的位置. 【详解】由，，，、，故，， 同理，，故，      由，，则，，故，同理可得， 又直线直线，故，即， 所以必在的交线上. 故答案为： 13．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在长方体中，E，F分别是和的中点． (1)证明：E，F，D，B四点共面． (2)证明：BE，DF，三线共点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接EF，BD，，易得，再由，得到证明；． （2）由直线BE和DF相交，延长BE，DF，设它们相交于点P，然后再论证平面，平面即可. 【详解】（1）如图， 连接EF，BD，． ∵EF是的中位线， ∴． ∵与平行且相等， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴E，F，D，B四点共面． （2）∵，且， ∴直线BE和DF相交． 延长BE，DF，设它们相交于点P， ∵直线BE，直线平面， ∴平面， ∵直线DF，直线平面， ∴平面， ∵平面平面， ∴， ∴BE，DF，三线共点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1 平面及其基本性质 教学目标 1.准确区分空间中点、直线、平面三类几何元素，掌握文字、图形、集合符号三种表达形式 2.熟记平面三条基本性质（公理）及三条推论，能利用公理判断点、线、面的共面、共线关系 3.掌握相交平面的图形画法，熟练运用平面基本性质画出多面体截面图形 4.能结合平面公理完成线段长度、角度、截面面积相关基础计算 5.掌握斜二测画法规则，独立画出空间几何体的平面直观图，并能完成原图与直观图的面积换算 教学重难点 教学重点 1.空间点、直线、平面的符号语言与位置关系表达 2.平面的三条基本公理及其推论的内容与几何意义 3.相交平面的作图规范，利用基本性质绘制几何体截面图形 4.斜二测画法的核心规则，原图与直观图的面积换算公式 教学难点 1.利用平面公理完成共点、共线、共面的逻辑证明 2.复杂多面体截面图形的找点、连线作图逻辑 3.结合平面基本性质的几何综合计算 4.斜二测作图中平行、长度、角度的变换规则，直观图还原原图的逆向计算 知识点01 三个基本事实 三个基本事实 图形 文字语言 符号语言 基本事实1 过__不在一条直线上______的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线存在唯一的平面使 基本事实2 如果一条直线上的___两个点_____在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ，，且， 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条_过该点的公共直线_______ ，且，且 2．三个推论：（1）经过一条直线和__直线外的一点有且只有______________一个平面；（2）经过两条__相交______直线__有且只有______一个平面；（3）经过两条__平行______直线___有且只有_____一个平面. 知识点02 平面 （1）平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是向四周__无限延展_____的. （2）平面的画法 画法 我们常用矩形的直观图，即__平行四边形_____表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成__横向 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成___竖向____ 在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成_虚线或不画 图示          知识点03 空间几何体的斜二测画法 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则：①原图形中轴、轴、轴两两垂直，直观图中，轴，轴的夹角为__（或）______________，轴与轴和轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段长度在直观图中_变为原来的一半_______． 题型01 平面的概念及其表示 【典例1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）直线上存在两点在平面上，用集合语言表示的关系_________． 【变式1】（24-25高一下·上海松江·阶段检测）“点在平面上”用集合符号表示是_____ 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）用数学符号表示“直线在平面上”为________． 【变式3】（24-25高二上·上海杨浦·期末）“平面与相交于直线”用符号语言可以表述为______. 题型02 空间直线位置关系的画法 【典例1】图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】用符号表示下列语句，并画出相应的图形． (1)点在平面外，点在平面内，直线经过点，； (2)平面和的交线是直线，直线经过内不在直线上的点且经过内不在直线上的点． 题型03 平面分空间区域的数量 【典例1】若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（   ） A．8 B．4 C．6 D．5 【变式1】空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 【变式2】两个平面把空间最多分成_____________个部分. 题型04 平面的基本性质 【典例1】（24-25高二上·上海·期中）若点与直线确定一个平面，则点与直线的位置关系是点______直线（用“”、“”、“”填空） 【变式1】（24-25高二上·上海静安·阶段检测）用集合的符号语言表示如图所示的公理__________________________.    【变式2】（24-25高二·上海·课堂例题）对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪些是使三条直线确定一个平面的充分条件（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式3】（24-25高二·上海·课堂例题）给出下列条件：①空间的任意三点；②空间的任意一条直线和任意一个点；③空间的任意两条直线；④梯形的两条腰所在的直线． 其中一定能确定一个平面的条件的序号是________． 题型05 点共面问题 【典例1】如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 【变式1】如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面 【变式2】如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面. 【变式3】如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 题型06 点共线与线共点问题 【典例1】在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 【变式1】如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．    【变式2】若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证：    (1)和、和、和分别在同一平面内； (2)如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）. 【变式3】如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 题型07 作截面图形 【典例1】如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．    【变式1】如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点． (1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）． (2)求截面的面积． 【变式2】如图，在棱长为6的正方体中，P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C）．    (1)经过P，Q两点作平面，平面截正方体所得截面可能是n边形，请根据n的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；    (2)若M为AB的中点，求过点P，Q，M的截面的面积． 【变式3】如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法； 题型08 与截面有关的周长面积计算 【典例1】在棱长为的正方体中，，分别为棱的中点，为棱上的点，且，则过，，三点的平面交正方体所得截面的周长为__________. 【变式1】在棱长为1的正方体中，E、F分别为AB、BC的中点，则过点、E、F的平面截正方体所得的截面周长为______． 【变式2】已知正方体的棱长为2，点P，Q分别为BC，的中点，则过点，P，Q的平面截正方体所得的截面的周长为__________. 【变式3】在棱长为的正方体中，点分别为线段的中点，点在线段上，且，则过三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 题型09 斜二测画法的概念辨析 【典例1】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，则（   ） A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．菱形的直观图是菱形 D．三角形的直观图是三角形 【变式1】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ）. A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中仍然相等 C．一个直角的直观图仍是一个直角 D．平行的线段在直观图中仍然平行 【变式2】关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ）． A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 【变式3】关于水平放置的平面图形用斜二测画法绘制其直观图，下列说法正确的是（   ） A．平行于轴的线段，在直观图中长度变为原来的倍 B．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 C．平行四边形的直观图仍是平行四边形 D．相等的角在直观图中仍然相等 题型10 与斜二测画法有关的周长面积计算 【典例1】（24-25高一下·上海·阶段检测）用斜二测画法画三角形OAB的直观图，如图所示，已知，，则（    ） A． B．2 C． D．4 【变式1】（25-26高二上·上海普陀·期末）如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为__________.    【变式2】（25-26高二上·上海金山·期末）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到的直观图是矩形（如图所示），其中，，则原图形的面积是______． 【变式3】（25-26高二上·上海·期中）如图，三角形是用斜二测画法画出的边长为1的正三角形的直观图，则其底边上的高的值为___________． 1．（24-25高二上·上海·阶段检测）若，且，则______（填数学符号） 2．（24-25高二上·上海·阶段检测）三个平面最多可以将空间分为______部分． 3．（24-25高二上·上海·阶段检测）有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②四边形是平面图形，③三条直线两两相交则确定一个平面，④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序号是______. 4．（24-25高二上·上海·阶段检测）从同一点出发的四条射线能确定个平面，则所有可能的取值是________． 5．（24-25高二上·上海·阶段检测）在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线________上． 6．（24-25高二上·上海·阶段检测）如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC的直观图，则三角形 ABC的面积是_______. 7．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是______．    8．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是（　　） ①E，F，G，H四点共面；②EF与GH异面； ③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上； ④EF与GH的交点M一定在直线AC上． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 9．（23-24高二下·上海杨浦·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 _____（写出所有正确命题的编号）    ①当时，为等腰梯形. ②当时，与的交点满足. ③当时，为四边形. ④当时，的面积为. 10．（24-25高二上·上海·期中）若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为__________. 11．证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内． 已知：如图，直线两两相交，且不共点．求证：直线在同一平面内. 12．直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线_________上． 13．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在长方体中，E，F分别是和的中点． (1)证明：E，F，D，B四点共面． (2)证明：BE，DF，三线共点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $