专题3.2 一元一次方程及其解法（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题3.2 一元一次方程及其解法 教学目标 1. 知道一元一次方程的概念； 2. 会解一元一次方程； 3. 掌握一元一次方程的代数应用。 教学重难点 1.重点 （1）一元一次方程的概念，根据一元一次方程的概念求参数 （2）一元一次方程的解法； （3）一元一次方程的代数应用。 2.难点 （1）一元一次方程的特殊解法； （2）一元一次方程有关的化简、变形、求值等。 知识点1 一元一次方程的概念 一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 要点： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数． 【即学即练】 1．下列式子，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元一次方程，据此判断即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是方程，该选项不合题意； 、是一元一次方程，该选项符合题意； 、不是方程，该选项不合题意； 、含有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐一判断即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、中含有两个未知数，故选项不符合题意； B、分母中含有未知数，方程左边不是整式，故选项不符合题意； C、是一元一次方程，故选项符合题意； D、中含有两个未知数，故选项不符合题意； 故选：C． 3．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟记定义并应用解决问题是解题的关键． 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程，根据定义解答． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴且， ∴， 故选：A． 知识点2 一元一次方程的解法 一、解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 要点： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 二、解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义． 要点：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论： (1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或. 2.含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论： （1） 当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解． 三、整体法 例 解方程：4(x-2)+5=35-(x-2). 分析 可以将x-2看作一个整体进行运算. 解：移项， 得4(x-2)+(x-2)=35-5. 将x-2看作一个整体进行加法运算，得5(x—2)=30. 两边同除以5,得x-2=6. 移项，得 x=8. 所以，原方程的解是x=8. 【即学即练】 1．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查解一元一次方程，熟练掌握解法是解题的关键： （1）先移项，再合并同类项，系数化为1求出方程的解； （2）先移项，再合并同类项，系数化为1求出方程的解； （3）先移项，再合并同类项，系数化为1求出方程的解； （4）先移项，再合并同类项，系数化为1求出方程的解． 【详解】（1）解：； 移项得 合并同类项得 系数化为1得； （2） 移项得 合并同类项得 系数化为1得； （3） 移项得 合并同类项得 系数化为1得； （4） 移项得 合并同类项得 系数化为1得． 2．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 3．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （3）先把原方程变形，然后再根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得； （3）解：整理，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 4．把方程去分母，方程两边同乘的最恰当的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的性质，方程两边乘以和的最小公倍数即可去分母，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和的最小公倍数是， ∴根据等式的性质，方程两边同乘以可去分母， 故答案为：． 5．下列方程变形正确的是（   ） A．方程移项得 B．方程化成 C．若，则 D．方程，去括号，得 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握等式的性质时解题关键．根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、方程移项得，变形错误，不符合题意； B、方程可化为，整理得，变形正确，符合题意； C、若，当时，；当时，与不一定相等，变形错误，不符合题意； D、方程，去括号，得，变形错误，不符合题意； 故选：B． 题型01 判断一元一次方程 【典例1】．下列方程为一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义（判断是否是一元一次方程），熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程． 根据一元一次方程的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 是一元一次方程，故选项符合题意； B. 含有两个未知数，不是一元一次方程，故选项不符合题意； C. ，未知数的最高次数是，不是一元一次方程，故选项不符合题意； D. 不是整式方程，故选项不符合题意； 故选：． 【变式1】．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的识别，只含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做一元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是方程，不符合题意； B、不含未知数，不是方程，不符合题意； C、是一元一次方程，符合题意； D、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意； 故选C． 【变式2】．在方程，，， ， ，，中，是一元一次方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，不是一元一次方程， 根据一元一次方程的定义可知，只有，，，这三个方程是一元一次方程， 故选：B． 题型02 根据一元一次方程的概念求参数 【典例1】．若是关于x的一元一次方程，则m的取值为（　　） A．不等于3的数 B．任何数 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，即可解答． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ， ， 故选：A． 【变式1】．如果是关于的一元一次方程，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值，根据一元一次方程的定义可得，，进而求出的值再代入代数式计算即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】．已知方程是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程是解题关键． 根据一元一次方程的定义，得，，即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， ∴，且， 解得：， 故选：A． 题型03 根据一元一次方程的解求参数或代数式的值 【典例1】．已知是方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据方程的解求参数，把代入到方程中计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】．若关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程计算即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】．若是关于的一元一次方程的解，则的值是（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的解，代数式求值，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故选：C． 题型04 移项与合并同类项 【典例1】．下列方程中移项正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，根据解一元一次方程的方法，等式的性质逐一判断即可，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：A、由，得，故选项不符合题意； B、由，得，故选项不符合题意； C、由，得，故选项不符合题意； D、由，得，正确，故选项符合题意； 故选：D． 【变式1】．下列方程变形正确的是（    ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的性质． 根据解一元一次方程或等式的性质，即可作出判断． 【详解】解：A、由得，原式正确，符合题意； B、由得，原式错误，不符合题意； C、由得到，原式错误，不符合题意； D、由得，原式错误，不符合题意， 故选：A． 【变式2】．解方程时，嘉嘉和淇淇有不同的解法，如图所示： 嘉嘉的解法 解：方程两边都除以，得 因为， 所以不成立 所以原方程无解 琪琪的解法 解：移项，得 合并同类项，得 系数化1，得 所以原方程的解为 以下说法正确的是（    ） A．嘉嘉的解法正确，淇淇的解法错误 B．嘉嘉的解法错误，淇淇的解法正确 C．嘉嘉和淇淇的解法都正确 D．嘉嘉和淇淇的解法都错误 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，是解题的关键．根据等式的基本性质和解一元一次方程的基本方法，进行判断即可． 【详解】解：对于嘉嘉的解法来说，方程两边都除以时要进行分类讨论，分为和进行讨论，当时，方程成立，因此嘉嘉的解法错误； 对于淇淇的解法来说，利用了移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，但琪琪在移项时，没有变号，应该是，而不是，因此淇淇的解法也错误； 综上分析可知：嘉嘉和淇淇的解法都错误． 故选：D． 题型05 去括号与去分母 【典例1】．解方程 时，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．去括号时，一是注意不要漏乘括号内的项，二是明确括号前的符号．根据乘法分配律先将2乘进去即可． 【详解】解： 去括号，得， 故选∶B． 【变式1】．方程去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号法则对原方程去括号，然后逐一分析选项得出正确答案．本题主要考查了去括号法则，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：， ∴，即． 故选：C． 【变式2】．方程去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程（去分母），解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．方程左右两边同时乘以各分母的最小公倍数，去分母即可． 【详解】解： 去分母得：． 故选：． 【变式3】．将方程去分母，变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，利用了等式的基本性质，等式两边同时乘或除同一个数或整式，等式两边依然相等． 根据等式的基本性质求解即可． 【详解】解：解方程， 方程两边同乘以6得：， 故选：D． 【变式4】．把方程中的分子、分母化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程． 将方程中左边第一项分子分母同时扩大10倍，第二项分子分母同时扩大100倍，使其小数化为整数得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程整理得：． 故选：C． 题型06 解一元一次方程 【典例1】．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过移项，合并同类项，系数化为1进行求解即可； （2）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解即可． 本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （3）先把原方程变形，然后再根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得； （3）解：整理，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 【变式2】．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）先去分母，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先移项合并同类项，再系数化为1即可； （3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可； （4）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式3】．解方程： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了一元一次方程的解法．熟练掌握解一元一次方程的步骤，分数的基本性质，是解题的关键． （1）移项、合并同类项，即可得解； （2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得解； （3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得解； （4）化简、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得解． 【详解】（1）解：∵， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． （3）解：∵， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． （4）解：∵， 化简，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 题型07 一元一次方程的解法综合辨析 【典例1】．下列方程变形正确的是（   ） A．方程，移项，得 B．方程，去括号，得 C．方程，去分母，得 D．方程，系数化为1，得 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键，根据解一元一次方程的步骤：依据移项、去括号、去分母、系数化为1的规则，逐一分析各选项，进行判断即可得到答案． 【详解】A：方程移项应得，故A错误． B：方程去括号时，得，故B正确． C：方程去分母时，两边乘以2应得，故C错误． D：方程系数化为1应得，故D错误． 故选：B． 【变式1】．下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程，系数化为1，得 B．方程，移项，得 C．方程，去括号，得 D．方程，去分母，得 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，根据去分母、去括号、移项、未知数的系数化为1的步骤逐项分析即可． 【详解】解：选项A：方程，系数化为1时，两边同乘，得，变形正确． 选项B：方程，移项应得，即．但选项B中移项后为，右侧符号错误，变形错误． 选项C：方程，去括号后左边为，右边应为，但选项C中右边写为，计算错误，变形错误． 选项D：方程，去分母时应两边同乘6，得．但选项D中右侧仍为1，未乘6，变形错误． 故选：A． 【变式2】．下列方程变形中，正确的是（   ） A．由，系数化为1得 B．由，移项得 C．由，去分母得， D．由，去括号得 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，利用等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．由，系数化为1得，则此选项不符合题意， B．由，移项得，则此选项不符合题意， C．由，去分母得，则此选项不符合题意， D．由，去括号得，则此选项符合题意， 故选：D． 题型08 分析解一元一次方程的过程 【典例1】．小舟同学解方程的过程如下．请你判断小舟同学的解法是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 解：去分母，去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 【答案】小舟同学的解法不正确．见解析 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把系数化为1即可，掌握解法步骤是解本题的关键． 【详解】解：小舟的解法错误， ， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：． 【变式1】．小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即 【A】 去分母，得    【B】 去括号，得   【C】 移项，得 【D】 合并同类项，得 【E】 系数化为1，得 【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 【答案】(1)D；移项时忘了变号 (2)见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法、步骤以及相关运算法则是解题关键． （1）根据移项法则分析即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：他错在D步骤，错误的原因是移项时忘了变号； （2）解：原方程即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型09 污染问题 【典例1】．学习卷中有一个方程“”中的“■”没印清晰，老师只是说：“■”是一个有理数．若该方程的解是，则“■”处的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，将代入原方程求解即可．解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】解：依题意，该方程的解是， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式1】．小明在做家庭作业时发现练习册上的一道解方程的题目中的一个数字被墨水污染了：，是被污染的内容，是哪个数字呢？他很着急，翻开练习册看后面的答案，发现这道题的解是，很快补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应该是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程的拓展，正确理解方程的解及解一元一次方程的解法是解题的关键． 设，将代入方程即可求解． 【详解】解：设， 将代入方程，得， 得， 故选C． 题型10 一元一次方程解法的代数应用 【典例1】．已知关于的代数式与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C．3 D．7 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及相反数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据互为相反数的两个数和为0，建立方程求解． 【详解】解：∵代数式 与 互为相反数， ∴， 解得：， 因此， 的值为3， 故选：C． 【变式1】．若关于的方程的解和方程的解互为相反数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解和一元一次方程的解法，先求出方程的解，然后把它的相反数代入即可求解． 【详解】解：， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得， 把代入得，， 解得． 故选：A． 【变式2】．若的值比的值小1，则k的值为 【答案】 【分析】本题考查了根据题干给出的条件列出一元一次方程并解方程． 先根据的值比的值小1列出方程，然后去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】解：根据题意得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 故答案为：． 【变式3】．若方程的解与关于的方程的解相同，则代数式的值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，代数式求值，掌握解一元一次方程是解答本题的关键． 首先求出方程的解为，然后代入求出，然后代入求解即可． 【详解】 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 根据题意得，关于的方程的解为 ∴ 解得 ∴． 故答案为：14． 题型11 难点分析综合 【典例1】．请阅读下面材料，现规定一种运算：，例如，按照这种运算的规定，求时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：． 故答案为： 【变式1】．若关于的方程的解是正整数，且为整数，则关于的方程的解为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程．先根据关于的方程的解是正整数求出或，再把或代入分别解方程即可． 【详解】解：解得到， ∵关于的方程的解是正整数， ∴或， 解得或 当时，，解得， 当时，，解得， 综上可知，关于的方程的解为或， 故选：D 【变式2】．整式的值随x取值的不同而不同，表格是当x取不同的值时对应的整式值，则关于x的方程的解为 ． x … 0 1 3 … … 1 3 7 … 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据表格可得当时，，那么把所求方程中的看做一个整体可得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：由表格可知，当时，， ∵， ∴把所求方程中的看做一个整体可得到， ∴， ∴关于x的方程的解为， 故答案为：． 【变式3】．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．将化为，根据关于x的一元一次方程的解可知关于的一元一次方程的解，从而求出关于y的一元一次方程：的解即可． 【详解】解：可化为， ∵关于x的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4】．已知关于的一元一次方程（其中为常数），若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“恰解方程”．例如：方程的解恰好为，则方程为“恰解方程”．若关于的一元一次方程是“恰解方程”，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程；求出关于x的一元一次方程的解，根据此方程是“恰解方程”，得关于k的方程，解方程即可求得k的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程是“恰解方程”， ∴， ∴， 解得． 故选A． 一、单选题 1．已知下列方程，属于一元一次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的定义． 根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（，是常数且），进行判断即可． 【详解】解：一元一次方程有②，③，⑤，共3个． 故选：C． 2．是方程的解，那么的值是　　 A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】虽然是关于的方程，但是含有两个未知数，其实质是知道一个未知数的值求另一个未知数的值． 【详解】解：把代入 得： 解得： 故选：B． 【点睛】本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式． 3．下面解方程结果正确的是（    ） A．方程的解为 B．方程的解为 C．方程的解为 D．方程的解为 【答案】D 【分析】根据解一元一次方程的方法逐项判断即得答案. 【详解】解：A、方程的解为，故解方程结果错误，不符合题意； B、方程的解为，故解方程结果错误，不符合题意； C、方程的解为，故解方程结果错误，不符合题意； D、方程的解为，故解方程结果正确，符合题意； 故选：D. 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，属于基础题型，正确合并同类项和化系数为1是解题的关键. 4．把方程的系数化为1的过程中，最恰当的叙述是（    ） A．给方程两边同时乘 B．给方程两边同时除以 C．给方程两边同时乘 D．给方程两边同时除以5 【答案】C 【分析】根据等式的性质2，方程两边同时乘即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 5．解方程时，两边都除以，得，其错误原因是(    ) A．方程本身是错的 B．方程无解 C．两边都除以了 D．小于 【答案】C 【分析】出错的地方为：方程两边除以，没有考虑为的情况，据此判断即可． 【详解】解：错误的地方为：方程两边都除以，没有考虑是否为， 正确解法为： 移项得：， 合并得：， 系数化为得：． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．若代数式与3互为相反数，则的值是　　 A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义，互为相反数的两数之和为0，可列出方程． 【详解】解：根据题意列方程得：， 解得：． 故选：B． 【点睛】解本题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 7．已知关于x的方程与的解相同，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】先求出方程的解，然后代入方程，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 把代入方程，则 ， 解得：； 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法进行解题． 8．下面是小明解方程的过程，但顺序被打乱，其中正确的顺序是（    ） ①移项、合并同类项，得； ②方程两边同乘4，得； ③移项、合并同类项，得； ④方程两边同除以32，得． A．①②③④ B．④③②① C．②①④③ D．③④②① 【答案】C 【分析】根据解方程的步骤进行求解即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同乘4，得， 移项、合并同类项，得， 方程两边同除以32，得， 移项、合并同类项，得， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的求解是解题的关键． 9．已知关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（     ） A．8 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】求得方程的解，根据解是正整数，分类计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程的解是正整数， ∴， 解得 ∴积为， 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法及其特殊解，正确理解整数解的意义是解题的关键． 10．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程 的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入关于x的一元一次方程中，得到，然后和关于y的一元一次方程对比即可求出y的值． 【详解】解：关于x的一元一次方程的解为， 和关于y的一元一次方程对比， 可得：， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查的是根据一个一元一次方程组的解求另一个一元一次方程的解，找到两个一元一次方程的对应关系是解决此题的关键． 二、填空题 11．如果关于的方程是一元一次方程，则　　． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常数且．据此解答即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，且， 解得：． 故答案为：． 12．已知是方程的解，则 ． 【答案】 【分析】根据是方程的解，可得：，据此求出的值是多少即可． 【详解】解：是方程的解， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程的方法，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 13．当 时，代数式的值为0． 【答案】2 【分析】根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得：， 移项得：， 系数化为1得：， ∴当时，代数式的值为0， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． 14．若是的倒数，则 ． 【答案】 【分析】根据乘积是1的两数互为倒数可得答案． 【详解】解：∵是的倒数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了倒数及解一元一次方程，关键是掌握倒数定义． 15．小石在解关于x的方程时，误将等号前的“”看成“”，得出的解为，则原方程的解为 ． 【答案】 【分析】把代入中求出a的值，再求出原方程的解即可． 【详解】解：根据题意，得：是的解， ∴把代入得： 解得：， ∴原方程为， 解得： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，熟练掌握运算法则，求出，是解题的关键． 16．若整式比整式的值大5，则 ． 【答案】 【分析】根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵整式比整式的值大5， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意列出方程是解题的关键． 17．定义新运算：对于任意有理数a，b都有，如：．若，则x的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查定义新运算，解一元一次方程，根据新运算的法则，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：1． 18．方程的解是 . 【答案】1010 【分析】方程左边整理后，利用折项法变形，计算即可求出解. 【详解】∵ ∴方程整理为： 即 即 化简得，，即 整理得， 解得， 故答案为：1010. 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a的形式转化. 三、解答题 19．解方程： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将方程去分母，然后将方程移项，合并同类项，即可求解． （2）将方程去分母，然后将方程移项，合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 【点睛】此题主要考查学生对解一元一次方程的理解和掌握，解一元一次方程的基本思路是：通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程“转化”为为常数）的形式． 20．解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化1可得： （2）去分母可得：， 去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化1可得： 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 21．解方程 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先将方程变形为，再按照去分母，去括号，移项合并同类项，未知数系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 未知数系数化为1得：． （2）解：， 原方程可变为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 未知数系数化为1得：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，准确计算． 22．小明解一元一次方程的过程如下： 第一步：将原方程化为． 第二步：将原方程化为． 第三步：去分母．．． (1)第一步方程变形的依据是_____；第二步方程变形的依据是_____；第三步去分母的依据是____； (2)请把以上解方程的过程补充完整． 【答案】(1)分数的性质；等式的性质2；等式的性质2 (2) 【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）第一步方程变形的依据是分数的性质；第二步方程变形的依据是等式的性质2；第三步去分母的依据是等式的性质2； （2） 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 23．小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出，请你试着求出的值，并求出方程正确的解． 【答案】， 【分析】根据“小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出”，分析出“是方程的解”，把代入方程中，求出的值，再把的值代入原方程中，正确去分母，求出方程正确的解即可． 【详解】解：∵小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出， ∴是方程的解， ∴把代入方程中， 得：， 解得：， 把代入原方程中， 得：， 方程左右同乘、去分母，得：， 移项、合并同类项，得， 解得：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，本题先根据错误运算的思路列方程求出的值是解题的关键． 24．在解方程时，可先将，分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可． （2）将、分别看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可． 【详解】（1）移项，得， 整体合并，得， 即，解得. （2）. 移项、合并同类项得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得. 【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解决本题的关键是要注意用了整体代入思想． 25．课堂上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫☆运算．”老师根据规律，写出了几组按照☆运算法则进行运算的式子： 第一组：；； 第二组：；； 第三组：；；；． 小明说：我知道老师定义的☆运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳☆运算法则： (1)归纳☆运算法则，填写下列空白部分： ①同号两个数进行☆运算时，结果的符号为负，数值部分取绝对值相加； ②异号两个数进行☆运算时，____________； ③特别地，0和任何数进行☆运算，或是任何数和0进行☆运算都等于______； (2)填空：______；______； (3)若，求的值． 【答案】(1)结果的符号为正，数值部分取绝对值相加；该数的绝对值 (2)； (3)或1 【分析】（1）从题中分别观察同号运算，异号运算，以及与0进行运算时的结果，进行总结即可； （2）结合新定义的运算法则，求解即可； （3）分为负数、为正数和为0三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：归纳☆运算法则，填写下列空白部分： ①同号两个数进行☆运算时，结果的符号为负，数值部分取绝对值相加； ②异号两个数进行☆运算时，结果的符号为正，数值部分取绝对值相加； ③特别地，0和任何数进行☆运算，或是任何数和0进行☆运算都等于该数的绝对值． 故答案为：结果的符号为正，数值部分取绝对值相加；该数的绝对值； （2）； ． 故答案为：；； （3）若为负数，即， 则有， 解得； 若为正数，即， 则有， 解得； 若为0， 则有， 解得，不符合题意，舍去． 综上所述，的值为或1． 【点睛】本题主要考查了新定义运算、有理数运算、化简绝对值以及解一元一次方程等知识，理解新定义的运算是解题关键． 26．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】(1) (2)3或 (3)①，；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可； （3）①由题意可知的解是，结合，则即可求解； ②求得方程的解，利用“阳光方程”的定义得到方程的解，再将关于y的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：, 方程的解为：， 关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， 解得：； 故答案为：； （2）解： 互为“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， 又这两个“阳光方程”的解的差为5 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）解：①关于x的一元一次方程的解是， 即的解是， 关于y的一元一次方程：的解是， 则的解是， 即的解是， 故答案为：，； ②∵关于x的一元一次方程的解为， 又∵关于x一元一次方程和互为“阳光方程”， 方程的解为：， 把关于y的一元一次方程， 整理得： ， 解得：， 关于y的一元一次方程的解为： 故答案为： 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 一元一次方程及其解法 教学目标 1. 知道一元一次方程的概念； 2. 会解一元一次方程； 3. 掌握一元一次方程的代数应用。 教学重难点 1.重点 （1）一元一次方程的概念，根据一元一次方程的概念求参数 （2）一元一次方程的解法； （3）一元一次方程的代数应用。 2.难点 （1）一元一次方程的特殊解法； （2）一元一次方程有关的化简、变形、求值等。 知识点1 一元一次方程的概念 一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 要点： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数． 【即学即练】 1．下列式子，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 知识点2 一元一次方程的解法 一、解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 要点： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 二、解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义． 要点：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论： (1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或. 2.含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论： （1） 当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解． 三、整体法 例 解方程：4(x-2)+5=35-(x-2). 分析 可以将x-2看作一个整体进行运算. 解：移项， 得4(x-2)+(x-2)=35-5. 将x-2看作一个整体进行加法运算，得5(x—2)=30. 两边同除以5,得x-2=6. 移项，得 x=8. 所以，原方程的解是x=8. 【即学即练】 1．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．解方程： (1)； (2) 3．解方程： (1)； (2)； (3)． 4．把方程去分母，方程两边同乘的最恰当的数是（   ） A． B． C． D． 5．下列方程变形正确的是（   ） A．方程移项得 B．方程化成 C．若，则 D．方程，去括号，得 题型01 判断一元一次方程 【典例1】．下列方程为一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．在方程，，， ， ，，中，是一元一次方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．以上答案都不对 题型02 根据一元一次方程的概念求参数 【典例1】．若是关于x的一元一次方程，则m的取值为（　　） A．不等于3的数 B．任何数 C．3 D． 【变式1】．如果是关于的一元一次方程，求 ． 【变式2】．已知方程是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A．1 B． C． D．0 题型03 根据一元一次方程的解求参数或代数式的值 【典例1】．已知是方程的一个解，则 ． 【变式1】．若关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．若是关于的一元一次方程的解，则的值是（    ） A．1 B．2 C．0 D． 题型04 移项与合并同类项 【典例1】．下列方程中移项正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式1】．下列方程变形正确的是（    ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【变式2】．解方程时，嘉嘉和淇淇有不同的解法，如图所示： 嘉嘉的解法 解：方程两边都除以，得 因为， 所以不成立 所以原方程无解 琪琪的解法 解：移项，得 合并同类项，得 系数化1，得 所以原方程的解为 以下说法正确的是（    ） A．嘉嘉的解法正确，淇淇的解法错误 B．嘉嘉的解法错误，淇淇的解法正确 C．嘉嘉和淇淇的解法都正确 D．嘉嘉和淇淇的解法都错误 题型05 去括号与去分母 【典例1】．解方程 时，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．方程去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．方程去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．将方程去分母，变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】．把方程中的分子、分母化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型06 解一元一次方程 【典例1】．解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】．解方程： (1)； (2)； (3)． 【变式2】．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．解方程： (1)； (2)； (3) (4) 题型07 一元一次方程的解法综合辨析 【典例1】．下列方程变形正确的是（   ） A．方程，移项，得 B．方程，去括号，得 C．方程，去分母，得 D．方程，系数化为1，得 【变式1】．下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程，系数化为1，得 B．方程，移项，得 C．方程，去括号，得 D．方程，去分母，得 【变式2】．下列方程变形中，正确的是（   ） A．由，系数化为1得 B．由，移项得 C．由，去分母得， D．由，去括号得 题型08 分析解一元一次方程的过程 【典例1】．小舟同学解方程的过程如下．请你判断小舟同学的解法是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 解：去分母，去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 【变式1】．小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即 【A】 去分母，得    【B】 去括号，得   【C】 移项，得 【D】 合并同类项，得 【E】 系数化为1，得 【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 题型09 污染问题 【典例1】．学习卷中有一个方程“”中的“■”没印清晰，老师只是说：“■”是一个有理数．若该方程的解是，则“■”处的数是 ． 【变式1】．小明在做家庭作业时发现练习册上的一道解方程的题目中的一个数字被墨水污染了：，是被污染的内容，是哪个数字呢？他很着急，翻开练习册看后面的答案，发现这道题的解是，很快补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应该是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型10 一元一次方程解法的代数应用 【典例1】．已知关于的代数式与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C．3 D．7 【变式1】．若关于的方程的解和方程的解互为相反数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【变式2】．若的值比的值小1，则k的值为 【变式3】．若方程的解与关于的方程的解相同，则代数式的值为 ． 题型11 难点分析综合 【典例1】．请阅读下面材料，现规定一种运算：，例如，按照这种运算的规定，求时，的值为 ． 【变式1】．若关于的方程的解是正整数，且为整数，则关于的方程的解为（    ） A．或 B． C． D．或 【变式2】．整式的值随x取值的不同而不同，表格是当x取不同的值时对应的整式值，则关于x的方程的解为 ． x … 0 1 3 … … 1 3 7 … 【变式3】．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【变式4】．已知关于的一元一次方程（其中为常数），若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“恰解方程”．例如：方程的解恰好为，则方程为“恰解方程”．若关于的一元一次方程是“恰解方程”，则的值为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知下列方程，属于一元一次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．是方程的解，那么的值是　　 A． B．4 C．2 D． 3．下面解方程结果正确的是（    ） A．方程的解为 B．方程的解为 C．方程的解为 D．方程的解为 4．把方程的系数化为1的过程中，最恰当的叙述是（    ） A．给方程两边同时乘 B．给方程两边同时除以 C．给方程两边同时乘 D．给方程两边同时除以5 5．解方程时，两边都除以，得，其错误原因是(    ) A．方程本身是错的 B．方程无解 C．两边都除以了 D．小于 6．若代数式与3互为相反数，则的值是　　 A． B．1 C． D． 7．已知关于x的方程与的解相同，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 8．下面是小明解方程的过程，但顺序被打乱，其中正确的顺序是（    ） ①移项、合并同类项，得； ②方程两边同乘4，得； ③移项、合并同类项，得； ④方程两边同除以32，得． A．①②③④ B．④③②① C．②①④③ D．③④②① 9．已知关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（     ） A．8 B． C．12 D． 10．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程 的解为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如果关于的方程是一元一次方程，则　　． 12．已知是方程的解，则 ． 13．当 时，代数式的值为0． 14．若是的倒数，则 ． 15．小石在解关于x的方程时，误将等号前的“”看成“”，得出的解为，则原方程的解为 ． 16．若整式比整式的值大5，则 ． 17．定义新运算：对于任意有理数a，b都有，如：．若，则x的值为 ． 18．方程的解是 . 三、解答题 19．解方程： (1)； (2). 20．解方程． (1) (2) 21．解方程 (1)． (2)． 22．小明解一元一次方程的过程如下： 第一步：将原方程化为． 第二步：将原方程化为． 第三步：去分母．．． (1)第一步方程变形的依据是_____；第二步方程变形的依据是_____；第三步去分母的依据是____； (2)请把以上解方程的过程补充完整． 23．小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出，请你试着求出的值，并求出方程正确的解． 24．在解方程时，可先将，分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程： (1)； (2)． 25．课堂上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫☆运算．”老师根据规律，写出了几组按照☆运算法则进行运算的式子： 第一组：；； 第二组：；； 第三组：；；；． 小明说：我知道老师定义的☆运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳☆运算法则： (1)归纳☆运算法则，填写下列空白部分： ①同号两个数进行☆运算时，结果的符号为负，数值部分取绝对值相加； ②异号两个数进行☆运算时，____________； ③特别地，0和任何数进行☆运算，或是任何数和0进行☆运算都等于______； (2)填空：______；______； (3)若，求的值． 26．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$