第01讲 平面及其基本性质（13大题型归纳）（暑假预习讲义）新高二数学沪教版

第01讲 平面及其基本性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 平面的概念及其表示 题型8 线共点问题 题型2 空间位置关系的画法 题型9 由平面基本性质作截面图形 题型3 平面分空间的区域 题型10 截面的周长面积计算 题型4 平面的基本性质及辨析 题型11 斜二测画法概念辨析 题型5 点（线）确定平面的数量问题 题型12 斜二测画法作立体图形直观图 题型6 点（线）共面问题 题型13 与斜二测画法有关的计算 题型7 点共线问题 ..... 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.平面的概念及其表示 1.理解平面无厚度、无限延展的抽象定义 2.掌握平面两类标准表示方式 3.分清点、直线、平面对应的几何符号语言 2.空间位置关系的画法 1.熟记空间图形实线虚线使用准则被遮挡线段画虚线 2.规范绘制点线面相交、平行的空间示意图 3.借助绘图区分平面内外空间层次 3.平面分空间的区域数量 1.掌握1~3个平面分割空间的区域数量规律 2.区分平面平行、相交两种不同分割场景 3.简单推导多平面组合分割空间结果 4.平面的基本性质及辨析 1.熟记三大公理文字表述与对应符号语言 2.准确辨析公理适用条件辨别真假命题 3.依托公理判断空间点线面基础位置关系 5.点（线）确定的平面数量问题 1.熟记不同条件下确定平面的个数 2.对比共线/不共线、相交/平行线定平面的区别 3.快速计算多点、多直线所能确定平面总数 6.空间中的点（线）共面问题 1.掌握多点、多直线共面的标准证明步骤 2.利用公理构造辅助平面完成共面推导 3.区分共面直线与异面直线判定条件 7.空间中的点共线问题 1.掌握点共线核心思路：证明点同时属于两个相交平面 2.借助交线唯一性完成点共线逻辑推导 3.规范书写空间三点共线证明过程 8.空间中的线共点问题 1.掌握证明三线共点通用步骤：先证两线相交再证交点在第三条直线 2.结合平面公理完善三线共点完整证明 3.梳理线共点题型固定答题模板 9.由平面的基本性质作截面图形 1.利用平面公理延长线段寻找截面顶点 2.掌握棱柱、棱锥截面完整作图流程 3.画出几何体被平面截取的封闭截面图形 10.平面的基本性质的有关计算 1.结合平面公理求解空间计数类题目 2.依托截面图形完成线段、周长相关计算 3.理清多情况分类讨论的解题逻辑 11.空间图形的平面直观图的画法 1.熟记斜二测画法四条核心变换规则 2.辨析原图与直观图在线段、角度、面积上的差异 3.区分斜二测绘图带来的几何量变化 12.斜二测法画平面图形的直观图 1.掌握平面多边形直观图完整绘图步骤 2.规范建立斜二测坐标轴精准定位各顶点 3.独立绘制三角形、四边形等平面图形直观图 13.斜二测法画立体图形的直观图 1.掌握立体几何体直观图画法轴线段长度保持原值 2.先绘制底面直观图再沿轴拔高顶点构建立体 3.用虚实线区分立体图形遮挡关系 14.由直观图还原几何图形 1.掌握直观图逆向还原原图的坐标变换规则 2.根据直观图顶点坐标反推原图真实坐标 3.完整还原平面、立体原始几何图形 15.斜二测画法中有关量的计算 1.熟记原图与直观图固定面积倍数关系 2.根据直观图线段长求解原图真实长度 3.利用面积比例快速计算两类图形面积 学习重点： 1.平面三大公理文字、符号语言及各类证明应用（共面、共线、共点、截面作图） 2.空间点线面位置规范绘图虚实线使用准则 3.点线确定平面数量、平面分割空间区域计数方法 4.三线共点、三点共线、多点共面标准证明模板 5.斜二测画法完整规则规范公式 6.截面图形找点连线的通用作图方法 学习难点： 1.平面无限延展的抽象概念理解公理逆命题真假辨析 2.复杂立体图形中隐藏交线延伸找点绘制截面 3.多点混杂共线时平面计数分类讨论易漏解 4.空间共面、共线、共点证明逻辑梳理与规范书写 5.斜二测直观图逆向还原原图立体图形面积综合计算 6.多层立体平面遮挡透视绘图判断 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 平面 1．平面 （1）平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是向四周_无限延展______的. （2）平面的画法 画法 我们常用矩形的直观图，即_平行四边形______表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成_横向______ 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成__竖向_____ 在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成_虚线或不画______ 图示          【易错提醒】 1.忽略平面无限延展，把示意图当成平面边界 2.绘图不分虚实线，遮挡线段未画虚线 3.计数混淆：两平行平面分3区域两相交平面分4区域 即时即练 1.（25-26高二下·上海·阶段检测）以下四个命题正确的是______． ①三个平面最多可以把空间分成八部分 ②已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 ③若，直线平面，直线平面，且，则 ④若n条直线中任意两条共面，则它们共面 【答案】①②③ 【分析】逐个分析四个命题，利用基本事实和推论，来判断命题是否正确. 【详解】命题①，一个平面将空间分成两部分； 再加一个平面，若第二个平面与第一个平面平行，则将空间分成三部分，若两个平面相交，则将空间分成四部分，所以两个平面最多将空间分成四部分； 若想将空间分成尽量多的部分，前两个平面必相交，第三个平面与前两者也均相交，当三个平面交于同一条直线时空间被分成六部分，当三个平面两两相交，有三条交线时，若三条交线平行则空间被分成七部分，若三条交线均不互相平行则空间被分成八部分，所以三个平面最多可以将空间分成八部分，①正确； 命题②，四点不共面，则这四点一定不共线，由基本事实可知，直线和直线外一点有且只有一个平面，若有三点共线，则这三点与第四点必然共面，故这四点中必然任意三点都不共线，②正确； 命题③，因为，所以且，因为，，所以，，因为，所以，③正确； 命题④，若这条直线是棱柱的侧棱，它们均平行，因为平行直线能确定一个平面，所以任意两条都共面，但这条直线并不共面. 2.（25-26高二上·上海·阶段检测）＂三个平面交于一点＂是＂三个平面两两相交＂的（     ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】根据空间中平面与平面的位置关系判断即可. 【详解】如图，三个平面交于一点可以推出三个平面两两相交， 三个平面两两相交推不出三个平面交于一点， 故选：A 知识点02 平面的基本性质 2．平面的基本性质 （1）基本事实1 ①文字语言：过不在一条直线上______的三个点，有且只有一个平面． ②符号语言：三点不共线⇒存在唯一的使______． ③图形语言： （2）基本事实2 ①文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． ②符号语言：______，______，且，______． ③图形语言： （3）基本事实3 ①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_公共直线 _____． ②符号语言：______，且，且______． ③图形语言： （4）三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论1亦可说成：直线及其外一点_确定_____一个平面． 推论2：经过两条__相交____直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条_平行_____直线，有且只有一个平面． 【易错提醒】 1.公理2漏“不共线”三点，三点共线无法确定平面 2.两平面相交仅有一条公共交线，不存在多条交线 3.共线多点、异面直线不能确定多个平面 4.证三点共线不利用两面交线思路 5.证三线共点不验证交点落在第三条直线 6.作截面不延展平面，找不到隐藏交点 即时即练 1.（24-25高二上·上海静安·期中）平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是______ ． 【答案】直线 【分析】根据已知得R、C既在平面上又在平面上，从而得答案． 【详解】根据题意，因为直线AB与直线l相交于点R，， 又平面与平面相交于直线l，所以平面β， 又点C在平面上，所以平面β， 因为平面γ，R点在直线AB上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线． 故答案为：直线． 2.（25-26高二上·上海嘉定·期中）生活中有这样的经验：三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机.两个轮子的自行车在停止运动后要加上一个支撑脚才能稳定；一扇门尽管有两个合页固定在门框上，但仍可以转动，只有锁上才可以固定下来，这些例子都说明了___________道理. 【答案】不共线的三点确定一个平面 【分析】根据平面的基本事实可得. 知识点03 直观图 （1）画法：常用__斜二测画法_______. （2）具体步骤： ①在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴；再取轴，使，且. ②画直观图时，把画成对应的，使_________(或135°)，_________.所确定的平面表示水平平面. ③已知图形中平行于轴、轴或轴的线段，在直观图中分别画成_平行________于轴、轴或轴的线段. ④已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持原长度__不变_______；平行于轴的线段长度为原来的__一半_______. ⑤擦去辅助线，并将被遮挡的线画成虚线. （3）水平放置平面多边形直观图与原平面图形面积间的关系：， 【易错提醒】 1.斜二测y轴长度未减半，夹角画成90° 2.立体z轴高度随意缩放，平行线段不保持平行 3.还原原图y轴不翻倍，角度不还原直角 4.面积公式记反 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期末）如图是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直观图得到原图，如图所示， 由可知，且， ，所以， 所以的周长为. 2.（25-26高二上·上海·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（     ）. A．5 B． C． D．10 【答案】D 【分析】先求出直观图的面积，再利用斜二测画法的性质求解即可 【详解】由题直观图的面积为， 原图的面积等于直观图面积的倍， 所以原图的面积为，故D正确. 故选：D. 题型1 平面的概念及其表示 【例1】（25-26高一下·上海徐汇·期末）用集合符号表述语句“平面经过直线”：________． 【答案】 【例2】（25-26高二上·上海·期末）用集合符号表示：直线在平面上________． 【答案】 【分析】根据空间中的线、面表示结合集合符号表示即可得结果. 【详解】若直线在平面上，则. 故答案为：. 【技巧归纳】 公式结论 1.点与平面： 2.直线与平面： 技巧方法 1.平面无限延展，平行四边形仅为示意图形 2.两种表示：希腊字母；四边形对角字母平面 【变式1-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）用符号表示“直线在平面内”_____. 【答案】 【分析】根据直线与平面的关系即得. 【详解】符号表示“直线在平面内”为. 故答案为： 【变式1-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点线、点面、线面关系的数学表达符号判断各项的正误. 【详解】由点线、点面关系用或表示，线面关系用或表示， 所以A、B、C错，D对. 故选：D 题型2 空间位置关系的画法 【例1】（23-24高二·上海·课堂例题）画三个平面，使其中的两个平面互相平行，而第三个平面与这两个平面都相交． 【答案】答案见解析 【分析】用平行四边形代表平面，先画两互相平行的平行四边形，再画第三个平行四边形与这两个平行四边形均相交即可. 【详解】如图，是三个不同的平面，为不同的直线， 其中∥，    【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）用硬纸板作为平面的模型，摆出三个平面两两相交各种不同的情况． 【答案】详见解析 【分析】直接画图即可. 【详解】有如下三种情况：    【技巧归纳】 1.可见棱实线，被遮挡棱虚线 2.先水平面后竖直面，保证透视层次感 【变式2-1】请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形． 【答案】作图见解析 【分析】在立体几何中，被遮挡直线画成虚线. 【详解】解：图①可看成平面被挡住一部分；图②可看成三棱锥；图③可看成是一个正方体，添加虚线即可． 如图． 【变式2-2】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 【答案】(1)详情见解析 (2)详情见解析 (3)详情见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间中点、线、面的位置关系画出图形. 【详解】（1）解：点在平面上，点不在平面上，如下图所示： （2）解：直线在平面上，直线与平面相交于点，且点不在直线上，如下图所示： ． （3）解：直线经过平面外一点和平面上一点，如下图所示： 题型3 平面分空间的区域 【例1】（25-26高二上·上海·阶段检测）三个互相平行的平面把空间分成部分，其中，则的最大值为___________． 【答案】4 【分析】先根据立体几何结论确定，再利用基本不等式求最值. 【详解】根据题意，三个互相平行的平面把空间分成部分，所以， 又，所以，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故答案为：4 【例2】（25-26高二上·上海·期中）三个互不相交的平面把空间分成部分，其中，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】先根据立体几何结论确定，再利用基本不等式的 “的代换”， 结合均值不等式即可求解. 【详解】根据题意，三个互不相交的平面把空间分成部分，即三个平行平面把空间分成部分，所以，又，所以，，， 因此， 又，故， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为：. 【技巧归纳】 公式结论 1. 1个平面：分割空间=2个区域 2. 2平行平面：分割空间=3个区域 3. 2相交平面：分割空间=4个区域 技巧方法 1.多平面按全平行、部分相交、全相交分类讨论 2.画图辅助计数，避免漏情况 【变式3-1】（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成______部分． 【答案】15 【分析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果． 【详解】三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分， 再作一个平面，与三个平面都相交，且与这三个平面能围成一个三棱锥， 如图所示，将各平面无限延展，此时可以把空间分成15部分， 故答案为：15．    【变式3-2】（23-24高二·上海·课堂例题）1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 【答案】3个平面可将空间分成4、6、7、8部分 【分析】通过画图即可得答案. 【详解】当3个平面互相平行时，可将空间分为4个部分，如图， 当3个平面交于一条直线或第三个平面分别交两个平行平面时，可将空间分为6个部分，如图， 当3个平面两两相交且交线互相平行时，可将空间分为7个部分，如图， 当3个平面如上图所示的两两相交时，可将空间分为8部分，如图， 因此3个平面可将空间分为4、6、7、8个部分. 题型4 平面的基本性质及辨析 【例1】（25-26高一下·上海·阶段检测）“平面上有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面上”用符号语言表述是（    ） A．若，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 【答案】C 【详解】平面上有一条直线，表述为，点在直线内表述为，点在平面内表述为； 故对应的符号语言为：若，，则，故C正确. 【例2】（25-26高一下·上海·阶段检测）下列命题中为真命题的是__________.（请写出全部真命题的序号） ①若空间四点共面，则其中必有三点共线； ②若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④若空间四点不共面，则其中任意三点不共线. 【答案】②④ 【分析】利用平面的基本性质及空间想象判断各项的正误即可. 【详解】①空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线，错误； ②空间四点中有三点共线，若第四个点在直线上，则必四点共面， 若第四个点不在直线上，由直线与其外一点确定一个平面，此四点也必共面，正确； ③空间四点中任何三点不共线，此四点可能共面，如平面四边形，错误； ④空间四点不共面，假设任意三点有共线的，同②分析此四个点必共面，与已知矛盾，正确. 【技巧归纳】 公式结论 1.公理1： 2.公理2：不共线三点确定唯一平面；共线三点无法确定平面 3.公理3：过唯一直线 技巧方法 1.命题真假辨析举反例快速排除错误说法 2.公理逆命题大多不成立，不可直接套用 【变式4-1】（25-26高二上·上海·期中）“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据基本事实，结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由基本事实，直线上有两点在平面内，则这条直线在这个平面内，反之亦然. 所以“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的充要条件. 故选：C 【变式4-2】（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（    ） A．这两条直线可能既共面，又共点 B．这两条直线可能既不共面，又不共点 C．这两条直线可能共面但不共点 D．这两条直线可能共点但不共面 【答案】D 【分析】根据空间点线面面位置关系、基本事实一及推论判断即可. 【详解】设是空间中不重合的两条直线， 对于A，若直线相交于一点，则这两条直线可能既共面，又共点，故A说法正确； 对于B，若直线是异面直线，则这两条直线既不共面，又不共点，故B说法正确； 对于C，若直线是平行直线，这两条直线共面但不共点，故C说法正确； 对于D，若直线相交于一点，则直线一定共面，故D说法错误. 故选：D 题型5 点（线）确定平面的数量问题 【例1】（25-26高二上·上海·阶段检测）三条直线两两相交可以确定________个平面． 【答案】1或3 【分析】根据三条直线共面、三条直线不共面两种情况分类讨论即可. 【详解】（1）三条直线共面时，则确定1个平面； （2）三条直线不共面时，则三条直线必交于一点，此时每两条直线确定1个平面，共确定3个平面. 则三条直线两两相交可以确定1个或3个平面. 故答案为：1或3 【例2】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）在空间中，三条直线最多可确定________个平面. 【答案】3 【分析】根据平面的基本性质及推论即可得解. 【详解】由平面的基本性质，当三条直线相交于一点且不共面时，可确定3个平面； 当三条直线两两平行且不共面时，也可以确定3个平面， 所以在空间中，三条直线最多可确定3个平面. 故答案为：3 【技巧归纳】 公式结论 1.不共线3点/两相交直线/两平行直线：确定1个平面 2.共线多点：仅确定1个平面 3.异面直线：无法确定平面 技巧方法 1.先筛选共线点、平行线，分情况累加平面个数 2.出现异面直线直接判定不能共面 【变式5-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用平面公理及推论即可判断. 【详解】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 故选：C 【变式5-2】（25-26高二·上海·暑假作业）下列命题错误的是（　　） A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 【答案】D 【分析】根据基本事实二、三逐项判断即可. 【详解】由基本事实二知直线及直线外一点，确定一个平面，故A正确； 由基本事实三知两条平行直线，确定一个平面，故B正确； 由基本事实三知两条相交直线，确定一个平面，故C正确； 三条相交直线两两相交，确定一个或三个平面，故D错误． 故选：D． 题型6 点（线）共面问题 【例1】（25-26高二上·上海·开学考试）在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且．    (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用平行的传递性证明即可； （2）表示出、，利用余弦定理求出 ，即可得解. 【详解】（1）如图，连接，    因为、分别是、的中点，所以，又， 所以，所以， 所以、、、四点共面； （2）因为四面体为棱长为6的正四面体，又，则， ∴， 因为、分别是、的中点，则， ∴ ， ∴ . 【例2】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知，，，是空间四点，且点，，在同一直线上，点不在直线上.求证:直线在同一平面上.    【答案】证明见解析 【分析】根据平面的有关公理，即可证明结论. 【详解】证明：因为、、是同一直线上的点，在直线外， 故直线和点确定一平面，所以四点共面，设该平面为， 由于，故直线，同理， 所以直线、、在同一平面上. 【技巧归纳】 公式结论 1.直线+线外一点共面；相交/平行直线共面；异面直线不共面 技巧方法 1.定点法：取不共线三点定平面，证剩余元素在平面内 2.多直线分组证明共面，再合并为同一平面 【变式6-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 【答案】①②③ 【分析】根据线线平行得出四点共面分别判定①②③，根据异面直线判定④. 【详解】 在①中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形， 所以， 所以，∴四点共面． 在②中， 取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 可得交于直线延长线上一点， ∴四点共面，设为， 在正方体中：，∴四点共面，设为. ∵都经过不共线的三点，∴与重合，∴四点共面． 在③中，分别是所在棱的中点，所以，所以， ∴四点共面． 在④中， 连接，如图，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴四点不共面． 故答案为：①②③ 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【分析】可得，，所以可得，即可求证. 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 题型7 点共线问题 【例1】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是______．    【答案】共线 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      【例2】如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【详解】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 【技巧归纳】 公式结论 若点同时属于两个相交平面，则点在两平面交线上（三点共线） 技巧方法 1.两步流程：找两个相交平面→证明多点均为两面公共点 【变式7-1】如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论： ①A、M、O三点共线；         ②A、M、O、不共面： ③A、M、C、O共面；         ④B、、O、M共面， 其中正确的序号为_________． 【答案】①③ 【分析】由公理1判断①，由公理2判断②和③，用反证法判断④ 【详解】连接，因为是的中点，所以， 平面与平面有公共点A与，则平面平面， 对于①，平面，则平面，因为平面，则，即A，M，O三点共线，所以①正确， 对于②③，由①知A，M，O三点共线，所以A，M，O，共面，A，M，C，O共面，所以②错误，③正确； 对于④，连接，则都在平面上，若平面，则直线平面，所以平面，显然平面，所以④错误， 故答案为：①③ 【变式7-2】如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点．求证： (1)，O，M三点共线； (2)E，C，，F四点共面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得平面，又可证平面，根据基本事实，即可得证 （2）根据平行的传递性，可证，根据基本事实的推论，即可得证. 【详解】（1）由题意得平面， 又，平面， 所以平面， 由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上， 所以三点共线 （2）连接EF、、， 因为E、F分别为AB、的中点， 所以， 又正方体， 所以， 所以， 因为两平行直线可确定一个平面， 所以E，C，，F四点共面. 题型8 线共点问题 【例1】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴ . ∵四边形为平行四边形，∴ ， ∴ ， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴ ，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．    【答案】证明见解析 【分析】通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. 【详解】平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上.    【技巧归纳】 公式结论 两平面交线的所有公共点同时属于两个平面 技巧方法 1.固定两步法：①证两直线相交得交点②证交点在第三条直线上 【变式8-1】在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 【答案】A 【分析】由公理2知，不共线的三点确定一个平面，由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面，再由公理1，3可得的位置． 【详解】由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面． ，，， 面，面， ， 面，面 面面 故选：A． 【变式8-2】（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先证明两直线平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面； （2）结合面面交线证明三点共线； （3）根据面面相交于一条直线，再证明三线交于一点； 【详解】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 题型9 由平面基本性质作截面图形 【例1】（25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 【例2】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2)图形见详解 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【详解】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 【技巧归纳】 公式结论 两点确定一条直线，两平面相交有唯一交线 技巧方法 1.作图步骤：延长棱找交点→顺次连线→封闭多边形 2.内部遮挡线段画虚线 【变式9-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【答案】答案见解析 【分析】根据作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面即可求解. 【详解】如图，    连接MP并延长交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交的延长线于F，连接NF交于H，连接MH， 则五边形MHNGP为过M、N，P三点的平面截正方体所得的截面． 【变式9-2】如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 【答案】(1)图象见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本性质作图. （2）证明四边形为梯形，设，再证明，即可得到三线共点． 【详解】（1）作直线分别交的延长线于，连接交于， 连接交于点，连接，则五边形即为所求，如图： （2）如图，连接，，，四边形是正四棱柱的对角面，则，， 由Q、R分别为中点，得，则，且， 即四边形为梯形，令，则，而平面， 则平面，同理平面，又平面平面，因此， 所以三线共点. 题型10 截面的周长面积计算 【例1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，（，）.记，当取最小时，过点，，作三棱柱的截面，则截面面积为______. 【答案】 【分析】先确定当取最小时，为的中点，然后根据三角形全等求出，然后确定过点的三棱柱的截面为梯形，最后根据梯形的面积公式求出面积即可. 【详解】将绕翻折到平面内，则的最小值为点到直线距离， 所以，因为， 所以. 所以当取最小时，为的中点，因为为等边三角形，为的中点， 所以为的重心，故， 在平面中，延长交于点， 因为， 所以，故. 取的中点，为的中点，则， 因为，，所以四边形为平行四边形，则，， 又，，所以，所以， 故过点的三棱柱的截面为梯形， ， 如下图，过作，设， 因为，则， 所以，则梯形的面积为. 故答案为：. 【例2】（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【答案】/ 【分析】首先根据平行的性质，作出平面，再求面积. 【详解】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为： 【技巧归纳】 公式结论 三角形平行四边形梯形 技巧方法 1.先判定截面图形类型，对应套用面积公式 2.分割不规则截面为多个规则图形分步计算 【变式10-1】如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为____________． 【答案】 【分析】根据平面的性质与公理找出截面，进行求解即可. 【详解】延长相交于点，连接交于点，连接， 则四边形即为所求截面图形,如图， 因为为的中点，由相似比可知为的中点， 则，因为，分别为，中点， 所以， 所以，， 同理，， 所以周长为. 故答案为：. 【变式10-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】做截面的常用两种方法：作平行线和作延长线.对于本题，过点A作PQ的平行线即可得到截面. 【详解】①当时，如图（1），是四边形，故①正确； ②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确； ③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为 所以，③正确. ④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确； 故选：D 题型11 斜二测画法概念辨析 【例1】关于水平放置的平面图形用斜二测画法绘制其直观图，下列说法正确的是（   ） A．平行于轴的线段，在直观图中长度变为原来的倍 B．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 C．平行四边形的直观图仍是平行四边形 D．相等的角在直观图中仍然相等 【答案】C 【详解】对选项A，对于斜二测画法，平行于轴的线段，在直观图中长度变为原来的，故A错误； 对选项B，直观图的面积是原图面积的，故B错误； 对选项C，斜二测画法的核心是平行关系保持不变.原平行四边形的对边平行，因此直观图的对边仍平行，故仍是平行四边形，故C正确； 对选项D，不妨以水平放置的正方形为例，其直观图直角变为或，故D错误. 【例2】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论错误的是（   ） A．平行四边形在直观图中仍是平行四边形 B．三角形在直观图中仍是三角形 C．菱形的直观图是菱形 D．梯形的直观图是梯形 【答案】C 【详解】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确； 对于B，三角形的三个顶点不共线，直观图中，三个顶点对应的点也必然不共线， 三角形的直观图依然是三角形，B正确； 对于C，如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点均在坐标轴上，中心在原点， 设，则菱形的边长均为，作出该菱形的直观图, 根据斜二测画法知, ，, 由余弦定理，， ,显然，即不是菱形，故C错误； 对于D，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行， 且长度不相等， 故一个梯形的直观图仍然是梯形，D正确. 【技巧归纳】 公式结论 1.轴：长度不变，平行不变 2.轴：长度减半，坐标轴夹角 3.轴：长度不变，平行不变 技巧方法 1.原图直角，直观图变为 2.平行关系全程保持不变 【变式11-1】如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图对应的点为，则下列说法中错误的是（ ） A． B．轴 C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的规则，结合选项逐一分析判断. 【详解】对于A，在斜二测画法中，与轴重合或平行的线段长度不变，则，A正确； 对于BC，与轴平行的线段依然与轴平行，长度为原来的，BC正确； 对于D，在等腰梯形中，，又轴，则位于右上方， 又，因此，D错误． 故选：D 【变式11-2】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（   ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．垂直的线段在直观图中仍然垂直 D．相等的角在直观图中仍然相等 【答案】B 【分析】根据斜二测法的规则对选项逐一判断即可. 【详解】首先分析斜二测画法的规则： 斜二测画法中，平行性不变，即平行的线段在直观图中仍然平行； 对于线段长度，轴方向线段长度不变，轴方向线段长度减半，所以相等的线段在直观图中不一定相等； 原来垂直的线段，在直观图中不一定垂直，比如平面直角坐标系中垂直的轴和轴，在斜二测画法中轴成45°（或135°）角，不再垂直； 相等的角在直观图中不一定相等，比如平面直角坐标系中90°的角，在斜二测画法中可能变成45°或135°等. 故选：B. 题型12 斜二测画法作立体图形直观图 【例1】用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【答案】画图见解析 【分析】由斜二测画法的规则画出直观图即可． 【详解】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形． ①画轴，如图，画轴，轴，轴，三轴相交于点，使，． ②画底面，在轴正半轴上取线段，使，在轴正半轴上取线段，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点为，则就是长方体的底面的直观图． ③分别过点作，，，且． ④连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示． 【例2】用斜二测画法画出正六棱锥的直观图． 【答案】 【分析】根据斜二测画法的步骤作图即可. 【详解】（1）画正六棱锥的底面的直观图． ①在正六边形中，取对角线所在直线为轴，取与垂直的对称轴为轴，两轴相交于点（如图（1）所示）． （2）画相应的轴和轴，两轴交于点，使． 以为及的中点，在轴上取， 在轴上取， 以点为中点画平行于轴，并且等于， 再以点为中点画平行于轴，并且等于． ③连接，则得到水平放置的正六边形的直观图． （3）在直观图中画六棱锥的顶点，连接，以所在直线为轴． 过作与轴对应的轴，在上取点，使． 连接，，，，，（如图（2）所示）． （4）擦去轴、轴、轴，将被遮挡住的线画为虚线， 便得到正六棱锥的直观图（如图（3）所示）． 【技巧归纳】 公式结论 底面遵循斜二测平面规则，轴竖直高度与原图相等 技巧方法 1.先画底面直观图，再沿轴拔高顶点 2.后侧遮挡棱统一绘制虚线 【变式12-1】画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的方法建系,再分别画出底面与顶点即可. 【详解】画法：（1）画轴． 画x轴、y轴、z轴，（或），，如图（1）． （2）画底面． 以O为中心在平面内，画出边长为2的正方形水平放置的直观图． （3）画顶点，在z轴上截取，使． （4）成图，顺次连接，，，，并擦去辅助线，被遮挡住的线段，，改成虚线，得四棱锥的直观图如图（2）． 【变式12-2】若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【答案】A 【详解】圆柱中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致， 所以圆柱的高应画成平行于轴且大小为10cm. 题型13 与斜二测画法有关的计算 【例1】（25-26高一下·上海·阶段检测）如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形中________． 【答案】 【详解】因为正方形的边长为1，所以，则原图形中. 【例2】（25-26高一下·上海徐汇·期末）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ， ，则原四边形中最长边的长度为________． 【答案】3 【分析】根据斜二测画法还原规则，将直观图中相关线段长度按“平行于轴长度不变，平行于轴长度加倍”还原，再通过勾股定理计算出原四边形各边长度，即可求得最长边. 【详解】将直观图还原为原图，如图： 在直观图中，，则，故在原图中，，， 所以，而，故原四边形中最长边的长度为3. 【技巧归纳】 公式结论 技巧方法 1.直观图转原图：方向线段长度，x、z长度不变 2.逆向还原先将夹角恢复为直角，再计算长度、面积 【变式10-1】（25-26高一下·上海·阶段检测）如图所示，一个水平放置 的斜二测画法画出的直观图是 ，其中 ，， 为平行四边形，则原 的面积是 ______. 【答案】 【详解】因为为平行四边形， 所以， 求得的高为. 所以直观图. 那么原图. 【变式10-2】（25-26高一下·上海·期末）（多选）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（ ） A．是钝角三角形 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 【答案】BC 【详解】作出如图所示，由图可得是等腰直角三角形，故A错误； ，，故的周长为，故B正确； 的面积为，故C正确； 的面积为，故D错误． 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·期末）如图，在长方体中，、分别为矩形、矩形对角线的交点，则平面与平面的交线为（   ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】可根据两个平面交线的定义，找出同时属于两个平面的直线即可得出结果. 【详解】点是长方体的顶点，显然平面 且平面， 所以平面平面； 是矩形的对角线交点，则平面，平面， 所以平面平面， 所以平面平面. 故选：C 2．（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【答案】B 【分析】根据平面基本事实可得正确的选项. 【详解】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了， 故选：B. 3．（25-26高二·上海·暑假作业）下列命题正确的是（　　） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面 【答案】C 【分析】利用确定平面的条件逐项判断即可. 【详解】对于选项A，当三点共线时，不能确定一个平面，故A错误； 对于选项B，当该点在直线上时，不能确定一个平面，故B错误； 对于选项C，由于梯形有一组对边平行，所以确定的平面有且只有一个，故另两条边也在该平面上，故C正确； 对于选项D，当圆心和圆上的两点在同一条线上时，不能确定一个平面，故D错误． 故选：C． 4．（24-25高二·上海·课堂例题）在长方体中，设与的交点为O，则O可以是（    ） A．平面与平面的公共点； B．平面与平面的公共点； C．平面与平面的公共点； D．平面与平面的公共点． 【答案】C 【分析】先求出面面的交线，再判断点O是否在交线上即可． 【详解】A．平面平面，，故错误，不符合题意；    B．平面平面，，故错误，不符合题意； C．平面平面，，故正确，符合题意； D．平面平面，，故错误，不符合题意； 故选：C． 5．（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解. 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 6．（24-25高一下·上海·期中）已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质和推论即可判断. 【详解】由公理有不共线的三点可以确定一个平面，但是共线的三点不能确定唯一的平面，故①错误； 一条直线和直线外一点可以确定唯一一个平面，但是一条直线和直线上的点不能确定唯一的平面，故②错误； 两条异面直线不能确定一个平面，故③错误. 故选：D. 7．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）下列条件中，能够确定一个平面的是（    ）． A．两个点； B．三个点； C．两条相交直线 D．一条直线和一个点 【答案】C 【分析】两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；两条相交直线能确定一个平面，可判断C；若点在直线上，则不能确定一个平面，可判断D. 【详解】对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面，A错误； 对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，B错误； 对于C，两条相交直线能确定一个平面，故C正确； 对于D，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故D错误. 故选：C. 8．（24-25高二上·上海·期中）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（   ）. A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 【答案】B 【分析】延长、交于点，则、的延长线也过点，则直线即为所求作的直线，由此可得出结论. 【详解】在四棱台中，侧棱、、、的延长线交于一点，令此点为，    由，平面，得平面，同理平面， 而平面，平面，则平面平面， 即直线为所求作的直线，所以直线与直线相交， 故选：B. 二、填空题 9．（24-25高二上·上海静安·阶段检测）若三个平面α，β，γ两两相交，则这三个平面的交线有______条. 【答案】一或三 【分析】首先，对平面内的三个平面的放置情形进行分类，然后，确定它们的交线的条数. 【详解】如下图所示： 三个平面α，β，γ两两相交，则这三个平面的交线有一或三条， 故答案为：一或三 10．（25-26高二上·上海长宁·期末）用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面． 【答案】 【分析】根据线面的位置关系解答即可. 【详解】因为直线在平面内， 所以直线平面. 故答案为：. 11．（25-26高二上·上海长宁·期末）命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】利用举反例的方法判断命题的真假． 【详解】假设空间中的三条直线、、为墙角的三条直线，它们两两相交于同一点， 但直线、、不在同一平面上，故命题为假命题． 故答案为：假． 12．（25-26高二下·上海浦东新·期中）公理2的推论1可用符号语言表述为：若__________，则存在唯一的平面，使得. 【答案】 【详解】公理2的推论1为：直线与直线外一点，确定一个平面， 所以应填：. 13．（22-23高二上·上海长宁·阶段检测）用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则____________． 【答案】1 【分析】根据斜二测画法原则可还原,利用面积公式计算即可求解. 【详解】由直观图可还原，如图： 其中，又， 因此， 所以. 故答案为： 14．（24-25高二·上海·课堂例题）空间任意五点最多可确定________个平面． 【答案】 【分析】要使平面最多，则任意三点不能共线，再根据任意三个不共线的点确定一个平面即可得解. 【详解】要使平面最多，则任意三点不能共线，设这五个点分别为， 任取三个点有共种， 又任意三个不共线的点确定一个平面， 所以空间任意五点最多可确定个平面. 故答案为：. 15．（23-24高二上·上海·阶段检测）下列命题中：①空间中三个点可以确定一个平面；②直线和直线外的一点，可以确定一个平面；③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面；④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面；⑤如果两个平面有无数个公点，那么这两个平面重合．真命题的个数为______个． 【答案】1 【分析】根据空间位置关系可直接判断各命题. 【详解】命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误； 命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确； 命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题③错误； 命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题④错误； 命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题⑤错误； 故答案为：1 16．（25-26高二上·上海浦东新·期中）一部共享单车能依靠其脚撑停稳在平整的停车区内，其涉及的几何公理是：_______. 【答案】不在同一直线上的三点确定一个平面. 【分析】根据共面的几何公理解题. 【详解】一部共享单车能依靠其脚撑停稳在平整的停车区内，其涉及的几何公理是：不在同一直线上的三点确定一个平面. 故答案为：不在同一直线上的三点确定一个平面. 17．（25-26高三上·上海·阶段检测）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为____． 【答案】6 【分析】根据斜二测画法的规则，将直观图还原为原图，进而求出原四边形各边的长度，从而找出最长的长度． 【详解】矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，， 将直观图还原为原图，如图， 在直观图中，，则， 所以在原图中，可得，， 所以 因为， 所以原四边形中最长边的长度为6． 18．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，正方体中，分别为的中点，则    ①四点共面 ② ③三线不共点 ④ 以上四个结论中，正确结论的序号是______. 【答案】①② 【分析】由题意可得，，从而得，即可判断①，②；由与的数量关系可得，四边形为梯形，为腰，设，由点线面的位置关系及公理2，可得，从而判断③；求得，，即可判断④. 【详解】解：由题意可得，， ，， 所以且， 所以四点共面，故①，②正确； 所以四边形为梯形，为两底， 因为四边形为梯形，为腰， 所以设， 所以平面，平面， 又因为平面平面， 所以， 所以三线共点，故③错误； 易知三角形为等腰直角三角形， 所以； 设正方体的棱长为1， 在中，, 所以 又因为， 所以， 所以，故④错误. 故答案为：①② 19．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是______．    【答案】相交 【分析】连接，利于中位线性质可证得得共面，再利用反证法假设，可证得矛盾，从而可得与相交. 【详解】如图，    连接，P是的中点，Q是的中点，所以是的中位线， 故，而在正方体中中，， 所以四边形是平行四边形， 故，所以，得共面， 故与共面， 假设,由，可得四边形是平行四边形， 则，即，这与是的中位线矛盾， 故与相交. 故答案为：相交. 20．（23-24高二下·上海杨浦·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 _____（写出所有正确命题的编号）    ①当时，为等腰梯形. ②当时，与的交点满足. ③当时，为四边形. ④当时，的面积为. 【答案】①②④ 【分析】根据题意作出图形，由相关知识对选项一一判断即可得出答案. 【详解】①如图当时，即为中点，此时可得， ， 故可得截面为等腰梯形，故①正确；    ②当时，如图， 延长至，使，连接交于，连接交于， 连接，可证，由， 可得，故可得，故②正确；    ③由②可知当时，只需点上移即可， 此时的截面形状仍然上图所示的，显然为五边形，故③错误； ④当时，与重合，取的中点，连接， 可证，且， 可知截面为为菱形，故其面积为，故④正确．    故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． 确定截面的依据如下：（1）平面的四个公理及推论；（2）直线和平面平行的判定和性质；（3）两个平面平行的性质；（4）球的截面的性质． 三、解答题 21．（24-25高二·上海·暑假作业）将下列文字语言转化为符号语言： (1)点在平面内，但不在平面内； (2)直线经过平面外一点； (3)直线在平面内，又在平面内.（即平面和相交于直线） 【答案】(1)且 (2)且 (3) 【分析】（1）（2）（3）根据点与平面、直线的关系为，直线与平面的关系为，由此可得. 【详解】（1）由题意得且； （2）由题意得且； （3）由题意得. 22．（24-25高二·上海·课堂例题）已知正三角形边长为2cm，请选择不同的坐标系作出直观图．（保留作图痕迹） 【答案】作图见详解 【分析】利用斜二测画法作出直观图即可. 【详解】在正中，取所在直线为轴，以为原点，以过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 如图，过点作轴，垂足为. 画出相应的轴与轴，两轴相交于点，使， 在轴上取，在轴上取， 过点作轴的平行线，在平行线上作， 连接. 擦去辅助线，轴与轴，直线，即得正的直观图. 在正中，取所在直线为轴，以中点O为原点，以过点O且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 画出相应的轴与轴，两轴相交于点，使， 在轴上取，在轴上取， 连接. 擦去轴与轴，即得正的直观图. 在正中，取所在直线为轴，以中点为原点，以过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 画出相应的轴与轴，两轴相交于点，使， 在轴上取， 连接, 擦去轴与轴，即得正的直观图. 23．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中， (1)设AC与BD的交点为O，O必为平面______与平面______的公共点（答案不唯一）； (2)画出平面与平面的交线． 【答案】(1)O必为平面与平面的公共点，（答案不唯一） (2)答案见解析 【分析】（1）直接利用平面的性质和平面的图形求出两平面的交点． （2）直接利用平面所在的位置求出结果． 【详解】（1）在长方体中， 如图所示： 设与的交点为，因为平面，平面， 所以平面，平面， 故必为平面与平面的公共点，（答案不唯一） （2）因为平面，平面， 所以平面与平面的交线为. 如图：作出平面与平面的交线为． 24．（25-26高二上·上海·阶段检测）在正方体中，、分别为与的中点 (1)作出平面与平面的交线，并写出作图步骤； (2)求证：四点共面 【答案】(1)作图及步骤见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）连接交于，结合平面的基本性质确定交线即可； （2）连接，首先证得 ，再由中位线性质有 ，最后由平行线的传递性即可证. 【详解】（1）连接交于，则为所求交线； （2）连接， 因为 ，知为平行四边形，则 ， 因为分别为与的中点，由中位线知 ，所以 ， 所以四点共面. 25．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)作图见解析，理由见解析， (2)证明见解析. 【分析】（1）根据平面确定定理证明即可. （2）根据等腰梯形的证明方法证明即可. 【详解】（1） 连接，并延长直线，交射线于， 因为， 所以确定一个平面， 平面和平面的交线为. （2）连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以四边形是等腰梯形. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平面及其基本性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 平面的概念及其表示 题型8 线共点问题 题型2 空间位置关系的画法 题型9 由平面基本性质作截面图形 题型3 平面分空间的区域 题型10 截面的周长面积计算 题型4 平面的基本性质及辨析 题型11 斜二测画法概念辨析 题型5 点（线）确定平面的数量问题 题型12 斜二测画法作立体图形直观图 题型6 点（线）共面问题 题型13 与斜二测画法有关的计算 题型7 点共线问题 ..... 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.平面的概念及其表示 1.理解平面无厚度、无限延展的抽象定义 2.掌握平面两类标准表示方式 3.分清点、直线、平面对应的几何符号语言 2.空间位置关系的画法 1.熟记空间图形实线虚线使用准则被遮挡线段画虚线 2.规范绘制点线面相交、平行的空间示意图 3.借助绘图区分平面内外空间层次 3.平面分空间的区域数量 1.掌握1~3个平面分割空间的区域数量规律 2.区分平面平行、相交两种不同分割场景 3.简单推导多平面组合分割空间结果 4.平面的基本性质及辨析 1.熟记三大公理文字表述与对应符号语言 2.准确辨析公理适用条件辨别真假命题 3.依托公理判断空间点线面基础位置关系 5.点（线）确定的平面数量问题 1.熟记不同条件下确定平面的个数 2.对比共线/不共线、相交/平行线定平面的区别 3.快速计算多点、多直线所能确定平面总数 6.空间中的点（线）共面问题 1.掌握多点、多直线共面的标准证明步骤 2.利用公理构造辅助平面完成共面推导 3.区分共面直线与异面直线判定条件 7.空间中的点共线问题 1.掌握点共线核心思路：证明点同时属于两个相交平面 2.借助交线唯一性完成点共线逻辑推导 3.规范书写空间三点共线证明过程 8.空间中的线共点问题 1.掌握证明三线共点通用步骤：先证两线相交再证交点在第三条直线 2.结合平面公理完善三线共点完整证明 3.梳理线共点题型固定答题模板 9.由平面的基本性质作截面图形 1.利用平面公理延长线段寻找截面顶点 2.掌握棱柱、棱锥截面完整作图流程 3.画出几何体被平面截取的封闭截面图形 10.平面的基本性质的有关计算 1.结合平面公理求解空间计数类题目 2.依托截面图形完成线段、周长相关计算 3.理清多情况分类讨论的解题逻辑 11.空间图形的平面直观图的画法 1.熟记斜二测画法四条核心变换规则 2.辨析原图与直观图在线段、角度、面积上的差异 3.区分斜二测绘图带来的几何量变化 12.斜二测法画平面图形的直观图 1.掌握平面多边形直观图完整绘图步骤 2.规范建立斜二测坐标轴精准定位各顶点 3.独立绘制三角形、四边形等平面图形直观图 13.斜二测法画立体图形的直观图 1.掌握立体几何体直观图画法轴线段长度保持原值 2.先绘制底面直观图再沿轴拔高顶点构建立体 3.用虚实线区分立体图形遮挡关系 14.由直观图还原几何图形 1.掌握直观图逆向还原原图的坐标变换规则 2.根据直观图顶点坐标反推原图真实坐标 3.完整还原平面、立体原始几何图形 15.斜二测画法中有关量的计算 1.熟记原图与直观图固定面积倍数关系 2.根据直观图线段长求解原图真实长度 3.利用面积比例快速计算两类图形面积 学习重点： 1.平面三大公理文字、符号语言及各类证明应用（共面、共线、共点、截面作图） 2.空间点线面位置规范绘图虚实线使用准则 3.点线确定平面数量、平面分割空间区域计数方法 4.三线共点、三点共线、多点共面标准证明模板 5.斜二测画法完整规则规范公式 6.截面图形找点连线的通用作图方法 学习难点： 1.平面无限延展的抽象概念理解公理逆命题真假辨析 2.复杂立体图形中隐藏交线延伸找点绘制截面 3.多点混杂共线时平面计数分类讨论易漏解 4.空间共面、共线、共点证明逻辑梳理与规范书写 5.斜二测直观图逆向还原原图立体图形面积综合计算 6.多层立体平面遮挡透视绘图判断 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 平面 1．平面 （1）平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是向四周_无限延展______的. （2）平面的画法 画法 我们常用矩形的直观图，即_平行四边形______表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成_横向______ 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成__竖向_____ 在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成_虚线或不画______ 图示          【易错提醒】 1.忽略平面无限延展，把示意图当成平面边界 2.绘图不分虚实线，遮挡线段未画虚线 3.计数混淆：两平行平面分3区域两相交平面分4区域 即时即练 1.（25-26高二下·上海·阶段检测）以下四个命题正确的是______． ①三个平面最多可以把空间分成八部分 ②已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 ③若，直线平面，直线平面，且，则 ④若n条直线中任意两条共面，则它们共面 2.（25-26高二上·上海·阶段检测）＂三个平面交于一点＂是＂三个平面两两相交＂的（     ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 知识点02 平面的基本性质 2．平面的基本性质 （1）基本事实1 ①文字语言：过不在一条直线上______的三个点，有且只有一个平面． ②符号语言：三点不共线⇒存在唯一的使______． ③图形语言： （2）基本事实2 ①文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． ②符号语言：______，______，且，______． ③图形语言： （3）基本事实3 ①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_公共直线 _____． ②符号语言：______，且，且______． ③图形语言： （4）三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论1亦可说成：直线及其外一点_确定_____一个平面． 推论2：经过两条__相交____直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条_平行_____直线，有且只有一个平面． 【易错提醒】 1.公理2漏“不共线”三点，三点共线无法确定平面 2.两平面相交仅有一条公共交线，不存在多条交线 3.共线多点、异面直线不能确定多个平面 4.证三点共线不利用两面交线思路 5.证三线共点不验证交点落在第三条直线 6.作截面不延展平面，找不到隐藏交点 即时即练 1.（24-25高二上·上海静安·期中）平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是______ ． 2.（25-26高二上·上海嘉定·期中）生活中有这样的经验：三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机.两个轮子的自行车在停止运动后要加上一个支撑脚才能稳定；一扇门尽管有两个合页固定在门框上，但仍可以转动，只有锁上才可以固定下来，这些例子都说明了___________道理. 知识点03 直观图 （1）画法：常用__斜二测画法_______. （2）具体步骤： ①在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴；再取轴，使，且. ②画直观图时，把画成对应的，使_________(或135°)，_________.所确定的平面表示水平平面. ③已知图形中平行于轴、轴或轴的线段，在直观图中分别画成_平行________于轴、轴或轴的线段. ④已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持原长度__不变_______；平行于轴的线段长度为原来的__一半_______. ⑤擦去辅助线，并将被遮挡的线画成虚线. （3）水平放置平面多边形直观图与原平面图形面积间的关系：， 【易错提醒】 1.斜二测y轴长度未减半，夹角画成90° 2.立体z轴高度随意缩放，平行线段不保持平行 3.还原原图y轴不翻倍，角度不还原直角 4.面积公式记反 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期末）如图是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·上海·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（     ）. A．5 B． C． D．10 题型1 平面的概念及其表示 【例1】（25-26高一下·上海徐汇·期末）用集合符号表述语句“平面经过直线”：________． 【例2】（25-26高二上·上海·期末）用集合符号表示：直线在平面上________． 【技巧归纳】 公式结论 1.点与平面： 2.直线与平面： 技巧方法 1.平面无限延展，平行四边形仅为示意图形 2.两种表示：希腊字母；四边形对角字母平面 【变式1-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）用符号表示“直线在平面内”_____. 【变式1-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 题型2 空间位置关系的画法 【例1】（23-24高二·上海·课堂例题）画三个平面，使其中的两个平面互相平行，而第三个平面与这两个平面都相交． 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）用硬纸板作为平面的模型，摆出三个平面两两相交各种不同的情况． 【技巧归纳】 1.可见棱实线，被遮挡棱虚线 2.先水平面后竖直面，保证透视层次感 【变式2-1】请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形． 【变式2-2】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 题型3 平面分空间的区域 【例1】（25-26高二上·上海·阶段检测）三个互相平行的平面把空间分成部分，其中，则的最大值为___________． 【例2】（25-26高二上·上海·期中）三个互不相交的平面把空间分成部分，其中，则的最小值为___________． 【技巧归纳】 公式结论 1. 1个平面：分割空间=2个区域 2. 2平行平面：分割空间=3个区域 3. 2相交平面：分割空间=4个区域 技巧方法 1.多平面按全平行、部分相交、全相交分类讨论 2.画图辅助计数，避免漏情况 【变式3-1】（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成______部分． 【变式3-2】（23-24高二·上海·课堂例题）1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 题型4 平面的基本性质及辨析 【例1】（25-26高一下·上海·阶段检测）“平面上有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面上”用符号语言表述是（    ） A．若，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 【例2】（25-26高一下·上海·阶段检测）下列命题中为真命题的是__________.（请写出全部真命题的序号） ①若空间四点共面，则其中必有三点共线； ②若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④若空间四点不共面，则其中任意三点不共线. 【技巧归纳】 公式结论 1.公理1： 2.公理2：不共线三点确定唯一平面；共线三点无法确定平面 3.公理3：过唯一直线 技巧方法 1.命题真假辨析举反例快速排除错误说法 2.公理逆命题大多不成立，不可直接套用 【变式4-1】（25-26高二上·上海·期中）“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式4-2】（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（    ） A．这两条直线可能既共面，又共点 B．这两条直线可能既不共面，又不共点 C．这两条直线可能共面但不共点 D．这两条直线可能共点但不共面 题型5 点（线）确定平面的数量问题 【例1】（25-26高二上·上海·阶段检测）三条直线两两相交可以确定________个平面． 【例2】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）在空间中，三条直线最多可确定________个平面. 【技巧归纳】 公式结论 1.不共线3点/两相交直线/两平行直线：确定1个平面 2.共线多点：仅确定1个平面 3.异面直线：无法确定平面 技巧方法 1.先筛选共线点、平行线，分情况累加平面个数 2.出现异面直线直接判定不能共面 【变式5-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】（25-26高二·上海·暑假作业）下列命题错误的是（　　） A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 题型6 点（线）共面问题 【例1】（25-26高二上·上海·开学考试）在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且．    (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 【例2】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知，，，是空间四点，且点，，在同一直线上，点不在直线上.求证:直线在同一平面上.    【技巧归纳】 公式结论 1.直线+线外一点共面；相交/平行直线共面；异面直线不共面 技巧方法 1.定点法：取不共线三点定平面，证剩余元素在平面内 2.多直线分组证明共面，再合并为同一平面 【变式6-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 题型7 点共线问题 【例1】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是______．    【例2】如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【技巧归纳】 公式结论 若点同时属于两个相交平面，则点在两平面交线上（三点共线） 技巧方法 1.两步流程：找两个相交平面→证明多点均为两面公共点 【变式7-1】如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论： ①A、M、O三点共线；         ②A、M、O、不共面： ③A、M、C、O共面；         ④B、、O、M共面， 其中正确的序号为_________． 【变式7-2】如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点．求证： (1)，O，M三点共线； (2)E，C，，F四点共面． 题型8 线共点问题 【例1】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．    【技巧归纳】 公式结论 两平面交线的所有公共点同时属于两个平面 技巧方法 1.固定两步法：①证两直线相交得交点②证交点在第三条直线上 【变式8-1】在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 【变式8-2】（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 题型9 由平面基本性质作截面图形 【例1】（25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【例2】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【技巧归纳】 公式结论 两点确定一条直线，两平面相交有唯一交线 技巧方法 1.作图步骤：延长棱找交点→顺次连线→封闭多边形 2.内部遮挡线段画虚线 【变式9-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【变式9-2】如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 题型10 截面的周长面积计算 【例1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，（，）.记，当取最小时，过点，，作三棱柱的截面，则截面面积为______. 【例2】（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【技巧归纳】 公式结论 三角形平行四边形梯形 技巧方法 1.先判定截面图形类型，对应套用面积公式 2.分割不规则截面为多个规则图形分步计算 【变式10-1】如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为____________． 【变式10-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 题型11 斜二测画法概念辨析 【例1】关于水平放置的平面图形用斜二测画法绘制其直观图，下列说法正确的是（   ） A．平行于轴的线段，在直观图中长度变为原来的倍 B．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 C．平行四边形的直观图仍是平行四边形 D．相等的角在直观图中仍然相等 【例2】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论错误的是（   ） A．平行四边形在直观图中仍是平行四边形 B．三角形在直观图中仍是三角形 C．菱形的直观图是菱形 D．梯形的直观图是梯形 【技巧归纳】 公式结论 1.轴：长度不变，平行不变 2.轴：长度减半，坐标轴夹角 3.轴：长度不变，平行不变 技巧方法 1.原图直角，直观图变为 2.平行关系全程保持不变 【变式11-1】如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图对应的点为，则下列说法中错误的是（ ） A． B．轴 C． D． 【变式11-2】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（   ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．垂直的线段在直观图中仍然垂直 D．相等的角在直观图中仍然相等 题型12 斜二测画法作立体图形直观图 【例1】用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【例2】用斜二测画法画出正六棱锥的直观图． 【技巧归纳】 公式结论 底面遵循斜二测平面规则，轴竖直高度与原图相等 技巧方法 1.先画底面直观图，再沿轴拔高顶点 2.后侧遮挡棱统一绘制虚线 【变式12-1】画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图． 【变式12-2】若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 题型13 与斜二测画法有关的计算 【例1】（25-26高一下·上海·阶段检测）如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形中________． 【例2】（25-26高一下·上海徐汇·期末）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ， ，则原四边形中最长边的长度为________． 【技巧归纳】 公式结论 技巧方法 1.直观图转原图：方向线段长度，x、z长度不变 2.逆向还原先将夹角恢复为直角，再计算长度、面积 【变式10-1】（25-26高一下·上海·阶段检测）如图所示，一个水平放置 的斜二测画法画出的直观图是 ，其中 ，， 为平行四边形，则原 的面积是 ______. 【变式10-2】（25-26高一下·上海·期末）（多选）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（ ） A．是钝角三角形 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·期末）如图，在长方体中，、分别为矩形、矩形对角线的交点，则平面与平面的交线为（   ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 3．（25-26高二·上海·暑假作业）下列命题正确的是（　　） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面 4．（24-25高二·上海·课堂例题）在长方体中，设与的交点为O，则O可以是（    ） A．平面与平面的公共点； B．平面与平面的公共点； C．平面与平面的公共点； D．平面与平面的公共点． 5．（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25高一下·上海·期中）已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 7．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）下列条件中，能够确定一个平面的是（    ）． A．两个点； B．三个点； C．两条相交直线 D．一条直线和一个点 8．（24-25高二上·上海·期中）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（   ）. A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 二、填空题 9．（24-25高二上·上海静安·阶段检测）若三个平面α，β，γ两两相交，则这三个平面的交线有______条. 10．（25-26高二上·上海长宁·期末）用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面． 11．（25-26高二上·上海长宁·期末）命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）． 12．（25-26高二下·上海浦东新·期中）公理2的推论1可用符号语言表述为：若__________，则存在唯一的平面，使得. 13．（22-23高二上·上海长宁·阶段检测）用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则____________． 14．（24-25高二·上海·课堂例题）空间任意五点最多可确定________个平面． 15．（23-24高二上·上海·阶段检测）下列命题中：①空间中三个点可以确定一个平面；②直线和直线外的一点，可以确定一个平面；③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面；④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面；⑤如果两个平面有无数个公点，那么这两个平面重合．真命题的个数为______个． 16．（25-26高二上·上海浦东新·期中）一部共享单车能依靠其脚撑停稳在平整的停车区内，其涉及的几何公理是：_______. 17．（25-26高三上·上海·阶段检测）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为____． 18．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，正方体中，分别为的中点，则    ①四点共面 ② ③三线不共点 ④ 以上四个结论中，正确结论的序号是______. 19．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是______．    20．（23-24高二下·上海杨浦·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 _____（写出所有正确命题的编号）    ①当时，为等腰梯形. ②当时，与的交点满足. ③当时，为四边形. ④当时，的面积为. 三、解答题 21．（24-25高二·上海·暑假作业）将下列文字语言转化为符号语言： (1)点在平面内，但不在平面内； (2)直线经过平面外一点； (3)直线在平面内，又在平面内.（即平面和相交于直线） 22．（24-25高二·上海·课堂例题）已知正三角形边长为2cm，请选择不同的坐标系作出直观图．（保留作图痕迹） 23．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中， (1)设AC与BD的交点为O，O必为平面______与平面______的公共点（答案不唯一）； (2)画出平面与平面的交线． 24．（25-26高二上·上海·阶段检测）在正方体中，、分别为与的中点 (1)作出平面与平面的交线，并写出作图步骤； (2)求证：四点共面 25．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $