专题3.2 （1）一元一次方程的解法—等式的性质（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦一元一次方程及其解法核心知识点，系统梳理一元一次方程的概念（含未知数、一次式、等式三要素及一般形式ax+b=0,a≠0）、等式的性质（性质1：加减同数或式子等式成立；性质2：乘除同数且除数不为0等式成立），以及解方程与方程的解的概念，构建从概念理解到性质应用再到方程求解的递进学习支架。 该资料通过分层题型设计（如一元一次方程辨析、参数求解、等式性质应用等），搭配典例与变式练习，培养学生抽象能力（如参数问题中对一元一次方程定义的精准把握）和推理意识（如利用等式性质逐步变形解方程）。即学即练环节助力课中即时巩固，综合练习题则便于课后查漏补缺，有效提升教学效果与学生知识掌握度。

专题3.2 （1）一元一次方程及其解法 教学目标 1理解一元一次方程的概念； 2.理解等式的性质； 3.会利用等式的性质解简单的方程； 教学重难点 1.重点 等式的性质； 2.难点 利用等式的性质解简单的方程。 知识点01 一元一次方程 1. 一元一次方程： 一般地，如果方程中只含有一个未知数(元),且含有未知数的项是一次式的方程叫做一元一次方程. 三要素：①含有未知数；②未项是一次式；③是等式 2. 一元一次方程的一般形式为：ax+b=0 (a≠0) 注意：在一元一次方程的标准形式中x代表未知数，a,b是常数且(a≠0). 3. 解方程与方程的解 （1）解方程：求方程解的过程叫作解方程。 （2）能使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。 （3）联系：方程的解以“x=m”的形式呈现，解方程的本质就将方程化成“x=m”的形式。 【即学即练】 1. 关于x的方程是一元一次方程，那么这个方程的解为 ． 知识点02 等式的性质 1. 等式的性质是解方程的依据; 2. 两个基本性质 性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子),等式仍成立； 如果 a=b,那么a±c=b±c 性质2：等式两边乘（或除）同一个数（除数不为0），等式仍成立。 如果a=b,那么ac=bc， 【即学即练】 1.若，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型01 一元一次方程的辨析 【典例1】下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D．2x2+x=1 【变式2】．下列方程中一元一次方程是（     ） A． B． C． D． 【变式3】下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 题型02 已知一元一次方程求参数 【典例1】已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 【变式1】已知等式是关于x一元一次方程，则_________． 【变式2】．若是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)求方程的解． 【变式3】已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与关于的方程的解相同，求的值． 【变式4】在一次数学活动课上，小军对小明说：我手中有四张卡片，它们上面分别写有9，，，．小明说：我用等号将这四张卡片中的任意两张卡片上的数或式子连接起来，就会得到等式或一元一次方程． 根据以上对话，回答下列问题： (1)小明一共能写出几个等式？ (2)在他写的这些等式中，有几个一元一次方程？请写出这几个一元一次方程． 题型03 等式性质的辨析 【典例1】下面关于等式性质的运用，正确的式子是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式1】下列变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】下列等式变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】下列等式的变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4】若，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 题型04 等式性质的应用 【典例1】填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【变式1】利用等式的基本性质解一元一次方程． 方程两边同时减去___________，得___________． 方程两边同时___________，得___________． 【变式2】由可得，依据是________． 【变式3】把方程变形为，这是根据等式的性质____． 【变式4】请在下列各题的横线上填上适当的式子． （1）如果，那么______________． （2）如果，那么______________． （3）如果，那么______________． （4）如果，那么______________． 题型05 利用等式性质解方程 【典例1】利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】利用等式的基本性质解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【变式2】利用等式的性质把下列方程化为的形式 (1)； (2)． 【变式3】请利用等式的基本性质，将下列方程化成的形式． (1)； (2)． 【变式4】请利用等式的基本性质，把下列方程化成的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05 有关联根的两个方程 【典例1】当k取何值时，方程和方程的解相同？ 【变式1】若关于x的方程的解与方程的解相同，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．8 D． 【变式2】若关于的方程的解为，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式3】已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式4】定义：若关于x的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．根据题意，解决下面问题： (1)方程_____（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 1．下列是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于的一元一次方程，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．已知等式，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知与方程的解相同，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 6．已知是关于的一元一次方程的解，则代数式的值为______． 7．若，则______，这是根据等式的基本性质______，在等式两边同时______． 8．由等式的两边都______，得到等式，这是根据等式的基本性质______． 9．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 10．利用等式的性质解方程：． 1．下列式子的变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 3．下面的说法中，正确的有（     ）个． ①方程都是等式，所以等式也都是方程． ②是方程的解． ③如果，那么． ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立． A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 5．兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 6．请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． (1)如果，那么． (2)如果，那么． (3)如果，那么． (4)如果，那么． 7．解方程： (1)； (2)； (3)． 8．已知是关于的一元一次方程， (1)求出的值； (2)求出方程的解． 9．新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”； (2)若关于的方程和互为“成双方程”，求的值． 10．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求方程的解； (3)若“美好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 （1）一元一次方程及其解法 教学目标 1理解一元一次方程的概念； 2.理解等式的性质； 3.会利用等式的性质解简单的方程； 教学重难点 1.重点 等式的性质； 2.难点 利用等式的性质解简单的方程。 知识点01 一元一次方程 1. 一元一次方程： 一般地，如果方程中只含有一个未知数(元),且含有未知数的项是一次式的方程叫做一元一次方程. 三要素：①含有未知数；②未项是一次式；③是等式 2. 一元一次方程的一般形式为：ax+b=0 (a≠0) 注意：在一元一次方程的标准形式中x代表未知数，a,b是常数且(a≠0). 3. 解方程与方程的解 （1）解方程：求方程解的过程叫作解方程。 （2）能使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。 （3）联系：方程的解以“x=m”的形式呈现，解方程的本质就将方程化成“x=m”的形式。 【即学即练】 1. 关于x的方程是一元一次方程，那么这个方程的解为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义求出的值，再代入的值解方程求出的值即可． 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， ，， ， 代入得，， 解得：． 故答案为：． 知识点02 等式的性质 1. 等式的性质是解方程的依据; 2. 两个基本性质 性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子),等式仍成立； 如果 a=b,那么a±c=b±c 性质2：等式两边乘（或除）同一个数（除数不为0），等式仍成立。 如果a=b,那么ac=bc， 【即学即练】 1.若，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的基本性质．根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则两边同时乘以得。只有当时，才有。由于的值不确定，所以该等式不一定成立，故本选项符合题意； D、若，则，故本选项不符合题意． 故选：C． 题型01 一元一次方程的辨析 【典例1】下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．一元一次方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都是整式．根据一元一次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、是一元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D 【变式1】在下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D．2x2+x=1 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键；此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是整式方程，故不是一元一次方程，该选项不符合题意； B、含有两个未知数，故不是一元一次方程，该选项不符合题意； C、是一元一次方程，故符合题意； D、未知数的最高次数为2，故不是一元一次方程，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】．下列方程中一元一次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义，逐一判断各选项是否符合要求，即可得到答案．一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且等号两边都是整式的方程． 【详解】解：A、含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1，所以是一元一次方程，符合要求． B、分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求． C、未知数在指数位置，不是一元一次方程，不符合要求． D、未知数最高次数为2，是一元二次方程，不符合要求． 【变式3】下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：方程含有两个未知数，不符合条件，错误； B选项：方程中未知数最高次数为2，不符合条件，错误； C选项：方程只含1个未知数，未知数次数为1，两边均为整式，符合一元一次方程定义，正确； D选项：方程分母含有未知数，不是整式方程，不符合条件，错误． 【变式4】下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次方程需满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，方程两边都是整式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，方程含有两个未知数和，不符合一元一次方程定义； 选项B中，方程中未知数的最高次数为，不符合一元一次方程定义； 选项C中，方程只含有个未知数，未知数最高次数为，且方程两边都是整式，符合一元一次方程定义； 选项D中，方程的分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元一次方程定义． 题型02 已知一元一次方程求参数 【典例1】已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，据此列出等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且． 解得，即或． 又． 因此． 【变式1】已知等式是关于x一元一次方程，则_________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1，一次项系数不为0的方程叫做一元一次方程，其一般形式为（a，b是常数且），据此列出关于m的关系式，即可求解得到m的值． 【详解】解：根据题意，由一元一次方程的定义得 且， 由可得或， 解得或， 结合即， 可得， 故答案为：1． 【变式2】．若是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)求方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义以及解一元一次方程，绝对值，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义可得，且，即可求解； （2）把（1）中a的值代入原方程，再解关于x的方程即可． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴，且， 解得； （2）解：根据（1）可知，， 所以方程为， ， 解得． 【变式3】已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元一次方程的解，明确一元一次方程只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． （1）根据一元一次方程的定义进行解答； （2）已知方程为，解得，的解为，根据已知方程与的解相同得m的方程，解m的方程即得m的值． 【详解】（1）解： ∵关于x的方程是一元一次方程， ∴，且， 解得：，且， ∴； （2）解：当时，已知方程为， 解得 解得，， ∵已知方程与的解相同， ∴， 解得：． 【变式4】在一次数学活动课上，小军对小明说：我手中有四张卡片，它们上面分别写有9，，，．小明说：我用等号将这四张卡片中的任意两张卡片上的数或式子连接起来，就会得到等式或一元一次方程． 根据以上对话，回答下列问题： (1)小明一共能写出几个等式？ (2)在他写的这些等式中，有几个一元一次方程？请写出这几个一元一次方程． 【答案】(1)6个 (2)有3个，分别为：，， 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）列出从四张卡片中任意选择两张卡片，所有的可能得到的等式； （2）根据一元一次方程的定义从（1）中判断哪些等式是一元一次方程，从而得到答案． 【详解】（1）解：可写出的等式有：、、、、、，共6个等式； （2）解：由（1）可知，一元一次方程有：、、， 共有3个一元一次方程． 题型03 等式性质的辨析 【典例1】下面关于等式性质的运用，正确的式子是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】根据等式的性质和字母的取值，即可判断． 【详解】解：A、当时，，，则，故选项不符合题意； B、当时，，故选项符合题意； C、当时，，，则，故选项不符合题意； D、如果，当时，，故选项不符合题意； 【变式1】下列变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质与不等式的基本性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：根据等式性质，等式两边同时加(或减)同一个数，等式仍然成立，∵，两边同时加，得，∴ A变形正确； 根据等式性质，等式两边同时乘(或除以)同一个不为的数，等式仍然成立，∵，两边同时除以，得，∴B变形正确； ∵， ∴， 根据不等式性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∵，两边同时除以正数，得，∴C变形正确； ∵无法确定的符号，当时，不等式两边同时除以，不等号方向改变，若，可得，因此D变形错误． 【变式2】下列等式变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】等式的基本性质为：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 【详解】解：∵若，两边同时加1可得，两边同时减2可得， ∴A，B选项变形正确，不符合题意． ∵若，且，两边同时除以4可得， ∴D选项变形正确，不符合题意． ∵若，当时，无论取何值等式都成立，只有时才能得到，题目没有说明，因此不能直接得到， ∴C选项变形错误，符合题意． 【变式3】下列等式的变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质，逐一判断各选项的变形即可得到错误选项． 【详解】解：根据等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． A. , 等式两边同时减, 可得, 变形正确． B. , 等式两边同时加, 可得, 变形正确． C. , 等式两边同时乘, 可得, 不是, 变形错误． D. , 等式两边同时乘, 可得, 变形正确． 故选C． 【变式4】若，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、若，则，故A错误； B、若，则，故B正确； C、若，则，故C错误； D、若，且，则，故D错误； 题型04 等式性质的应用 【典例1】填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据等式的性质和等式的性质对各等式逐一变形即可求解． 【详解】解：（1）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （2）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （3）已知，根据等式的性质，等式两边同时除以，得； （4）已知，根据等式的性质，等式两边同时乘以，得． 【变式1】利用等式的基本性质解一元一次方程． 方程两边同时减去___________，得___________． 方程两边同时___________，得___________． 【答案】 8 5 除以 【分析】本题考查等式的性质，解题关键是明确等式的性质的内容，会用等式的性质解方程．根据等式的性质即可解答． 【详解】解：解方程：， 第一步：根据等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，所得结果仍是等式，方程两边都减去8，得到． 第二步：根据等式的基本性质：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为零的数），所得结果仍是等式，方程两边都除以，得到． 故答案为：8；5；除以；． 【变式2】由可得，依据是________． 【答案】等式的基本性质2 【分析】此题考查了等式的基本性质2：等式两边同时乘以同一个数或除以同一个不为零的数，等式仍然成立． 根据等式的基本性质2求解即可． 【详解】解：由可得，依据是等式的基本性质2． 故答案为：等式的基本性质2． 【变式3】把方程变形为，这是根据等式的性质____． 【答案】2 【分析】该题考查了解一元一次方程，等式的性质，根据等式的性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，解答即可． 【详解】解：原方程为，两边同时乘以2，得， 这是根据等式的性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立． 故答案为：2． 【变式4】请在下列各题的横线上填上适当的式子． （1）如果，那么______________． （2）如果，那么______________． （3）如果，那么______________． （4）如果，那么______________． 【答案】 10 【分析】本题考查等式的基本性质．熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等，即可得出答案． （2）根据等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等，即可得出答案． （3）根据等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等，即可得出答案． （4）根据等式的性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等即可得出答案． 【详解】解：（1）根据等式的性质1，两边都加2；如果，那么； 故答案为：10； （2）根据等式的性质1，两边都减3；如果，那么； 故答案为：； （3）根据等式的性质1，两边都加；如果，那么； 故答案为：； （4）根据等式的性质2，两边都除以5；如果，那么． 故答案为：． 题型05 利用等式性质解方程 【典例1】利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等． （1）方程两边同减去2，即可得出答案； （2）方程两边同乘2，即可得出答案； （3）方程两边同加上5，即可得出答案； （4）方程两边先同时减去1，变为，然后方程两边同除以2，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 方程两边都减2，得． （2）解：， 方程两边都乘2，得． （3）解：， 方程两边都加5，得． （4）解：， 方程两边都减1，得； 方程两边都除以2，得． 【变式1】利用等式的基本性质解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）方程两边同时减去5，得，即； （2）方程两边同时加上，得，即； （3）方程两边同时除以，得，即； （4）方程两边同时乘以，得，即； 【变式2】利用等式的性质把下列方程化为的形式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等式的基本性质，等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍是等式． （1）根据等式的性质解方程即可； （2）根据等式的性质解方程即可． 【详解】（1）解：， 两边同时减去8，得， 所以，； （2）解：， 两边同时加上4，， 所以， 两边同时乘以，得， 所以，． 【变式3】请利用等式的基本性质，将下列方程化成的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）根据等式的性质1得到，根据等式的性质2得到； （2）根据等式的性质1得到即可． 【详解】（1）解：由等式的性质1可知， 即， 由等式的性质2可知， 即； （2）解：由等式的性质1可知， 即． 【变式4】请利用等式的基本性质，把下列方程化成的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了等式的基本性质． （1）两边都加6，化简即可； （2）两边都加，再把两边都除以2即可； （3）两边都除以3即可； （4）两边都除以即可． 【详解】（1）解：两边都加6得： 得： （2）解：两边都加得： 得： 两边都除以2得：，即 （3）解：两边都除以3得：，即 （4）解：两边都除以得：，即 题型05 有关联根的两个方程 【典例1】当k取何值时，方程和方程的解相同？ 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，理解同解方程是解答的关键．求出方程的解，把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：解，得：； 当方程和方程的解相同时， 则：，解得：． ∴当时，方程和方程的解相同． 【变式1】若关于x的方程的解与方程的解相同，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．先根据题意计算的解为，将代入，即可求出答案． 【详解】解：， 解得， 将代入， 解得， 故选A． 【变式2】若关于的方程的解为，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查方程解的定义，换元法及同解方程知识，根据题意，令，则关于的方程与关于的方程是同解的方程列式求解即可得到答案，熟记方程解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：令， 由是方程的解可知， 关于的方程的解满足， 解得， 故选：B． 【变式3】已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据已知一元一次方程，求另一个一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解的定义是解此题的关键． 已知关于的方程的解为，观察关于的方程的结构，可发现其与原方程形式相同，只需将原方程中的替换为．因此，原方程的解对应新方程中，直接求解即可． 【详解】解：因为原方程的解为． 所以方程满足， 解得， 故选：A． 【变式4】定义：若关于x的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．根据题意，解决下面问题： (1)方程_____（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【答案】(1)不是 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法，理解新定义，是解题的关键． （1）根据差根方程的定义进行求解即可； （2）先求出方程的解为：，然后根据关于x的一元一次方程是“差解方程”，列出关于m的方程，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：方程的解为：， ， ∴方程不是“差解方程”； （2）解：方程的解为：， ∵关于x的一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解得：． 1．下列是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为，且等号两边都是整式的方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 选项A、中，未知数的最高次数为，不符合一元一次方程定义，∴ A错误； ∵ 选项B、的分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义，∴ B错误； ∵ 选项C、中含有和两个未知数，不符合定义，∴ C错误； ∵ 选项D、，只含有一个未知数，未知数次数为，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义，∴ D正确． 2．已知关于的一元一次方程，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可知，需满足未知项的次数为且一次项系数不为，据此列条件求解即可． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， ∴， 由得，即或 又，即， ． 故选：B． 3．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】根据等式两边同时加、减同一个数，等式仍然成立以及等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立逐一分析选项找出变形错误的一项． 【详解】A、如果，等式两边都除以，那么，A正确； B、如果，当时，得不出，B错误； C、如果，等式两边都减6，那么，C正确； D、等式两边都乘，得，D正确． 4．已知等式，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：已知等式， 两边同乘得：，故A选项不符合题意； 当时，两边同除以得：；当，和均无意义，故B选项不符合题意； 两边同时加上得：，故C选项符合题意； 两边同时减去得：，故D选项不符合题意； 5．已知与方程的解相同，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】两个方程的解相同，先求解第一个一元一次方程得到x的值，再将x代入第二个方程即可求出m的值． 【详解】解：解方程，得， 将代入方程， 得， 解得． 6．已知是关于的一元一次方程的解，则代数式的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的解及代数式的化简求值．根据题意将代入得出，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：1． 7．若，则______，这是根据等式的基本性质______，在等式两边同时______． 【答案】 2 1 减去2 【分析】本题考查等式的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用等式的性质变形是关键．根据等式的基本性质，对方程进行变形，通过两边同时减去2，得到的值． 【详解】解：由方程，根据等式的基本性质1（即等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍是等式），在等式两边同时减去2，得． 故答案为：，，减去． 8．由等式的两边都______，得到等式，这是根据等式的基本性质______． 【答案】 减去 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据等式的基本性质1，等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立，解答即可． 【详解】由等式，两边都减去，得，即，这是根据等式的基本性质； 故答案为：减去；． 9．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用等式的性质解一元一次方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍然成立；等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或式子），等式仍然成立．同时除以同一个不为0的数（或式子），等式仍然成立． （1）根据等式的性质解一元一次方程即可； （2）根据等式的性质解一元一次方程即可； 【详解】（1）解： 方程两边减3，得 ， 化简，得， 方程两边除以，得； （2）解： 方程两边加2，得， 化简，得， 方程两边乘，得． 10．利用等式的性质解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质1，等式的性质2，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用等式的性质1，得出，再利用等式的性质1得到，然后合并同类项，再利用等式的性质2求解． 【详解】解：两边同时减3，得：（等式的基本性质1）， 两边同时减，得：（等式的基本性质1）， 合并同类项，得：（合并同类项法则）， 两边同时乘，得（等式基本性质2）． 1．下列式子的变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】考查等式与不等式的基本性质，根据性质逐一判断各选项变形即可得到错误选项. 【详解】解：选项A∵ ， 等式两边同时加，得 ，化简得 ，变形正确. 选项B根据不等式性质，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变， ∵ ， ∴ ，变形正确. 选项C∵ ，∴ ， 不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∴ ，变形正确. 选项D当时，，此时 ，不满足 ，变形错误. 2．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟记定义并应用解决问题是解题的关键． 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程，根据定义解答． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴且， ∴， 故选：A． 3．下面的说法中，正确的有（     ）个． ①方程都是等式，所以等式也都是方程． ②是方程的解． ③如果，那么． ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】①根据方程的定义，方程的解的定义，等式的性质，即可判断． 【详解】解：①含有未知数的等式才是方程，不含未知数的等式不是方程，故①不正确； ②当时，，故②正确； ③设，则，，则，故③不正确； ④根据等式的性质2，0不能作除数，此说法没有把0排除，故④不正确； 综上所述，只有1个正确． 4．已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，一元一次方程的解，根据等式的性质得到，再由表格中的数据，即可得到答案． 【详解】解：∵， 故， 由表格可知当时，， ∴关于的方程的解为． 5．兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 【答案】 【分析】将代入到错误方程中，求出正确的“”的值，再根据等式性质解方程． 【详解】解：当时，根据题意得， 则原方程为 ． 6．请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． (1)如果，那么． (2)如果，那么． (3)如果，那么． (4)如果，那么． 【答案】(1)错误 (2)错误 (3)错误 (4)正确 【分析】本题考查了等式的性质，需要注意除数不能为零． （1）根据等式的性质2判断即可； （2）根据等式的性质1判断即可； （3）根据等式的性质2判断即可； （4）根据等式的性质1判断即可． 【详解】（1）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则且，此时和可以是任意值，不一定相等， 因此，变形不一定正确，故错误； （2）解：错误，理由是： 已知， 两边同时加上，得，即， 除非，否则， 因此，变形不一定正确，故错误； （3）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则分母为零，无意义， 因此，变形不一定正确，故错误； （4）解：正确，理由是： 已知， ∵， ∴， ∴， 因此，变形正确，故正确． 7．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握等式的性质是关键． （1）根据等式的性质，等式两边同时乘以，化简即可求解； （2）方程变形得整理得，根据等式的性质，等式两边同时乘以，化简即可求解； （3）等式两边同时减去得，根据等式的性质，等式两边同时乘以，化简即可求解． 【详解】（1）解：， 等式两边同时乘以得，， 解得，； （2）解：， 方程变形得，，整理得，， 等式两边同时乘以得，， 解得，； （3）解：， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时乘以得，， 解得，． 8．已知是关于的一元一次方程， (1)求出的值； (2)求出方程的解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程． （1）根据一元一次方程的定义得，且，再求出a值即可； （2）根据解一元一次方程的步骤，即可求解． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，且， ∴； （2）解：由（1）得， ∴方程为， 整理得， 解得． 9．新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”； (2)若关于的方程和互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1) （答案不唯一） (2) 【分析】理解“成双方程”的新定义，先求出已知方程的解，再根据定义得到待求方程的解，代入计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， 根据“成双方程”的定义，所求方程的解为， ∴满足条件的一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解：，解得：， ∵方程和互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程，得， 整理得：， 解得：． 10．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求方程的解； (3)若“美好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，正确理解“美好方程”是解题的关键． （1）先分别求解两个方程的解，再利用两个一元一次方程的解之和为1，即可求解m的值； （2）首先根据求解x的值，再根据两个一元一次方程的解之和为1，即可求解的解； （3）根据题意可得另一个方程的解为：．根据两个解的差为6，列出一元一次方程解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴关于x的一元一次方程的解为：． （3）解：∵“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为n， ∴另一个方程的解为：． ∵两个解的差为6，∴或， ∴或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $