专题3.2 （2）一元一次方程的解法—移项、去括号（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦一元一次方程的移项与去括号解法，先梳理解方程化为“ax=b”的核心思路，再分述移项（含目的、依据、变号规则）和去括号（含法则、负号处理）的原理，通过题型分层构建从原理到应用的学习支架。 该资料以“即学即练+变式训练”强化运算能力与推理意识，应用题型（如行程、利润问题）培养模型意识，细节强调（移项变号等）提升抽象能力。课中助力分层教学，课后通过练习题帮助学生查漏补缺，巩固知识。

专题3.2 （2）一元一次方程的解法 ——移项、去括号 教学目标 1理解掌握移项法则；； 2.理解掌握去括号法则；； 3.掌握解一元一次方程的一般步骤； 教学重难点 1.重点 移项与去括号法则的理解； 2.难点 移项要变号；括号前面是负号的去括号括号内各项都有变号。 知识点01 移项 1. 一元一次方程的数学思想 将方程化为“ax=b(a≠0)”的最简形式，进而得到方程解的形式“x=m”. 3.解方程的基本步骤 （1）移项 把方程等于号一边的某项变号后移到另一边的过程叫作移项. ①移项的目的——使含有未知数的项与常数项分列于方程的两边； ②移项的依据——等式的性质； ③移项的注意点——移项要变号. （2）合并同类项 将一元一次方程中含有未知数的项与常数项分别合并. ①合并同类项的目的——使方程转化为ax=b(a≠0)的形式; ②合并同类项的依据——合并同类项法则（乘法分配律） （3）系数化为1 方程两边同时除以未知数的系数，或乘以系数的倒数. ①系数化为1的目的——使方程ax=b(a≠0)变形为方程的解x=(a≠0)的形式， ②变形的依据——等式性质2； 【即学即练】 1. 下列方程中与解相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．先求出的解为，然后再分别求出每个选项中方程的解，即可求解． 【详解】解：， 移项合并同类项得：， 解得：， A、，解得：，与的解不相同，故本选项不符合题意； B、，不存在，与的解不相同，故本选项不符合题意； C、，解得：，与的解不相同，故本选项不符合题意； D、，解得：，与的解相同，故本选项符合题意； 故选：D． 知识点02 去括号 1. 去括号的目的——去掉括号，便于合并同类项 2. 去括号的依据——去括号法则 3. 注意事项——括号前是负号时，括号内各项都要变号.如2x-(4+x)=2x-4-x 【即学即练】 1.解方程： 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；先去括号，然后再移项合并同类项进行求解方程即可． 【详解】解：去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得： ． 题型01 单向移项 【典例1】解方程：； 【分析】理解移项法则，熟练掌握解一元一次方程的步骤与方法是解题关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【变式1】下列方程的变形中，属于移项的是（    ） A．由1，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】根据移项的定义，即把方程中某一项改变符号后从等号一侧移到另一侧的变形叫做移项，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵选项A中，由得，是等式两边同乘3，将系数化为1，不属于移项，∴A不符合题意； ∵选项B中，由得，是等式两边同除以3化简方程，不属于移项，∴B不符合题意； ∵选项C中，由得，是等式两边同除以5，将系数化为1，不属于移项，∴C不符合题意； ∵选项D中，由 得 ，将原方程右侧的改变符号后移到左侧，符合移项的定义，∴D符合题意． 【变式2】解方程： (1)； (2) 【分析】理解移项法则，熟练掌握解一元一次方程的步骤与方法是解题关键． 【详解】（1）解： 移项，得x=-2-3， 合并同类项，得； （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式3】解下列方程： (1)； (2)； (3)； 【分析】理解移项法则，熟练掌握解一元一次方程的步骤与方法是解题关键． 【详解】（1）解：， 移项得，， 系数化为1，得，； （2）解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1，得，； （3）解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1，得，； 【变式4】解下列一元一次方程： (1)； (2)； (3)． 【分析】理解移项法则，熟练掌握解一元一次方程的步骤与方法是解题关键． 【详解】 （1）解：， 移项得，， 合并同类项得，； （2）解：， 移项得，， 合并同类项得，； （3）解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1，得，． 题型02 双向移项 【典例1】解方程： (1)； (2)； 【分析】理解移项法则，熟练掌握解一元一次方程的步骤与方法是解题关键． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为“1”，得； （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为“1”，得； 【变式1】解方程： (1)． (2)． 【分析】理解移项法则，熟练掌握解一元一次方程的步骤与方法是解题关键． 【详解】 （1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为“1”，得； （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为“1”，得； 【变式2】解方程： (1)； (2)； (3)． 【分析】理解移项法则，熟练掌握解一元一次方程的步骤与方法是解题关键． 【详解】 （1）解：， 移项得，， 合并同类项得，； （2）解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为“1”，得； （3）解：， 移项得，， 合并同类项得，． 【变式3】解下列方程： (1)； (2)； 【分析】理解移项法则，熟练掌握解一元一次方程的步骤与方法是解题关键． 【详解】（1）解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： （2）解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 【变式4】解下列方程： (1)； (2)． 【分析】理解移项法则，熟练掌握解一元一次方程的步骤与方法是解题关键． 【详解】 （1）解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： （2）解： 去分母得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 题型03 化系数为1的技巧 【典例1】解方程： (1) (2) 【详解】(1)两边同时除以x的系数-2，得： (2)两边同时乘以，得： 解之得： 【变式1】解方程： (1) (2)， 【详解】(1)， 两边同时乘以，得； 解之得： (2)， 两边同时乘以，得； 【变式2】解下列方程，并指出每一步的依据． (1) (2) 【详解】（1）解： 移项，得 两边同时乘以得； （2）解： 两边同时除以，得 解得． 题型04 去括号 【典例1】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法．熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键． 先去括号，再移项合并同类项，系数化成1，即可． 【详解】（1）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （3）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （4）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 【变式1】对于方程，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程（二）-去括号，根据去括号法则进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴去括号得， 故选：D． 【变式2】将方程去括号，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．方程去括号得到结果，即可作出判断. 【详解】解：方程去括号，得： 故选： ． 【变式3】解方程： (1)； (2)． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． 根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】(1)解：去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1,得：． (2)解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1,得：． 【变式4】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解即可. 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （4）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （5）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （6）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得. 题型05 解方程的简单应用 【典例1】若方程的解与关于x的方程的解互为相反数，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及方程的解的定义．先解方程得，根据题意得到关于x的方程的解为，再根据方程解的定义代入即可求得． 【详解】解：解方程得， 因为方程的解与关于x的方程的解互为相反数， 所以关于x的方程的解为， 所以， 解得． 【典例2】两地相距46千米，甲骑自行车从地前往地，速度为每小时15千米，1小时后，乙骑摩托车也沿相同的路线从地前往地，速度为每小时40千米． (1)乙出发多长时间后能追上甲？ (2)若乙到达地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距地多少千米？ 【答案】(1)小时 (2)千米 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设乙出发小时后能追上甲，则甲出发了小时，根据等量关系列方程求解即可得到答案； （2）设乙返回途中与甲相遇时骑了小时，根据等量关系列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙出发小时后能追上甲，则甲出发了小时， 由题意得，解得， 答：乙出发小时后能追上甲； （2）解：设乙返回途中与甲相遇时骑了小时， 由题意得，解得， ， 答：若乙到达地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距地36千米． 【变式1】请列方程并求出x的值： (1)代数式和的值相等． (2)代数式比的值小3． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了列方程，解一元一次方程，解题的关键是正确列出方程． （1）根据题意即可列方程，然后去括号，移项，合并同类项，系数化1求解； （2）根据题意即可列方程，然后去括号，移项，合并同类项，系数化1求解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得 （2）解：由题意得， 解得． 【变式2】王伟在解方程去括号时，等号右边括号里的没有变号，因而求得方程的解是，请你正确解出原方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．先按小明的解法等号右边括号里的没有变号，再代入即可求出的值，再按正确的解法求解即可． 【详解】解：根据题意把代入， 得， 解得， 故原方程为， 解得． 故答案为： 【变式3】一艘轮船从甲码头顺流航行到达乙码头，又从乙码头逆流航行返回甲码头，已知这艘轮船在静水中的速度是，求水流的速度及甲乙两地的距离？ 【答案】水流的速度为，甲乙两地的距离为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意、找准等量关系列方程是解题关键． 设水流的速度为，根据甲码头到乙码头的路程是一定的等量关系，列方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设水流的速度为，则顺流航行的速度为，逆流航行的速度为， 根据题意，得：， 解得：， 则甲乙两地的距离为， 答：水流的速度为，甲乙两地的距离为． 【变式4】用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板，现准备A，B型钢板共100块，并全部加工成C，D型钢板． (1)若B型钢板的数量是A型钢板的数量的两倍还多40块，求A，B型钢板各有多少块？ (2)若C，D型钢板的利润分别为100元块，120元块，且全部售出． ①当A型钢板数量是30块，那么可制成C型钢板 块，D型钢板 块； ②当C，D型钢板全部售出所得的利润为42080元，求A型钢板有多少块？ 【答案】(1)A型钢板有20块，B型钢板有80块 (2)①130，240 ②28 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设A型钢板有x块，则B型钢板有块，根据“A，B型钢板共100块”列方程求解即可； （2）①根据题意列式计算即可；②设A型钢板为y块，则B型钢板为块，可制成C型钢板块，制成D型钢板块，结合总利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：设A型钢板有x块，则B型钢板有块， 由题意得：， 解得：， 则（块）， 答：A型钢板有20块，B型钢板有80块； （2）解：①当A型钢板是30块时，B型钢板为70块， 依题意得：（块），（块）， 故答案为：130，240； ②设A型钢板为y块，则B型钢板为块， 可制成C型钢板块，制成D型钢板块， 依题意得：， 解得：， 答：A型钢板有28块． 题型05 方程有整数解 【典例1】已知关于的方程有整数解，那么满足条件的整数有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，把当做已知量表示出方程的解，再根据方程的解为整数的条件即可得出值，根据解得的条件确定的可能取值解题的关键． 【详解】解：由得， ， ∴， ∵关于的方程有整数解， ∴或， 解得：或或或， ∴整数有个， 故选：． 【变式1】已知关于的方程有正整数解，则负整数的所有可能的取值的积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的整数解，熟练掌握求含参数的一元一次方程整数解的方法是解题的关键．先解方程，求出，再利用方程有正整数解，得出的范围，结合是负整数，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ∴方程有正整数解， ∴，且为偶数， ∴，且为偶数， ∵为负整数， ∴，或， 负整数的所有可能的取值的积为， 故选：D． 【变式2】已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值之和为______． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的整数解．先求出原方程的解为，根据原方程有正整数解可得，2 ，4，且，求出a的值，再求和即可． 掌握“方程有整数解，则分母必是分子的因数”是解题的关键． 【详解】 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， ∵原方程有正整数解， ，2 ，4，且， 解得，1，且， ∴数的所有可能的取值之和为． 故答案为：2 【变式3】关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【答案】(1)； (2)1或4 【分析】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． （1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，得是3的倍数，根据方程有正整数解确定m的可能值． 【详解】（1）将代入方程， 得， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵m是正整数，且是3的倍数，方程有正整数解， ∴或． 【变式4】当整数k为何值时，方程有正整数解．求出这些解． 【答案】时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时方程的正整数解为；时，方程的正整数解为． 【分析】先求出方程的解，再根据正整数的特性进行分析即可得． 【详解】， ， 因为方程有正整数解， 所以，即， 所以， 要使方程有正整数解，则为正整数即可， 因此，k的所有可能取值为， 当时，方程的正整数解为； 当时，方程的正整数解为； 当时，方程的正整数解为； 当时，方程的正整数解为； 当时方程的正整数解为； 当时，方程的正整数解为． 1．下列方程的变形中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的变形，需根据等式的性质和移项法则判断每个选项的变形是否正确 【详解】解：∵对于选项A，由，移项得，变形正确 ∵对于选项B，由，两边同乘得，变形正确 ∵对于选项C，由，两边同除以得，变形正确 ∵对于选项D，由，移项得，而选项中是，变形错误 故选：D． 2．一元一次方程移项后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，把未知数移到方程左边，把常数项移到方程右边，注意移项时要变号，据此求解即可．． 【详解】解： 移项得， 故选：D． 3．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解法，通过去括号、移项和系数化为1等步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 解得：； 故选：B． 4. 若关于x的方程有整数解，那么满足条件的所有整数k的和为（    ） A．20 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】先解方程可得，再根据关于x的方程有整数解，为整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时， ∴， ∵关于x的方程有整数解，为整数， ∴或， 解得：或或或， ∴， ∴满足条件的所有整数k的和为 故选A． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的解与方程的解法，掌握“方程的整数解的含义以及求解整数解的方法”是解本题的关键． 5．解方程时，去括号，得_____________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程-去括号，熟练掌握去括号的方法是解题关键． 括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，根据去括号法则求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 故答案为：． 6．如果与的值互为相反数，那么x的值是________． 【答案】 / 【分析】本题考查了相反数的概念，解决本题的关键是由相反数的概念列式求解． 根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，据此列出方程并求解即可． 【详解】解：由题意，得， 展开得， 合并同类项得， 解得． 故答案为：． 7．在把方程化成的形式时，小桔同学的做法如下： 去括号，得，① 移项，得，② 合并同类项，得，③ 两边都除以9，得．④ 上述变形是从第几步开始出错的？出现的错误是什么？请改正，并给出这个方程的正确变形过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 根据解一元一次方程的方法解答即可． 【详解】解：从第①步开始出错，去括号时漏乘2． 正确的变形过程如下： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以5，得． 8．当取何值时，代数式与的值互为相反数？ 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和相反数的性质，解题的关键是掌握互为相反数的两数的和为0及解一元一次方程的步骤． 先根据相反数的性质列出关于x的方程，再根据解一元一次方程的步骤依次计算可得． 【详解】解：由题意可得 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得，． ∴当时，代数式与的值互为相反数． 9．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤，确保每一步变形符合等式的基本性质． （1）先将含未知数的项移到左边、常数项移到右边，再合并同类项，最后将未知数系数化为1； （2）先移项使含未知数的项集中在左边、常数项在右边，再合并同类项，最后系数化为1； （3）先去括号消除括号结构，再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （3）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 10．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解步骤． （1）按照去括号、移项、合并同类项等步骤求解即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项等步骤求解即可； （3）按照移项、合并同类项等步骤求解即可； （4）按照去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ． （4）解：， ， ， ， ， ． 1．下列方程中移项正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，根据解一元一次方程的方法，等式的性质逐一判断即可，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：A、由，得，故选项不符合题意； B、由，得，故选项不符合题意； C、由，得，故选项不符合题意； D、由，得，正确，故选项符合题意； 故选：D． 2．若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义和一元一次方程的解法等知识，根据一元一次方程的定义求出m是解题关键． 【详解】解：因为方程是关于x的一元一次方程， 所以， 所以， 所以原方程为， 所以， 故选：A． 3．若关于的方程的解是方程的解的3倍，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程． 求方程的解，即可得关于的方程的解，代入，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：由得， 根据题意可知，是方程的解， ∴， ∴， 故选：D． 4．小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出的值是解此题的关键．小强漏抄负号后解得的可求出k的值，再代入原方程求解即可． 【详解】小强将方程抄为，解得， 则将代入错误方程得：， 解得：． 原方程为：， 移项得：， 即， 解得：． 故选：A． 5．若式子与的值互为相反数，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，解一元一次方程，根据相反数的意义，两个式子的和为零，列出方程并解一元一次方程，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意，得， 去分母，两边同乘2，得， 合并同类项，得， 移项，得， 系数化为 1，得， 故答案为：． 6．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式，解题的关键是解一元一次不等式． 先解方程求x的值，然后根据解是正数，求出m的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ， 关于x的方程的解是正数， ， 解得：． 故答案为：． 7．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果； （3）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得． 8．列方程求解： (1)当x取何值时，代数式和的值相等？ (2)当y取何值时，代数式的值比的值大3？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 9．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为．因为，即这两个方程的解之和为，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”． (2)若关于的方程与方程互为“美好方程”，求的值． (3)若方程与方程互为“美好方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)方程与方程互为“美好方程” (2) (3) 【分析】（1）求出这两个方程的解，再根据“美好方程”的定义进行判断即可； （2）求出这两个方程的解，再根据“美好方程”的定义列出关于的方程求解即可； （3）根据“美好方程”的定义求出的值，再求解关于的方程即可． 【详解】（1）解：解方程，得． 解方程，得． ∵， ∴方程与方程互为“美好方程”． （2）解：解关于的方程，得． 解方程，得． ∵关于的方程与方程互为“美好方程”， ∴， 解得． （3）解：解方程，得． 解关于的方程，得． ∵方程与关于的方程互为“美好方程”， ， 解得． 将代入， 得， 解得． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的求解方法，理解“美好方程”的定义是正确解答的关键． 10．如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，单项式乘以多项式与图形面积． （1）如图，标注图形各顶点，，，，，再利用建立方程求解即可． （2）①结合（1）可得：，进一步分析即可； ②先表示，，，，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，标注图形各顶点， 由题意可得：， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为， ∴， 解得：． （2）解：①结合（1）可得： ， ∴（1）中的值每增加的值增加． ②∵， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为： ， ∵的值不随的值的变化而变化， ∴， 解得：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 （2）一元一次方程的解法 ——移项、去括号 教学目标 1理解掌握移项法则；； 2.理解掌握去括号法则；； 3.掌握解一元一次方程的一般步骤； 教学重难点 1.重点 移项与去括号法则的理解； 2.难点 移项要变号；括号前面是负号的去括号括号内各项都有变号。 知识点01 移项 1. 解方程的思路 将方程化为“ax=b(a≠0)”的最简形式，进而得到方程解“x=m”. 3.解方程的基本步骤 （1）移项 把方程等于号一边的某项变号后移到另一边的过程叫作移项. ①移项的目的——使含有未知数的项与常数项分列于方程的两边； ②移项的依据——等式的性质； ③移项的注意点——移项要变号. （2）合并同类项 将一元一次方程中含有未知数的项与常数项分别合并. ①合并同类项的目的——使方程转化为ax=b(a≠0)的形式; ②合并同类项的依据——合并同类项法则（乘法分配律） （3）系数化为1 方程两边同时除以未知数的系数，或乘以系数的倒数. ①系数化为1的目的——使方程ax=b(a≠0)变形为方程的解x=(a≠0)的形式， ②变形的依据——等式性质2； 【即学即练】 1. 下列方程中与解相同的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 去括号 1. 去括号的目的——去掉括号，便于合并同类项 2. 去括号的依据——去括号法则 3. 注意事项——括号前是负号时，括号内各项都要变号.如2x-(4+x)=2x-4-x 【即学即练】 1.解方程： 题型01 单向移项 【典例1】解方程：； 【变式1】下列方程的变形中，属于移项的是（    ） A．由1，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式2】解方程： (1)； (2) 【变式3】解下列方程： (1)； (2)； (3)； 【变式4】解下列一元一次方程： (1)； (2)； (3)． 题型02 双向移项 【典例1】解方程： (1)； (2)； 【变式1】解方程： (1)． (2)． 【变式2】解方程： (1)； (2)； (3)． 【变式3】解下列方程： (1)； (2)； 【变式4】解下列方程： (1)； (2)． 题型03 化系数为1的技巧 【典例1】解方程： (1) (2) 【变式1】解方程： (1) (2)， 【变式2】解下列方程，并指出每一步的依据． (1) (2) 题型04 去括号 【典例1】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】对于方程，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】将方程去括号，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】解方程： (1)； (2)． 【变式4】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型05 解方程的简单应用 【典例1】若方程的解与关于x的方程的解互为相反数，求k的值． 【典例2】两地相距46千米，甲骑自行车从地前往地，速度为每小时15千米，1小时后，乙骑摩托车也沿相同的路线从地前往地，速度为每小时40千米． (1)乙出发多长时间后能追上甲？ (2)若乙到达地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距地多少千米？ 【变式1】请列方程并求出x的值： (1)代数式和的值相等． (2)代数式比的值小3． 【变式2】王伟在解方程去括号时，等号右边括号里的没有变号，因而求得方程的解是，请你正确解出原方程． 【变式3】一艘轮船从甲码头顺流航行到达乙码头，又从乙码头逆流航行返回甲码头，已知这艘轮船在静水中的速度是，求水流的速度及甲乙两地的距离？ 【变式4】用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板，现准备A，B型钢板共100块，并全部加工成C，D型钢板． (1)若B型钢板的数量是A型钢板的数量的两倍还多40块，求A，B型钢板各有多少块？ (2)若C，D型钢板的利润分别为100元块，120元块，且全部售出． ①当A型钢板数量是30块，那么可制成C型钢板 块，D型钢板 块； ②当C，D型钢板全部售出所得的利润为42080元，求A型钢板有多少块？ 题型05 方程有整数解 【典例1】已知关于的方程有整数解，那么满足条件的整数有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】已知关于的方程有正整数解，则负整数的所有可能的取值的积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值之和为______． 【变式3】关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【变式4】当整数k为何值时，方程有正整数解．求出这些解． 1．下列方程的变形中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．一元一次方程移项后正确的是（   ） A． B． C． D． 3．方程的解是（   ） A． B． C． D． 4. 若关于x的方程有整数解，那么满足条件的所有整数k的和为（    ） A．20 B．6 C．4 D．2 5．解方程时，去括号，得_____________． 6．如果与的值互为相反数，那么x的值是________． 7．在把方程化成的形式时，小桔同学的做法如下： 去括号，得，① 移项，得，② 合并同类项，得，③ 两边都除以9，得．④ 上述变形是从第几步开始出错的？出现的错误是什么？请改正，并给出这个方程的正确变形过程． 8．当取何值时，代数式与的值互为相反数？ 9．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 10．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．下列方程中移项正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是（　　） A． B． C． D． 3．若关于的方程的解是方程的解的3倍，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 5．若式子与的值互为相反数，则____________． 6．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是________． 7．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 8．列方程求解： (1)当x取何值时，代数式和的值相等？ (2)当y取何值时，代数式的值比的值大3？ 9．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为．因为，即这两个方程的解之和为，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”． (2)若关于的方程与方程互为“美好方程”，求的值． (3)若方程与方程互为“美好方程”，求关于的方程的解． 10．如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $