第16讲 一元一次方程的应用 讲义 2026--2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

本讲义聚焦一元一次方程的应用，系统梳理列方程解应用题的审设列解验答步骤，涵盖和差倍分、行程、工程等八大类型，通过知识总结表明确等量关系与设元方法，搭建从基础步骤到实际应用的学习支架。 资料融合思维导图总览与典型例题精讲，引入《算法统宗》等古代问题，培养数学建模与抽象能力。课中分类考点解析辅助教师教学，课后分层练习帮助学生巩固，提升分析问题与解决问题的推理能力。

第16讲 一元一次方程的应用（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答）。 · 熟练分析实际问题中的等量关系，能正确设未知数、列方程。 · 理解常见类型（和差倍分、行程、工程、盈亏、图形、销售、数字、配套等）的基本等量关系。 · 培养建模思想，将实际问题转化为数学问题。 · 提高分析问题、解决问题的能力，注重检验解的合理性。 ✨ 核心思想：从实际问题中抽象出等量关系，建立方程模型，体现“数学建模”核心素养。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 列方程解应用题的一般步骤 审题——弄清题意，找出已知量和未知量； 设未知数——通常问什么设什么，也可间接设； 列方程——根据等量关系列出方程； 解方程——求出未知数的值； 检验——检验解是否符合题意（实际意义）； 作答——写出完整答案。 典型例题 小明今年12岁，爸爸36岁，几年后爸爸年龄是小明的2倍？ 【解析】设 x 年后，则爸爸(36+x)岁，小明(12+x)岁，列方程 36+x = 2(12+x)，解得 x=12。 【答案】 12年后。 ☆ 2. 和差倍分问题 等量关系：“几倍多几”、“几倍少几”、“比……多/少”等。 典型例题 猎豹时速110 km，比大象的2倍还多30 km，求大象速度。 【解析】设大象速度为 x km/h，则 2x+30=110，解得 x=40。 【答案】 40 km/h。 ☆ 3. 行程问题 基本关系：路程 = 速度 × 时间。 相遇问题：甲的路程 + 乙的路程 = 总距离； 追及问题：快者路程 − 慢者路程 = 初始距离（同向）。 典型例题 环形跑道400m，小斌4m/s，小强6m/s，同时同地同向出发，小强第一次追上小斌需多长时间？ 【解析】设 t 秒追上，则 6t − 4t = 400，t=200 秒。 【答案】 200秒。 ☆ 4. 工程问题 基本关系：工作量 = 工作效率 × 工作时间。 常把总工作量看作“1”，各队工作效率为单独完成时间的倒数。 典型例题 甲单独做需15天，乙需30天，甲先做3天，再合作，还需几天？ 【解析】设还需 x 天，则 + x( +) = 1，解得 x=8。 【答案】 8天。 ☆ 5. 盈亏与配套问题 盈亏问题：“盈”多出，“不足”缺少，通常用人数或总量不变列方程。 配套问题：根据比例关系，使两种部件数量满足配套比。 典型例题 每组6人多4人，每组7人少3人，求组数。 【解析】设组数 x，则 6x+4 = 7x−3，解得 x=7。 【答案】 7组。 ☑ 知识总结表 问题类型 基本等量关系 常用设元方法 和差倍分 “是几倍多几”等 直接设未知数 行程 路程=速度×时间 设时间或速度 工程 工作量=效率×时间 设合作时间 盈亏 总量不变 设人数或物品数 配套 比例关系 设生产某部件的工人数 图形 周长、面积公式 设边长或宽 销售 利润=售价-进价 设进价或标价 数字 数位表示 设个位或十位 核心考点 ·8大典型考点精讲 【考点1】倍数大小关系列方程（第1−7题） · 审清“比……多/少几倍”，准确列出代数式。 · 设未知数，通常直接设所求量。 · 检验解是否符合实际。 1．（2025秋•宝鸡校级期末）若代数式3x比代数式小1，则x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【分析】根据题意列出方程，再解一元一次方程，即可解题． 【解答】解：∵代数式3x比小1， ∴， ∴6x＝x﹣3﹣2， 解得x＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键在于根据题意列出方程． 2．（2025秋•志丹县期末）猎豹是世界上跑得最快的动物，它每小时能跑110km，比大象的两倍还多30km，大象每小时能跑多少千米？设大象每小时能跑xkm，可列方程为（　　） A．2x+30＝110 B．2x﹣30＝110 C．2（x+30）＝110 D．2（x﹣30）＝110 【分析】根据猎豹每小时能跑110km，比大象的两倍还多30km建立方程即可得． 【解答】解：根据猎豹每小时能跑110km，比大象的两倍还多30km可列方程为2x+30＝110， 故选：A． 【点评】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键． 3．（2025秋•宝山区期末）甲班有54人，乙班有48人，要使甲班人数是乙班人数的2倍，设从乙班调往甲班x人，可列方程（　　） A．54+x＝2（48﹣x） B．48+x＝2（54﹣x） C．54﹣x＝2×48 D．48+x＝2×54 【分析】表示出调人后甲班学生的数量，乙班学生的数量，由甲班人数是乙班人数的2倍，可得出方程． 【解答】解：设从乙班调x人到甲班，则甲班人数为（54+x）人，乙班人数为：（48﹣x）人， 由题意得：54+x＝2（48﹣x）． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象一元一次方程的知识，解答本题的关键是仔细审题，表示出调人后两班的人数． 4．（2026•礼泉县模拟）2026年4月1日，第五届天宫画展“天地同绘•榜样引航”主题活动在首都博物馆正式启动．某中学七年级有180名学生去观看天宫画展，若男生人数是女生人数的2倍少30人，则参观天宫画展的这180名学生中女生有　70　 人． 【分析】设女生人数有x人，根据男生人数与女生人数的数量关系，结合总人数为180人，建立一元一次方程求解即可． 【解答】解：设参观天宫画展的女生有x人，则男生人数为（2x﹣30）人， 由题可得：x+（2x﹣30）＝180， 解得：x＝70， ∴参观天宫画展的这180名学生中女生有70人， 故答案为：70． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 5．（2026春•莱阳市期中）小明的爸爸今年40岁，爸爸比小明年龄的2倍还大12岁，小明今年的岁数是　14岁　 ． 【分析】设小明今年的岁数是x岁，则爸爸今年的岁数是（2x+12）岁，根据小明的爸爸今年40岁，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设小明今年的岁数是x岁，则爸爸今年的岁数是（2x+12）岁， 根据题意得：2x+12＝40， 解得：x＝14， ∴小明今年的岁数是14岁． 故答案为：14岁． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6．（2026•盘州市模拟）《算法统宗》中有“宝塔点灯”这样一个数学问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”题目大意：远远望去，有一座雄伟的七层宝塔，每层悬挂的红灯数量都是上一层的两倍，这座宝塔共有381盏灯，请问宝塔顶层有几盏灯？这一经典数学问题体现中国古代对算法的掌握程度，是古代算术的高水平体现．假设宝塔顶层有x盏灯，则下列方程合理的是（　　） A．64x＝381 B．x+2x+3x+4x+5x+6x+7x＝381 C．x+2x+4x+6x+8x+10x+12x＝381 D．x+2x+4x+8x+16x+32x+64x＝381 【分析】设顶层灯数为x，根据题意每层灯数是上一层的2倍，依次表示出七层的灯数，再根据总灯数为381列出方程，即可选出正确选项． 【解答】解：根据题意可列方程为： x+2x+4x+8x+16x+32x+64x＝381． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是关键． 7．（2025秋•兴隆县期末）一个体育中心足球场长度是105m，比宽度的2倍少31m．足球场宽度是多少米？如果设宽度为xm，那么下面列出的方程正确的是（　　） ①105﹣2x＝31 ②2x﹣31＝105 ③2x+31＝105 ④2x＝105+31 A．①③ B．①② C．②④ D．①④ 【分析】根据“足球场长度是105m，比宽度的2倍少31m”列方程即可． 【解答】解：设宽度为xm， 根据题意得2x﹣31＝105， ∴2x＝105+31， 故正确选项为②④， 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是找到等量关系列出方程． 【考点2】工程问题（第8−14题） · 总量视为“1”，工作效率为单独完成时间的倒数。 · 分段计算，注意先后顺序。 · 列方程：各部分工作量之和 = 总工作量。 8．（2026•杜尔伯特县一模）某工厂生产一批零件，原计划每天生产100个，实际每天生产120个，结果提前5天完成任务．设原计划生产x天，列方程正确的是（　　） A．100x＝120（x+5） B．100x＝120（x﹣5） C．120x＝100（x﹣5） D．120x＝100（x+5） 【分析】根据原计划每天生产100个，实际每天生产120个，结果提前5天完成任务，列出一元一次方程即可． 【解答】解：设原计划生产x天， 由题意得：100x＝120（x﹣5）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9．（2025秋•乐东县校级期末）某工厂生产某种零件，原计划每天生产500个，则刚好能在规定时间完成任务，但实际每天比原计划多生产60个零件，结果提前3天完成任务，并多生产了120个零件．设该工厂的任务是生产x个零件，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合提前3天完成任务，并多生产了120个零件，列出方程即可． 【解答】解：设该工厂的任务是生产x个零件， 根据题意得：， 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 10．（2024秋•福建期末）某车间原计划13小时生产一批零件，实际每小时多生产10个，用了12小时完成任务，还比原计划多生产了60个．设原计划每小时生产x个零件，则可列方程为（　　） A．13x＝12（x+10）+60 B．13x+60＝12（x+10） C．10 D．10 【分析】首先理解题意，找出题中存在的等量关系：实际12小时生产的零件数＝原计划13小时生产的零件数+60，根据此等式列方程即可． 【解答】解：设原计划每小时生产零件x个，则实际每小时生产零件（x+10）个． 根据等量关系列方程得：13x+60＝12（x+10）． 故选：B． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后再列出方程． 11．（2026春•伊川县期中）平遥古城的维修师傅接到修复一段古城墙的任务，已知李师傅单独做需要10天完成，王师傅单独做需要6天完成，现李师傅先做2天，王师傅再加入合作．设从李师傅开始工作到任务完成，一共需要x天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据工作效率，李师傅每天完成，王师傅每天完成，李师傅先做2天，然后两人合作，总天数为x天，则李师傅工作x天，王师傅工作（x﹣2）天，总工作量为1，列方程即可． 【解答】解：根据题意可得： ． 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用．理解题意是关键． 12．（2025秋•连江县期末）完成某项工程，甲单独做16天完成，乙单独做10天完成，现在甲先做了4天，乙再参加合作，求完成这项工程甲、乙合作了多少天．若设完成此项工程甲、乙合作了x天，则下列列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用甲完成的工程量+乙完成的工程量＝总工程量，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意可列出方程：． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 13．（2026•秦都区校级一模）甲、乙两队修一座桥，如果由甲队单独完成，需要15天；如果由乙队单独完成，需要30天．现在由甲队单独做了3天后，承办方接到通知，需要加快修桥进度，后续工程由甲、乙两队共同完成，则甲、乙两队后续需要合作多少天才能修完这座桥？ 【分析】利用甲队单独完成需要15天，乙队单独完成需要30天，可得出每天完成的工作量份数，进而利用总工作量为1得出等式求出答案． 【解答】解：设甲、乙两队合作完成还需要的天数是x，根据题意可得： 3+（）x＝1． 解得：x＝8． 答：甲、乙两队后续需要合作8天才能修完这座桥． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意利用总共量为“1”得出方程是解题关键． 14．（2026春•重庆期中）重庆市为迎接渝超联赛，计划对市体育馆进行升级改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．若甲队独做需要30天完成，乙队独做需要45天完成． （1）列方程解下列问题：若甲、乙两队同时施工12天，余下的工程由乙队完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ （2）在（1）的条件下，已知甲队单独施工每天需费用2万元，乙队单独施工每天需费用1.2万元．问：完成该项工程总共需要花费多少万元？ 【分析】（1）设乙队还需要x天完成任务，结合题意建立一元一次方程后求解即可； （2）结合题意，利用有理数的混合运算法则计算即可得解． 【解答】解：（1）设乙队还需要x天完成任务， 则依题意得， 1， 解得x＝15， 故乙队还需要15天完成任务； （2）完成该项工程总共需要花费12×（2+1.2）+15×1.2＝56.4（万元）， 故完成该项工程总共需要花费56.4万元． 【点评】本题考查的知识点是工程问题（一元一次方程的应用）、有理数的混合运算法则，解题关键是结合题意建立一元一次方程． 【考点3】路程问题（第15−22题） · 画线段图辅助分析。 · 相遇问题：相向而行，路程和=总距离。 · 追及问题：同向而行，路程差=初始距离（或追上时路程相等）。 环形跑道：同向首次相遇，快者比慢者多跑一圈。 15．（2026•盐都区一模）小明参加了一场1500米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了7.5分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程． 【解答】解：由题意可得， 7.5×60， 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 16．（2026春•朝阳区校级期中）甲、乙两地相距1040千米，货车与客车分别从甲、乙两地出发相向而行，货车先行3小时后，客车出发，又经过4小时两车相遇．已知客车的速度是货车的1.5倍，问：货车每小时行驶多少千米？（列一元一次方程解应用题） 【分析】设货车每小时行驶x千米，则客车每小时行驶1.5x千米，利用路程＝速度×时间，结合两车的路程之和为1040千米，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设货车每小时行驶x千米，则客车每小时行驶1.5x千米， 根据题意得：（3+4）x+4×1.5x＝1040， 解得：x＝80． 答：货车每小时行驶80千米． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确一元一次方程是解题的关键． 17．（2026春•沙坪坝区校级月考）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，其大意是：两匹马从同一地方出发，快马每天行270里，慢马每天行180里，慢马先行12天，问：快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（　　） A． B． C．270x＝180（x+12） D．270（x﹣12）＝180x 【分析】由慢马先行12天，可得出快马追上慢马时慢马行了（x+12）天，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马， ∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天． 根据题意得：270x＝180（x+12）． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 18．（2026春•莱阳市期中）用方程的方法求解下面的问题： 已知A，B两地相距420千米，一辆慢车从A地出发，每小时行驶60千米；一辆快车从B地出发，每小时行驶90千米． （1）若两车同时出发，相向而行，经过多长时间两车相遇？ （2）若两车同时出发，反向而行，经过多长时间两车相距560千米？ （3）若慢车出发1小时后快车从B地出发，两车同向而行，快车在慢车后面，那么快车追上慢车用了多长时间？ 【分析】（1）直接利用行驶总路程＝420，即可得出等式； （2）直接利用两车距离＝560，即可得出等式； （3）直接利用两车距离为0得出等式． 【解答】解：（ 1）设经过x小时两车相遇， 由题意可得：60x+90x＝420， 解得x＝2.8， 经过2.8小时两车相遇； （2）经过x小时两车相距560千米， 由题意可得：60x+90x+420＝560，解得x， 经过小时两车相距560千米； （3）快车追上慢车用了x小时， 依题意得，90x＝60（x+1）+420 解得，x＝16， 答：快车追上慢车用了16个小时． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 19．（2026春•周村区校级期中）一队学生从学校出发去部队军训，行进速度是5千米/时，走了4.5千米时一名通讯员按原路返回学校报信，然后他随即追赶队伍，通讯员的速度是14千米/时，他在距部队6千米处追上队伍（报信时间忽略不计）．请问： （1）通讯员从离开队伍到追上队伍一共用了多长时间？ （2）学校到部队的距离是多少千米？ 【分析】（1）设通讯员从离开队伍到追上队伍一共用了x小时，根据等量关系“队伍距学校的距离＝通讯员距学校的距离”列出方程，求出x的值即可得出答案； （2）根据解析（1）求出的时间，列式计算即可． 【解答】解：（1）设通讯员从离开队伍到追上队伍用一共用了x小时，由题意得： 4.5+5x＝14x﹣4.5， 解得：x＝1． 答：通讯员从离开队伍到追上队伍一共用了1小时； （2）4.5+5×1+6＝15.5（千米）， 答：学校到部队的距离为15.5千米． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，用到的知识点是路程＝速度×时间，根据等量关系“队伍距学校的距离＝通讯员距学校的距离”列出方程是解题的关键． 20．（2025秋•兴庆区校级期末）为备战西安马拉松比赛，小彬和小强每天坚持在学校400m的环形跑道上跑步，某次跑步时，两人从同一地点，同时“背对背”出发，小彬每秒跑4.5m，小强每秒跑5.5m，经过　40　 秒两人首次相遇． 【分析】两人从同一地点背对背出发，方向相反，相对速度为速度之和，首次相遇时，总路程等于跑道周长． 【解答】解：设经过t秒相遇，小彬跑的距离为4.5t米，小强跑的距离为5.5t米， 根据题意得4.5t+5.5t＝400， 解得t＝40． 故答案为：40． 【点评】本题考查了行程问题（一元一次方程的应用），解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 21．（2026春•临淄区期中）如图，这是标准400米跑道，它由两条弯道（AB左侧，CD右侧）和两条直道AD，BC组成，每条弯道的长是115.6米，每条直道的长是84.4米．小斌站在C处，小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步．小斌每秒跑4米，小强每秒跑6米．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（　　） A．弯道AB上 B．直道BC上 C．弯道CD上 D．直道AD上 【分析】设x秒后小强第一次追上小斌，利用路程＝速度×时间，结合两人的路程之差为84.4米，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，将其代入4x中，可求出小斌的跑步的路程，再结合弯道及直道的长度，即可得出他们的位置在直道AD上． 【解答】解：设x秒后小强第一次追上小斌， 根据题意得：6x﹣4x＝84.4， 解得：x＝42.2， ∴4x＝4×42.2＝168.8（米）， ∵115.6+84.4＝200（米），115.6＜168.8＜200， ∴当小强第一次追上小斌时，他们的位置在直道AD上． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 22．（2025秋•普陀区期末）小明跟小亮在400米的环形跑道上进行长跑训练，已知小明的速度为6米/秒，小亮的速度为5米/秒，他们俩同时同地同向出发，经过多少秒后小明第一次追上小亮，则可列方程为（　　） A．6x+5x＝400 B．6x﹣5x＝400 C．6x＝400﹣5x D．6x＝5x﹣400 【分析】设经过x秒后小明第一次追上小亮，小明第一次追上小亮，则小明多走400米，据此列出一元一次方程． 【解答】解：设经过x秒后小明第一次追上小亮， 根据题意可知，小明第一次追上小亮，则小明多走400米， 即6x﹣5x＝400， 故选：B． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出的一元一次方程，解题的关键是掌握两人第一次相遇，则小明多走400米，此题难度不大． 【考点4】图形问题（第23−27题） · 掌握周长、面积公式，列方程时注意单位统一。 · 明确变化前后的关系，如减少、增加。 利用面积相等或周长相等建立方程。 23．（2025秋•南宁期末）如图，一块边长为20m的正方形绿地沿某一方向加宽xm，扩大后绿地面积是500m2，则根据题意列出方程正确的是（　　） A．20x＝500 B．20（20﹣x）＝500 C．20（20+x）＝500 D．20x+20（20+x）＝500 【分析】根据“扩大后绿地面积是500m2”建立方程即可． 【解答】解：根据题意得， 20（20+x）＝500． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系． 24．（2025秋•石家庄期末）一个长方形的周长为26cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为（　　） A．x﹣1＝（26﹣x）+2 B．x﹣1＝（26÷2﹣x）+2 C．x+1＝（26﹣x）﹣2 D．x+1＝（26÷2﹣x）﹣2 【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：长方形的长﹣1cm＝长方形的宽+2cm，根据此列方程即可． 【解答】解：设长方形的长为xcm，则宽是（26÷2﹣x）cm， 根据等量关系：长方形的长﹣1cm＝长方形的宽+2cm，列出方程得： x﹣1＝（26÷2﹣x）+2， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是表示出长方形的宽． 25．（2025秋•白银期末）张叔叔在一块正方形菜园中按如图所示的方法划分出两块地用来种胡萝卜和青菜，胡萝卜地的宽是3m，青菜地的长是5m，这样划分后，青菜地和胡萝卜地的面积恰好相等，则这块正方形菜园的边长是（　　） A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m 【分析】设这块正方形菜园的边长是xm，根据青菜地和胡萝卜地的面积恰好相等列方程求解即可． 【解答】解：设这块正方形菜园的边长是xm， 由题意得：3x＝5（x﹣3）， 解得：x＝7.5． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 26．（2026•渭滨区一模）数学探究课上，创新小组的六个组员一起探究身边的数学．喜欢画画的朵朵的书包里恰好有一张正方形纸片．她们的探究过程如图所示：（1）组长小美首先从这个正方形纸片上剪去一个宽度为6cm的长方形纸条；（2）组员小明再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为2cm的长方形纸条；（3）组员小创通过测量并计算，发现第一次剪下的长方形纸条的周长是第二次剪下的长方形纸条周长的3倍．请你求出原正方形纸片的边长． 【分析】设正方形的边长为xcm，则小美剪去的长方形纸条的周长为2（x+6）＝（2x+12）cm，小明剪去的长方形纸条的周长为2（x﹣6+2）＝（2x﹣8）cm，依题意列出一元一次方程，求出x的值即可． 【解答】解：从这个正方形纸片上剪去一个宽度为6cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为2cm的长方形纸条，通过测量并计算，发现第一次剪下的长方形纸条的周长是第二次剪下的长方形纸条周长的3倍．则： 设正方形的边长为xcm，则小美剪去的长方形纸条的周长为2（x+6）＝（2x+12）cm，小明剪去的长方形纸条的周长为2（x﹣6+2）＝（2x﹣8）cm，依题意，得 2x+12＝3（2x﹣8）， 解得x＝9， 答：正方形的边长为9cm． 【点评】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 27．（2026春•伊川县期中）某手工坊采购了一批正方形纸片（图1），用于制作明信片．第一步：将正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条，制作成书签；第二步：从剩余的长方形纸片中剪去一个宽为5cm的长条，制作成明信片（图2）．已知两次剪下的长条面积正好相等． （1）求正方形纸片的边长； （2）求正方形纸片剩余部分（阴影部分）的面积． 【分析】（1）设正方形纸片的边长为xcm．根据题意，得4x＝5（x﹣4），解方程求解即可； （2）阴影部分的面积表示为（x﹣5）（x﹣4），求解即可． 【解答】解：（1）设正方形纸片的边长为xcm．依题意，得： 4x＝5（x﹣4）， 解得：x＝20， 答：正方形纸片的边长为20cm； （2）（20﹣4）×（20﹣5） ＝16×15 ＝240（cm2）， 答：正方形纸片剩余部分（阴影部分）的面积为240cm2． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元一次方程． 【考点5】盈亏问题（第28−33题） · 抓住“总量不变”，如人数、物品数。 · 区分“盈”和“不足”，列出等式。 古代问题注意文言理解，转化为现代语言。 28．（2026春•沈丘县月考）某班分组活动，若每组6人，则多4人；若每组7人，则少3人．设组数为x，则方程为（　　） A．6x+4＝7x﹣3 B．6x﹣4＝7x+3 C．6x+4＝7x+3 D．6x﹣4＝7x﹣3 【分析】设组数为x，根据总人数不变列出一元一次方程，即可求解． 【解答】解：根据题意可得方程为6x+4＝7x﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是关键． 29．（2026•松山区二模）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为（　　） A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3（x+2）＝2x+9 C．2（x﹣3）＝2x+9 D．2（x+3）＝2x﹣9 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是抓住总人数不变的等量关系，分别用两种乘车情况表示总人数，即可列出对应方程 【解答】解：根据题意可得： 3（x﹣2）＝2x+9， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意是关键． 30．（2025秋•苍南县校级期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（　　） A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C． D． 【分析】设共有x人，根据物品的价格不变列出方程． 【解答】解：设共有x人， 由题意，得8x﹣3＝7x+4． 故选：B． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程． 31．（2025秋•庄河市期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（　　） A． B． C．4（x+12）＝6x D．4（x﹣12）＝6x 【分析】根据“每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完”，结合分梨的人数不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 32．（2026•丛台区校级模拟）《算法统宗》中有这样一个问题：一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤（注：明代1斤＝16两）．设共有x两银子，则可列方程（　　） A．7x﹣4＝5x+8 B． C．7x+4＝5x﹣8 D． 【分析】设共有x两银子，根据“如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤”列方程即可得解． 【解答】解：设共有x两银子， 依题意得， 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用．理解题意是关键． 33．（2026•钱塘区二模）八（1）班38位学生去游湖，一共租了8只船，每只大船乘坐6人，每只小船乘坐4人，刚好坐满．问大小船各租几只？设租了x只大船，列方程为（　　） A．4x+6（8﹣x）＝38 B．6x+4（8﹣x）＝38 C．8x+4（6﹣x）＝38 D．4x+8（6﹣x）＝38 【分析】设有x只大船，则小船（8﹣x）只，再根据总人数列方程即可． 【解答】解：设有x只大船，则小船（8﹣x）只，依题意得 6x+4（8﹣x）＝38， 故选：B． 【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元一次方程，正确找到等量关系是解题关键． 【考点6】分配问题（第34−35题） · 配套比例：根据部件之间的数量关系列方程。 · 设加工某部件的工人数，表示出产量。 · 列方程：产量满足配套比。 34．（2025秋•邹城市期末）某农产品加工厂有32名工人，每人每小时可包装20盒甲礼盒或30盒乙礼盒，2盒甲礼盒和1盒乙礼盒组成一份农产品礼包，若要求包装的甲礼盒与乙礼盒恰好配套，设安排x名工人包装甲礼盒，则以下所列方程正确的是（　　） A．20x＝2×30（32﹣x） B．2×20x＝30（32﹣x） C．20（32﹣x）＝2×30x D．2×20（32﹣x）＝30x 【分析】设安排x名工人包装甲礼盒，则安排（32﹣x）名工人包装乙礼盒，根据2盒甲礼盒和1盒乙礼盒组成一份农产品礼包，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：设安排x名工人包装甲礼盒，则安排（32﹣x）名工人包装乙礼盒， 依题意，得：20x＝2×30（32﹣x）． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 35．（2026春•沙坪坝区月考）某加工厂有92名工人，平均每人每天加工桌面20个或桌腿160个，已知1个桌面与4个桌腿配成一套，问需分别安排多少名工人加工桌面、桌腿，才能使每天生产的桌面桌腿刚好配套？设安排x名工人加工桌面，则下面所列方程正确的是（　　） A．20x＝4×160（92﹣x） B．4×20x＝160（92﹣x） C．20x＝4×20（92﹣x） D．4×160x＝20（92﹣x） 【分析】根据总人数得到加工两类部件的人数，分别表示出每天生产桌面和桌腿的总数，再根据配套的数量关系列方程即可． 【解答】解：根据题意得4×20x＝160（92﹣x）． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是关键． 【考点7】数字问题（第36−37题） · 数位表示：两位数=10×十位数字+个位数字。 · 对调数字，表示新数。 根据和或差列方程。 36．（2025秋•济宁期末）一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，求原两位数．设原两位数的个位数字是x，根据题意可列方程为（　　） A．2x+x+10x+2x＝99 B．10×2x+x﹣（10x+2x）＝99 C．10×2x+x+x+2x＝99 D．10×2x+x+10x+2x＝99 【分析】设原两位数的个位数字是x，根据将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99列方程即可． 【解答】解：设原两位数的个位数字是x，则其十位数字为2x，原两位数可表示为10×2x+x； 将两个数对调后得到的新两位数的个位数字为2x，十位数字为x， 新两位数可表示为10x+2x， 根据“新两位数与原两位数的和是99”可得10×2x+x+10x+2x＝99， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意正确地列出一元一次方程是解题的关键． 37．（2025秋•邛崃市校级期末）一个三位数，十位数字比个位数字大1，百位数字是十位数字的2倍，把百位数字与个位数字对调，得到的三位数比原来的三位数小297，则原三位数为　421　 ． 【分析】设个位数字为 x，则十位数字为 x+1，百位数字为 2（x+1）．根据对调后新数比原数小297，列方程求解． 【解答】解：设原三位数的个位数字为 x，则十位数字为 x+1，百位数字为 2（x+1）， 原数为 100×2（x+1）+10（x+1）+x＝210（x+1）+x， 对调百位和个位后，新数为 100x+12（x+1）， 由题意，原数减去新数等于297，即： [210（x+1）+x]﹣[100x+12（x+1）]＝297， 解得x＝1， ∴十位数字为 x+1＝2，百位数字为 2（x+1）＝4，原三位数为421． 故答案为：421． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 【考点8】销售问题（第38−40题） · 利润 = 售价 − 进价，售价 = 标价 × 折扣。 · 注意“提价”“打折”的顺序。 方案选择：比较不同优惠下的总费用。 38．（2026春•香坊区校级期中）一件标价500元的商品，打八折出售，售价是（　　）元． A．100 B．200 C．300 D．400 【分析】先根据一件商品打八折后就是按原价的80%出售，求出这件商品的售价． 【解答】解：500×80%＝400元． 故选：D． 【点评】本题主要考查了折扣问题，根据题意、正确列式计算成为解题的关键． 39．（2026•宝鸡模拟）陕西皮影戏起源于汉代以前，鼎盛于唐代，是近代陕西诸种戏曲的前身．一家商店将某款“陕西皮影”工艺品按进货价提高50%后标价，又以九折优惠卖出，结果每件仍获利14元，设每件“陕西皮影”工艺品的进货价为x元，根据题意，可列方程：　0.9×（1+50%）x﹣x＝14　 ． 【分析】根据进货价表示出标价，再根据折扣表示出实际售价，最后根据“利润＝售价﹣进货价”的等量关系列方程． 【解答】解：根据题意可得：0.9（1+50%）x﹣x＝14． 故答案为：0.9×（1+50%）x﹣x＝14． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意是关键． 40．（2026春•南岗区校级期中）某校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共90个，每个篮球售价为160元，比每个足球的售价多60%．学校采购这批篮球的个数与足球的个数之比为5：4． （1）每个足球的售价是多少元？ （2）采购时恰逢年中促销，商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上先打七五折，又打了九折，按这个价格销售商城还有20%的利润．每个篮球的进价是多少元？ （3）为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动，商家给出了三种购物优惠政策，方案如下： 方案一：按原价购买，购物总费用打九折； 方案二：按原价购买，每买4个足球赠送1个篮球，不足4个足球不赠送； 方案三：按原价购买，购物超过2000元的部分每满300元减30元． 通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？ 【分析】（1）根据篮球售价与足球售价的百分比关系，列方程，求解足球售价； （2）第二问先计算两次打折后的篮球售价，再根据利润率关系列方程求解篮球进价； （3）第三问先根据总数量和比例求出篮球足球的个数，再分别计算三种优惠方案下的总费用，比较大小后得到最省钱的方案． 【解答】解：（1）设每个足球的售价是x元， 依题意列一元一次方程得，（1+60%）x＝160， 整理得，1.6x＝160， 解得x＝100， 即每个足球的售价是100元； （2）设每个篮球的进价是y元， 则两次打折后篮球的实际售价：160×0.75×0.9＝108（元）； 根据题意列一元一次方程得，（1+20%）y＝108， 整理得，1.2y＝108， 解得y＝90， ∴每个篮球的进价是90元． （3）∵总数量共90个，篮球与足球个数比为5：4， 因此篮球个数为 （个）； 足球个数为90﹣50＝40（个）； 原价总费用为50×160+40×100＝8000+4000＝12000（元）， 方案一：总费用打九折，总费用为12000×0.9＝10800（元）； 方案二：40个足球可赠送篮球个数为40÷4＝10（个）； 需要付费的篮球个数为 50﹣10＝40（个）， 总费用为 40×100+40×160＝10400（元）， 方案三：超过2000元的部分为12000﹣2000＝10000（元）， ∵10000÷300＝33⋯⋯100， ∴可满减33次，即满减总金额为33×30＝990（元）， ∴总费用为 12000﹣990＝11010（元）， ∵10400＜10800＜11010， ∴为了节省费用，学校应该选择方案二购买． 【点评】本题考查了一元一次方程组的应用，有理数的混合运算，关键是根据题意找到关系式． 创新及压轴题（第41题） 41．（2024秋•广汉市期末）在购买足球赛门票时，设购买门票张数为x（张），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位购买门票的价格为60元（总费用＝广告赞助费+门票费）． 方案二：若购买的门票数不超过100张，每张100元，若所购门票超过100张，则超出部分按八折计算． 解答下列问题： （1）方案一中，用含x的代数式来表示总费用为　60x+10000　 ．方案二中，当购买的门票数x不超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为　100x ．当所购门票数x超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为　80x+2000　 ． （2）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次足球赛门票，合计700张，花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 【分析】（1）根据题意可直接写出用x表示的总费用表达式． （2）假设乙单位购买了a张门票，那么甲单位的购买的就是700﹣a张门票． 分别就乙单位按照方案二：①a不超过100；②a超过100两种情况讨论a取值的合理性．从而确定求甲、乙两单位各购买门票数． 【解答】解：（1）60x+10000，100x，100×100+（x﹣100）×80＝80x+2000（3分） （2）设乙单位购买了a张门票 ①a不超过100， 60（700﹣a）+10000+100a＝58000 解得a＝150（舍去）（2分） ②a超过100， 60（700﹣a）+10000+80a+2000＝58000 解得a＝200 ∴700﹣a＝500 答：甲单位购买门票500张，乙单位购买门票200张（2分） 【点评】本题考查一元一次方程的应用．本题解决的关键是：能够理解a取值有两种情况、能够根据题意找出题目中的相等关系． 随堂检测 · 精选练习 练习1：竞赛得分（盈亏）练习2：工程问题（提前完成） 练习3：列方程（和差倍分）练习4：行程问题（磁悬浮） 练习5：工程问题（效率改变）练习6：追及问题（龟兔） 【练习1】（2025秋•醴陵市期末）学校组织了一次知识竞赛，共有25道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣3分，小明得了85分，那么他答对的题数是（　　） A．22 B．20 C．19 D．18 【分析】设答对的题数为x道，则答错或不答的题数为（25﹣x）道，根据每一道题答对得5分，答错或不答都扣3分，小明得了85分列出方程解答即可． 【解答】解：设答对的题数为x道，答错或不答的题数为（25﹣x）道，由题意得 5x﹣3（25﹣x）＝85 解得：x＝20 答：他答对的题数是20道． 故选：B． 【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，理解题意，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 【练习2】（2026春•同步）某公司今年3月初接到商家24000件产品的订单，按计划生产5天后，商家因需求变化追加产品5000件，该公司经理加大对工人的奖励力度，提高工人的积极性，结果每天比原计划多生产200件，刚好（包括前面5天一起）按原计划的时间完成生产任务按时交付商家．该公司原计划每天生产产品的件数是（　　） A．400 B．600 C．800 D．1000 【分析】先设该公司原计划每天生产产品x件，然后可以列出方程5，再求解即可． 【解答】解：设该公司原计划每天生产产品x件， 由题意可得：5， 解得x＝800， 经检验，x＝800是原分式方程的解， 即：该公司原计划每天生产产品800件． 故选：C． 【点评】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 【练习3】（2026春•晋江市校级月考）根据“x的3倍与5的和等于x的10倍与7的差”所列方程正确的是（　　）x的3倍与5的和等于x的10倍与7的差”所列方程正确的是（　　） A．3x+5＝10x﹣7 B．3x+5＝10x+7 C．3（x+5）＝10x﹣7 D．3（x+5）＝10x+7 【分析】根据题意列出方程即可解答． 【解答】解：根据题意可得：3x+5＝10x﹣7， 故选：A． 【点评】本题考查了列方程，合理列出方程是解题的关键． 【练习4】（2026•宜兴市一模）2025年5月1日，我国首条“高温超导电动悬浮”试验线完成耐久测试．已知磁悬浮试验线全长s公里，测试列车以300km/h的速度跑完全程，比预定时间快了2分钟．传统高铁线路比磁悬浮试验线长35km，普通高铁以250km/h的速度跑完传统线路，所需时间比磁悬浮列车的预定时间多了12分钟．根据以上信息，下列说法正确的是（　　）s公里，测试列车以300km/h的速度跑完全程，比预定时间快了2分钟．传统高铁线路比磁悬浮试验线长35km，普通高铁以250km/h的速度跑完传统线路，所需时间比磁悬浮列车的预定时间多了12分钟．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．磁悬浮试验线的全长为140公里 B．磁悬浮试验线的预定运行时间为28分钟 C．传统高铁线路的运行时间为40分钟 D．测试列车实际运行时间为30分钟 【分析】设磁悬浮试验线的预定运行时间为x小时，则传统高铁线路的运行时间为（x）小时，测试列车实际运行时间为（x）小时，利用路程＝速度×时间，结合传统高铁线路比磁悬浮试验线长35km，可列出关于x的一元一次方程，解值可得出x的值，再将其分别代入300（x），60（x）及60（x）中，即可得出结论． 【解答】解：设磁悬浮试验线的预定运行时间为x小时，则传统高铁线路的运行时间为（x）小时，测试列车实际运行时间为（x）小时， 根据题意得：250（x）﹣300（x）＝35， 解得：x＝0.5， ∴300（x）＝300×（0.5）＝140（公里）； 60（x）＝60×（0.5）＝28（分钟）； 60（x）＝60×（0.5）＝42（分钟）， ∴磁悬浮试验线的全长为140公里，磁悬浮试验线的预定运行时间为30分钟，传统高铁线路的运行时间为42分钟，测试列车实际运行时间为28分钟． 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【练习5】（2026春•洛阳期中）工厂要在规定时间内生产一批零件．如果每天生产30个，那么在规定时间内只能完成计划总数的．后来调整效率，每天生产40个，结果不仅比原计划提前1天完成，还多生产了25个．问：规定时间是多少天？原计划生产多少个零件？ ．后来调整效率，每天生产40个，结果不仅比原计划提前1天完成，还多生产了25个．问：规定时间是多少天？原计划生产多少个零件？ 【分析】设规定时间是x天，则原计划生产（40x﹣65）个零件，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合“如果每天生产30个，那么在规定时间内只能完成计划总数的”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即规定时间），再将其代入（40x﹣65）中，即可求出原计划生产零件的数量． 【解答】解：设规定时间是x天，则原计划生产40（x﹣1）﹣25＝（40x﹣65）个零件， 根据题意得：30x（40x﹣65）， 解得：x＝26， ∴40x﹣65＝40×26﹣65＝975（个）． 答：规定时间是26天，原计划生产975个零件． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【练习6】（2026春•招远市期中）我们小时候听过龟兔赛跑的故事，都知道乌龟最后战胜了小白兔．如果在第二次赛跑中，小白兔知耻而后勇，在落后乌龟1千米时，以102米/分的速度奋起直追，而乌龟仍然以2米/分的速度爬行，那么小白兔大概需要多少分钟就能追上乌龟？ 【分析】在追及路程问题中，注意等量关系：小白兔追上乌龟所走的路程＝乌龟所走的路程+落后的路程． 【解答】解：设小白兔大概需要x分钟就能追上乌龟， 根据题意，得102x＝2x+1000， 解得x＝10， 答：小白兔大概需要10分钟就能追上乌龟． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，能列出方程是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：数字问题（对调）作业2：行程问题（相向而行）作业3：配套问题（茶具） 作业4：追及问题（良马驽马）作业5：图形问题（小长方形）作业6：工程问题（合作） ❤ 复习建议 熟记常见等量关系：行程、工程、盈亏、销售等，做到“心中有表”。 画图辅助：行程问题画线段图，图形问题画出示意图，直观分析。 注意单位统一：如时间单位、长度单位，确保方程两边一致。 检验解的合理性：解出的值要符合实际意义（如人数不能为负）。 多练“方案选择”：比较不同方案的费用，培养审题和计算能力。 【作业1】（2025秋•漠河期末）一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的两位数就比原两位数小27，原来的两位数是 　63　 ． 【分析】根据十位上的数字是个位上数字的2倍，设个位上数字为x，表示出十位上的数字，再用把个位上的数与十位上的数对调得到的数比原数小27列出方程，解出即可． 【解答】解：设这个两位数个位上数字为x，则十位上的数字为2x， 依题意得：（10×2x）+x﹣27＝10x+2x， 解得：x＝3， ∴2×3＝6， 故原来的两位数是63． 故答案为：63． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键设出一个数位上的数字，另一个数位上的数表示出来，再表示出这个数，据题意列出方程，解决问题． 【作业2】（2025秋•昭通期末）小浩和天天从相距36km的两地同时相向而行，小浩每小时走5km，4h后两人相遇．设天天的速度为xkm/h，则可列方程为（　　）km的两地同时相向而行，小浩每小时走5km，4h后两人相遇．设天天的速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A．5+4x＝36 B．4×5+x＝36 C．4（5+x）＝36 D．4（x﹣5）＝36 【分析】根据4h后两人相遇，即两人走的路程之和＝两地的距离36千米，再根据此等量关系列方程即可． 【解答】解：根据题意可得到方程：4（5+x）＝36， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐蔽，需要仔细审题归纳得出． 【作业3】（2026•红河州模拟）某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做3个茶壶或6只茶杯，现要用9千克紫砂泥制作这些茶具，设用x千克紫砂泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套，则可列方程为（　　）x千克紫砂泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套，则可列方程为（　　） A．3x＝6（9﹣x） B．3x＝4×6（9﹣x） C．6×3x＝4（9﹣x） D．4×3x＝6（9﹣x） 【分析】根据每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，可以列出方程4×3x＝6（9﹣x），然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：由题意可得， 4×3x＝6（9﹣x）， 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 【作业4】（2025秋•江汉区期末）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”若设良马x天可以追上驽马，可列方程是（　　）x天可以追上驽马，可列方程是（　　） A．150x＝240（x﹣12） B．240x＝150（x﹣12） C．150x＝240（x+12） D．240x＝150（x+12） 【分析】设良马x天可以追上驽马，利用路程＝速度×时间，结合快、慢马的路程相等，可列出关于x的一元一次方程． 【解答】解：依题意，得：240x＝150（x+12）． 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【作业5】（2025秋•故城县期末）如图，在大长方形ABCD（CD是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，求小长方形的宽AE．解决这个问题时可设AE＝x．嘉嘉说：根据小长方形的长相等可列方程6+2x﹣x＝14﹣3x；淇淇说：根据大长方形的宽相等可列方程6+2x＝14﹣3x，则下列判断正确的是（　　）ABCD（CD是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，求小长方形的宽AE．解决这个问题时可设AE＝x．嘉嘉说：根据小长方形的长相等可列方程6+2x﹣x＝14﹣3x；淇淇说：根据大长方形的宽相等可列方程6+2x＝14﹣3x，则下列判断正确的是（　　） A．嘉嘉、淇淇都正确 B．嘉嘉、淇淇都不正确 C．嘉嘉正确，淇淇不正确 D．嘉嘉不正确，淇淇正确 【分析】根据小长方形的长相等或大长方形的宽相等，即可得出关于x的一元一次方程，据此即可解答． 【解答】解：根据题意得：6+2x﹣x＝14﹣3x或6+2x＝x+（14﹣3x）． ∴嘉嘉正确，淇淇不正确． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 【作业6】（2026春•项城市月考）某工厂计划加工一批零件，若单独加工，甲车间需要10天完成，乙车间需要15天完成． （1）若两车间合作，需要多少天完成？ （2）若甲车间先加工3天，再由两车间合作，还需要多少天完成？ 【分析】（1）设两车间合作，需要x天完成，根据题意列方程求解即可； （2）设还需要y天完成，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：（1）设两车间合作，需要x天完成， 根据题意列方程得， 解得x＝6， 答：两车间合作，需要6天完成； （2）设还需要y天完成， ， 解得y＝4.2， 答：还需要4.2天完成． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 一元一次方程的应用（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答）。 · 熟练分析实际问题中的等量关系，能正确设未知数、列方程。 · 理解常见类型（和差倍分、行程、工程、盈亏、图形、销售、数字、配套等）的基本等量关系。 · 培养建模思想，将实际问题转化为数学问题。 · 提高分析问题、解决问题的能力，注重检验解的合理性。 ✨ 核心思想：从实际问题中抽象出等量关系，建立方程模型，体现“数学建模”核心素养。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 列方程解应用题的一般步骤 审题——弄清题意，找出已知量和未知量； 设未知数——通常问什么设什么，也可间接设； 列方程——根据等量关系列出方程； 解方程——求出未知数的值； 检验——检验解是否符合题意（实际意义）； 作答——写出完整答案。 典型例题 小明今年12岁，爸爸36岁，几年后爸爸年龄是小明的2倍？ 【解析】设 x 年后，则爸爸(36+x)岁，小明(12+x)岁，列方程 36+x = 2(12+x)，解得 x=12。 【答案】 12年后。 ☆ 2. 和差倍分问题 等量关系：“几倍多几”、“几倍少几”、“比……多/少”等。 典型例题 猎豹时速110 km，比大象的2倍还多30 km，求大象速度。 【解析】设大象速度为 x km/h，则 2x+30=110，解得 x=40。 【答案】 40 km/h。 ☆ 3. 行程问题 基本关系：路程 = 速度 × 时间。 相遇问题：甲的路程 + 乙的路程 = 总距离； 追及问题：快者路程 − 慢者路程 = 初始距离（同向）。 典型例题 环形跑道400m，小斌4m/s，小强6m/s，同时同地同向出发，小强第一次追上小斌需多长时间？ 【解析】设 t 秒追上，则 6t − 4t = 400，t=200 秒。 【答案】 200秒。 ☆ 4. 工程问题 基本关系：工作量 = 工作效率 × 工作时间。 常把总工作量看作“1”，各队工作效率为单独完成时间的倒数。 典型例题 甲单独做需15天，乙需30天，甲先做3天，再合作，还需几天？ 【解析】设还需 x 天，则 + x( +) = 1，解得 x=8。 【答案】 8天。 ☆ 5. 盈亏与配套问题 盈亏问题：“盈”多出，“不足”缺少，通常用人数或总量不变列方程。 配套问题：根据比例关系，使两种部件数量满足配套比。 典型例题 每组6人多4人，每组7人少3人，求组数。 【解析】设组数 x，则 6x+4 = 7x−3，解得 x=7。 【答案】 7组。 ☑ 知识总结表 问题类型 基本等量关系 常用设元方法 和差倍分 “是几倍多几”等 直接设未知数 行程 路程=速度×时间 设时间或速度 工程 工作量=效率×时间 设合作时间 盈亏 总量不变 设人数或物品数 配套 比例关系 设生产某部件的工人数 图形 周长、面积公式 设边长或宽 销售 利润=售价-进价 设进价或标价 数字 数位表示 设个位或十位 核心考点 ·8大典型考点精讲 【考点1】倍数大小关系列方程（第1−7题） · 审清“比……多/少几倍”，准确列出代数式。 · 设未知数，通常直接设所求量。 · 检验解是否符合实际。 1．（2025秋•宝鸡校级期末）若代数式3x比代数式小1，则x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 2．（2025秋•志丹县期末）猎豹是世界上跑得最快的动物，它每小时能跑110km，比大象的两倍还多30km，大象每小时能跑多少千米？设大象每小时能跑xkm，可列方程为（　　） A．2x+30＝110 B．2x﹣30＝110 C．2（x+30）＝110 D．2（x﹣30）＝110 3．（2025秋•宝山区期末）甲班有54人，乙班有48人，要使甲班人数是乙班人数的2倍，设从乙班调往甲班x人，可列方程（　　） A．54+x＝2（48﹣x） B．48+x＝2（54﹣x） C．54﹣x＝2×48 D．48+x＝2×54 4．（2026•礼泉县模拟）2026年4月1日，第五届天宫画展“天地同绘•榜样引航”主题活动在首都博物馆正式启动．某中学七年级有180名学生去观看天宫画展，若男生人数是女生人数的2倍少30人，则参观天宫画展的这180名学生中女生有　 　 人． 5．（2026春•莱阳市期中）小明的爸爸今年40岁，爸爸比小明年龄的2倍还大12岁，小明今年的岁数是　 　 ． 6．（2026•盘州市模拟）《算法统宗》中有“宝塔点灯”这样一个数学问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”题目大意：远远望去，有一座雄伟的七层宝塔，每层悬挂的红灯数量都是上一层的两倍，这座宝塔共有381盏灯，请问宝塔顶层有几盏灯？这一经典数学问题体现中国古代对算法的掌握程度，是古代算术的高水平体现．假设宝塔顶层有x盏灯，则下列方程合理的是（　　） A．64x＝381 B．x+2x+3x+4x+5x+6x+7x＝381 C．x+2x+4x+6x+8x+10x+12x＝381 D．x+2x+4x+8x+16x+32x+64x＝381 7．（2025秋•兴隆县期末）一个体育中心足球场长度是105m，比宽度的2倍少31m．足球场宽度是多少米？如果设宽度为xm，那么下面列出的方程正确的是（　　） ①105﹣2x＝31 ②2x﹣31＝105 ③2x+31＝105 ④2x＝105+31 A．①③ B．①② C．②④ D．①④ 【考点2】工程问题（第8−14题） · 总量视为“1”，工作效率为单独完成时间的倒数。 · 分段计算，注意先后顺序。 · 列方程：各部分工作量之和 = 总工作量。 8．（2026•杜尔伯特县一模）某工厂生产一批零件，原计划每天生产100个，实际每天生产120个，结果提前5天完成任务．设原计划生产x天，列方程正确的是（　　） A．100x＝120（x+5） B．100x＝120（x﹣5） C．120x＝100（x﹣5） D．120x＝100（x+5） 9．（2025秋•乐东县校级期末）某工厂生产某种零件，原计划每天生产500个，则刚好能在规定时间完成任务，但实际每天比原计划多生产60个零件，结果提前3天完成任务，并多生产了120个零件．设该工厂的任务是生产x个零件，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 10．（2024秋•福建期末）某车间原计划13小时生产一批零件，实际每小时多生产10个，用了12小时完成任务，还比原计划多生产了60个．设原计划每小时生产x个零件，则可列方程为（　　） A．13x＝12（x+10）+60 B．13x+60＝12（x+10） C．10 D．10 11．（2026春•伊川县期中）平遥古城的维修师傅接到修复一段古城墙的任务，已知李师傅单独做需要10天完成，王师傅单独做需要6天完成，现李师傅先做2天，王师傅再加入合作．设从李师傅开始工作到任务完成，一共需要x天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 12．（2025秋•连江县期末）完成某项工程，甲单独做16天完成，乙单独做10天完成，现在甲先做了4天，乙再参加合作，求完成这项工程甲、乙合作了多少天．若设完成此项工程甲、乙合作了x天，则下列列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 13．（2026•秦都区校级一模）甲、乙两队修一座桥，如果由甲队单独完成，需要15天；如果由乙队单独完成，需要30天．现在由甲队单独做了3天后，承办方接到通知，需要加快修桥进度，后续工程由甲、乙两队共同完成，则甲、乙两队后续需要合作多少天才能修完这座桥？ 14．（2026春•重庆期中）重庆市为迎接渝超联赛，计划对市体育馆进行升级改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．若甲队独做需要30天完成，乙队独做需要45天完成． （1）列方程解下列问题：若甲、乙两队同时施工12天，余下的工程由乙队完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ （2）在（1）的条件下，已知甲队单独施工每天需费用2万元，乙队单独施工每天需费用1.2万元．问：完成该项工程总共需要花费多少万元？ 【考点3】路程问题（第15−22题） · 画线段图辅助分析。 · 相遇问题：相向而行，路程和=总距离。 · 追及问题：同向而行，路程差=初始距离（或追上时路程相等）。 环形跑道：同向首次相遇，快者比慢者多跑一圈。 15．（2026•盐都区一模）小明参加了一场1500米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了7.5分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（　　） A． B． C． D． 16．（2026春•朝阳区校级期中）甲、乙两地相距1040千米，货车与客车分别从甲、乙两地出发相向而行，货车先行3小时后，客车出发，又经过4小时两车相遇．已知客车的速度是货车的1.5倍，问：货车每小时行驶多少千米？（列一元一次方程解应用题） 17．（2026春•沙坪坝区校级月考）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，其大意是：两匹马从同一地方出发，快马每天行270里，慢马每天行180里，慢马先行12天，问：快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（　　） A． B． C．270x＝180（x+12） D．270（x﹣12）＝180x 18．（2026春•莱阳市期中）用方程的方法求解下面的问题： 已知A，B两地相距420千米，一辆慢车从A地出发，每小时行驶60千米；一辆快车从B地出发，每小时行驶90千米． （1）若两车同时出发，相向而行，经过多长时间两车相遇？ （2）若两车同时出发，反向而行，经过多长时间两车相距560千米？ （3）若慢车出发1小时后快车从B地出发，两车同向而行，快车在慢车后面，那么快车追上慢车用了多长时间？ 19．（2026春•周村区校级期中）一队学生从学校出发去部队军训，行进速度是5千米/时，走了4.5千米时一名通讯员按原路返回学校报信，然后他随即追赶队伍，通讯员的速度是14千米/时，他在距部队6千米处追上队伍（报信时间忽略不计）．请问： （1）通讯员从离开队伍到追上队伍一共用了多长时间？ （2）学校到部队的距离是多少千米？ 20．（2025秋•兴庆区校级期末）为备战西安马拉松比赛，小彬和小强每天坚持在学校400m的环形跑道上跑步，某次跑步时，两人从同一地点，同时“背对背”出发，小彬每秒跑4.5m，小强每秒跑5.5m，经过　 　 秒两人首次相遇． 21．（2026春•临淄区期中）如图，这是标准400米跑道，它由两条弯道（AB左侧，CD右侧）和两条直道AD，BC组成，每条弯道的长是115.6米，每条直道的长是84.4米．小斌站在C处，小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步．小斌每秒跑4米，小强每秒跑6米．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（　　） A．弯道AB上 B．直道BC上 C．弯道CD上 D．直道AD上 22．（2025秋•普陀区期末）小明跟小亮在400米的环形跑道上进行长跑训练，已知小明的速度为6米/秒，小亮的速度为5米/秒，他们俩同时同地同向出发，经过多少秒后小明第一次追上小亮，则可列方程为（　　） A．6x+5x＝400 B．6x﹣5x＝400 C．6x＝400﹣5x D．6x＝5x﹣400 【考点4】图形问题（第23−27题） · 掌握周长、面积公式，列方程时注意单位统一。 · 明确变化前后的关系，如减少、增加。 · 利用面积相等或周长相等建立方程。 23．（2025秋•南宁期末）如图，一块边长为20m的正方形绿地沿某一方向加宽xm，扩大后绿地面积是500m2，则根据题意列出方程正确的是（　　） A．20x＝500 B．20（20﹣x）＝500 C．20（20+x）＝500 D．20x+20（20+x）＝500 24．（2025秋•石家庄期末）一个长方形的周长为26cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为（　　） A．x﹣1＝（26﹣x）+2 B．x﹣1＝（26÷2﹣x）+2 C．x+1＝（26﹣x）﹣2 D．x+1＝（26÷2﹣x）﹣2 25．（2025秋•白银期末）张叔叔在一块正方形菜园中按如图所示的方法划分出两块地用来种胡萝卜和青菜，胡萝卜地的宽是3m，青菜地的长是5m，这样划分后，青菜地和胡萝卜地的面积恰好相等，则这块正方形菜园的边长是（　　） A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m 26．（2026•渭滨区一模）数学探究课上，创新小组的六个组员一起探究身边的数学．喜欢画画的朵朵的书包里恰好有一张正方形纸片．她们的探究过程如图所示：（1）组长小美首先从这个正方形纸片上剪去一个宽度为6cm的长方形纸条；（2）组员小明再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为2cm的长方形纸条；（3）组员小创通过测量并计算，发现第一次剪下的长方形纸条的周长是第二次剪下的长方形纸条周长的3倍．请你求出原正方形纸片的边长． 27．（2026春•伊川县期中）某手工坊采购了一批正方形纸片（图1），用于制作明信片．第一步：将正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条，制作成书签；第二步：从剩余的长方形纸片中剪去一个宽为5cm的长条，制作成明信片（图2）．已知两次剪下的长条面积正好相等． （1）求正方形纸片的边长； （2）求正方形纸片剩余部分（阴影部分）的面积． 【考点5】盈亏问题（第28−33题） · 抓住“总量不变”，如人数、物品数。 · 区分“盈”和“不足”，列出等式。 古代问题注意文言理解，转化为现代语言。 28．（2026春•沈丘县月考）某班分组活动，若每组6人，则多4人；若每组7人，则少3人．设组数为x，则方程为（　　） A．6x+4＝7x﹣3 B．6x﹣4＝7x+3 C．6x+4＝7x+3 D．6x﹣4＝7x﹣3 29．（2026•松山区二模）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为（　　） A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3（x+2）＝2x+9 C．2（x﹣3）＝2x+9 D．2（x+3）＝2x﹣9 30．（2025秋•苍南县校级期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（　　） A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C． D． 31．（2025秋•庄河市期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（　　） A． B． C．4（x+12）＝6x D．4（x﹣12）＝6x 32．（2026•丛台区校级模拟）《算法统宗》中有这样一个问题：一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤（注：明代1斤＝16两）．设共有x两银子，则可列方程（　　） A．7x﹣4＝5x+8 B． C．7x+4＝5x﹣8 D． 33．（2026•钱塘区二模）八（1）班38位学生去游湖，一共租了8只船，每只大船乘坐6人，每只小船乘坐4人，刚好坐满．问大小船各租几只？设租了x只大船，列方程为（　　） A．4x+6（8﹣x）＝38 B．6x+4（8﹣x）＝38 C．8x+4（6﹣x）＝38 D．4x+8（6﹣x）＝38 【考点6】分配问题（第34−35题） · 配套比例：根据部件之间的数量关系列方程。 · 设加工某部件的工人数，表示出产量。 · 列方程：产量满足配套比。 34．（2025秋•邹城市期末）某农产品加工厂有32名工人，每人每小时可包装20盒甲礼盒或30盒乙礼盒，2盒甲礼盒和1盒乙礼盒组成一份农产品礼包，若要求包装的甲礼盒与乙礼盒恰好配套，设安排x名工人包装甲礼盒，则以下所列方程正确的是（　　） A．20x＝2×30（32﹣x） B．2×20x＝30（32﹣x） C．20（32﹣x）＝2×30x D．2×20（32﹣x）＝30x 35．（2026春•沙坪坝区月考）某加工厂有92名工人，平均每人每天加工桌面20个或桌腿160个，已知1个桌面与4个桌腿配成一套，问需分别安排多少名工人加工桌面、桌腿，才能使每天生产的桌面桌腿刚好配套？设安排x名工人加工桌面，则下面所列方程正确的是（　　） A．20x＝4×160（92﹣x） B．4×20x＝160（92﹣x） C．20x＝4×20（92﹣x） D．4×160x＝20（92﹣x） 【考点7】数字问题（第36−37题） · 数位表示：两位数=10×十位数字+个位数字。 · 对调数字，表示新数。 根据和或差列方程。 36．（2025秋•济宁期末）一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，求原两位数．设原两位数的个位数字是x，根据题意可列方程为（　　） A．2x+x+10x+2x＝99 B．10×2x+x﹣（10x+2x）＝99 C．10×2x+x+x+2x＝99 D．10×2x+x+10x+2x＝99 37．（2025秋•邛崃市校级期末）一个三位数，十位数字比个位数字大1，百位数字是十位数字的2倍，把百位数字与个位数字对调，得到的三位数比原来的三位数小297，则原三位数为　 　 ． 【考点8】销售问题（第38−40题） · 利润 = 售价 − 进价，售价 = 标价 × 折扣。 · 注意“提价”“打折”的顺序。 方案选择：比较不同优惠下的总费用。 38．（2026春•香坊区校级期中）一件标价500元的商品，打八折出售，售价是（　　）元． A．100 B．200 C．300 D．400 39．（2026•宝鸡模拟）陕西皮影戏起源于汉代以前，鼎盛于唐代，是近代陕西诸种戏曲的前身．一家商店将某款“陕西皮影”工艺品按进货价提高50%后标价，又以九折优惠卖出，结果每件仍获利14元，设每件“陕西皮影”工艺品的进货价为x元，根据题意，可列方程：　 　 ． 40．（2026春•南岗区校级期中）某校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共90个，每个篮球售价为160元，比每个足球的售价多60%．学校采购这批篮球的个数与足球的个数之比为5：4． （1）每个足球的售价是多少元？ （2）采购时恰逢年中促销，商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上先打七五折，又打了九折，按这个价格销售商城还有20%的利润．每个篮球的进价是多少元？ （3）为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动，商家给出了三种购物优惠政策，方案如下： 方案一：按原价购买，购物总费用打九折； 方案二：按原价购买，每买4个足球赠送1个篮球，不足4个足球不赠送； 方案三：按原价购买，购物超过2000元的部分每满300元减30元． 通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？ 创新及压轴题（第41题） 41．（2024秋•广汉市期末）在购买足球赛门票时，设购买门票张数为x（张），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位购买门票的价格为60元（总费用＝广告赞助费+门票费）． 方案二：若购买的门票数不超过100张，每张100元，若所购门票超过100张，则超出部分按八折计算． 解答下列问题： （1）方案一中，用含x的代数式来表示总费用为　 　 ．方案二中，当购买的门票数x不超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为　 　 ．当所购门票数x超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为　 　 ． （2）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次足球赛门票，合计700张，花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 随堂检测 · 精选练习 练习1：竞赛得分（盈亏）练习2：工程问题（提前完成） 练习3：列方程（和差倍分）练习4：行程问题（磁悬浮） 练习5：工程问题（效率改变）练习6：追及问题（龟兔） 【练习1】（2025秋•醴陵市期末）学校组织了一次知识竞赛，共有25道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣3分，小明得了85分，那么他答对的题数是（　　） A．22 B．20 C．19 D．18 【练习2】（2026春•同步）某公司今年3月初接到商家24000件产品的订单，按计划生产5天后，商家因需求变化追加产品5000件，该公司经理加大对工人的奖励力度，提高工人的积极性，结果每天比原计划多生产200件，刚好（包括前面5天一起）按原计划的时间完成生产任务按时交付商家．该公司原计划每天生产产品的件数是（　　） A．400 B．600 C．800 D．1000 【练习3】（2026春•晋江市校级月考）根据“x的3倍与5的和等于x的10倍与7的差”所列方程正确的是（　　） A．3x+5＝10x﹣7 B．3x+5＝10x+7 C．3（x+5）＝10x﹣7 D．3（x+5）＝10x+7 【练习4】（2026•宜兴市一模）2025年5月1日，我国首条“高温超导电动悬浮”试验线完成耐久测试．已知磁悬浮试验线全长s公里，测试列车以300km/h的速度跑完全程，比预定时间快了2分钟．传统高铁线路比磁悬浮试验线长35km，普通高铁以250km/h的速度跑完传统线路，所需时间比磁悬浮列车的预定时间多了12分钟．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．磁悬浮试验线的全长为140公里 B．磁悬浮试验线的预定运行时间为28分钟 C．传统高铁线路的运行时间为40分钟 D．测试列车实际运行时间为30分钟 【练习5】（2026春•洛阳期中）工厂要在规定时间内生产一批零件．如果每天生产30个，那么在规定时间内只能完成计划总数的．后来调整效率，每天生产40个，结果不仅比原计划提前1天完成，还多生产了25个．问：规定时间是多少天？原计划生产多少个零件？ 【练习6】（2026春•招远市期中）我们小时候听过龟兔赛跑的故事，都知道乌龟最后战胜了小白兔．如果在第二次赛跑中，小白兔知耻而后勇，在落后乌龟1千米时，以102米/分的速度奋起直追，而乌龟仍然以2米/分的速度爬行，那么小白兔大概需要多少分钟就能追上乌龟？ 课后巩固 · 针对性练习 作业1：数字问题（对调）作业2：行程问题（相向而行）作业3：配套问题（茶具） 作业4：追及问题（良马驽马）作业5：图形问题（小长方形）作业6：工程问题（合作） ❤ 复习建议 熟记常见等量关系：行程、工程、盈亏、销售等，做到“心中有表”。 画图辅助：行程问题画线段图，图形问题画出示意图，直观分析。 注意单位统一：如时间单位、长度单位，确保方程两边一致。 检验解的合理性：解出的值要符合实际意义（如人数不能为负）。 多练“方案选择”：比较不同方案的费用，培养审题和计算能力。 【作业1】（2025秋•漠河期末）一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的两位数就比原两位数小27，原来的两位数是 　 　 ． 【作业2】（2025秋•昭通期末）小浩和天天从相距36km的两地同时相向而行，小浩每小时走5km，4h后两人相遇．设天天的速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A．5+4x＝36 B．4×5+x＝36 C．4（5+x）＝36 D．4（x﹣5）＝36 【作业3】（2026•红河州模拟）某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做3个茶壶或6只茶杯，现要用9千克紫砂泥制作这些茶具，设用x千克紫砂泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套，则可列方程为（　　） A．3x＝6（9﹣x） B．3x＝4×6（9﹣x） C．6×3x＝4（9﹣x） D．4×3x＝6（9﹣x） 【作业4】（2025秋•江汉区期末）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”若设良马x天可以追上驽马，可列方程是（　　） A．150x＝240（x﹣12） B．240x＝150（x﹣12） C．150x＝240（x+12） D．240x＝150（x+12） 【作业5】（2025秋•故城县期末）如图，在大长方形ABCD（CD是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，求小长方形的宽AE．解决这个问题时可设AE＝x．嘉嘉说：根据小长方形的长相等可列方程6+2x﹣x＝14﹣3x；淇淇说：根据大长方形的宽相等可列方程6+2x＝14﹣3x，则下列判断正确的是（　　） A．嘉嘉、淇淇都正确 B．嘉嘉、淇淇都不正确 C．嘉嘉正确，淇淇不正确 D．嘉嘉不正确，淇淇正确 【作业6】（2026春•项城市月考）某工厂计划加工一批零件，若单独加工，甲车间需要10天完成，乙车间需要15天完成． （1）若两车间合作，需要多少天完成？ （2）若甲车间先加工3天，再由两车间合作，还需要多少天完成？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $